ZYKLOTOMISCHE HECKEALGEBREN

Michel Broué und Gunter Malle

Ecole Normale Supérieure und Universität Heidelberg

0. Einleitung

Sei G eine zusammenhängende reduktive algebraische Gruppe über dem algebraischen Abschluß eines endlichen Körpers 𝔽_{q}. Sei F: G → G ein Frobeniusendomorphismus, der eine zerfallende rationale Struktur über 𝔽_{q} definiert, und bezeichne G^{F} die Gruppe der F -rationalen Punkte von G. Sei B eine rationale Boreluntergruppe von G und T ein darin enthaltener zerfallender maximaler Torus. Wir bezeichnen den ℚG^{F} -Permutationsmodul über der endlichen Menge G^{F} /B^{F} mit R_{T}^{G}(1). Es ist wohlbekannt, daß die Endomorphismenalgebra dieses ℚG^{F} -Moduls als Deformation H(W, q) der Gruppenalgebra ℚW der Weylgruppe W von G aufgefaßt werden kann. Genauer existiert eine zerfallende halbeinfache Algebra H(W, x) über dem Körper ℚ(\sqrt{x}) (wobei x transzendent über ℚ sei), welche unter x ↦ 1 zur Gruppenalgebra ℚW und unter x ↦ q zu H(W, q) spezialisiert. Aus den Arbeiten von Howlett-Lehrer und Lusztig wissen wir, daß ein ähnliches Phänomen auch in einer allgemeineren Situation auftritt. Ist nämlich L das Levikomplement einer rationalen parabolischen Untergruppe von G und λ ein kuspidaler unipotenter Charakter von L^{F}, so bildet W_{G^{F}} (L, λ) := N_{G^{F}} (L, λ)/L^{F} eine Weylgruppe, und die kommutierende Algebra des ℚ̄G^{F} -Moduls mit Charakter R_{L}^{G}(λ) ist eine Deformation der Gruppenalgebra von W_{G^{F}} (L, λ). Diese Tatsache zieht natürlich präzise und grundlegende Konsequenzen über die Struktur des Moduls R_{L}^{G}(λ) nach sich.

Ersetzt man die Klasse der Levikomplemente rationaler parabolischer Untergruppen durch die Klasse der “d-zerfallenden Leviuntergruppen” L von G (wobei die Levikomplemente rationaler parabolischer Untergruppen nun den Spezialfall der “1zerfallenden Leviuntergruppen” bilden), sowie die kuspidalen unipotenten Charaktere durch die d-kuspidalen unipotenten Charaktere λ von L^{F}, und versieht man jeden unipotenten Charakter von G^{F} mit einem geeigneten Vorzeichen, so scheint eine Verallgemeinerung der Howlett-Lehrer-Lusztig-Theorie auf diese umfassende Situation möglich. In [8] haben wir etwa gezeigt, daß die Zerlegung des virtuellen Deligne-Lusztig Charakters R_{L}^{G}(λ) genau durch die Zerlegung eines induzierten Charakters in der entsprechenden Weylgruppe beschrieben wird. Dabei zeigt es sich (siehe [8]), daß für ein solches d-kuspidales Paar (L, λ) die Gruppe W_{G^{F}} (L, λ) := N_{G^{F}} (L, λ)/L^{F}

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1991 Mathematics Subject Classification. 20, 20G.

Der zweite Autor dankt der deutschen Forschungsgemeinschaft für finanzielle Unterstützung

zwar im Allgemeinen keine Coxetergruppe, aber jedenfalls noch eine komplexe Spiegelungsgruppe ist.

Der Deligne-Lusztig Charakter R_{L}^{G}(λ) ist als der Charakter des Lefschetzschen virtuellen Moduls ∑_{n}(−1)^{n}H_{c}^{n}(X, F; ℚ̄_{ℓ}) für eine ℓ-adische Garbe F auf einer “Deligne-Lusztig Varietät” X definiert. Die Tatsache, daß für eine geeignete Wahl von X und F die Endomorphismenalgebra des graduierten ℚ̄_{ℓ}G^{F} -Moduls H_{c}^{∗}(X, F; ℚ̄_{ℓ}) := ⨁_{n} H_{c}^{n}(X, F; ℚ̄_{ℓ}) so etwas wie eine Heckealgebra für W_{G^{F}} (L, λ) sein sollte, ist Teil allgemeiner Vermutungen (siehe [6]). Im Paragraphen 1 geben wir eine detaillierte und erweiterte Darstellung dieser Vermutungen in dem Spezialfall endlicher reduktiver Gruppen.

Die Paragraphen 2 bis 6 dieser Arbeit können als Untermauerung der vorgestellten Vermutungen angesehen werden. So geben wir für jede Gruppe W_{G^{F}} (L, λ) (für d-kuspidale Paare (L, λ)) eine Präsentation durch Erzeugende und Relationen, welche durch Dynkindiagramm-ähnliche Bilder beschrieben werden können und somit Verallgemeinerungen der gewöhnlichen Dynkindiagramme darstellen. Wir zeigen in fast allen Fällen (bis auf wenige exzeptionelle Diagramme, für die bisher kein Beweis gefunden wurde), daß aus diesen Diagrammen verallgemeinerte generische Heckealgebren für die Gruppen W_{G^{F}} (L, λ) konstruiert werden können. Wie erwartet erhält man diese als “d-Deformationen” der Gruppenalgebra von W_{G^{F}} (L, λ) : die Parameter müssen durch d-te Einheitswurzeln ersetzt werden (und nicht mehr durch 1 wie im gewöhnlichen Fall), um die Gruppenalgebra zurückzugewinnen. Dies erklärt auch den Namenszusatz “zyklotomisch” für diese neuen Algebren.

Die Einführung der gewöhnlichen Heckealgebra H(𝔖_{n}, x) erfolgt üblicherweise mit Hilfe des maximal zerfallenden Torus T von GL_{n}(𝔽̄_{q}). Als einfachstes Beispiel unserer Konstruktion sei hier die natürliche Verallgemeinerung dieser klassischen Heckealgebra vorgestellt. In der Sprechweise von [7] und [8] kann der maximal zerfallende Torus T als minimale 1-zerfallende Untergruppe von G = GL_{n}(𝔽̄_{q}) aufgefaßt werden, und es gilt W_{G^{F}} (T, 1) = 𝔖_{n}. Ist d ein Teiler von n, also etwa n = dm, und w_{d} ∈ 𝔖_{n} ein Produkt von m disjunkten Zykeln der Länge d, so ist ein maximaler Torus S vom Typ w_{d} eine minimale d-zerfallende Untergruppe von G, und es gilt W_{G^{F}} (S, 1) ≃ C_{𝔖_{n}}(w_{d}) ≃ Z_{d} ≀ 𝔖_{m}. Wir konstruieren eine Heckealgebra H(𝔖_{n}, d, x) als d-Deformation der Gruppenalgebra von Z_{d} ≀ 𝔖_{m} wie folgt.

Das Kranzprodukt Z_{d}≀𝔖_{m} hat eine Präsentation durch Erzeugende und Relationen, welche durch das folgende “zyklotomische Diagramm”

◯^{d}  ◯  ◯ ⋯ ◯  ◯

dargestellt werden kann, dessen Knoten mit s, t_{1}, t_{2}, …, t_{m−1} bezeichnet seien. Dies bedeutet, daß Z_{d} ≀ 𝔖_{m} durch Elemente s, t_{1}, t_{2}, …, t_{m−1} erzeugt wird, welche den üblichen durch das Diagramm implizierten Zopfrelationen gehorchen sowie s^{d} = 1 und t_{i}^{2} = 1 für i = 1, 2, …, m − 1 erfüllen.

Die Algebra H(𝔖_{n}, d, x) sei nun die durch Elemente S, T_{1}, T_{2}, …, T_{m−1} erzeugte ℤ[x]-Algebra mit denselben Zopfrelationen zwischen den Erzeugern sowie

\{ \begin{matrix}(S − 1)(S − x)(S − x^{2}) ⋯ (S − x^{d−1}) = 0, \\ (T_{i} − 1)(T_{i} + x^{d}) = 0 & für i = 1, 2, …, m − 1. \end{matrix}

Offensichtlich gilt dann H(𝔖_{n}, d, e^{2iπ/d}) = ℤ[e^{2iπ/d}][Z_{d} ≀ 𝔖_{m}], und für d = 1 erhalten wir durch Ersetzen von T_{i} durch −T_{i} die übliche Heckealgebra zurück.

Es bleibt zu zeigen, daß geeignete Spezialisierungen dieser Algebra die Endomorphismenalgebra einer Kohomologie H_{c}^{∗}(X, F; ℚ̄_{ℓ}) für geeignete (X, F) wie oben ergeben. Ist dies der Fall, so können wie im klassischen Fall die generischen Grade der unipotenten Charaktere von G^{F} durch eine explizite Formel aus den generischen Graden der zyklotomischen Heckealgebra berechnet werden. Dies ermöglicht umgekehrt die Bestimmung der Spezialisierungsparameter unserer Algebren durch Vergleich mit den tatsächlichen Graden unipotenter Charaktere.

In Paragraph 2 ermitteln wir auf diese Art und Weise die Werte der Parameter in allen Fällen, in denen die relative Weylgruppe W_{G^{F}} (L, λ) zyklisch ist. Es stellt sich heraus, daß diese sämtlich Produkte einer ganzzahlige Potenzen von \sqrt{q} mit einer Einheitswurzel sind. Die Parameter im allgemeinen nichtzyklischen Fall sollten durch Zusammensetzen der zyklischen Fälle erhalten werden. Dies können wir für einige exzeptionelle Diagramme prüfen, indem wir die errechneten generischen Grade mit den Graden unipotenter Charaktere vergleichen. Die Anwendung der Formeln verlangt die Kenntnis der irreduziblen Matrixdarstellungen der zyklotomischen Algebren. Da wir diese für den Existenzbeweis für einige der exzeptionellen Algebren sowieso bestimmen müssen (siehe Paragraph 5), können wir auch die Formel für die generischen Grade auswerten, und damit zumindest in diesen Fällen die obige Aussage über die Grade verifizieren. Diese Übereinstimmung können wir nicht für reinen Zufall halten. Es sei angemerkt, daß unsere Parametersätze zumindest vermutungsweise das vollständige Spektrum der Operation der Frobeniusabbildung F auf H_{c}^{∗}(X, F; ℚ̄_{ℓ}) angeben (siehe Bemerkungen 2.10-2.19 und die Tabelle 8.1).

Eine weitere wichtige Invariante der zyklotomischen Algebren ist der minimale Zerfällungskörper. Im Paragraphen 6 bestimmen wir für alle irreduziblen Charaktere der zyklotomischen Algebren den genauen Charakterkörper. Während dieser im klassischen Fall der Heckealgebren höchstens quadratisch über dem Parameterkörper ist, kann er in unserem Fall beliebig großen Grad haben.

Lusztig hatte schon vor langer Zeit bemerkt, daß sich die endlichen nicht-kristallo-graphischen Coxetergruppen bei richtiger Interpretation wie Weylgruppen mysteriöser unbekannter Objekte verhalten, die ”Verallgemeinerungen“ der reduktiven Gruppen sein sollten (siehe etwa [2]). Im Anhang gibt Lusztig (eine ihm schon seit 1982 bekannte) Definition der Menge unipotenter Charaktere dieser Objekte für jede endliche nicht-kristallographische Coxetergruppe.^{1} Im siebten Paragraphen zeigen wir, daß diese Coxetergruppen ebenfalls Ursprung von zyklotomischen Untergruppen, Diagrammen (siehe 3D) und Heckealgebren sind und weisen nach, daß die Mengen unipotenter Charaktere wie im Fall der Weylgruppen eine Φ-Harish-Chandra Theorie für jeden irreduziblen Teiler Φ des Ordnungspolynoms erfüllen.

Die Tatsache, daß unsere neuen Algebren Spezialisierungen zu den Endomorphismenalgebren einer Kohomologie H_{c}^{∗}(X, F; ℚ̄_{ℓ}) besitzen, ist zur Zeit nur in einigen wenigen Fällen von Lusztig bewiesen worden. Der bekannteste solche Fall ist der der zu den Coxeterelementen der Weylgruppe W assoziierten Varietäten (siehe [17]), und dieser war ein wesentlicher Anstoß für unsere Arbeit.

1Bei der Erstellung der vorliegenden Arbeit fanden wir unabhängig davon dieselben Mengen unipotenter Charaktere.

1. Vermutungen über Blöcke endlicher Gruppen

Der Ursprung der folgenden Vermutungen ist eine allgemeine Vermutung über Blöcke abstrakter endlicher Gruppen (siehe [6]), die Aussagen über die Struktur (bis auf Äquivalenz) der derivierten beschränkten Kategorie der ℓ-adischen Algebra des Blocks einer beliebigen endlichen Gruppe mit abelscher Defektgruppe macht. Diese abstrakte Vermutung führte zu genaueren Vorstellungen in dem speziellen Fall endlicher reduktiver Gruppen, die zuerst im letzten Abschnitt von [6] formuliert wurden. Diese Vermutungen wurden zum Teil auch auf der Konferenz zu Ehren von Charles Curtis an der Universität Oregon im September 1991 vorgestellt.

Wir führen zunächst die benötigten Bezeichnungen ein. Sei G eine zusammenhängende reduktive algebraische Gruppe über 𝔽̄_{q}, versehen mit einem Frobeniusendomorphismus F, welcher eine rationale Struktur über 𝔽_{q} erklärt. Wir schließen im Folgenden die Suzuki- und die Reegruppen aus, um die Darstellung zu vereinfachen. Zur korrekten Formulierungen der Vermutungen für die letzteren Gruppen muß statt über ℤ über dem Grundring ℤ[\sqrt{p}] mit p = 2 oder p = 3 gearbeitet werden (siehe hierzu [7]). Die Zahl der Wurzeln von G sei mit 2N bezeichnet.

Weiter sei P eine parabolische Untergruppe von G mit unipotentem Radikal U und mit einem F -stabilen Levikomplement L. Mit

Y(U) := {g(U ∩ F (U)) ∈ G/(U ∩ F (U)) ; g^{−1}F (g) ∈ F (U)}

sei die zugehörige Deligne–Lusztig Varietät bezeichnet (siehe etwa [20]). Wir erinnern daran, daß G^{F} durch Linksmultiplikation und L^{F} durch Rechtsmultiplikation auf Y(U) operieren. Man weiß (loc. cit.), daß Y(U) ein L^{F} –Torseur auf einer Varietät X(U) ist, welche glatt von der reinen Dimension dim(U/U ∩ F (U)) und zumindest für genügend großes q affin ist. Insbesondere operiert G^{F} auf X(U) von links. Für einen kommutativen Ring O ist das Bild der konstanten Garbe O auf Y(U) unter dem endlichen Morphismus π: Y(U) → X(U) eine lokal konstante Garbe π_{∗}(O) auf X(U), welche wir mit F_{OL^{F}} bezeichnen wollen.

Wählt man speziell als P eine Boreluntergruppe B = UT, für die B und F (B) sich in relativer Lage w für ein w ∈ W befinden (siehe [13], 1.2), so setzen wir X_{w} := X(U).

Sei nun ℓ eine Primzahl, welche q nicht teilt, und O der Ring der ganzen Zahlen einer endlichen Erweiterung des Körpers ℚ_{ℓ} der ℓ–adischen Zahlen. Für jede G^{F} –äquivariante torsionsfreie O–Garbe F auf X(U) bezeichne H_{O}(X(U), F) die Algebra der Endomorphismen des ℓ–adischen Kohomologiekomplexes RΓ_{c}(X(U), F), aufgefaßt als Element der derivierten beschränkten Kategorie D^{b}(OG^{F}) der Kategorie der endlich erzeugten OG^{F} –Moduln. Zur Abkürzung setzen wir RΓ_{c}(Y(U)) := RΓ_{c}(X(U), F_{OL^{F}}) und H_{O}(Y(U)) := H_{O}(X(U), F_{OL^{F}}) . Wir bemerken, daß die Algebra H_{O}(Y(U)) die Gruppenalgebra OL^{F} als Teilalgebra enthält. Für eine Erweiterung K von O sei H_{K}(X(U), F) := K ⊗_{O} H_{O}(X(U), F) .

Schließlich werde für einen Komplex Γ = (⋯ → Γ^{n−1} → Γ^{n} → Γ^{n+1} → ⋯) von O–Moduln das gewöhnliche O–Dual von Γ mit Γ^{∗} bezeichnet: es ist Γ^{∗m} := Hom_{O}(Γ^{−m}, O), und die Differentiale werden durch O–Transposition definiert.

1A. Vermutungen über ℓ–Blöcke.

Die Ausgangsdaten.

(H1) Sei ℓ eine von p verschiedene Primzahl, welche weder |Z(G)/Z^{o}(G)| noch

|Z(G^{∗})/Z^{o}(G^{∗})| teilt, und die zudem gut für G ist. (H2) Sei O der Ring der ganzen Zahlen einer endlichen unverzweigten Erweiterung

K des Körpers der ℓ–adischen Zahlen ℚ_{ℓ} mit Restklassenkörper k, so daß die endliche Gruppenalgebra kG^{F} zerfällt.

(H3) Sei e ein primitives zentrales Idempotent von OG^{F} (ein ℓ–Block von G^{F}) mit abelscher Defektgruppe D. Sei L := C_{G}(D) und f ein Block von L^{F}, so daß (D, f) ein e–Subpaar von G^{F} ist.

Die Voraussetzung (H1) erzwingt insbesondere, daß L eine rationale Leviuntergruppe von G ist.

Weiter gilt N_{G^{F}} (D, f) = N_{G^{F}} (L, f), und wir bezeichnen die zugehörige relative Weylgruppe mit W_{G^{F}} (L, f) := N_{G^{F}} (L, f)/L^{F}. Aufgrund bekannter Eigenschaften maximaler Subpaare (siehe etwa [1]) ist D eine ℓ-Sylowuntergruppe von Z(L)^{F}, und ℓ teilt |W_{G^{F}} (L, f)| nicht.

ℓ–Vermutungen.

Es existieren eine parabolische Untergruppe von G mit unipotentem Radikal U und Levikomplement L und ein endlicher Komplex

Υ = (⋯ → Υ^{n−1} → Υ^{n} → Υ^{n+1} → ⋯)

von (OG^{F} , OL^{F})–Bimoduln, welche endlich erzeugt und projektiv sowohl als OG^{F} – wie auch als OL^{F} –Moduln sind, mit den folgenden Eigenschaften: (ℓ-V1) Aufgefaßt als Objekt der derivierten beschränkten Kategorie der Kategorie der

(OG^{F} , OL^{F})–Bimoduln ist Υ isomorph zu RΓ_{c}(Y(U)) . Insbesondere ist für jedes n die n-te Homologiegruppe von Υ als (OG^{F} , OL^{F})–Bimodul isomorph zu O ⊗_{ℤ_{ℓ}} H_{c}^{n}(Y(U), ℤ_{ℓ}) .

(ℓ-V2) Das Idempotent e operiert als die Identität auf dem Komplex Υ.f. (ℓ-V3) Bezeichne Δ(D) die diagonale Einbettung von D in G^{F} × L^{F}. Für jedes

n ist der O[G^{F} × L^{F}]–Modul Υ^{n}.f relativ Δ(D)–projektiv, und seine Einschränkung auf OΔ(D) bildet einen Permutationsmodul für Δ(D).

(ℓ-V4) • Die Struktur als Komplex von (OG^{F}e, OL^{F} f)–Bimoduln von Υ.f setzt sich zu einer Struktur als Komplex von (OG^{F}e, fH_{O}(Y(U))f)–Bimoduln fort, die sämtlich projektiv als rechte fH_{O}(Y(U))f–Moduln sind.

• Die Komplexe (Υ.f ⊗_{fH_{O}(Y(U))f} f.Υ^{∗}) und OG^{F}e sind homotopieäquivalent als Komplexe von (OG^{F}e, OG^{F}e)–Bimoduln.

• Die Komplexe (f.Υ^{∗} ⊗_{OG^{F} e} Υ.f) und fH_{O}(Y(U))f sind homotopieäquivalent als Komplexe von (fH_{O}(Y(U))f, fH_{O}(Y(U))f)–Bimoduln.

(ℓ-V5) Die Algebra fH_{O}(Y(U))f ist zu der Blockalgebra ON_{G^{F}} (D, f)f isomorph.

Wir machen hierzu einige Bemerkungen und geben Konsequenzen der vorgestellten Vermutungen an.

1. Unter Benutzung des Resultats [22] von Jeremy Rickard kann gezeigt werden, daß ein Komplex Υ von (OG^{F} , OL^{F})–Bimoduln existiert, der (ℓ-V1) erfüllt, so daß zudem für jede ganze Zahl n der O[G^{F} × L^{F}]–Modul Υ^{n} relativ Δ(S)–projektiv ist und seine Einschränkung auf OΔ(S) ein Permutationsmodul für Δ(S) wird, wobei Δ(S) die diagonale Einbettung einer ℓ–Sylowuntergruppe S von L^{F} in G^{F} × L^{F} bezeichnet. (ℓ-V3) folgt dann aus (ℓ-V2).

2. Aus (ℓ-V4) folgt, daß die derivierten beschränkten Kategorien D^{b}(OG^{F}e) und D^{b}(fH_{O}(Y(U))f) äquivalent sind, also nach (ℓ-V5): (ℓ-V6) D^{b}(OG^{F}e) und D^{b}(ON_{G^{F}} (D, f)f) sind äquivalent. Diese letzte Äquivalenz ist ein besonderer Fall der in [6] vorgestellten allgemeinen Vermutung über abstrakte endliche Gruppen.

3. Für jeden Kettenabbildungsendomorphismus α von Υ sei

tr_{Υ}(α) := ∑_{n}(−1)^{n}tr_{Υ^{n}}(α) ,

wobei tr_{Υ^{n}}(α) die Spur von α als Endomorphismus des freien O–Moduls Υ^{n} bezeichnet. Da fH_{O}(Y(U))f und End_{OG^{F}e}(Υ) übereinstimmen, sieht man dann leicht: (ℓ-V7) Die Linearform tr_{Υ} versieht fH_{O}(Y(U))f mit der Struktur einer symmetri-

schen O–Algebra.

4. Sei H_{c}^{n}(Y(U), K) := K ⊗_{ℤ_{ℓ}} H_{c}^{n}(Y(U), ℤ_{ℓ}) . Wir haben

RΓ_{c}(Y(U), K) = ⨁_{n} H_{c}^{n}(Y(U), K)[−n] ,

und aus (ℓ-V4) folgt: (ℓ-V8) Die Algebra fH_{K}(Y(U))f ist halbeinfach. Weiter sind die KG^{F}e–Moduln

H_{c}^{n}(Y(U), K) paarweise disjunkt und fH_{K}(Y(U))f ist die Endomorphismenalgebra des endlichen graduierten KG^{F}e–Moduls RΓ_{c}(Y(U), K) .

5. Sei S eine ℓ–Untergruppe von D mit G_{S} := C_{G}(S) und U_{S} := U ∩ G_{S}. Sei weiter e_{S} der Block von G_{S}^{F} = C_{G^{F}} (S) mit (S, e_{S}) ⊆ (D, f). Dann stehen (G_{S}, e_{S}, L^{F} , f, U_{S}) in derselben Beziehung wie (G, e, L^{F} , f, U), und es existiert ein Komplex Υ_{S} mit den Eigenschaften (ℓ-Vi) (i = 1, …, 5) (bei geeigneten Ersetzungen).

Es scheint wahrscheinlich, daß k ⊗_{O} Υ_{S} das Bild von Υ (aufgefaßt als Komplex von O[G^{F} × L^{F}]–Moduln) unter dem Brauermorphismus Br_{S} ist.

Die vorangegangenen Überlegungen bilden vermutlich den Ausgangspunkt einer Erklärung für die als Isotypie bezeichnete Korrespondenz zwischen e und f (siehe [6] und [8]).

1B. Vermutungen über unipotente Charaktere und zyklotomische Heckealgebren.

Wir setzen nun voraus, daß ℓ “groß ” ist, genauer, daß ℓ nicht das Produkt aus der Ordnung der Weylgruppe W von G mit der Ordnung des durch F induzierten äußeren Automorphismus von W teilt.

Wir bezeichnen weiterhin mit O den Ring der ganzen Zahlen einer endlichen unverzweigten Erweiterung K des Körpers der ℓ–adischen Zahlen ℚ_{ℓ}, mit Restklassenkörper k über dem die Gruppenalgebra kG^{F} zerfällt.

Mit e_{ℓ}^{G^{F}} sei das zu der Teilmenge E_{ℓ}(G^{F} , 1) der Menge der irreduziblen Charaktere von G^{F} assoziierte zentrale Idempotent von OG^{F} bezeichnet (siehe [9]). Wir nennen die primitiven zentralen Idempotente e mit ee_{ℓ}^{G^{F}} ≠ 0 unipotente Blöcke von OG^{F}.

Dann gilt das folgende:

• (siehe [7], 3.13) Es existiert eine eindeutig bestimmte natürliche Zahl d, für die das d–te zyklotomische Polynom Φ_{d} die polynomiale Ordnung von G^{F} teilt sowie Φ_{d}(q) von ℓ geteilt wird. Die ℓ–Untergruppen von G^{F} liegen, bis auf G^{F} –Konjugation, sämtlich in einer Φ_{d}–Sylowuntergruppe von G.

• (siehe [8]) Ist e ein unipotenter Block mit maximalem Subpaar (D, f) (wobei D eine Defektgruppe von e und f eine Block von OC_{G^{F}} (D) ist), so bildet L := C_{G}(D) eine d–zerfallende Leviuntergruppe von G (also L = C_{G}(Z^{o}(L)_{d})), D ist eine ℓ– Untergruppe von Z(L^{F}), und der kanonische Charakter von f ist ein d–kuspidaler unipotenter Charakter λ von L^{F}. Weiter stimmt die Menge der irreduziblen Charaktere von OG^{F} e mit der Menge der irreduziblen Konstituenten von R_{L}^{G}(θλ) überein, wobei θ die Menge der Charaktere von L^{F} /[L, L]^{F} von ℓ–Potenzordnung durchläuft.

Sei d eine natürliche Zahl, für die Φ_{d} die polynomiale Ordnung von G^{F} teilt (siehe [7]), und ℓ ein Teiler von Φ_{d}(q).

Sei (L, λ) ein d–kuspidales Paar von G^{F} (siehe [8]). Der Charakter λ ist ein Charakter vom ℓ–Defekt Null von L^{F} /Z(L^{F}). Daher existiert ein eindeutig bestimmter O–freier OL^{F} –Modul M_{λ} mit Charakter λ (M_{λ} ist ein projektiver O[L^{F} /Z(L^{F})]– Modul). Der natürliche Morphismus OL^{F} → End_{O}(M_{λ}) ist surjektiv und definiert eine torsionsfreie O–Garbe auf X(U), welche wir mit F_{λ} bezeichnen.

Sei Uch(G^{F} , (L, λ)) die Menge aller (unipotenten) irreduziblen Charaktere γ von G^{F} mit (R_{L}^{G}(λ), γ)_{G^{F}} ≠ 0. Für jedes γ ∈ Uch(G^{F} , (L, λ)) bezeichne e_{γ}^{G^{F}} das zu γ gehörige primitive zentrale Idempotent von KG^{F}. Sei weiter

e_{(L,λ)}^{G^{F}} := ∑_{γ∈Uch(G^{F} ,(L,λ))} e_{γ}^{G^{F}} .

Beschränkt man sich auf die unipotenten Charaktere, so ziehen die “ℓ–Vermutungen” die folgenden Konsequenzen nach sich.

d–Vermutungen.

Es existieren eine parabolische Untergruppe von G mit unipotentem Radikal U und Levikomplement L sowie ein endlicher Komplex

Ξ = (⋯ → Ξ^{n−1} → Ξ^{n} → Ξ^{n+1} → ⋯)

endlich erzeugter projektiver OG^{F} –Moduln mit den folgenden Eigenschaften: (d-V1) Aufgefaßt als Objekt der derivierten beschränkten Kategorie der Katego-

rie der OG^{F} –Moduln ist Ξ isomorph zu RΓ_{c}(X(U), F_{λ}) . Insbesondere ist für jedes n die n–te Homologiegruppe von Ξ als OG^{F} –Modul isomorph zu H_{c}^{n}(X(U), F_{λ}) .

(d-V2) • Die Struktur als Komplex von OG^{F} –Moduln von Ξ.f setzt sich zu einer Struktur als Komplex von (OG^{F} , H_{O}(X(U), F_{λ}))–Bimoduln fort, welche sämtlich projektiv als rechte H_{O}(X(U), F_{λ})–Moduln sind.

• Die Komplexe (Ξ^{∗} ⊗_{OG^{F}} Ξ) und H_{O}(X(U), F_{λ}) sind homotopieäquivalent als Komplexe von (H_{O}(X(U), F_{λ}), H_{O}(X(U), F_{λ}))–Bimoduln.

(d-V3) Die Algebra H_{K}(X(U), F_{λ}) ist zu der Gruppenalgebra KW_{G^{F}} (L, λ) isomorph (hierbei sei an W_{G^{F}} (L, λ) := N_{G^{F}} (L, λ)/L^{F} erinnert).

Die folgenden Eigenschaften sind Konsequenzen der obigen Vermutungen: (d-V4) Es gilt

RΓ_{c}(X(U), F_{λ}; K) = ⨁_{n} H_{c}^{n}(X(U), F_{λ}; K)[−n] .

Die Kohomologiegruppen H_{c}^{n}(X(U), F_{λ}; K) sind als KG^{F} –Moduln paarweise disjunkt, und die Algebra H_{K}(X(U), F_{λ}) := K ⊗_{O} H(X(U), F_{λ}) stimmt mit der G^{F} –Endomorphismenalgebra des graduierten Moduls RΓ_{c}(X(U), F_{λ}; K) überein.

(d-V5) Obige graduierte Moduln induzieren eine Äquivalenz von Kategorien graduierter Moduln über den Algebren KG^{F} e_{(L,λ)}^{G^{F}} bzw. KW_{G^{F}} (L, λ). Insbesondere (siehe [8], Fundamental Theorem) existiert eine Isometrie

(1.1)  I_{(L,λ)}^{G^{F}}: ℤIrr(W_{G^{F}} (L, λ)) → ℤ Uch(G^{F} , (L, λ)),

so daß

R_{L}^{G}(λ) = I_{(L,λ)}^{G^{F}} · Ind_{{1}}^{W_{G^{F}} (L,λ)}(1)

gilt.

1C. Vermutungen über generische zyklotomische Heckealgebren.

Ermutigt durch die verschiedenen Resultate in [8] (so etwa das Fundamental Theorem und die Kongruenzen modulo Φ_{d}, welche von der Isometrie I_{(L,λ)}^{G^{F}} erhalten werden), durch die bekannten Resultate für d = 1 (siehe hierzu etwa [19]) und die Überzeugung, daß sie auch im Allgemeinen gelten, sowie schließlich durch die Berechnung einiger Beispiele durch G. Lusztig (siehe [17]), verfeinern wir die vorangegangenen Vermutungen weiter.

Vorbereitung: Einige elementare Tatsachen über halbeinfache Algebren.

Wir erinnern zunächst an einige Bezeichnungen und stellen ohne Beweise ein paar einfache und grundlegende Tatsachen über halbeinfache Algebren zusammen, die wir zur Formulierung unserer Vermutungen benötigen. Die entsprechenden Aussagen sind in [12], §9, enthalten, bzw. können leicht daraus hergeleitet werden.

Sei R ein kommutativer Integritätsbereich mit Quotientenkörper K und H eine R– freie R–Algebra. Wir nehmen an, daß H_{K} := K ⊗_{R} H eine zerfallende halbeinfache Algebra sei. Als solche ist sie sogar symmetrisch, und die symmetrisierenden Formen sind durch alle K–Linearkombinationen ∑_{χ∈Irr(H_{K})} δ_{χ}χ irreduzibler Charaktere von H_{K} mit δ_{χ} ≠ 0 für alle χ ∈ Irr(H_{K}) gegeben.

Sei t eine zentrale Linearform auf H, also eine Form t: H → R mit t(hh′) = t(h′h) für alle h, h′ ∈ H. Dann gilt t = ∑_{χ∈Irr(H_{K})} δ_{χ}(t)χ mit gewissen δ_{χ}(t) ∈ K, und wir nennen δ_{χ}(t) den relativen Grad von χ bezüglich t. Man beachte, daß δ_{χ}(t) linear von t abhängt, und insbesondere bis auf einen Skalar nur von ker(t). Nach Multiplikation von t mit einem geeigneten Element aus R liegen also die relativen Grade schon in R.

Sei (T_{i})_{1≤i≤k} eine R–Basis von H. Wir nennen (T_{i})_{1≤i≤k} quasisymmetrisch, wenn (1) T_{1} = 1 ist und

(2) die Formen t: H → R mit t(T_{i}) = 0 für i ≠ 1 zentral sind (mit anderen Worten: es gilt hh′ − h′h ∈ ∑_{i≠1} R T_{i}).

Ist (T_{i})_{1≤i≤k} quasisymmetrisch, so heißen die relativen Grade bezüglich der durch t(T_{1}) = 1 und t(T_{i}) = 0 falls i ≠ 1 definierten Form t die relativen Grade von (T_{i})_{1≤i≤k}. Aus den vorangegangenen Definitionen folgt:

1.2. Lemma. Der Vektor (δ_{χ}(t))_{χ} der relativen Grade von (T_{i})_{1≤i≤k} ist die eindeutig bestimmte Lösung in K des linearen Gleichungssystems

∑_{χ∈Irr(H_{K})} δ_{χ}(t)χ(T_{i}) = \{ \begin{matrix}1 & falls i = 1, \\ 0 & falls i ≠ 1. \end{matrix}

Sei weiterhin (T_{i})_{1≤i≤k} quasisymmetrisch. Wir nehmen zudem an, daß die zugehörige zentrale Form t (mit t(T_{1}) = 1 und t(T_{i}) = 0 falls i ≠ 1) symmetrisch ist (d.h. alle ihre relativen Grade verschwinden nicht). Die duale Basis von (T_{i})_{1≤i≤k} ist dann die durch die Bedingungen

t(T_{i}T′_{j}) = \{ \begin{matrix}1 & falls i = j, \\ 0 & falls i ≠ j, \end{matrix}

definierte Basis (T′_{i})_{1≤i≤k} von H_{K}. Die relativen Grade von (T_{i})_{1≤i≤k} werden dann offensichtlich explizit durch die Gleichungen

(1.3)  δ_{χ}(t) = \frac{χ(1)}{∑_{i} χ(T_{i})χ(T′_{i})}

gegeben.

Ein Spezialfall: Endomorphismenalgebren.

Sei A eine zerfallende halbeinfache K–Algebra. Mit _{A}mod^{(ℤ)} bezeichnen wir die Kategorie der endlich erzeugten graduierten A–Moduln.

Von nun an sei H = ⊕_{n}H^{n} ein Objekt aus _{A}mod^{(ℤ)}, dessen homogene Komponenten disjunkt sind, also Hom_{A}(H^{n}, H^{m}) = {0} für n ≠ m erfüllen (oder, mit anderen Worten, für die Hom_{A}_{mod}_{(ℤ)}(H, H[i]) = {0} für i ≠ 0 gilt). Wir bezeichnen das Bild von A in End_{K}(H) mit A_{H}.

Sei nun H_{K} die Algebra der von rechts operierenden A–Endomorphismen von H (man beachte, daß aufgrund unserer Annahme über H die graduierten A-Endomor-phismen mit den gewöhnlichen A–Endomorphismen übereinstimmen). Wir bezeichnen mit Irr(H_{K}; H^{n}) die Menge der irreduziblen (rechten) H_{K}–Moduln, die in H^{n} vorkommen.

Sei t_{H} : H_{K} → K die durch

t_{H}(h) := tr(h; H) := ∑_{n}(−1)^{n}tr(h; H^{n})

definierte Linearform auf H_{K}. Das folgende Ergebnis verallgemeinert unmittelbar den bekannten Spezialfall, in dem H in einem Grad konzentriert ist.

1.4. Proposition. (1) Der Funktor H ⊗_{H_{K}} ▪ ist eine Äquivalenz von Kategorien zwi-

schen _{A_{H}}mod^{(ℤ)} und _{H_{K}} mod^{(ℤ)}. Mit anderen Worten, für alle n gibt es Injektionen Irr(H_{K}; H^{n}) → Irr(A_{H}), bezeichnet als χ ↦ γ_{χ}, so daß als (A, H_{K})–Bimoduln

H^{n} = ⨁_{χ∈Irr(H_{K};H^{n})} γ_{χ} ⊗ χ

ist und Irr(A_{H}) die disjunkte Vereinigung der γ_{χ} für {χ ∈ Irr(H_{K}; H^{n})}_{n} ist. Weiter ist t_{H} eine symmetrisierende Form für H_{K}.

(2) Ist zudem (T_{i})_{1≤i≤k} eine R–Basis von H mit T_{1} = 1 und t_{H}(T_{i}) = 0 für i ≠ 1, und bezeichnet (δ_{χ})_{χ∈Irr(H_{K})} die Menge der zu (T_{i})_{1≤i≤k} gehörigen relativen Grade, so gilt (−1)^{n} dim(γ_{χ}) = δ_{χ}t_{H}(1) für alle χ ∈ Irr(H_{K}; H^{n}).

d–Heckealgebra Vermutungen.

Für Bezeichnungen und Sprechweisen im Zusammenhang mit “generischen endlichen reduktiven Gruppen” sei der Leser auf [7] und [8] verwiesen.

Sei 𝔾 eine generische endliche reduktive Gruppe. Sei d eine natürliche Zahl und (𝕃, λ) ein d–kuspidales Paar von 𝔾. Sei weiter x eine Unbestimmte. Wir setzen ζ_{d} := e^{2iπ/d} und

ℤ(d, x) := \{ \begin{matrix}ℤ [ζ_{d}, \sqrt{x}, \sqrt{x}^{−1}] & für ungerades d, \\ ℤ [ζ_{d}, \sqrt{−x}, \sqrt{−x}^{−1}] & für gerades d. \end{matrix}

Dann existiert eine Algebra H(𝔾, (𝕃, λ); x) über dem Ring ℤ(d, x) sowie eine Linearform

t_{x}: H(𝔾, (𝕃, λ); x) → ℤ(d, x)

mit t_{x}(1) = 1, bezüglich der H(𝔾, (𝕃, λ); x) die Struktur einer symmetrischen ℤ(d, x)– Algebra erlangt, mit den folgenden Eigenschaften:

(d-HV1) Die Algebra H(𝔾, (𝕃, λ); x) ist frei über ℤ(d, x) vom Rang |W_{𝔾}(𝕃, λ)|.

Für ein geeignetes Element ξ bezeichne im Folgenden H(𝔾, (𝕃, λ); ξ) die durch die Spezialisierung x ↦ ξ definierte ℤ[ζ_{d}][\sqrt{±ξ}^{±1}]–Algebra.

(d-HV2) Es existiert ein Algebrenisomorphismus

H(𝔾, (𝕃, λ); ζ_{d})⟶^{∼}ℤ[ζ_{d}][W_{𝔾}(𝕃, λ)] ,

so daß das folgende Diagramm kommutiert:

H(𝔾, (𝕃, λ); x) ⟶^{(x↦ζ_{d})} ℤ[ζ_{d}][W_{𝔾}(𝕃, λ)]
↓^{t_{x}}  ^{t}↓
ℤ(d, x)  ⟶^{(x↦ζ_{d})}  ℤ[ζ_{d}]

Hierbei bezeichnet t die Form auf ℤ[ζ_{d}][W_{𝔾}(𝕃, λ)], welche ∑_{w} a(w)w auf a(1) abbildet.

(d-HV3) Sei (G, T, F) ein zu 𝔾 assoziiertes (q, ϕ)–Tripel (siehe [8], §1.A). Sei ℓ eine Primzahl, welche groß für 𝔾 ist (siehe [8], 5.1) und Φ_{d}(q) teilt. Bezeichne O den Ring der ganzen Zahlen einer geeigneten endlichen Erweiterung K von ℚ_{ℓ}, welche ℤ[ζ_{d}, \sqrt{q}] für ungerades d bzw. ℤ[ζ_{d}, \sqrt{−q}] für gerades d umfaßt. Für eine geeignete Wahl einer zu 𝕃 assoziierten rationalen Leviuntergruppe L von G, für eine geeignete Wahl einer parabolischen Untergruppe von G mit unipotentem Radikal U und Levikomplement L (siehe die obigen ℓ– Vermutungen) induziert der durch x ↦ q definierte Morphismus ℤ(d, x) → O einen O–Algebrenisomorphismus

O ⊗ H(𝔾, (𝕃, λ); x)⟶^{∼}H_{O}(X(U), F_{λ}) ,

so daß das folgende Diagramm kommutiert:

O ⊗_{ℤ(d,x)} H(𝔾, (𝕃, λ); x) ⟶^{(x↦q)} H_{O}(X(U), F_{λ})
↓^{t_{x}}  ^{t_{q}} ↓
ℤ(d, x)  ⟶^{(x↦q)}  O

Hierin ist t_{q}(h) für h ∈ H_{O}(X(U), F_{λ}) durch

Deg(R_{𝕃}^{𝔾}(λ))(q) t_{q}(h) = ∑_{n}(−1)^{n}tr(h; H_{c}^{n}(X(U), F_{λ}; K)) ,

definiert, wobei Deg(R_{𝕃}^{𝔾}(λ)) den generischen Grad von R_{𝕃}^{𝔾}(λ) bezeichnet (siehe [8]).

Wie oben bezeichnen wir den relativen Grad bezüglich t_{x} eines irreduziblen Charakters χ von ℚ(d, x) ⊗_{ℤ(d,x)} H(𝔾, (𝕃, λ); x) mit δ_{χ}(t_{x}).

(d-HV4) Es gilt x^{N}Deg(R_{𝕃}^{𝔾}(λ)) δ_{χ}(t_{x}) ∈ ℚ[x].

(d-HV5) Die Algebra ℚ(d, x) ⊗_{ℤ(d,x)} H(𝔾, (𝕃, λ); x) ist zerfallend halbeinfach.

Aus (d-HV1), (d-HV2), (d-HV3) und (d-HV5) folgt die Existenz von Bijektionen

Irr (ℚ(d, x) ⊗_{ℤ(d,x)} H(𝔾, (𝕃, λ); x)) ≃ Irr(H_{K}(X(U), F_{λ})) ≃ Irr(KW_{𝔾}(𝕃, λ)),

für welche wir

χ ↦ χ_{q} ↦ χ_{ζ_{d}}

schreiben.

Sei ε_{χ}γ_{χ} das Bild von χ unter den obigen Bijektionen und der Isometrie I_{(𝕃,λ)}^{𝔾} (siehe 1.1). Dann gilt ε_{χ} = ±1 und γ_{χ} ist ein unipotenter Konstituent von R_{𝕃}^{𝔾}(λ).

(d-HV6) Es gilt ε_{χ}Deg(γ_{χ}) = Deg(R_{𝕃}^{𝔾}(λ)) δ_{χ}(t_{x}) .

Anmerkung. Aus den d–Vermutungen und (d-HV3) folgt

I_{(L,λ)}^{G^{F}}(χ_{ζ_{d}})(1) = R_{L}^{G}(λ)(1) δ_{χ}(t_{q}) für alle χ .

Weiter vermuten wir: (d-HV7) Der Charakter λ besitzt eine Fortsetzung zum Normalisator N_{G^{F}} (L, λ).

Ein spezieller Fall. Im weiteren sei (G, F) als zerfallend angenommen. Die Zahl d sei regulär für W im Sinne von [24], §5, es existiere also ein reguläres

Element der Ordnung d in W. Insbesondere teilt d dann 2N (siehe [24], 4.10), und es existiert ein reguläres Element w von W der Länge 2N/d.

Nach [7] ist d ≠ 1 regulär genau dann, wenn die Zentralisatoren der Φ_{d}–Sylowuntergruppen von G Tori sind. Bezeichnet T einen solchen, so ist (T, 1) ein d–kuspidales Paar.

In diesem Fall spezialisieren sich unsere Vermutungen (d-HVi) wie folgt:

Vermutungen über reguläre Elemente.

Sei W eine Weylgruppe und d eine reguläre Zahl für W. Seien weiter x eine Unbestimmte, ζ_{d} := e^{2iπ/d}, und ℤ(d, x) wie oben definiert.

Dann existiert ein reguläres Element w ∈ W der Ordnung d und der Länge 2N/d, sowie eine Algebra H(W, w; x) über dem Ring ℤ(d, x) mit den folgenden Eigenschaften:

(reg-1) Die Algebra H(W, w; x) hat eine durch die Elemente v ∈ C_{W} (w) indizierte Basis (T_{v}) mit T_{1} = 1. Dabei liegt das Element T_{w} zentral in H(W, w; x).

(reg-2) Die durch t_{x}(T_{1}) := 1 und t_{x}(T_{v}) := 0 für v ≠ 1 definierte Linearform t_{x}: H(W, w; x) → ℤ(d, x) versieht H(W, w; x) mit der Struktur einer symmetrischen ℤ(d, x)–Algebra.

(reg-3) Die Abbildung T_{v} ↦ v (für v ∈ C_{W} (w)) besitzt eine lineare Fortsetzung zu einem Algebrenisomorphismus

H(W, w; ζ_{d})⟶^{∼}ℤ[ζ_{d}][C_{W} (w)] .

Sei G eine zusammenhängende reduktive algebraische Gruppe mit Weylgruppe W, versehen mit einer zerfallenden Frobeniusabbildung F über 𝔽_{q}.

Sei ℓ ein Primteiler von Φ_{d}(q), welcher |W | nicht teilt. Seien weiter O := ℤ_{ℓ}[ζ_{d}, q^{± \frac{1}{2}} ] für ungerades d bzw. O := ℤ_{ℓ}[ζ_{d}, \sqrt{−q}, \sqrt{−q}^{−1}] für gerades d, und K der Quotientenkörper von O. Wir setzen

H_{O}(X_{w}) := O ⊗_{ℤ_{ℓ}} End_{D^{b}(ℤ_{ℓ}G^{F})} (RΓ_{c}(X_{w}, ℤ_{ℓ})) .

(reg-4) Der durch x ↦ q definierte Morphismus ℤ(d, x) → O induziert einen Algebren-

isomorphismus

H(W, w; q)⟶^{∼}H_{O}(X_{w})

derart, daß folgendes gilt:

(a) Ist t_{q} die durch t_{x} auf H_{O}(X_{w}) definierte Linearform, so gilt

deg(R_{T_{w}}^{G}(1)) t_{q} = ∑_{n}(−1)^{n}tr( ·; H_{c}^{n}(X_{w}, ℚ_{ℓ})) ,

und insbesondere ist ∑_{n}(−1)^{n}tr(T_{v}; H_{c}^{n}(X_{w}, ℚ_{ℓ})) = 0 für v ≠ 1.

(b) T_{w} wird auf F abgebildet.

Bezeichne (T′_{v})_{v∈C_{W} (w)} die zu (T_{v})_{v∈C_{W} (w)} duale Basis. Für einen irreduziblen Charakter χ von ℚ(d, x) ⊗_{ℤ(d,x)} H(W, w; x) sei δ_{χ}(t_{x}) sein relativer Grad.

(reg-5) Es gilt x^{N}Deg(R_{𝕋_{w}}^{𝔾}(1)) δ_{χ}(t_{x}) ∈ ℚ[x].

(reg-6) Es existieren Bijektionen

Irr (ℚ(d, x) ⊗_{ℤ(d,x)} H(W, w; x)) ≃ Irr(H_{K}(X_{w})) ≃ Irr(KC_{W} (w)) ,

für welche wir χ ↦ χ_{q} ↦ χ_{ζ_{d}} schreiben.

(reg-7) Es gibt eine Bijektion χ ↦ γ_{χ} zwischen Irr (ℚ(d, x) ⊗_{ℤ(d,x)} H(W, w; x)) und der Menge Uch(G^{F} , w) der irreduziblen Konstituenten von R_{T_{w}}^{G}(1), sowie eine Abbildung χ ↦ ε_{χ} (ε_{χ} = ±1), so daß

(a) R_{T_{w}}^{G}(1) = ∑_{χ} ε_{χ}χ(1)γ_{χ}, und

(b) der generische Grad γ_{χ} durch ε_{χ}Deg(γ_{χ}) = Deg(R_{T_{w}}^{G}(1)) δ_{χ}(t_{q}) gegeben wird.

Im Folgenden konstruieren wir für jede endliche generische reduktive Gruppe 𝔾, für jede natürliche Zahl d mit Φ_{d}(x)||𝔾| und jedes d–kuspidale Paar (𝕃, λ) eine Algebra H(𝔾, (𝕃, λ); x), welche die Bedingungen (d-HV1), (d-HV2), (d-HV4) und (d-HV5) erfüllt. Dies sollte insbesondere als Evidenz für die Richtigkeit von (d-HV3) angesehen werden. Ebenso finden wir im zyklischen Fall Parameter, mit denen (d-HV6) gilt.

2. Der zyklische Fall

Im Vorgriff auf die in den nächsten beiden Abschnitten einzuführenden zyklotomischen Diagramme und Heckealgebren zu zyklotomischen Weylgruppen behandeln wir hier den relativ einfachen zyklischen Fall, in dem die meisten Vermutungen schon mit elementaren Methoden bewiesen werden können. Zudem sollten, falls die vorgestellten Vermutungen zutreffen, die Spezialisierungsparameter im allgemeinen Fall aus denen im zyklischen Fall zusammensetzbar sein. Wir bestimmen hier die Parameter für alle zyklischen Fälle.

2A. Die Heckealgebra für B_{1}^{(d)}.

Sei also im folgenden W die zyklische Gruppe Z_{d} der Ordnung d, die wir gemäß der später einzuführenden Terminologie auch W (B_{1}^{(d)}) nennen werden.

2.1. Definition. Seien u = (u_{0}, …, u_{d−1}) und T unabhängige Transzendente über ℤ. Wir nennen

H(B_{1}^{(d)}, u) := ℤ[u, T]/ ((T − u_{0}) ⋯ (T − u_{d−1}))

die zyklotomische Heckealgebra zu W (B_{1}^{(d)}) über ℤ[u]. Für einen beliebigen Ring R mit Homomorphismus ℤ[u] → R sei H_{R}(B_{1}^{(d)}, u) := R ⊗_{ℤ[u]} H(B_{1}^{(d)}, u).

Durch Skalierung von T können wir ohne Beschränkung u_{0} = 1 setzen, was wir im weiteren tun werden. Offensichtlich ist H(B_{1}^{(d)}, u) frei über ℤ[u] mit Basis

(1, T, T^{2}, …, T^{d−1}) ,

und wird durch

(2.2)  t : H → ℤ[u], h = ∑_{i=0}^{d−1} a_{i}T^{i} ↦ t(h) := a_{0}

zu einer symmetrischen Algebra über ℤ[u, p_{0}^{−1}]. Hier schreiben wir p_{i} ∈ ℤ[u] für die Koeffizienten des Minimalpolynoms von T:

(T − u_{0}) ⋯ (T − u_{d−1}) =: f(T) =: T^{d} + p_{d−1}T^{d−1} + ⋯ + p_{0}.

Mit diesen Definitionen errechnet man leicht:

2.3. Bemerkung. Die zu (1, T, …, T^{d−1}) bezüglich t duale Basis von H(B_{1}^{(d)}, u) ist

( − \frac{1}{p_{0}} ∑_{k=1}^{d−i} p_{i+k}T^{k} | i = 0, …, d − 1).

Die d (linearen) irreduziblen Charaktere von H sind durch χ_{i} : T ↦ u_{i}, i = 0, …, d − 1, gegeben. Damit lassen sich die relativen Grade von H bezüglich t errechnen (siehe 1C). Wir schreiben hier auch generische Grade für die relativen Grade.

2.4. Bemerkung. Die generischen Grade von H bezüglich t sind

f_{i} := ∏_{k≠i} \frac{u_{k}}{u_{k} − u_{i}} , i = 0, …, d − 1.

Beweis. Gemäß 1.3 haben wir

\frac{1}{∑_{j} u_{i}^{j} ∑_{k=1}^{d−j}(−u_{i}^{k}p_{j+k}/p_{0})}

für den linearen Charakter mit T ↦ u_{i} zu berechnen. Nun gilt

∑_{j} u_{i}^{j} ∑_{k=1}^{d−j} \frac{−u_{i}^{k}p_{j+k}}{p_{0}} = −\frac{1}{p_{0}} ∑_{l=1}^{d} l p_{l} u_{i}^{l} = −\frac{u_{i}}{p_{0}} f′(u_{i}),

und mit dem Wert von p_{0} erhalten wir

f_{i} = (−1)^{d−1} ∏_{k≠i} \frac{u_{k}}{u_{i} − u_{k}}

wie behauptet. □

Unter der Annahme, daß die zyklotomischen Algebren die Zerlegung der Deligne-Lusztig Induktion beschreiben, sollten die eben berechneten generischen Grade für geeignete Spezialisierungen der Parameter u_{1}, …, u_{d−1} bis auf ein Vorzeichen die Grade der irreduziblen Konstituenten von R_{L}^{G}(λ) ergeben. Ist etwa L = T_{c} der Coxetertorus von G, so wird W_{G^{F}} (L, 1) zyklisch. In diesem Fall hat Lusztig auf anderem Wege die Grade der Konstituenten von R_{T_{c}}^{G}(1) berechnet [17]. Seine Formeln stimmen bis auf das Vorzeichen genau mit der in Bemerkung 2.4 erhaltenen überein. Sein Beweis setzt allerdings voraus, daß das Produkt der zugehörigen Eigenwerte des Frobenius gleich dem p-Anteil des Index |G^{F} |/|L^{F} | ist. Dies trifft in den von ihm untersuchten Fällen zu, gilt aber im allgemeinen nicht.

2.5. Bemerkung. Sei K ein algebraischer Abschluß des Quotientenkörpers von ℤ[u]. Dann ist H_{K}(B_{1}^{(d)}, u) isomorph zu der Gruppenalgebra KW (B_{1}^{(d)}).

Beweis. Wir sahen bereits, daß H frei von der Dimension d über ℤ[u] ist. Da weiter H unter der Spezialisierung u_{k} ↦ e^{2iπk/d} in die Gruppenalgebra der durch das Bild von T erzeugten zyklischen Gruppe der Ordnung d übergeht, folgt die Aussage nun aus dem Deformationssatz von Tits ([12], 68.17). □

Wir können eine solchen Isomorphismus sogar explizit angegeben und damit verifizieren, daß die Aussage schon über dem Quotientenkörper von ℤ[u, e^{2iπ/d}] gilt.

2.6. Bemerkung. Sei R := ℤ[u, 1/d, ζ], wobei ζ eine primitive d-te Einheitswurzel bezeichnet. Für W (B_{1}^{(d)}) =: ⟨s⟩ definiert die Festsetzung

T ↦ ∑_{j=0}^{d−1} a_{j}s^{j}, mit a_{j} = \frac{1}{d} ∑_{k=0}^{d−1} u_{k}ζ^{−jk},

einen injektiven Algebrenhomomorphismus H_{R}(B_{1}^{(d)}, u) → RW (B_{1}^{(d)}). Die Umkehrabbildung ist über ℤ[u, {(u_{i} − u_{j})^{−1} | i ≠ j}, ζ] definiert.

Beweis. Es genügt zu zeigen, daß alle irreduziblen (also linearen) Charaktere von H_{R} und RW (B_{1}^{(d)}) auf T und ∑_{j=0}^{d−1} a_{j}s^{j} übereinstimmen. Dazu identifizieren wir den

linearen Charakter χ_{i} : T ↦ u_{i} von H_{R} mit dem linearen Charakter von W (B_{1}^{(d)}) mit χ_{i}(s) = ζ^{i}. Auf der rechten Seite kann dieser ausgewertet werden zu

χ_{i}(∑_{j=0}^{d−1} a_{j}s^{j})= \frac{1}{d} ∑_{j,k=0}^{d−1} u_{k}ζ^{−jk}χ_{i}(s)^{j} = \frac{1}{d} ∑_{k=0}^{d−1} u_{k} ∑_{j=0}^{d−1} ζ^{j(i−k)} = \frac{1}{d} ∑_{k=0}^{d−1} u_{k}δ_{i,k}d = u_{i}.

Das stimmt mit χ_{i}(T) = u_{i} überein, womit der erste Teil folgt. Setzt man für die Umkehrabbildung s ↦ ∑_{j=0}^{d−1} b_{j}T^{j} an und wertet auf den linearen Charakteren aus, so findet man ζ^{i} = ∑_{j=0}^{d−1} b_{j}u_{i}^{j}. Die Koeffizientenmatrix dieses linearen Gleichungssystems für die b_{j} ist eine Vandermondematrix in den u_{i}, und dies zeigt die zweite Behauptung. □

2B. Werte der Parameter.

Es bleibt die Aufgabe, Spezialisierungen der Parameter u_{i} zu finden, für die die in Bemerkung 2.4 bestimmten generischen Grade in Grade von Konstituenten von R_{𝕃}^{𝔾} übergehen. Da die Zerlegungen der uns interessierenden R_{𝕃}^{𝔾} bekannt sind, können diese in jedem Fall durch den Vergleich der generischen Grade mit den bekannten Graden der Konstituenten der R_{𝕃}^{𝔾} bestimmt werden.

Da jeweils d Charaktergrade in Übereinstimmung gebracht werden müssen, es aber nur d−1 frei wählbare Parameter für H gibt, ist es keineswegs selbstverständlich, daß solche Spezialisierungen immer existieren. In allen untersuchten Fällen lassen sich aber solche finden, die zudem jeweils halbzahlige Potenzen von q, multipliziert mit einer d-ten Einheitswurzel sind. Insbesondere findet man für exzeptionelle Gruppen:

2.7. Bemerkung. Mit den in Tabelle 8.1 aufgeführten Parameterwerten spezialisieren die generischen Grade der zyklischen zyklotomischen Heckealgebra H(W_{𝔾}(𝕃, λ), u), multipliziert mit Deg(R_{𝕃}^{𝔾}(λ))(q), zu den Graden unipotenter Charaktere in den entsprechenden zyklischen Φ_{d}–Blöcken exzeptioneller Gruppen mit dem richtigen Vorzeichen gemäß (d-HV6). Bei Substitution von q durch ζ_{d} gehen überdies die Parameterwerte jeweils genau in die d − 1 nichttrivialen d-ten Einheitswurzeln über, in Übereinstimmung mit (d-HV2).

Im Falle der Coxetertori stößt man selbstverständlich wieder auf die von Lusztig in [17] auf anderem Wege bestimmten Eigenwerte der Frobeniusabbildung, daher wurden diese nicht noch einmal aufgeführt.

Wir wenden uns nun den Gruppen 𝔾 vom Typ A_{n−1} zu. Ist 𝔾 von getwistetem Typ, so erhalten wir alle Charaktergrade, indem q durch −q in der ungetwisteten Version ersetzt wird. Es reicht daher, die Untersuchung auf den ungetwisteten Typ zu beschränken. Die zugehörigen endlichen Gruppen können dann als allgemeine lineare Gruppen GL_{n}(q) gewählt werden, soweit nur die unipotenten Charaktere betroffen sind.

Die d-kuspidalen Paare von 𝔾 haben die Form (𝕃, λ), mit

(2.8)  𝕃(q) = (q^{d} − 1)^{a} × GL_{n−ad}(q)

für ein geeignetes a und wobei λ durch einen d–Kern parametrisiert wird [8]. Die zugehörige relative Weylgruppe hat dann den Typ W_{𝔾}(𝕃, λ) ≅ Z_{d} ≀ 𝔖_{a}. Also ist W_{𝔾}(𝕃, λ) zyklisch wenn entweder a = 1 oder aber d = 1, a = 2 gilt. Der zweite Fall wird durch die klassische Howlett-Lehrer Theorie abgedeckt und damit vollständig verstanden. Es bleibt die Frage nach den Werten der Parameter zum Paar (𝕃, λ) im ersten Fall.

Wir schreiben λ = (λ_{1}, …, λ_{r}) ⊢ n − d für den d–Kern, der den d–kuspidalen Charakter λ von 𝕃 parametrisiert, und β := (λ_{1}, λ_{2} + 1, …, λ_{r} + r − 1) für die zugehörige Folge von β–Zahlen. Letztere stellen wir uns verteilt auf die d Stäbe eines nach unten hin unbegrenzten Abakus vor. Da λ ein d-Kern ist, liegen die endlich vielen Perlen auf jedem Stab ohne Zwischenraum untereinander. Durch Verschieben

(β_{1}, …, β_{r}) ↦ (0, β_{1} + 1, …, β_{r} + 1)

der β-Zahlen können wir erreichen, daß der erste Stab genau eine Perle und die übrigen jeweils mindestens ein Perle enthalten. Man beachte, daß dies die Verteilung der Perlen zu λ auf dem Abakus eindeutig festgelegt.

2.9. Definition. Die d-Gestalt eines d-Kerns λ ist die Folge (b_{0}, …, b_{d−1}), wobei b_{i} angibt, wieviele Perlen mehr auf dem i + 1-ten Stab als auf dem ersten Stab liegen (also gelten b_{0} = 0 und b_{i} ≥ 0).

Damit können wir formulieren:

2.10. Bemerkung. Sei 𝕃 wie in 2.8 mit a = 1 und λ = λ_{λ} ∈ Uch(𝕃) parametrisiert durch den d-Kern λ der d-Gestalt (b_{0}, …, b_{d−1}). Für die Wahl

{x^{b_{0}d} = 1, x^{b_{1}d+1}, x^{b_{2}d+2}, …, x^{b_{d−1}d+d−1}}

der Parameter der generischen zyklotomischen Algebra H(W_{𝔾}(𝕃, λ)) spezialisieren die generischen Grade, multipliziert mit DegR_{𝕃}^{𝔾}(λ), zu den Graden unipotenter Charaktere im Φ_{d}-Block von 𝔾 oberhalb (𝕃, λ) mit den richtigen Vorzeichen (siehe (d-HV6)).

Beweis. Sei ρ_{μ}(1) der Grad des unipotenten Charakters ρ ∈ Uch(𝔾) mit Parameter μ. Wir müssen also ρ_{μ}(1)/ρ_{λ}(1) für alle μ ⊢ n mit d–Kern λ berechnen und zeigen, daß dieser Wert mit dem von f_{i} wie in Bemerkung 2.4 unter der angegebenen Spezialisierung der Parameter übereinstimmt. Das Abakusdiagramm für die Partition μ ⊢ n mit d–Kern λ ⊢ n − d entsteht bekanntlich aus dem von λ, indem auf einem der Stäbe die unterste Perle um genau eine Position weitergeschoben wird. Wir schreiben l(h) für die Länge eines Hakens h einer Partition (siehe [16]). Der Charaktergrad ρ_{μ}(1) wird durch die Hakenformel

ρ_{μ}(1) = \frac{x^{n(μ)}|𝔾|_{x′}}{∏_{(hHaken von μ)}(x^{l(h)} − 1)} mit n(μ) = ∑_{i=1}^{m}(m − i)β′_{i} − ∑_{i=1}^{m−1} \binom{i}{2}

angegeben (siehe [21], (21)), wobei (β′_{1}, …, β′_{m}) die β-Zahlen zu μ bezeichnen. Um den Quotienten |ρ_{μ}(1)/ρ_{λ}(1)|_{x′} zu berechnen, genügt es also, diejenigen Haken zu bestimmen, die nur in einem der beiden Diagramme vorkommen. Mit der d-Gestalt (b_{0}, …, b_{d−1}) des d–Kerns λ sieht man leicht, daß die in μ aber nicht in λ vorkommenden Haken die Längen

{d} ∪ {|(b_{i} − b_{k})d + i − k| für 0 ≤ k ≤ d − 1, k ≠ i}

besitzen, wenn die verschobene Perle auf dem i–ten Stab sitzt. Die Behauptung über den x′–Anteil folgt damit unmittelbar durch Vergleich mit 2.4, da wir Vorzeichenwechsel zugelassen haben.

Wir wenden uns nun dem x–Anteil n(μ) zu. Hier ist

\begin{aligned}n(μ) − n(λ) & = ∑_{i=1}^{m}(m − i)β′_{i} − ∑_{i=1}^{m}(m − i)β_{i} \\ & = m ∑_{i=1}^{m}(β′_{i} − β_{i}) + ∑_{i=1}^{m} i(β_{i} − β′_{i}) = md + ∑_{i=1}^{m} iβ_{i} − ∑_{i=1}^{m} iβ′_{i}, \end{aligned}

da gemäß unserer Konvention β und β′ gleich viele Teile haben. Verschieben der untersten Perle auf dem Stab i des Abakusdiagramms bewirkt die Addition von d zu der β–Zahl b_{i}d + i. Durch Umordnen der Größe nach verringert sich der Index aller β–Zahlen zwischen b_{i}d + i und (b_{i} + 1)d + i um eins, während der von (b_{i} + 1)d + i sich entsprechend um d vergrößert. Damit ergibt sich als Differenz zwischen n(μ) und n(λ) der Ausdruck

\begin{aligned}md + ∑_{{k>i \atop b_{k}≥b_{i}}} & (b_{i}d + k) + ∑_{{k<i \atop b_{k}>b_{i}}} (b_{i}d + k + d) − ∑_{{k>i \atop b_{k}≥b_{i}}} (b_{i}d + i) − ∑_{{k<i \atop b_{k}>b_{i}}} (b_{i}d + i) \\ & − d( ∑_{{k \atop b_{k}<b_{i}}} b_{k} + ∑_{{k≤i \atop b_{k}≥b_{i}}} b_{i} + ∑_{{k>i \atop b_{k}≥b_{i}}} (b_{i} − 1)) − d ∑_{{k>i \atop b_{k}≥b_{i}}} 1 − d ∑_{{k<i \atop b_{k}>b_{i}}} 1. \end{aligned}

Andererseits wird der x–Anteil von f_{i} bei der obigen Spezialisierung durch

∑_{{k>i \atop b_{k}≥b_{i}}} (d(b_{k} − b_{i}) + k − i) + ∑_{{k<i \atop b_{k}>b_{i}}} (d(b_{k} − b_{i}) + k − i)

gegeben. Man rechnet leicht nach, daß diese zwei Ausdrücke übereinstimmen. □

Die Parameterwerte können auch noch auf andere Weise charakterisiert werden. Entfernt man die einzige Perle auf dem ersten Stab des Abakus (den wir wie oben normalisiert annehmen), dann sind die Parameterwerte gerade die x^{l(h_{i})}, wobei h_{i} der Haken von der untersten Perle auf dem i-ten Stab zur Position der entfernten Perle ist.

Somit sind auch in Typ A die Parameterwerte sämtlich positive ganzzahlige Potenzen von q. Zudem faktorisiert die Spezialisierung von H zur Gruppenalgebra nach Konstruktion durch die angegebenen Parameterwerte.

2.11. Anmerkung. Im Spezialfall d = 2 erhalten wir durch Übergang von q zu −q eine Aussage für d = 1 in der unitären Gruppe 𝔾^{−} = GU_{n}. Diese liefert eine hübsche neue Interpretation der Parameterwerte in der üblichen Howlett-Lehrer Theorie der unitären Gruppen durch die 2-Gestalt eines 2–Kerns. Man überzeugt sich, daß so in der Tat die bekannten Werte (siehe [21], p.464) erhalten werden.

Wir wenden uns nun den verbleibenden klassischen Gruppen 𝔾 zu, also solchen vom Typ B_{n}, C_{n}, D_{n} und ^{2}D_{n}. Sei zunächst d ≥ 1 ungerade. Die d-kuspidalen Leviuntergruppen von 𝔾 haben dann die Struktur

(2.12)  𝕃(q) = (q^{d} − 1)^{a} × ℍ(q)

für ein geeignetes a, wobei ℍ denselben klassischen Typ wie 𝔾 oder 𝔾^{−} sowie Rang n− ad hat. Die unipotenten Charaktere werden hier durch sogenannte Symbole Λ = (S, T) parametrisiert (siehe [21]). Das sind Paare von Folgen S und T von β-Zahlen, wobei ein Verschieben der Folgen nur gleichzeitig erlaubt ist. Ein Symbol kann also auch als gekoppeltes Paar von Abakusdiagrammen mit jeweils d Stäben aufgefaßt werden. Die d-kuspidalen unipotenten Charaktere werden dann durch Symbole parametrisiert, für die beide Abakusdiagramme d–Kerne sind. Für eine d–kuspidale Leviuntergruppe 𝕃 wie oben mit zugehörigem d–kuspidalen Charakter λ gilt dann W_{𝔾}(𝕃, λ) ≅ Z_{2d} ≀ 𝔖_{a} ([8]), zumindest wenn das Symbol nicht ausgeartet ist. Im ausgearteten Fall, der nur für die Typen D_{n} und ^{2}D_{n} auftreten kann, hat W_{𝔾}(𝕃, λ) Index 2 in Z_{2d} ≀ 𝔖_{a}. Der zyklische Fall tritt damit wieder für a = 1 auf.

Offensichtlich kann auch für ein Paar von gekoppelten Abakusdiagrammen durch Verschieben erreicht werden, daß das Minimum der Perlenanzahl auf dem ersten Stab eines der beiden Diagramme angenommen wird.

Im Fall nichtausgearteter Symbole Λ ordnen wir das Paar nun so, daß für die ersten k ≥ 0 Stäbe die Zahl der Perlen in beiden Diagrammen übereinstimmt, während das zweite auf dem k + 1–ten Stab mehr Perlen als das erste enthält. Dies erlaubt die

2.13. Definition. Die d-Gestalt G(Λ) eines d-Kerns Λ ist die Folge (b_{0}, …, b_{2d−1}), wobei (b_{0}, …, b_{d−1}) die d-Gestalt des ersten Abakusdiagramms angibt, und b_{i}, d ≤ i ≤ 2d−1 die Perlendifferenz zwischen dem i−d+1-ten Stab des zweiten Diagramms zum ersten Stab des ersten.

2.14. Bemerkung. Sei 𝕃 wie in 2.12 mit a = 1 und Λ ein nichtausgearteter d-Kern der d-Gestalt G(Λ) = (b_{0}, …, b_{2d−1}). Für die Wahl

{x^{b_{0}d} = 1, x^{b_{1}d+1}, …, x^{b_{d−1}d+d−1}, −x^{b_{d}d}, −x^{b_{d+1}d+1}, …, −x^{b_{2d−1}d+d−1}}

der Parameter der generischen zyklotomischen Algebra H(W_{𝔾}(𝕃, λ_{Λ})) spezialisieren die generischen Grade, multipliziert mit DegR_{𝕃}^{𝔾}(λ_{Λ}), zu den Graden unipotenter Charaktere im Φ_{d}-Block von 𝔾 oberhalb (𝕃, λ_{Λ}) mit den richtigen Vorzeichen (siehe (d-HV6)).

Beweis. Der Beweis läßt sich wie bei Bemerkung 2.10 durch Benutzung der Hakenformel ([21], Prop. 5) für die Grade der unipotenten Charaktere klassischer Gruppen führen. Für ein Symbol Λ = (S, T) sortieren wir die β-Zahlen von S und T aufsteigend zu (β_{1}, …, β_{l+m}). Dann gilt

ρ_{Λ}(1) = \frac{q^{n(Λ)}|𝔾|_{x′}}{2^{c(Λ)} ∏_{(h Haken von Λ)}(q^{l(h)} − 1) ∏_{(h Kohaken von Λ)}(q^{l(h)} + 1)}

mit

n(Λ) = ∑_{i=1}^{l+m}(l + m − i)β_{i} − ∑_{i≥1} \binom{m + l − 2i}{2}

und einer Funktion c(Λ), die nur von der Anzahl der Teile von S und T abhängt. Insbesondere kürzt sich die 2-Potenz im gesuchten Quotienten der Grade heraus. Wir betrachten zunächst wieder den x′-Anteil. Ist Λ ein d-Kern, so stellt man leicht fest, daß bei Einfügen eines d-Hakens auf dem i-ten Stabes eines der beiden Abakusdiagramme von Λ genau d neue Haken der Längen

{d} ∪ {|(b_{i} − b_{k})d + i − k| für 0 ≤ k ≤ d − 1, k ≠ i}

und d neue Kohaken der Längen

{d} ∪ {|(b_{i} − b_{d+k})d + i − k| für 0 ≤ k ≤ d − 1, k ≠ i}

hinzukommen. Vergleich mit 2.4 ergibt hieraus die Behauptung über den x′-Anteil.

Die Aussage über die genaue x-Potenz ergibt sich unmittelbar wie in Bemerkung 2.10, da die Formeln in beiden Fällen vollständig analog gebaut sind. □

2.15. Definition. Die d-Gestalt G(Λ) eines ausgearteten d-Kerns Λ = (S, S) sei die d-Gestalt G(S) eines der beiden zugehörigen (gleichen) Abakusdiagramme.

Analog wie oben erhält man dann:

2.16. Bemerkung. Sei 𝕃 wie in 2.12 und Λ ein ausgearteter d-Kern der d-Gestalt (b_{0}, …, b_{d−1}). Für die Wahl

{x^{2b_{0}d} = 1, x^{2b_{1}d+2}, …, x^{2b_{d−1}d+2d−2}}

der Parameter der generischen zyklotomischen Algebra H(W_{𝔾}(𝕃, λ_{Λ})) spezialisieren die generischen Grade, multipliziert mit DegR_{𝕃}^{𝔾}(λ_{Λ}), zu den Graden unipotenter Charaktere im Φ_{d}-Block von 𝔾 oberhalb (𝕃, λ_{Λ}) mit den richtigen Vorzeichen (siehe (d-HV6)).

Ist d = 2e das Doppelte der ungeraden Zahl e, so zeigt die allgemeine Ennoladualität für die Grade unipotenter Charaktere (siehe etwa [8]), daß die zugehörigen Spezialisierungen aus denen von Bemerkung 2.14 und 2.16 durch Ersetzen von x durch −x erhalten werden, bei gleichzeitiger Ersetzung der d-Kerne durch d-Kokerne.

2.17. Beispiel. Sei n ungerade, 𝔾 = B_{n} und d = 2n. Der einzige d-Kokern von B_{0} ist das Symbol \binom{0}{−}, und die nach Bemerkung 2.14 und der obigen Beobachtung zum Fall d ≡ 2 (mod 4) hierzu gehörenden Parameterspezialisierungen sind

\begin{matrix}\{1, (−x), (−x)^{2}, & …, (−x)^{n−1}, −(−x)^{n}, −(−x)^{1}, −(−x)^{2}, …, −(−x)^{n−1}\} \\ = & \{1, x, …, x^{n−1}, x^{n}, −x, −x^{2}, …, −x^{n−1}\}. \end{matrix}

Nach [17], (7.3), sind dies bei Ersetzung von x durch q genau die Eigenwerte des Frobenius auf der Summe der l-adischen Kohomologiegruppen zum Coxetertorus T_{c} der Ordnung |T_{c}| = q^{n} + 1 von B_{n}(q), wie vorausgesagt.

Sei weiter n ungerade, d = 2n, aber nun 𝔾 = ^{2}D_{n}. Der einzige d-Kokern von D_{0} ist das ausgeartete Symbol \binom{−}{−}. Mit Bemerkung 2.16 bestimmt man die zugehörigen Parameter als

{1, x^{2}, …, x^{2n−2}},

und dies sind nach loc. cit. wiederum (für x = q) die Eigenwerte des Frobenius auf den zum Coxetertorus T_{c} der Ordnung |T_{c}| = q^{n} + 1 gehörenden Kohomologiegruppen.

Es bleibt der Fall von durch 4 teilbarem d zu betrachten. Sei dazu nun d = 2e. Ein Symbol Λ, welches keine d-Kohaken besitzt, heißt ein d-Kokern. Bildet man das übliche Paar von Abakusdiagrammen mit je e Stäben, so ist die Kokerneigenschaft daran schwer abzulesen. Stattdessen bilden wir einen neuen Abakus, der aus der ersten Reihe des ersten, der zweiten des zweiten, und so abwechselnd aus den beiden ursprünglichen aufgebaut wird. Entsprechend entsteht ein zweiter Abakus aus den jeweils übrigbleibenden Reihen der anfänglichen Diagramme. Damit erhalten wir ein neues Paar von Abakusdiagrammen Λ′, und hier gilt nun wie bei den d-Kernen, daß auf jedem Stab die Perlen ohne Lücken untereinandersitzen.

2.18. Definition. Die d-Kogestalt G(Λ) eines ausgearteten d-Kokerns Λ = (S, S), d = 2e, sei die e-Gestalt G(Λ′) des getwisteten Abakusdiagramms Λ′.

2.19. Bemerkung. Sei 𝕃 wie in 2.12 mit a = 1, d = 2e.

(a) Ist Λ ein nichtausgearteter d-Kokern der d-Kogestalt G(Λ) = (b_{0}, …, b_{2e−1}), so spezialisieren für die Wahl

\begin{aligned}\{x^{b_{0}e} = 1, & x^{b_{1}e+1}, …, x^{b_{e−1}e+e−1}, \\ & − (−1)^{b_{e}}x^{b_{e}e}, −(−1)^{b_{e+1}}x^{b_{e+1}e+1}, …, −(−1)^{b_{2e−1}}x^{b_{2e−1}e+e−1}\} \end{aligned}

der Parameter der generischen zyklotomischen Algebra H(W_{𝔾}(𝕃, λ_{Λ})) die generischen Grade, multipliziert mit DegR_{𝕃}^{𝔾}(λ_{Λ}), zu den Graden unipotenter Charaktere im Φ_{d}- Block von 𝔾 oberhalb (𝕃, λ_{Λ}) mit den richtigen Vorzeichen (siehe (d-HV6)).

(b) Ist Λ ein ausgearteter d-Kokern der d-Kogestalt (b_{0}, …, b_{e−1}), so spezialisieren für die Wahl

{x^{2b_{0}e} = 1, x^{2b_{1}e+2}, …, x^{2b_{e−1}e+2e−2}}

der Parameter der generischen zyklotomischen Algebra H(W_{𝔾}(𝕃, λ_{Λ})) die generischen Grade, multipliziert mit DegR_{𝕃}^{𝔾}(λ_{Λ}), zu den Graden unipotenter Charaktere im Φ_{d}- Block von 𝔾 oberhalb (𝕃, λ_{Λ}) mit den richtigen Vorzeichen (siehe (d-HV6)).

Der Beweis verläuft analog zu denen der vorherigen Ergebnisse und sei dem Leser überlassen.

Dies vervollständigt die Liste der möglichen Parameter für zyklotomische Heckealgebren im zyklischen Fall. Bevor wir allgemeine zyklotomische Heckealgebren definieren können, müssen wir geeignete Präsentationen für die zugrundeliegenden Spiegelungsgruppen finden.

3. Komplexe Spiegelungsgruppen und zyklotomische Weylgruppen

Wir geben Präsentationen für die im Zusammenhang mit der Zerlegung von R_{𝕃}^{𝔾} auftretenden komplexen Spiegelungsgruppen an. Aus diesen Präsentationen lassen sich dann die zugehörigen zyklotomischen Heckealgebren definieren, was im nächsten Abschnitt geschehen wird.

3A. Präsentationen einiger komplexer Spiegelungsgruppen.

Wir verstehen hier gemäß dem allgemeinen Sprachgebrauch (siehe etwa [23], [24]) unter komplexen Spiegelungsgruppen endliche Gruppen, die in einer treuen komplexen n–dimensionalen Matrixdarstellung durch Elemente mit einem n − 1-dimensionalen Eigenraum zum Eigenwert 1, sogenannte Pseudoreflektionen, erzeugt werden. Die irreduziblen komplexen Spiegelungsgruppen wurden von Shephard und Todd klassifiziert [23]. Die für uns interessanten darunter sind in ihrer Bezeichnungsweise die zwei doppelt unendlichen Serien G(d, 1, n) und G(d, 2, n) sowie die elf Einzelgruppen G_{4}, G_{5}, G_{8}, G_{9}, G_{10}, G_{12}, G_{16}, G_{25}, G_{26}, G_{31}, G_{32}.

Wir suchen nun ‘schöne’ Präsentationen für diese Gruppen, mit komplexen Spiegelungen als Erzeugern ähnlich wie bei Coxetergruppen. Dabei tritt allerdings das schon von Shepard und Todd erwähnte Problem auf, daß nicht jede n-dimensionale komplexe Spiegelungsgruppe von genau n Spiegelungen erzeugt werden kann, sondern in manchen Fällen n+1 solche nötig sind. Für die Gruppen, die bereits durch n Spiegelungen erzeugt werden können, gab Coxeter in [11] Präsentationen an. Die Präsentationen in den übrigen Fällen sind unseres Wissens neu.

Die Präsentationen werden wie im Fall der Coxetergruppen durch ein Diagramm gegeben. Bezeichne B_{n}^{(d)} für n, d ≥ 1 das Diagramm

B_{n}^{(d)} :  ◯^{d}  ◯  ◯ ⋯ ◯  ◯

mit insgesamt n Knoten. Die Knoten repräsentieren die Erzeuger, wobei der mit einem d markierte die Ordnung d habe und die unmarkierten Involutionen entsprechen. Die Relationen werden durch die Verbindungslinien beschrieben: Erzeuger zu unverbundenen Knoten kommutieren, während k Verbindungslinien zwischen r und s eine Zopfrelation

rsr ⋯ = srs ⋯

mit k′ Faktoren auf beiden Seiten bedeuten, wobei k′ = 3 für k = 1, k′ = 4 für k = 2 und k′ = 6 für k = 3 gilt, also wie die entsprechende Konvention bei Coxetergruppen. Für den Fall d = 2 geht B_{n}^{(2)} in das wohlbekannte Diagramm zu der üblichen Weylgruppe vom Typ B_{n} über, und weiter ist B_{n}^{(1)} = A_{n−1}.

Für geraden Parameter d = 2e definieren wir weiter D_{n}^{(d)} für n ≥ 2 durch

D_{n}^{(d)} :  ◯^{e}  ◯⧹ ◯⧸◯  ◯ ⋯ ◯  ◯

mit insgesamt n + 1 Knoten. Der Kreis an den ersten drei Knoten steht für die gerichtete zirkuläre Zopfrelation

rst = str = trs

zwischen den ersten drei Erzeugern (im Uhrzeigersinn). Die übrigen Konventionen sind wie beim Typ B_{n}^{(d)}. Der Spezialfall D_{n}^{(2)} = D_{n} hat die Namenswahl für diese Diagramme motiviert.

Weiter setzen wir D_{1}^{(d)} := B_{1}^{(e)} und erweitern unsere Definition auf alle d ≥ 1 durch die Festsetzung D_{n}^{(d)} := D_{n}^{(2d)} falls d ungerade ist.

Weiter definieren wir die folgenden sieben exzeptionellen Diagramme, die Präsentationen für zweidimensionale komplexe Spiegelungsgruppen liefern werden:

A_{2}^{(3)} : ◯ 3  ◯ 3  B_{2}^{3,3} : ◯ 3  ◯ 3

A_{2}^{(4)} : ◯ 4  ◯ 4  G_{2}^{(4)} : ◯ 4  ◯

B_{2}^{4,3} : ◯ 4  ◯ 3  K_{2} : ◯  ◯ ◯  A_{2}^{(5)} : ◯ 5  ◯ 5

und weitere vier für höherdimensionale Spiegelungsgruppen:

A_{3}^{(3)} : ◯ 3  ◯ 3  ◯ 3

B_{3}^{2,3} : ◯ 3  ◯ 3  ◯

L_{4} : ◯⧸◯ ◯ ◯⧹◯

A_{4}^{(3)} : ◯ 3  ◯ 3  ◯ 3  ◯ 3

Hier wäre allenfalls noch der Doppelkreis im Diagramm K_{2} zu erklären: er symbolisiert die zirkuläre Zopfrelation

rstr = strs = trst

zwischen den drei involutorischen Erzeugern r, s und t.

Insbesondere sind alle Relationen entweder verallgemeinerte Zopfrelationen mit gleich vielen Faktoren auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens, oder solche der Art s^{d} = 1.

3.1. Definition. Die oben aufgeführten Diagramme D heißsen zyklotomische Diagramme. Die dadurch beschriebenen endlich präsentierten Gruppen W = W (D) heissen zyklotomische Weylgruppen. Des weiteren wollen wir auch die üblichen Dynkindiagramme der endlichen Gruppen vom Lie–Typ und die zugehörigen Weylgruppen als spezielle zyklotomische Diagramme bzw. Weylgruppen bezeichnen.

3.2. Satz. Die zyklotomischen Diagramme liefern Präsentationen für die folgenden komplexen Spiegelungsgruppen:

W (B_{n}^{(d)}) ≅ G(d, 1, n), W (D_{n}^{(2e)}) ≅ G(2e, 2, n),
W (A_{2}^{(3)}) ≅ G_{4}, W (A_{3}^{(3)}) ≅ G_{25}, W (A_{4}^{(3)}) ≅ G_{32},
W (B_{2}^{3,3}) ≅ G_{5}, W (A_{2}^{(4)}) ≅ G_{8}, W (G_{2}^{(4)}) ≅ G_{9}, W (B_{2}^{4,3}) ≅ G_{10},

W (K_{2}) ≅ G_{12}, W (A_{2}^{(5)}) ≅ G_{16}, W (B_{3}^{2,3}) ≅ G_{26}, W (L_{4}) ≅ G_{31}.

Beweis. Für die Diagramme ohne zirkuläre Relationen wurde dies bereits von Coxeter [11] gezeigt. Im Fall B_{n}^{(d)} etwa liefern die involutorischen Erzeuger s_{2}, …, s_{n} zu den letzten n − 1 Knoten eine Präsentation der symmetrischen Gruppe 𝔖_{n}. Das Element s_{1} der Ordnung d kommutiert aufgrund der Relation s_{1}s_{2}s_{1}s_{2} = s_{2}s_{1}s_{2}s_{1} mit allen seinen Konjugierten unter ⟨s_{2}, …, s_{n}⟩, und somit beschreibt die Präsentation das Kranzprodukt Z_{d} ≀ 𝔖_{n}. Dies ist aber gerade die Spiegelungsgruppe G(d, 1, n).

Für gerades d betrachte man nun die von s_{1}^{2}, s_{2}, s_{1}s_{2}s_{1}, s_{3}, s_{4}, …, s_{n} erzeugte Untergruppe H von B_{n}^{(d)}. Dies ist die komplexe Spiegelungsgruppe G(d, 2, n) [23]. Mit dem Coxeter-Todd Algorithmus sieht man, daß H den Index zwei in W (B_{n}^{(d)}) hat, mit Nebenklassenvertretern {1, s_{1}}. Mit dem Reidemeister-Schreier Verfahren ergibt sich, daß H auf den Erzeugern s_{1}^{2}, s_{2}, s_{1}s_{2}s_{1}, s_{3}, s_{4}, …, s_{n} genau die oben für D_{n}^{(d)} angegebene Präsentation besitzt.

Bei den exzeptionellen Diagrammen K_{2} und L_{4} bestimmt man etwa die Charaktertafel (vorzugsweise auf dem Computer) von W (D), und liest daraus die Existenz einer irreduziblen Spiegelungsdarstellung von W (D) der gewünschten Dimension ab. Die Behauptung folgt dann mit dem Klassifikationssatz von Shephard und Todd. □

Die vorgestellten Präsentationen ähneln in vielerlei Hinsicht denen für Weylgruppen als Coxetergruppen.

3.3. Anmerkung. Durch Wegnahme von Knoten und den zugehörigen Verbindungslinien aus einem zyklotomischen Diagramm erhält man das Diagramm einer parabolischen Spiegelungsuntergruppe. Dabei ist zu beachten, daß bei den zirkulären Relationen immer mindestens zwei der Knoten auf dem Kreis entfernt werden müssen, um die Präsentation einer Untergruppe zu erhalten, da die Relation zwischen zwei übrigbleibenden Erzeugern keinen Sinn macht.

3B. Zyklotomische Weylgruppen.

Die Motivation für die Bezeichnung zyklotomische Weylgruppen für die Gruppen W (D) ergibt sich durch folgende Tatsache: Die eingeführten Gruppen W (D) treten in den generischen reduktiven Gruppen als relative Weylgruppen W_{𝔾}(𝕃, λ) für geeignete d–kuspidale Paare (𝕃, λ) auf (siehe [8]).

Im Fall d = 1 handelt es sich dabei gerade um die üblichen Weylgruppen A_{n}, B_{n}, D_{n}, E_{6}, E_{7}, E_{8}, F_{4}, G_{2} und I_{2}(8) (in ^{2}F_{4}). Für allgemeines d kommen noch die eingeführten zyklotomischen Weylgruppen hinzu.

3.5. Bemerkung. Die für vorgegebenes d möglichen zyklotomischen Weylgruppen sind genau die in 3.4 aufgeführten. Dabei treten die Einträge in den Zeilen 4–10 nur in exzeptionellen Gruppen auf.

Wegen A_{n−1} = B_{n}^{(1)}, B_{n} = B_{n}^{(2)} und D_{n} = D_{n}^{(2)} sind die klassischen Weylgruppen in der Tat Spezialfälle der zyklotomischen Weylgruppen. Die umständliche Fallunterscheidung nach der Restklasse von d modulo 4 spiegelt das Verhalten des zyklotomischen Polynoms Φ_{d}(x) bei Ersetzen von x durch −x wider.

In Tabelle 3.6 werden für die exzeptionellen Gruppen genau die bei vorgegebenem d auftretenden Diagramme klassifiziert. Hierbei wurden einerseits die gewöhnlichen Dynkindiagramme (also die Fälle d = 1 und d = 2) sowie alle zyklischen Fälle B_{1}^{(d)} 3.4. d–zyklotomische Diagramme.

d  D
d ≡ 0 (mod 4)  B_{n}^{(d)}, D_{n}^{(d)}
d ≡ 2 (mod 4)  B_{n}^{(d/2)}, B_{n}^{(d)}, D_{n}^{(d)}
d ≡ 1 (mod 2)  B_{n}^{(d)}, B_{n}^{(2d)}, D_{n}^{(2d)}
1, 2  E_{6}, E_{7}, E_{8}, F_{4}, G_{2}, I_{2}(8)
3, 6  A_{2}^{(3)}, A_{3}^{(3)}, A_{4}^{(3)}, B_{2}^{3,3}, B_{3}^{2,3}
4  A_{2}^{(4)}, K_{2}, L_{4}
5, 10  A_{2}^{(5)}
8  G_{2}^{(4)}
8′, 8′′  A_{2}^{(4)}
12  B_{2}^{4,3}

3.6. Zyklotomische Weylgruppen

D  (𝔾, d)^{B_{2}^{(4)}  (E_{7}, 4)}^{A_{2}^{(3)}  (^{3}D_{4}, 3), (^{3}D_{4}, 6)}^{B_{2}^{3,3}  (F_{4}, 3), (F_{4}, 6), (E_{6}, 6), (^{2}E_{6}, 3), (E_{8}, 3), (E_{8}, 6)}^{A_{2}^{(4)}  (^{2}F_{4}, 8′), (^{2}F_{4}, 8′′), (F_{4}, 4), (E_{6}, 4), (^{2}E_{6}, 4), (E_{7}, 4), (E_{8}, 4)}^{G_{2}^{(4)}  (E_{8}, 8)}^{B_{2}^{4,3}  (E_{8}, 12)}^{K_{2}  (^{2}F_{4}, 4)}^{A_{2}^{(5)}  (E_{8}, 5), (E_{8}, 10)}^{A_{3}^{(3)}  (E_{6}, 3), (^{2}E_{6}, 6)}^{B_{3}^{2,3}  (E_{7}, 3), (E_{7}, 6)}^{L_{4}  (E_{8}, 4)}^{A_{4}^{(3)}  (E_{8}, 3), (E_{8}, 6)}^{I_{2}^{3,3}(5)  (H_{4}, 3), (H_{4}, 6)} M^{2}  (H^{4}, 4)

der Übersichtlichkeit halber weggelassen. Diese Tabelle erhält man etwa aus Table 1 und 3 von [8]. Das entsprechende Ergebnis für klassische Gruppen 𝔾 ergibt sich leicht aus den Überlegungen im Abschnitt 2B.

Die beiden letzten Zeilen werden in Abschnitt 3D ihre Erklärung finden.

Einige grundlegende Eigenschaften der exzeptionellen zyklotomischen Weylgruppen sind in der Tabelle 8.2 in §7 zusammengestellt.

3C. Die Charaktere der zyklotomischen Weylgruppen W (D_{n}^{(d)}).

Wir stellen hier einige Ergebnisse über die Gruppen W (D_{n}^{(d)}) und ihre Darstellungen zusammen, die später benötigt werden.

Die Darstellungstheorie des Kranzprodukts W (B_{n}^{(d)}) ≅ Z_{d} ≀ 𝔖_{n} ist wohlbekannt (siehe etwa [16], 4.4). Die irreduziblen Darstellungen über einem Zerfällungskörper werden durch d-Tupel von Partitionen

(α_{1}, …, α_{d}), α_{i} ⊢ n_{i}, mit ∑ n_{i} = n

parametrisiert. Ein vollständiges Vertretersystem der absolut irreduziblen Charaktere erhält man auf folgende Weise: Seien ξ_{1}, …, ξ_{d} die irreduziblen Charaktere der zyklischen Gruppe Z_{d}. Die Trägheitsgruppe des irreduziblen Charakters

ξ := ξ_{1}^{n_{1}}# ⋯ #ξ_{d}^{n_{d}}

von Z_{d}^{n_{1}} ×⋯×Z_{d}^{n_{d}} (hier bezeichnet # das äußere Tensorprodukt) ist die Untergruppe

H := Z_{d} ≀ 𝔖_{n_{1}} × ⋯ × Z_{d} ≀ 𝔖_{n_{d}}

von Z_{d} ≀ 𝔖_{n}. Sei nun weiter α = (α_{1}, …, α_{d}) ein d-Tupel von Partitionen mit α_{i} ⊢ n_{i}. Man setzt ξ auf H fort und bildet dort

ξ_{α} := (ξ_{1}^{n_{1}} ⊗ χ_{α_{1}})# ⋯ #(ξ_{d}^{n_{d}} ⊗ χ_{α_{d}}),

wobei χ_{α_{i}} den durch die Partition α_{i} ⊢ n_{i} indizierten Charakter von 𝔖_{n_{i}} bezeichnet. Die Induktion von ξ_{α} zu Z_{d}≀𝔖_{n} ist ein irreduzibler Charakter und wird mit α indiziert.

Die zyklotomische Weylgruppe W (D_{n}^{(2e)}) hat Index zwei in W (B_{n}^{(d)}) ≅ Z_{d} ≀ 𝔖_{n}, d = 2e. Wird der Kern des Kranzprodukts Z_{d} ≀ 𝔖_{n} durch die Elemente z_{1}, …, z_{d} der Ordnung d erzeugt, so bilden die Produkte z_{i}z_{j} mit 1 ≤ i, j ≤ d zusammen mit einem zu 𝔖_{n} isomorphen Komplement ein Erzeugendensystem für W (D_{n}^{(d)}). Alternativ kann W (D_{n}^{(d)}) auch so beschrieben werden: Sind s_{1}, …, s_{n} die Erzeuger von W (B_{n}^{(d)}) gemäß dem zyklotomischen Diagramm B_{n}^{(d)}, wobei s_{1} die Ordnung d habe, so erzeugen s_{1}^{2}, s_{1}^{−1}s_{2}s_{1}, s_{2}, s_{3}, …, s_{n} darin eine zu W (D_{n}^{(d)}) isomorphe Untergruppe.

Zur Untersuchung der Darstellungstheorie von W (D_{n}^{(d)}) ist also zu entscheiden, welche irreduziblen Darstellungen von W (B_{n}^{(d)}) bei Einschränkung auf W (D_{n}^{(d)}) zerfallen, und welche in Paaren assoziierter vorkommen. Dazu ordnen wir die Charaktere ξ_{i} von Z_{d} so an, daß ξ_{2i} = ξ_{2i−1}^{−1} für 1 ≤ i ≤ e = d/2 gilt.

3.7. Bemerkung. Eine irreduzible Darstellung χ_{α} von W (B_{n}^{(2e)}), parametrisiert durch das 2e-Tupel α = (α_{1}, …, α_{2e}) von Partitionen, bleibt bei Einschränkung auf W (D_{n}^{(2e)}) genau dann nicht irreduzibel, wenn α_{2i−1} = α_{2i} für alle 1 ≤ i ≤ e gilt.

Der Beweis ist einfach und sei dem Leser überlassen (siehe etwa [16], Ex. 4.4, für eine ähnliche Untersuchung).

3D. Weitere Spiegelungsgruppen.

Bei Einführung der zyklotomischen Weylgruppen stößt man auf die folgende Kuriosität (siehe auch Paragraph 7 und den Anhang):

3.8. Anmerkung. Bekanntlich kommen die endlichen Coxetergruppen H_{3}, H_{4} und I_{2}(p) für p ≠ 2, 3, 4, 6, 8 nicht als Weylgruppen endlicher Gruppen mit BN-Paar vor.

Trotzdem zeigt es sich, daß Konstruktionen wie Heckealgebren und damit generische Grade auch für diese Gruppen Sinn machen. Untersucht man die hier vorkommenden Zentralisatoren regulärer Elemente, so tauchen in H_{4} für d = 3, 6 und d = 4 zwei weitere komplexe Spiegelungsgruppen auf, die bei den Weylgruppen noch nicht vorkamen. Wie man sich leicht anhand direkter Rechnung oder durch Vergleich der von Springer [24] ausgerechneten Grade der Invarianten mit der Liste in [10] überzeugt, handelt es sich um G_{20} und G_{22} in der Notation von Shephard und Todd. Auch für diese Gruppen findet sich eine Präsentation von der oben untersuchten Art. Genauer ist

I_{2}^{3,3}(5) : ◯ 3 ^{5} ◯ 3

eine Präsentation für G_{20}, während das Diagramm M_{2} für G_{22} durch drei Involutionen in zirkulärer Relation mit jeweils fünf Faktoren in jedem Produkt dargestellt wird (im Gegensatz zu K_{2} mit vier und D_{2}^{(4)} mit jeweils dreien). In beiden Fällen erhalten wir also Zopfrelationen in fünf Faktoren, was insofern nicht überrascht, als solche auch schon in der Präsentation von H_{4} eine Rolle spielen.

Neben den zyklotomischen Diagrammen gibt es weitere ähnliche Diagramme für komplexe Spiegelungsgruppen, und zwar haben G_{6}, G_{14}, G_{17}, G_{18} und G_{21} die Präsentationen

G_{2}^{(3)} : ◯ 3  ◯  I_{2}^{(3)}(8) : ◯ 3  ◯

G_{2}^{(5)} : ◯ 5  ◯  B_{2}^{5,3} : ◯ 5  ◯ 3  I_{2}^{(3)}(10) : ◯ 3  ◯

(siehe [11]), sowie G_{7}, G_{11} und G_{19} die zirkulären Präsentationen

D_{2}^{3,3} : ◯  ◯ 3 ◯ 3  D_{2}^{3,4} : ◯  ◯ 3 ◯ 4  D_{2}^{3,5} : ◯  ◯ 3 ◯ 5

Für die Spiegelungsgruppen G_{13}, G_{15}, G_{24}, G_{27}, G_{29}, G_{33} und G_{34}, sowie G_{(}d, p, n), p ≠ 1, 2, sind uns keine vergleichbar einfachen Präsentationen bekannt.

4. Zyklotomische Heckealgebren

Als ersten Schritt zur angekündigten Definition der Heckealgebren H(𝔾, (𝕃, λ); x) zu d-kuspidalen Paaren (𝕃, λ) in endlichen generischen reduktiven Gruppen 𝔾 konstruieren wir generische Versionen dieser Algebren, die nur von der relativen Weylgruppe W_{𝔾}(𝕃, λ), beziehungsweise der dafür im vorigen Paragraphen angegebenen Präsentation abhängen. Durch geeignete Spezialisierung der vorkommenden Parameter soll daraus dann die gesuchte Algebra H(𝔾, (𝕃, λ); x) erhalten werden. Die Spezialisierungen sind nach den Ergebnissen des Paragraphen 2 bereits in sämtlichen zyklischen Fällen bekannt. In 4C werden wir einige Überlegungen zum allgemeinen Fall anstellen, welche wir dann im folgenden Paragraphen zumindest für ein paar kleine Fälle verifizieren.

4A. Definition der zyklotomischen Heckealgebren.

Die klassische Heckealgebra zu einer endlichen Weylgruppe W wird ausgehend von der Präsentation von W als Coxetergruppe definiert. Für jeden Erzeuger s von W wählt man einen Erzeuger T_{s} der Heckealgebra H(W), der der quadratischen Relation T_{s}^{2} = u_{s}1 + (u_{s} − 1)T_{s} mit einem Parameter u_{s} genügt. Dies läßt sich umschreiben zu

((−T_{s}) + u_{s})((−T_{s}) − 1) = 0.

Bei der Spezialisierung u_{s} ↦ 1 geht dies in die Relation für s in W über. Weiter verlangt man, daß T_{r} und T_{s} untereinander dieselbe Zopfrelation wie r und s erfüllen. Die entstehende ℂ-Algebra ist dann isomorph zur Gruppenalgebra ℂW.

Beim Versuch der Imitation des eben geschilderten Verfahrens für die im letzten Abschnitt bewiesenen Präsentationen der zyklotomischen Weylgruppen stößt man auf das Problem, daß nicht mehr alle Erzeuger s notwendig die Ordnung 2 haben. Die richtige Verallgemeinerung der quadratischen Relation wurde bereits im zweiten Paragraphen bei der Behandlung des zyklischen Falls gefunden.

4.1. Definition. Sei W eine zyklotomische Weylgruppe mit Diagramm D = D(W), erzeugt durch die Menge von Spiegelungen S, und u = (u_{s,i} | s ∈ S, 0 ≤ i ≤ d(s) − 1) eine Menge von Transzendenten, so daß die Polynome P_{s} := ∏_{i}(x − u_{s,i}) die zwischen den s ∈ S geltenden Zopfrelationen erfüllen. Wir definieren die zyklotomische Heckealgebra H(W, u) = H(D, u) über ℤ[u] zu D wie folgt:

- H(W, u) wird als ℤ[u]-Algebra durch {T_{s} | s ∈ S} erzeugt.

- Hat der Erzeuger s ∈ S die Ordnung d = d(s), so erfüllt T_{s} die Relation

(T_{s} − u_{s,0})(T_{s} − u_{s,1}) ⋯ (T_{s} − u_{s,d−1}) = 0.

- Sind s_{1}, …, s_{k} ∈ S, k ∈ {2, 3}, in der Präsentation durch eine Zopfrelation verbunden, so stehen T_{s_{1}}, …, T_{s_{k}} in derselben Zopfrelation.

Offensichtlich kann durch Skalierung von T_{s} immer u_{s,0} = 1 erreicht werden, und von dieser Normierung werden wir im weiteren öfters stillschweigend Gebrauch machen.

Für einen beliebigen Ring R mit Homomorphismus f : ℤ[u] → R sei schließlich H_{R}(W, u) := R ⊗_{ℤ[u]} H(W, u). (Genauer müßte hier natürlich der Morphismus f in die Notation eingehen, aber dieser wird im folgenden jeweils aus dem Zusammenhang klar sein.)

Die zyklotomischen Heckealgebren besitzen also im allgemeinen mehrere Parameter u = (u_{s,i} | s ∈ S, 1 ≤ i ≤ d(s) − 1). Man hat etwa für H(A_{2}^{(3)}) zwei freie Parameter, für H(B_{2}^{3,3}) vier und für H(B_{2}^{4,3}) fünf. Die Algebra H(D_{n}^{(4)}), n ≥ 3, besitzt zwei Parameter, aber in H(D_{2}^{(4)}) sind der zweite und der dritte Erzeuger nicht mehr über einen vierten verbunden, so daß hier drei Parameter erlaubt sind.

4.2. Anmerkung. Folgt aus den Zopfrelationen zwischen r, s ∈ S die Gleichheit der Polynome P_{r} und P_{s}, so sind die beiden Erzeuger bereits in der zugehörigen Zopfgruppe konjugiert, welche entsteht, wenn die Relationen über die Ordnungen der Erzeuger weggelassen werden. Dies illustriert das folgende Beispiel: Eine Zopfrelation rsr = srs zwischen Reflektionen r, s ist gleichbedeutend mit s = r^{−1}s^{−1}rsr, erzwingt also, daß r und s in der Zopfgruppe und somit erst recht in W (D) konjugiert sind. Entsprechend sind auch T_{r} und T_{s} in der Heckealgebra H_{K}(D, u) über dem Quotientenkörper K von ℤ[u] konjugiert, müssen also dieselben Eigenwerte besitzen. Daher bedeutet es keine Beschränkung der Allgemeinheit, die Parameter u_{s,i} der in der Definition vorausgesetzten Verträglichkeitsbedingung zu unterwerfen.

Nach Konstruktion ist die zyklotomische Heckealgebra H(W) im folgenden Sinne eine Quantisierung der zyklotomischen Weylgruppe:

4.3. Bemerkung. Ist R ein Körper der Charakteristik 0, und spezialisiert man in der zyklotomischen Heckealgebra H_{R}(W) die Parameter u_{s,i} zum Knoten der Ordnung d = d(s) zu ζ_{d}^{i}, wobei ζ_{d} eine primitive d-te Einheitswurzel bezeichnet, so wird die spezialisierte Algebra isomorph zur Gruppenalgebra RW von W über R (siehe (d-HV2)).

4.4. Anmerkungen. 1) Die klassische Iwahori–Hecke Algebra ergibt sich als Spezialfall der obigen Definition. Hier fordern wir die quadratische Relation (T_{s}−q)(T_{s}−1), wobei der Parameter wie üblich mit q bezeichnet ist. So erhält man die Heckealgebra zu W mit d = 2. Zum Übergang nach d = 1 ersetzt man formal q durch −q (siehe [8]), wodurch die Relation für (−T_{s}) genau in die klassische übergeht.

2) Im klassischen Fall erfüllt die Heckealgebra das Lemma von Matsumoto ([5], IV, §1.6, Prop. 5): Sind s_{1} ⋯ s_{k} = s′_{1} ⋯ s′_{k} = w zwei reduzierte Ausdrücke für dasselbe Element w ∈ W, so gilt in H(W) auch T_{s_{1}} ⋯ T_{s_{k}} = T_{s′_{1}} ⋯ T_{s′_{k}}, was dann die Definition von T_{w} erlaubt. Dies gilt in zyklotomischen Heckealgebren im Allgemeinen nicht.

4.5. Beispiel. Sei W = D_{2}^{(4)} = ⟨r, s, t | r^{2} = s^{2} = t^{2} = 1, rst = str = trs⟩. Wir wählen u_{r,1} = u_{s,1} = u_{t,1} =: u. Dann rechnet man leicht

T_{t}T_{s}T_{r} − T_{r}T_{t}T_{s} = (u + 1)(T_{r}T_{t} + T_{r}T_{s} − T_{t}T_{r} − T_{t}T_{s})

nach, obwohl tsr = rts in W gilt.

4B. Der Struktursatz für generische Heckealgebren.

In Verallgemeinerung des klassischen Ergebnisses über Iwahori-Hecke Algebren liegt die folgende Vermutung nahe, die wir zur Zeit leider noch nicht in voller Allgemeinheit zeigen können. Sei dazu u^{−1} := (u_{0}^{−1}, …, u_{d−1}^{−1}).

4.6. Vermutung. Sei D ein zyklotomisches Diagramm. Dann ist die zyklotomische Algebra H(D, u) frei vom Rang |W (D)| über ℤ[u, u^{−1}]. Insbesondere ist für jeden algebraisch abgeschlossenen Körper K, der ℤ[u] enthält, H_{K}(D) = K ⊗_{ℤ[u]} H(D, u) isomorph zur Gruppenalgebra KW (D) (siehe (d-HV1) und (d-HV5)).

Der zweite Teil der Vermutung ergibt sich aus dem ersten unter Verwendung von Bemerkung 4.3 aus dem Deformationssatz von Tits (siehe etwa [12], 68.17).

In der Tat sollte diese Aussage auch für die beiden nach Anmerkung 3.8 in H_{4} vorkommenden komplexen Spiegelungsgruppen und die dazu entsprechend Definition 4.1 gebildeten Algebren zutreffen. Es ist sogar denkbar, daß sie auch für die acht weiteren im Abschnitt 3D vorgestellten Spiegelungsgruppen richtig ist.

Abgesehen von einigen der exzeptionellen Diagramme ist Vermutung 4.6 richtig:

4.7. Satz. Die Vermutung 4.6 gilt für die zyklotomischen Diagramme

D ∈ {B_{n}^{(d)}, D_{n}^{(d)}, A_{2}^{(3)}, A_{3}^{(3)}, B_{2}^{3,3}, K_{2}}.

Beweis. Der Beweis des Satzes erfolgt in zwei Schritten. Zunächst geben wir ein Erzeugendensystem der richtigen Kardinalität von H := H_{R}(D, u) über R := ℤ[u, u^{−1}] an. Dessen Freiheit wird dann durch die Konstruktion genügend vieler inäquivalenter irreduzibler Matrixdarstellungen von H gezeigt, also durch Nachweis eines genügend großen halbeinfachen Faktors.

Die einfachste Situation liegt für die Diagramme B_{n}^{(d)} vor. Wir folgen hier dem eleganten Beweis dieses Falles in [3]. Seien dazu die Erzeuger von H mit T_{1}, …, T_{n} bezeichnet, wobei jeweils T_{i} und T_{i+1} nicht kommutieren und T_{1} zum Knoten der Ordnung d gehöre. Induktiv definieren wir dann S_{1} := T_{1}, S_{i} := T_{i}S_{i−1}T_{i} für i = 2, …, n. Es ist leicht zu zeigen, daß S_{1}, …, S_{n} eine kommutative Teilalgebra von H erzeugen. Die Erzeuger −T_{2}, …, −T_{n} erfüllen die Relationen der Iwahori-Hecke Algebra vom Typ A_{n−1}. Nach dem Lemma von Matsumoto (siehe [5], IV, §1.6, Prop. 5) erlaubt dies für jeden reduzierten Ausdruck w = t_{i_{1}} ⋯ t_{i_{r}} eines Elements w ∈ W (B_{n}^{(d)}) in den zugehörigen Gruppenelementen t_{2}, …, t_{n} die eindeutige Definition eines T_{w} := T_{i_{1}} ⋯ T_{i_{r}} in H, unabhängig von der Wahl des reduzierten Ausdrucks für w.

Damit zeigt man die Zerlegung

(4.8)  H(B_{n}^{(d)}) = ∑_{{0≤k_{i}≤d−1 \atop w∈𝔖n}} R S_{1}^{k_{1}} ⋯ S_{n}^{k_{n}}T_{w},

deren Invarianz unter T_{1}, …, T_{n} leicht folgt. Da eine ähnliche, aber kompliziertere Rechnung anschließend auch im Fall D_{n}^{(d)} vorgeführt wird, verweisen wir hier für die Details auf [3], Prop. 3.4. Hierbei beachte man, daß alle T_{i} wegen u_{i,j}^{−1} ∈ R bereits in H invertierbar sind . Damit haben wir die richtige Anzahl von Erzeugern für H gefunden.

Die Konstruktion irreduzibler Matrixdarstellungen für H ist nun eine direkte Verallgemeinerung des Verfahrens von Hoefsmit [15]. In [15] wurden sämtliche inäquivalenten irreduziblen Matrixdarstellungen der generischen Iwahori-Hecke Algebra vom Typ B_{n} = B_{n}^{(2)} explizit bestimmt. Durch die Ersetzung T_{i} ↦ −T_{i} der Erzeuger dieser Algebra erhält man so Darstellungen von H(B_{n}^{(2)}, u). Um allgemein Darstellungen für H(B_{n}^{(d)}, u) zu bekommen, kann man diese Konstruktion leicht auf beliebiges d verallgemeinern. Dies wurde bereits in [3] durchgeführt, weshalb wir hier darauf verzichten können.

Bevor wir den Hauptsatz über die Struktur der zyklotomischen Heckealgebra H = H(D_{n}^{(d)}, u) beweisen können, müssen wir einige Hilfsergebnisse zusammentragen. Die Beweisidee ist eine Verallgemeinerung von [3], Prop. 3.4. Seien dazu die Erzeuger von H als S_{1}, T_{2}, T′_{2}, T_{3}, T_{4}, …, T_{n} bezeichnet, wobei T_{3}, …, T_{n} zu dem Teildiagramm vom Typ A_{n−2} gehören, T_{2} und T′_{2} nicht mit T_{3} kommutieren, und schließlich S_{1}, T_{2}, T′_{2} gemäß der Relation S_{1}T′_{2}T_{2} = T′_{2}T_{2}S_{1} = T_{2}S_{1}T′_{2} angeordnet seien. Zur Abkürzung setzen wir weiter u := u_{2,1} = … = u_{n,1} und u′ := u_{2′,1} (siehe Lemma 4.2). Zunächst bestimmen wir die Struktur von H(D_{2}^{(d)}).

4.9. Lemma. Die Menge

\begin{aligned}B := \{S_{1}^{k}, S_{1}^{k}T_{2}S_{1}^{l}, & S_{1}^{k}T′_{2}S_{1}^{l}, T_{2}S_{1}^{k}T_{2}S_{1}^{l} | 0 ≤ k, l ≤ e − 1\} \\ & ∪ \{T_{2}S_{1}^{k}T′_{2}S_{1}^{l} | 1 ≤ k ≤ e − 1, 0 ≤ l ≤ e − 1\} \end{aligned}

bildet ein R-Erzeugendensystem von H(D_{2}^{(2e)}).

Beweis. Da der R–Modul ∑_{T ∈B} RT die Eins enthält, genügt es, seine Invarianz unter Linksmultiplikation mit T_{2}, T′_{2} und S_{1} zu zeigen. Da T_{2}, T′_{2} und S_{1} in H(D_{2}^{(2e)}) invertierbar sind, ist dies gleichbedeutend mit der Invarianz unter T_{2}, T′_{2}T_{2} und S_{1}T′_{2}T_{2}. Wegen T_{2}^{2} = (u + 1)T_{2} − u folgt die Invarianz unter T_{2} unmittelbar.

Weiter ist T′_{2}T_{2}S_{1}^{k} = T_{2}S_{1}T′_{2}S_{1}^{k−1} in B enthalten, oder läßt sich im Fall k = 0 linear aus B kombinieren. Ebenso gilt

\begin{aligned}T′_{2}T_{2}S_{1}^{k}T_{2}S_{1}^{l} & = S_{1}^{k}T′_{2}T_{2}^{2}S_{1}^{l} \\ & = (u + 1)S_{1}^{k}T′_{2}T_{2}S_{1}^{l} − uS_{1}^{k}T′_{2}S_{1}^{l} = (u + 1)T′_{2}T_{2}S_{1}^{k+l} − uS_{1}^{k}T′_{2}S_{1}^{l}, \end{aligned}

und dies liegt nach dem eben bewiesenen im Erzeugnis von B. Beim dritten Elementtyp erhält man

T′_{2}T_{2}S_{1}^{k}T′_{2}S_{1}^{l} = S_{1}^{k}T′_{2}T_{2}T′_{2}S_{1}^{l} = S_{1}^{k}T′_{2}^{2}S_{1}T_{2}S_{1}^{l−1}
= (u′ + 1)S_{1}^{k}T′_{2}S_{1}T_{2}S_{1}^{l−1} − u′S_{1}^{k}S_{1}T_{2}S_{1}^{l−1}
= (u′ + 1)S_{1}^{k}T_{2}T′_{2}S_{1}^{l} − u′S_{1}^{k+1}T_{2}S_{1}^{l−1},

welches wieder in B ausgedrückt werden kann. Beim vierten und fünften Typ folgt die Aussage sofort aus dem vorigen und der Gleichung T_{2}^{2} = (u + 1)T_{2} − u.

Es bleibt die Invarianz unter S_{1}T′_{2}T_{2} = T_{2}S_{1}T′_{2} zu beweisen. Für S_{1}^{k} ist das sofort klar. Wir verwenden nun weiter, daß das Element S_{1}T′_{2}T_{2} nach den definierenden Relationen mit allen drei Erzeugern S_{1}, T_{2}, T′_{2} vertauschbar ist, also im Zentrum von H liegt. So wird S_{1}T′_{2}T_{2}S_{1}^{k}T_{2}S_{1}^{l} = S_{1}^{k+1}T′_{2}T_{2}^{2}S_{1}^{l}, und dafür sahen wir oben schon die Behauptung. Ebenso ist S_{1}T′_{2}T_{2}S_{1}^{k}T′_{2}S_{1}^{l} = S_{1}^{k+1}T′_{2}T_{2}T′_{2}S_{1}^{l} schon oben untersucht worden. Wegen der Vertauschbarkeit von S_{1}T′_{2}T_{2} mit T_{2} können für die letzten beiden Typen von b ∈ B die S_{1}T′_{2}T_{2}b als Produkte von T_{2} mit bereits behandelten Elementen geschrieben werden, und die T_{2}-Invarianz wurde bereits gezeigt. Damit ist das Lemma bewiesen. □

Im allgemeinen Fall n ≥ 3 definieren wir für 2 ≤ i ≤ n Elemente S_{i} ∈ H induktiv durch S_{2} := S_{1}T′_{2}T_{2}, S_{i} := T_{i}S_{i−1}T_{i} für i = 3, …, n. (Hier ist sogar u′ = u.)

4.10. Lemma. In H(D_{n}^{(d)}) gelten die folgenden Relationen:

(a) T_{i}S_{j} = S_{j}T_{i} für 3 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ n, i ≠ j, j + 1,

(b) S_{i}S_{j} = S_{j}S_{i} für 1 ≤ i, j ≤ n,

(c) T_{i}S_{i} = (u + 1)S_{i} − uS_{i−1}T_{i} für i ≥ 3,

(d) T_{i}S_{i−1} = (1 + u^{−1})S_{i} − u^{−1}S_{i}T_{i} für i ≥ 3,

(e) T_{i}S_{i−1}S_{i} = S_{i−1}S_{i}T_{i} für i ≥ 3.

Beweis. Aussage (a) zeigen wir durch Induktion nach j. Der Fall j = 1 ist nach Definition richtig, für j = 2 haben wir entsprechend T_{i}S_{2} = T_{i}S_{1}T′_{2}T_{2} = S_{2}T_{i} wegen i > j + 1 = 3. Sei die Behauptung nun bis zum Index j − 1 bereits bewiesen. Ist i > j + 1, so folgt die Vertauschbarkeit direkt aus den Relationen. Gilt hingegen i < j −1, so wird T_{i}S_{j} = T_{i}T_{j}S_{j−1}T_{j} = T_{j}S_{j−1}T_{j}T_{i} = S_{j}T_{i} nach Induktionsannahme. Im Fall i = j − 1 schreiben wir

T_{j−1}S_{j} = T_{j−1}T_{j}T_{j−1}S_{j−2}T_{j−1}T_{j} = T_{j}T_{j−1}S_{j−2}T_{j}T_{j−1}T_{j} = S_{j}T_{j−1},

und dies ist immer möglich, da 2 < i = j − 1 vorausgesetzt war.

Im zweiten Teil kann man sich offensichtlich auf j > i beschränken. Für i = 1 gilt S_{1} · S_{2} = S_{1}S_{1}T′_{2}T_{2} = S_{1}T′_{2}T_{2}S_{1} = S_{2}S_{1}, also dann per Induktion über j auch S_{1}S_{j} = S_{1}T_{j}S_{j−1}T_{j} = S_{j}S_{1} für alle 2 < j ≤ n. Sei nun i = 2. Wir erhalten

\begin{aligned}S_{2}S_{3} & = S_{1}T′_{2}T_{2}T_{3}S_{1}T′_{2}T_{2}T_{3} = S_{1}T′_{2}T_{3}T_{2}T_{3}S_{1}T′_{2}T_{3} = S_{1}T′_{2}T_{3}T_{2}S_{1}T′_{2}T_{3}T′_{2} \\ & = S_{1}T′_{2}T_{3}T′_{2}T_{2}S_{1}T_{3}T′_{2} = T_{3}S_{1}T′_{2}T_{2}T_{3}T_{2}S_{1}T′_{2} = S_{3}S_{2} \end{aligned}

und sodann wie eben S_{2}S_{j} = S_{2}T_{j}S_{j−1}T_{j} = S_{j}S_{2} für j ≥ 4. Im allgemeinen Fall 3 ≤ i < j wird S_{i}S_{j} = T_{i}S_{i−1}T_{i}S_{j} = S_{j}S_{i} per Induktion und wegen (a).

In (c) findet man T_{i}S_{i} = T_{i}^{2}S_{i−1}T_{i} = (u + 1)S_{i} − uS_{i−1}T_{i}, in (d) folgt die Behauptung wegen T_{i}S_{i−1} = T_{i}S_{i−1}T_{i}T_{i}^{−1} = (u + 1)S_{i}/u − S_{i}T_{i}/u. Teil (e) ergibt sich aus T_{i}S_{i−1}S_{i} = T_{i}S_{i−1}T_{i}S_{i−1}T_{i} = S_{i}S_{i−1}T_{i} = S_{i−1}S_{i}T_{i}, wobei die letzte Gleichheit wegen (b) gilt. □

Nach diesen Vorbereitungen ist der Beweis des Hauptresultats nicht mehr schwierig. Im Fall D_{2}^{(d)} folgt dies sofort durch Abzählen aus Lemma 4.9 und den im Beweis von Satz 6.1 konstruierten irreduziblen Matrixdarstellungen.

Da wir für d = 2 die klassischen Iwahori-Hecke Algebren erhalten, für welche die Aussage wohlbekannt ist, setzen wir nun der Einfachheit halber d > 2 voraus. Nach Lemma 4.10 erzeugen die Elemente S_{1}^{k}S_{2}^{l}, 0 ≤ k ≤ e − 1, 0 ≤ l ≤ 2e − 1, eine kommutative Teilalgebra von H(D_{2}^{(2e)}). Wegen 2e > 2 hat die größte kommutative Teilalgebra von RW (D_{2}^{(2e)}) die Dimension 2e^{2}. Somit besitzt ⟨S_{1}^{k}S_{2}^{l} | k, l⟩ ebenfalls die Dimension 2e^{2}, und insbesondere liegen alle Potenzen von S_{2} wieder in dieser Teilalgebra. Aus Dimensionsgründen muß daher

(4.11)  H(D_{2}^{(2e)}) = ∑_{{0≤k≤e−1 \atop 0≤l≤2e−1}} R S_{1}^{k}S_{2}^{l} + ∑_{{0≤k≤e−1 \atop 0≤l≤2e−1}} R S_{1}^{k}S_{2}^{l}T_{2}

gelten.

Die Erzeuger −T_{2}, …, −T_{n} erfüllen die Relationen der Heckealgebra vom Typ A_{n−1}. Nach dem Lemma von Matsumoto erlaubt dies wie oben die eindeutige Definition von Elemente T_{w} für w ∈< t_{2}, …, t_{n} >.

Damit können wir die Zerlegung

(4.12)  H(D_{n}^{(2e)}) = ∑_{{0≤k≤e−1, 0≤k_{i}≤2e−1 \atop w∈𝔖n}} R S_{1}^{k}S_{2}^{k_{2}} ⋯ S_{n}^{k_{n}}T_{w}

beweisen, aus der der erste Teil des Ergebnisses für H(D_{n}^{(2e)}) sofort folgt. Es genügt dazu wiederum, die Invarianz unter Linksmultiplikation mit den Erzeugern S_{1}, T′_{2}, T_{2}, T_{3}, …, T_{n} zu bestätigen. Für S_{1} ist dies sofort klar. Die T_{i}, 3 ≤ i ≤ n, vertauschen nach Lemma 4.10(a) mit allen S_{j} außer für i = j und i = j + 1. Nach Lemma 4.10(e) können sie auch an Produkten der Form (S_{i−1}S_{i})^{k} vorbeigeschoben werden. Sind die Exponenten von S_{i−1} und S_{i} in der Darstellung 4.12 verschieden, so erlauben Lemma 4.10(c) und (d) immer noch das Vertauschen mit T_{i}, unter Inkaufnahme der Erhöhung des kleineren der beiden Exponenten. Insgesamt können die T_{i}, 3 ≤ i ≤ n, also bis zu T_{w} geschoben werden. Dort ist man aber in einer Teilalgebra, die die Relationen von A_{n−1} erfüllt, und die Gültigkeit der Behauptung folgt.

Es bleibt die Linksmultiplikation mit T′_{2} und T_{2} zu untersuchen. Wegen

(4.13)  T′_{2} = S_{1}^{−1}S_{2}T_{2}^{−1} = (1 + u^{−1})S_{1}^{−1}S_{2} − u^{−1}S_{1}^{−1}S_{2}T_{2}

genügt es sogar, nur die Multiplikation mit T_{2} zu betrachten. Wir sortieren die S_{i} nun so um, daß die Potenzen von S_{1} und S_{2} ganz rechts stehen. Man verifiziert T_{2}S_{3} = S_{3}T′_{2} und sodann induktiv T_{2}S_{j} = S_{j}T′_{2} für 4 ≤ j ≤ n. Dabei kann T′_{2} jeweils wieder durch den Ausdruck 4.13 ersetzt werden. Hat man auf diese Weise T_{2} und die unterwegs entstandenen S_{1}^{−1}S_{2} an allen S_{i} mit 3 ≤ i ≤ n vorbeigebracht, so zeigt schließlich die Anwendung von 4.11 die Invarianz.

Als nächstes prüft man nach, daß die Elemente

S̃_{1} := T̃_{1}^{2}, T̃′_{2} := T̃_{1}^{−1}T̃_{2}T̃_{1}, T̃_{i} für i = 2, …, n,

von H(B_{n}^{(2e)}, v) = ⟨T̃_{1}, …, T̃_{n}⟩ mit

v = (±\sqrt{u_{1,0}}, …, ±\sqrt{u_{1,e−1}}, u_{2,0}, u_{2,1})

für n ≥ 3 die Relationen von H(D_{n}^{(2e)}, u) erfüllen. Insbesondere gibt es einen surjektiven Algebrenhomomorphismus von H auf H̃ := ⟨S̃_{1}, T̃′_{2}, T̃_{2}, …, T̃_{n}⟩, der jeweils T_{i} auf T̃_{i} sendet. Da aber das Bild unseres Erzeugendensystems für H in der Teilalgebra H̃ von H(B_{n}^{(2e)}, v) nach dem oben gezeigten frei über ℤ[u, u^{−1}] ist, gilt das erst recht für das Urbild. Damit folgt auch die restliche Behauptung für H(D_{n}^{(2e)}, u).

In H(A_{2}^{(3)}, u) bildet B :=

{T_{1}^{i}, T_{2}T_{1}^{i}, T_{2}^{2}T_{1}^{i}, T_{1}T_{2}T_{1}^{i}, T_{1}^{2}T_{2}T_{1}^{i}, T_{1}T_{2}^{2}T_{1}^{i}, T_{1}^{2}T_{2}^{2}T_{1}^{i}, T_{2}T_{1}^{2}T_{2}T_{1}^{i} | 0 ≤ i ≤ 2}

eine Basis. Denn man überzeugt sich leicht anhand der Relationen, daß die Elemente von B unter Linksmultiplikation mit T_{1} und T_{2} jeweils in Linearkombinationen aus B übergehen. So ist etwa im schwierigsten Fall

T_{2}·T_{1}^{2}T_{2}^{2}T_{1}^{i} = T_{1}^{−1}T_{1}T_{2}T_{1}^{2}T_{2}^{2}T_{1}^{i} = T_{1}^{−1}T_{2}T_{1}T_{2}T_{1}T_{2}^{2}T_{1}^{i} = T_{1}^{−1}T_{2}T_{1}^{3}T_{2}T_{1}^{i+1}
= α_{1}T_{1}^{−1}T_{2}^{2}T_{1}^{i+1} + α_{2}T_{1}^{−1}T_{2}T_{1}T_{2}T_{1}^{i+1} + α_{3}T_{1}^{−1}T_{2}T_{1}^{2}T_{2}T_{1}^{i+1}
= α_{4}T_{2}^{2}T_{1}^{i+1} + α_{5}T_{1}T_{2}^{2}T_{1}^{i+1} + α_{6}T_{1}^{2}T_{2}^{2}T_{1}^{i+1} + α_{2}T_{2}T_{1}^{i+2} + α_{3}T_{2}T_{1}^{2}T_{2}T_{1}^{i}

für 0 ≤ i ≤ 2 mit gewissen α_{j} ∈ K. Die irreduziblen Matrixdarstellungen von H(A_{2}^{(3)}, u) werden in 5B konstruiert. Damit folgt auch hier die Behauptung.

In H(A_{3}^{(3)}, u) sei H′ die von T_{1} und T_{2} erzeugte Teilalgebra. Weiter sei

B := {1, T_{3}, T_{2}T_{3}, T_{2}^{2}T_{3}, T_{1}T_{2}T_{3}, T_{1}^{2}T_{2}T_{3}, T_{1}T_{2}^{2}T_{3}, T_{1}^{2}T_{2}^{2}T_{3}, T_{3}T_{2}^{2}T_{3},
T_{1}T_{3}T_{2}^{2}T_{3}, T_{1}^{2}T_{3}T_{2}^{2}T_{3}, T_{2}T_{1}^{2}T_{2}T_{3}, T_{3}T_{2}T_{1}^{2}T_{2}T_{3}, T_{2}T_{1}^{2}T_{3}T_{2}^{2}T_{3},
T_{2}^{2}T_{1}T_{3}T_{2}^{2}T_{3}, T_{1}T_{2}^{2}T_{1}T_{3}T_{2}^{2}T_{3}, T_{2}T_{1}T_{3}T_{2}^{2}T_{3}, T_{3}^{2}, T_{2}T_{3}^{2}, T_{2}^{2}T_{3}^{2}, T_{1}T_{2}T_{3}^{2},
T_{1}^{2}T_{2}T_{3}^{2}, T_{1}T_{2}^{2}T_{3}^{2}, T_{1}^{2}T_{2}^{2}T_{3}^{2}, T_{2}T_{1}^{2}T_{2}T_{3}^{2}, T_{3}T_{2}T_{1}^{2}T_{2}T_{3}^{2}, T_{3}^{2}T_{2}T_{1}^{2}T_{2}T_{3}^{2}}.

Dann stellt man anhand der definierenden Relationen fest, daß

∑_{S∈B} R SH′

invariant unter Linksmultiplikation mit T_{1}, T_{2} und T_{3} bleibt, und daher schon gleich H sein muß. Das Nachprüfen dieser Aussage für die 81 Produkte sei dem Leser überlassen. Etwas vereinfacht wird die Rechnung durch konsequente Benutzung der Formel T_{i}T_{j}T_{i}^{2}T_{j} = T_{j}T_{i}^{2}T_{j}T_{i} für 1 ≤ i, j ≤ 3, welche unmittelbar aus den definierenden Relationen folgt. Da die Erzeuger T_{1}, T_{2} von H′ die Relationen von H(A_{2}^{(3)}, u) erfüllen, können wir ein Erzeugendensystem für H′ wie oben wählen. Damit haben wir insgesamt |B| |W (A_{2}^{(3)})| = 27 · 24 = |W (A_{3}^{(3)})| Erzeuger für H. Die irreduziblen Matrixdarstellungen werden später in 5F konstruiert, woraus die Aussage schließlich folgt.

Für die Algebren zu B_{2}^{3,3} und K_{2} schlagen wir einen anderen Weg zum Beweis der endlichen Erzeugung ein. Seien dazu D ein zyklotomisches Diagramm mit k Knoten und t_{1}, …, t_{k} dazugehörige Erzeuger einer freien Halbgruppe M. Die Weylgruppe W (D) ensteht als Quotient von M modulo der durch die Relationen R von D erzeugten Äquivalenzrelation. Wir wählen nun eine Ordnung < auf M, welche monoton bezüglich der Multiplikation ist, und schreiben die Relationen in R so um, daß jeweils die linke Seite größer als die rechte ist. Für Worte w_{1}, w_{2} ∈ M schreiben wir w_{1} → w_{2}, falls w_{1} durch eine Folge von Anwendungen von Relationen in R in w_{2} übergeht. Wir nennen die Relationen in R konfluent, falls es keine Ableitungen unendlicher Länge gibt und falls aus w_{1} → w_{2} und w_{1} → w_{3} schon die Existenz eines w_{4} mit w_{2} → w_{4} und w_{3} → w_{4} folgt.

Die erste Bedingung ist leicht zu erfüllen, indem man < als Verfeinerung der Längenfunktion auf der freien Halbgruppe M wählt. Das Knuth–Bendix Verfahren versucht, aus der Relationenmenge R eine konfluenten Menge R_{kon} von Relationen zu konstruieren. Ist das Verfahren erfolgreich, so liefert es also einen Normalformalgorithmus in M/ ≡, das heißt, in jeder Klasse von M modulo R_{kon} existiert ein eindeutig bestimmtes Element minimaler Länge, und dieses kann durch Anwendung der Relationen erhalten werden. Die Elemente von W = M/ ≡ entsprechen bijektiv diesen Normalformen.

Zur Anwendung dieser Überlegungen auf die Algebren H überträgt man die Ordnung < auf die Monome in den Erzeugern T_{i} von H. In H gelten nun nicht mehr dieselben Relationen wie in W. Kann aber gezeigt werden, daß aus w_{1} → w_{2} in M schon

T_{w_{1}} → T_{w_{2}} + a mit a = ∑ α_{i}U_{i}, α_{i} ∈ K, U_{i} < T_{w_{1}} Monome,

folgt, so kann der Normalformalgorithmus von W auf H übertragen werden. Es genügt offensichtlich, dies für die Relationen in R_{kon} zu zeigen.

Die definierenden Relationen von H haben bereits die gewünschte Form. Für K_{2} bestimmt man mit dem Computer eine konfluente Präsentation. Diese besteht aus 24 Relationen, welche wir hier nicht wiedergeben wollen. Man bestätigt, daß diese, modulo Termen kleinerer Länge, auch in der Algebra H(K_{2}) gelten, und erhält so ein Erzeugendensystem der Ordnung |W (K_{2})|. Die irreduziblen Matrixdarstellungen von H(K_{2}) werden in 5E konstruiert, womit die Aussage auch in diesem Fall bewiesen ist. Ebenso geht man für B_{2}^{3,3} vor, wobei hier die Darstellungen in 5C bestimmt werden. □

Gemäß der vorgestellten Beweismethode müssen zur vollständigen Verifizierung von Vermutung 4.6 sämtliche Darstellungen der übrigen exzeptionellen zyklotomischen Heckealgebren bestimmt werden; ein Projekt, das wegen der Darstellungsgrade in der Größenordnung 80 etwa bei A_{4}^{(3)} im Moment ausgeschlossen scheint. Wir hoffen aber, die kleineren verbleibenden Fälle auf diese Art und Weise noch erledigen zu können.

Wir führen noch einige Inklusionen zwischen zyklotomischen Heckealgebren auf:

4.14. Bemerkung. (a) Für n ≥ 3 ist H(D_{n}^{(2e)}, u) eine Teilalgebra von H(B_{n}^{(2e)}, v) mit v = (±\sqrt{u_{1,0}}, …, ±\sqrt{u_{1,e−1}}, u_{2,0}, u_{2,1}).

(b) H(A_{3}^{(3)}, u) ist Teilalgebra von H(B_{3}^{2,3}, v) für v = (u_{1,0}, u_{1,1}, u_{1,2}, 1, −1).

Beweis. Der erste Teil wurde bereits im Beweis des vorigen Satzes benutzt. Im zweiten Fall erfüllen die Elemente T_{1}, T_{2}, T_{3}T_{2}T_{3} in H(B_{3}^{2,3}, v) die Relationen des Standarderzeugendensystems von H(A_{3}^{(3)}, u), da wegen der Parameterwahl in diesem Fall T_{3}^{−1} = T_{3} gilt. □

4C. Parabolische Teilalgebren.

In der Anmerkung 3.3 wurde das Konzept der parabolischen Untergruppen einer zyklotomischen Weylgruppe W eingeführt. Diese erhält man durch Wegnahme eines oder mehrerer Knoten aus dem Diagramm für W, wobei in zirkulären Relationen nicht nur ein einzelner Knoten entfernt werden darf. Da die zyklotomische Algebra H(W, u) zu W ebenfalls über das Diagramm definiert wird, macht auch hier der Begriff der parabolischen Teilalgebren Sinn. Sie werden durch Teilmengen (T_{s} | s ∈ I) der Erzeuger der Algebra zu W erzeugt, wobei I die Erzeuger einer parabolischen Untergruppe von W sind. Als direkte Konsequenz aus Satz 4.7 für parabolische Teilalgebren erhalten wir:

4.15. Folgerung. Ist D eines der zyklotomischen Diagramme in Satz 4.7, so erzeugen die zu einem parabolischen Teildiagramm D′ von D gehörigen Erzeuger in H(D) eine zu H(D′) isomorphe Unteralgebra.

In diesem Zusammenhang noch ein Wort zu den im ersten Paragraphen formulierten Vermutungen. Wir kennen nun parabolische Teilsysteme für die Diagramme, für die Weylgruppen und für die zugehörigen Heckealgebren. Die Heckealgebren sollen einmal als Endomorphismenalgebren gewisser R_{𝕃}^{𝔾}(λ) für d–kuspidale Paare (𝕃, λ) mit W = W_{𝔾}(𝕃, λ) identifiziert werden. Auch in der Sprechweise der d–zerfallenden Leviuntergruppen von 𝔾 kann man von parabolischen Strukturen sprechen. Sei dazu d fest und (𝕃, λ) ein d–kuspidales Paar in 𝔾. Ist 𝕄 eine weitere d–zerfallende Leviuntergruppe von 𝔾 mit 𝕃 ≤ 𝕄 ≤ 𝔾, so ist Uch(𝕄, (𝕃, λ)) nicht leer, es gibt also Charaktere μ mit (𝕃, λ) ≤ (𝕄, μ). Im Beweis des Fundamental Theorem in [8] wurde die Existenz eines Verbandsisomorphismus zwischen der durch Inklusion geordneten Menge der parabolischen Untergruppen von W_{𝔾}(𝕃, λ) und der Menge der d–zerfallenden Leviuntergruppen 𝕄 mit 𝕃 ≤ 𝕄 ≤ 𝔾 gezeigt.

Im klassischen Fall verhält sich diese Beziehung zwischen den verschiedenen parabolischen Teilstrukturen vernünftig: Ist 𝕃 ≤ 𝕄 ≤ 𝔾 mit parabolischer Weyluntergruppe W_{𝕄}(𝕃, λ) ≤ W_{𝔾}(𝕃, λ), so ist die Endomorphismenalgebra zu R_{𝕃}^{𝕄}(λ) gerade die parabolische Teilalgebra H(W_{𝕄}(𝕃, λ)) von H(W_{𝔾}(𝕃, λ)). Insbesondere bedeutet dies umgekehrt, daß die Werte der Parameter im klassischen Fall bereits durch die Werte im zyklischen Fall, also durch die Diagramme mit nur einem Knoten festgelegt sind.

Wir sehen zur Zeit keinen mathematischen Grund, warum dies auch im allgemeinen Fall so sein sollte, vermuten aber, daß sich diese Eigenschaft auch auf die zyklotomischen Heckealgebren fortsetzt. Damit wären also sämtliche Parameter für alle vorkommenden Heckealgebren bereits durch die Ergebnisse des Paragraphen 2 im zyklischen Fall bestimmt und könnten durch einfaches Zusammensetzen gewonnen werden.

5. Einige exzeptionelle zyklotomische Algebren

Für die zyklotomischen Heckealgebren zu D_{2}^{(4)} sowie einigen kleineren exzeptionellen Spiegelungsgruppen können alle irreduziblen Darstellungen über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0 explizit bestimmt werden.

5A. Die Algebra H(D_{2}^{(4)}, u).

Die Algebra H(D_{2}^{(4)}, u) aus der unendlichen Serie der D_{n}^{(d)}–Diagramme verdient besondere Beachtung. Es handelt sich hierbei bisher um den einzigen Fall, in dem eine nichtabelsche zyklotomische Algebra als Endomorphismenalgebra der Kohomologie einer Deligne–Lusztig–Varietät identifiziert werden konnte. In der Tat konnte Lusztig für ein geeignetes reguläres Elemente w der Ordnung 4 in der Weylgruppe W (D_{4}) drei Automorphismen T_{1}, T_{2}, T_{3} auf der Varietät X_{w} konstruieren, die die Relation T_{1}T_{2}T_{3} = T_{2}T_{3}T_{1} = T_{3}T_{1}T_{2} erfüllen. Die zyklotomische Weylgruppe W (D_{2}^{(4)}) des Zentralisators von w in W (D_{4}) besitzt nun nach §3 ebenfalls eine Präsentation

D_{2}^{(4)} : ◯ ◯ ◯

mit diesen Relationen.

Die zugehörige Heckealgebra H(D_{2}^{(4)}, u) mit u = (1, u, 1, v, 1, w) besitzt acht lineare Darstellungen, entsprechend den jeweils zwei verschiedenen Eigenwerten der drei Erzeuger T_{1}, T_{2}, T_{3}, sowie die zwei 2-dimensionalen Darstellungen

T_{1} ↦ ( \begin{matrix}1 & x \\ 0 & u \end{matrix} ) , T_{2} ↦ ( \begin{matrix}v + 1 & −1 \\ v & 0 \end{matrix} ) , T_{3} ↦ ( \begin{matrix}0 & −r/uv \\ r & w + 1 \end{matrix} )

mit x := −(w(v + 1) + r(1 + w))/vw und r := \sqrt{uvw}.

Damit läßt sich die ”Charaktertafel” von H(D_{2}^{(4)}, u) in Tabelle 5.1 bestimmen; zur Abkürzung schreiben wir S für das zentrale Element T_{1}T_{2}T_{3} von H(D_{2}^{(4)}, u).

Mit Lemma 1.2 bestimmt man hieraus leicht die relativen Grade bezüglich der in Tabelle 5.1 angegebenen Klassenvertreter durch Lösen eines linearen Gleichungssystems. Man beachte dabei, daß zur Auswertung von Lemma 1.2 nicht die Kenntnis einer vollständigen Basis erforderlich ist. Urbilder von Klassenvertretern in W (D_{2}^{(4)}) unter der Spezialisierungsabbildung ergeben bereits ein Teilsystem maximalen Rangs.

5.1. Charaktertafel von H(D_{2}^{(4)}, (1, u, 1, v, 1, w)).

1 T_{1}  T_{2}  T_{3}  T_{1}T_{2}  T_{2}T_{3}  T_{3}T_{1}  S  S^{2}  S^{3}^{1 1  1  1  1  1  1  1  1  1}^{1 u  1  1  u  1  u  u  u^{2}  u^{3}}^{1 1  v  1  v  v  1  v  v^{2}  v^{3}}^{1 1  1  w  1  w  w  w  w^{2}  w^{3}}^{1 u  v  1  uv  v  u  uv u^{2}v^{2} u^{3}v^{3}}^{1 u  1  w  u  w  uw  uw u^{2}w^{2} u^{3}w^{3}}^{1 1  v  w  v  vw  w  vw v^{2}w^{2} v^{3}w^{3}}^{1 u  v  w  uv  vw  uw uvw u^{2}v^{2}w^{2} u^{3}v^{3}w^{3}}^{2 u + 1 v + 1 w + 1 \frac{r(w+1)}{w}  \frac{r(u+1)}{u}  \frac{r(v+1)}{v} 2 r 2 r^{2}  2 r^{3}}^{2 u + 1 v + 1 w + 1 −\frac{r(w+1)}{w} −\frac{r(u+1)}{u} −\frac{r(v+1)}{v} −2 r 2 r^{2} −2 r^{3}}

5.2. Bemerkung. Die relativen Grade f_{i} der zyklotomische Heckealgebra H(D_{2}^{(4)}, u) lauten

\frac{x_{1}^{2}y_{1}^{2}z_{1}^{2}}{(x_{1}y_{1}z_{1} − x_{2}y_{2}z_{2})(x_{1} − x_{2})(y_{1} − y_{2})(z_{1} − z_{2})}

für die acht möglichen Wahlen von {x_{1}, x_{2}} = {1, u}, {y_{1}, y_{2}} = {1, v}, {z_{1}, z_{2}} = {1, w} sowie

\frac{ruvw}{2(r − 1)(r − u)(r − v)(r − w)}

für die beiden 2-dimensionalen Darstellungen.

Gemäß der obigen Anmerkung sollte H(D_{2}^{(4)}, u) als Endomorphismenalgebra der Varietät X_{w} zu der Deligne–Lusztig Induktion R_{𝕋_{w}}^{𝔾} in 𝔾 = D_{4} mit |𝕋_{w}| = Φ_{4}(x)^{2} vorkommen. Nach Bemerkung 2.19 gehören zu dieser Situation die Spezialisierungen u, v, w ↦ q^{2} der Parameter.

5.3. Folgerung. Unter der Spezialisierung u, v, w ↦ q^{2} gehen die relativen Grade von H(D_{2}^{(4)}, u), multipliziert mit Deg(R_{𝕋_{w}}^{𝔾}(1))(q), bis auf das Vorzeichen in die Grade unipotenter Charaktere im Φ_{4}-Hauptblock von D_{4}(q) über.

5B. Die Algebra H(A_{2}^{(3)}, u).

Die kleinste exzeptionelle zyklotomische Weylgruppe G_{4} besitzt die Präsentation

A_{2}^{(3)} :  ◯ 3  ◯ 3

(siehe Satz 3.2) und ist isomorph zu der speziellen linearen Gruppe SL_{2}(3). Diese besitzt sieben irreduzible komplexe Charaktere. Die zugehörigen Darstellungen der Heckealgebra H(A_{2}^{(3)}, u), u = (1, u, v), lassen sich leicht angeben. Mit den Standarderzeugern T_{1} und T_{2} von H sind dies neben den drei offensichtlichen linearen Darstellungen X_{1,2,3} zu den drei möglichen Eigenwerten 1, u, v von T_{1} und T_{2} die drei aus

X_{4,5,6} : T_{1} ↦ ( \begin{matrix}x & 0 \\ x & y \end{matrix} ) , T_{2} ↦ ( \begin{matrix}y & −y \\ 0 & x \end{matrix} )

durch geeignete Wahl von x, y ∈ {1, u, v} erhältlichen 2-dimensionalen sowie die 3dimensionale

X_{7} : T_{1} ↦ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −u(1 + v) & u & 0 \\ v & −1 & v \end{matrix} ) , T_{2} ↦ ( \begin{matrix}u & 1 & u \\ 0 & v & v(u + 1) \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) .

Insbesondere sind alle irreduziblen Darstellungen bereits über dem Ring ℤ[u] realisiert.

Vertreter minimaler Länge der sieben Konjugiertenklassen von W (A_{2}^{(3)}) sind 1, s_{1}, s_{1}^{2}, s_{1}s_{2}, s_{1}s_{2}s_{1}, s_{1}^{2}s_{2}^{2} und s_{1}s_{2}^{2}s_{1}s_{2}^{2}. Aus den oben angegebenen Matrixdarstellungen errechnet man nun durch Spurbildung leicht die ”Charaktertafel” 5.4 von H(A_{2}^{(3)}, (1, u, v)):

5.4. Charaktertafel von H(A_{2}^{(3)}, (1, u, v)).

1  T_{1}  T_{1}^{2}  T_{1}T_{2} T_{1}T_{2}T_{1}  T_{1}^{2}T_{2}^{2}  T_{1}T_{2}^{2}T_{1}T_{2}^{2}
χ_{1}  1  1  1  1  1  1  1
χ_{2}  1  u  u^{2}  u^{2}  u^{3}  u^{4}  u^{6}
χ_{3}  1  v  v^{2}  v^{2}  v^{3}  v^{4}  v^{6}
χ_{4}  2 1 + u  1 + u^{2}  u  0  −u (1 + u^{2})  −2 u^{3}
χ_{5}  2 1 + v  1 + v^{2}  v  0  −v (1 + v^{2})  −2 v^{3}
χ_{6}  2 u + v  u^{2} + v^{2}  uv  0 −uv (u^{2} + v^{2}) −2 u^{3}v^{3}
χ_{7}  3 1 + u + v 1 + u^{2} + v^{2} 0 −uv u^{2} + v^{2} + u^{2}v^{2} 3 u^{2}v^{2}

Mit Lemma 1.2 bestimmt man hieraus die relativen Grade:

5.5. Bemerkung. Die relativen Grade f_{i} der zyklotomischen Heckealgebra H(A_{2}^{(3)}, (1, u, v)) zu den irreduziblen Darstellungen X_{i} lauten

\begin{aligned}f_{1,2,3} & = \frac{x^{4}y^{4}}{(x^{2} − xz + z^{2})(y^{2} − yz + z^{2})(x − z)(y − z)(xy + z^{2})}, \\ f_{4,5,6} & = \frac{−x^{4}yz}{(x^{2} + yz)(y^{2} − yz + z^{2})(x − y)(x − z)}, \\ f_{7} & = \frac{u^{2}v^{2}w^{2}}{(u^{2} + vw)(v^{2} + uw)(w^{2} + uv)}, \end{aligned}

mit {x, y, z} = {1, u, v}.

Die Gruppe G_{4} = W (A_{2}^{(3)}) kommt nur für den Φ_{3}-Hauptblock und den Φ_{6}- Hauptblock von ^{3}D_{4}(q) als relative Weylgruppe in Gruppen vom Lie–Typ vor. Hier prüft man sofort nach:

5.6. Folgerung. Unter der Spezialisierung u ↦ q, v ↦ q^{2} gehen die relativen Grade f_{1}, …, f_{7} von H(A_{2}^{(3)}, (1, u, v)), multipliziert mit Deg(R_{𝕃}^{𝔾}(λ))(q), bis auf das Vorzeichen in die Grade unipotenter Charaktere im Φ_{3}-Hauptblock von ^{3}D_{4}(q) über.

Das einzige nichttriviale echte Teildiagramm von A_{2}^{(3)} hat den Typ B_{1}^{(3)} und gehört zu der Leviuntergruppe Φ_{3}(q).A_{2}(q) von ^{3}D_{4}(q). Da für den zyklischen Fall d = 3 in A_{2}(q) die Parameter in Bemerkung 2.10 zu 1, q, q^{2} bestimmt wurden, erhält man hier wie gewünscht die Parameter im höherdimensionalen Fall aus denen im zyklischen.

5C. Die Algebra H(B_{2}^{3,3}, u).

Die komplexe Spiegelungsgruppe G_{5} mit der Präsentation

B_{2}^{3,3} :  ◯ 3  ◯ 3

ist isomorph zum direkten Produkt SL_{2}(3) × 3, und besitzt damit 21 inäquivalente komplexe irreduzible Darstellungen. Als entsprechende Darstellungen der Heckealgebra H(G_{5}, u) erhält man neun lineare Darstellungen X_{3i+j+1} über die möglichen Eigenwerte u_{1,i} und u_{2,j} von T_{1} und T_{2}, weiter die neun 2-dimensionalen aus

X_{10,... ,18} : T_{1} ↦ ( \begin{matrix}u & 0 \\ ux + vy & v \end{matrix} ) , T_{2} ↦ ( \begin{matrix}x & −1 \\ 0 & y \end{matrix} ) ,

durch geeignete Wahl der Parameter u, v ∈ {u_{1,j}} x, y ∈ {u_{2,j}} erzeugbaren Darstellungen, sowie schließlich die drei 3-dimensionalen X_{19,20,21} :

T_{1} ↦ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −(r^{2} + vx)/vx & u & 0 \\ −y(v + r)/r & v + r & v \end{matrix} ) , T_{2} ↦ ( \begin{matrix}x & x + r & −u(x + r)/r \\ 0 & y & −(r^{2} + vx)/vx \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ,

mit {u, v} = {u_{1,1}, u_{1,2}}, {w, x} = {u_{2,1}, u_{2,2}}, wobei r^{3} = uvxy sei. Die Darstellungen sind demnach hier erst über ℤ[u, u^{−1}, ζ_{3}, \sqrt[3]{u_{1,1}u_{1,2}u_{2,1}u_{2,2}}] definiert. Mit Lemma 1.2 erhält man nun:

5.7. Bemerkung. Die relativen Grade f_{i} der zyklotomische Heckealgebra H_{R}(B_{2}^{3,3}, u) zu den irreduziblen Darstellungen X_{i} lauten f_{1,... ,9} =

\frac{u^{4}v^{4}x^{4}y^{4}}{(uvxy+ w^{2}z^{2})(ux+ wz)(uy+ wz)(vx+ wz)(vy+ wz)(u– w)(v– w)(y– z)(x– z)},

f_{10,... ,18} = \frac{−u^{4}x^{4}vywz}{(u^{2}x^{2} + vywz)(vy + wz)(vz + wy)(x − y)(x − z)(u − v)(u − w)},

für alle möglichen Wahlen {u, v, w} = {u_{1,j}}, {x, y, z} = {u_{2,j}}, sowie f_{19,20,21} =

\frac{u^{3}v^{3}x^{3}y^{3}}{3 (r + u)(r + v)(r + x)(r + y)(r + 1)(r + ux)(r + vx)(r + uy)(r + vy)}

mit r^{3} = uvxy und {u, v} = {u_{1,1}, u_{1,2}}, {x, y} = {u_{2,1}, u_{2,2}.}.

Die Spiegelungsgruppe G_{5} tritt in den in Tabelle 5.9 aufgeführten exzeptionellen Gruppen als relative Weylgruppe auf.

5.9. Parameter für H(B_{2}^{3,3}).

𝔾 d  𝕃(q)  λ  Parameter
F_{4} 3  (q^{2} + q + 1)^{2}  1  q, q^{2}, q, q^{2}
6  (q^{2} − q + 1)^{2}  1  −q, q^{2}, −q, q^{2}
E_{6} 6  (q^{2} − q + 1)^{2}(q^{2} + q + 1)  1  −q, q^{2}, q^{2}, q^{4}
2E_{6} 3  (q^{2} + q + 1)^{2}(q^{2} − q + 1)  1  q, q^{2}, q^{2}, q^{4}
E_{8} 3  (q^{2} + q + 1)^{2} ^{3}D_{4}(q)  ^{3}D_{4}[−1]  q, q^{2}, q^{4}, q^{8}
6  (q^{2} − q + 1)^{2} ^{3}D_{4}(q)  ϕ_{2,1}  −q, q^{2}, q^{4}, q^{8}

5.8. Folgerung. Spezialisiert man die relativen Grade f_{i} von H_{R}(B_{2}^{3,3}, u) entsprechend den Parameterwerten in 5.9, so erhält man nach Multiplikation mit Deg(R_{𝕃}^{𝔾}(λ))(q) bis auf das Vorzeichen die Grade der unipotenten Charaktere im jeweils angegebenen Φ_{d}-Block von 𝔾.

Man prüft nach, daß die Parameterwerte immer bereits durch die 1-dimensionalen Teildiagramme bestimmt sind. Weiter stellt man fest, daß die zwei nichtrationalen relativen Grade immer zu unipotenten Charakteren spezialisieren, für die der zugehörige Eigenwert des Frobenius eine dritte oder sechste Einheitswurzel ist.

5D. Die Algebra H(A_{2}^{(4)}, u).

Die Gruppe G_{8} wird präsentiert durch

A_{2}^{(4)} :  ◯ 4  ◯ 4

und besitzt 16 komplexe irreduzible Charaktere. Die entsprechenden Darstellungen der Heckealgebra H(A_{2}^{(4)}, u) können wiederum explizit angegeben werden. Es sind dies die vier linearen Charaktere X_{1,... ,4} zu den Eigenwerten u_{0}, …, u_{3} von T_{1} und T_{2}, die sechs aus

X_{5,... ,10} : T_{1} ↦ ( \begin{matrix}u & 0 \\ −u & v \end{matrix} ) , T_{2} ↦ ( \begin{matrix}v & v \\ 0 & u \end{matrix} )

durch Wahl der Parameter u, v ∈ {u} erhältlichen der Dimension zwei, die vier aus

X_{11,... ,14} : T_{1} ↦ ( \begin{matrix}u & 0 & 0 \\ −v(u + w) & v & 0 \\ w & −1 & w \end{matrix} ) , T_{2} ↦ ( \begin{matrix}v & 1 & v \\ 0 & w & w(u + v) \\ 0 & 0 & u \end{matrix} )

erhältlichen 3-dimensionalen, sowie die zwei 4-dimensionalen X_{15,16} :

T_{1} ↦ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 1/v & u & 0 & 0 \\ 1/r & (uv − r)/r & v & 0 \\ −u & ua & ra & w \end{matrix} ) , T_{2} ↦ ( \begin{matrix}w & va & uva & −uv^{2}/r \\ 0 & v & uv − r & v/r \\ 0 & 0 & u & 1/r \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) ,

mit a := r−uv−w, r := \sqrt{uvw} und (1, u, v, w) = u. Wiederum sind die Darstellungen nicht über ℤ[u, u^{−1}] realisierbar, sondern erst nach der quadratischen Erweiterung mit \sqrt{u_{0}u_{1}u_{2}u_{3}}. Wie im Falle von G_{4} beweist man:

5.10. Bemerkung. Die relativen Grade f_{i} der zyklotomische Heckealgebra H(A_{2}^{(4)}, u) zu den irreduziblen Darstellungen X_{i} lauten für die vier linearen Charaktere

\frac{u^{6}v^{6}w^{6}}{(uvw– x^{3})(uw+ x^{2})(vw+ x^{2})(uv+ x^{2})Φ_{6}(u, x)Φ_{6}(v, x)Φ_{6}(w, x)(u– x)(v– x)(w– x)},

für die sechs 2-dimensionalen Charaktere

\frac{−u^{6}v^{6}wx}{(u^{2}v^{2} + uvwx + w^{2}x^{2})Φ_{6}(w, x)(u^{2} + wx)(v^{2} + wx)(u − w)(u − x)(v − w)(v − x)},

für die vier 3-dimensionalen

\frac{u^{6}v^{2}w^{2}x^{2}}{(u^{3} − vwx)(vw + x^{2})(vx + w^{2})(wx + v^{2})(u − v)(u − w)(u − x)},

wobei jeweils {u, v, w, x} = {u} ist, sowie

\frac{−u^{4}v^{4}w^{4}}{2 (r + u^{2})(r + v^{2})(r + w^{2})(r + 1)(r + u + vw)(r + v + uw)(r + w + uv) r}

mit r = ±\sqrt{uvw} und (1, u, v, w) = u für die zwei 4-dimensionalen.

Hierbei bezeichnet Φ_{i}(x, y) das homogenisierte i–te zyklotomische Polynom in x und y, so daß Φ_{i}(x, 1) = Φ_{i}(x) wird.

Die Spiegelungsgruppe G_{8} tritt mehrmals als relative Weylgruppe in den exzeptionellen Gruppen auf.

5.11. Folgerung. Spezialisiert man die relativen Grade f_{i} von H_{R}(A_{2}^{(4)}, u) entsprechend den Parameterwerten in 5.12, so erhält man nach Multiplikation mit Deg(R_{𝕃}^{𝔾}(λ))(q) bis auf das Vorzeichen die Grade der unipotenten Charaktere im jeweils angegebenen Φ_{d}-Block von 𝔾.

5.12. Parameter für H(A_{2}^{(4)}).

𝔾 d  𝕃(q)  λ  Parameter
2F_{4} 8′ (q^{2} + \sqrt{2}q + 1)^{2}  1  ζ_{8}^{3}q, ζ_{8}^{5}q, q^{2}
8′′ (q^{2} − \sqrt{2}q + 1)^{2}  1  ζ_{8}q, ζ_{8}^{7}q, q^{2}
F_{4} 4  (q^{2} + 1)^{2}  1  q, −q, q^{2}
E_{6} 4 (q^{2} + 1)^{2}(q − 1)^{2}  1  −q, q^{2}, −q^{3}
2E_{6} 4 (q^{2} + 1)^{2}(q + 1)^{2}  1  q, q^{2}, q^{3}
E_{7} 4 (q^{2} + 1)^{2}A_{1}(q)^{3}  ϕ_{2}^{3}  q, −q, −q^{4}
ϕ_{11}^{3}  q^{3}, −q^{3}, −q^{4}
E_{8} 4 (q^{2} + 1)^{2}D_{4}(q) ϕ_{3,1} −1, −q, q^{5}
ϕ_{123,013}  −q^{4}, q^{5}, −q^{5}
ϕ_{013,2}  −q, −q^{4}, q^{5}
ϕ_{012,3}  q, −q^{4}, −q^{5}

5E. Die Algebra H(K_{2}, u).

Die Gruppe G_{12} wird präsentiert durch

K_{2} : • ••

und ist isomorph zu GL_{2}(3). Diese besitzt 8 komplexe irreduzible Charaktere. Die entsprechenden Darstellungen der Heckealgebra H(K_{2}, (1, u)) können nicht mehr so leicht wie in den vorher behandelten Fällen berechnet werden. Insbesondere die 4dimensionale Darstellung kostet einige Mühe. Da die Matrizen für die Erzeuger T_{1}, T_{2}, T_{3} bereits recht umfangreich werden, geben wir diese nicht explizit an. Die zwei möglichen Eigenwerte der T_{i} führen zu den beiden linearen Darstellungen, die drei 2-dimensionalen Darstellungen sind durch

T_{1} ↦ ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & u \end{matrix} ), T_{2} ↦ ( \begin{matrix}1 & 0 \\ −a & u \end{matrix} ), T_{3} ↦ \frac{1}{r − 1} ( \begin{matrix}u(u − r + 1) & −(u − r) \\ a(u − r) & ru − u − a \end{matrix} )

mit a := u^{2} − ru + u − r + 1 und r := \sqrt{2u}, sowie

T_{1} ↦ ( \begin{matrix}1 & u \\ 0 & u \end{matrix} ) , T_{2} ↦ ( \begin{matrix}u & 0 \\ −1 & 1 \end{matrix} ) , T_{3} ↦ ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −u & u + 1 \end{matrix} )

gegeben, und schließlich die beiden 3-dimensionalen durch

T_{1} ↦ ( \begin{matrix}x & 0 & 0 \\ 0 & x & 0 \\ x & −x & y \end{matrix} ) , T_{2} ↦ ( \begin{matrix}x & 0 & 0 \\ 0 & y & y \\ 0 & 0 & x \end{matrix} ) , T_{3} ↦ ( \begin{matrix}x + y & −x & −x \\ 0 & x & 0 \\ y & −x & 0 \end{matrix} )

mit {x, y} = {1, u}. Zwei der drei 2-dimensionalen Darstellungen sind erst über einer Erweiterung mit \sqrt{2u} realisierbar, die übrigen lassen sich über ℚ(u) schreiben. Man stellt fest:

5.13. Bemerkung. Die relativen Grade f_{i} der zyklotomische Heckealgebra H_{R}(K_{2}, (1, u)) lauten mit {x, y} = {1, u}

\frac{x^{12}}{(x^{4} − x^{2}y^{2} + y^{4})(x^{2} − xy + y^{2})(x^{2} + y^{2})^{2}(x − y)^{2}}

für die zwei linearen Charaktere,

\frac{−u^{2}}{12(u^{2} ± u\sqrt{2u} + u ± \sqrt{2u} + 1)(u ± \sqrt{2u} + 1)^{2}}

sowie

\frac{u^{2}}{2(u^{2} − u + 1)(u − 1)^{2}}

für die drei 2-dimensionalen,

\frac{−x^{5}y}{(x − y)^{2}(x^{2} + y^{2})^{2}}

für die zwei 3-dimensionalen, sowie

\frac{u^{2}}{3(u^{2} + 1)^{2}}

für die 4-dimensionale Darstellung.

Die Spiegelungsgruppe G_{12} tritt als relative Weylgruppe nur beim Φ_{4}–Hauptblock von ^{2}F_{4}(q^{2}) auf.

5.14. Folgerung. Unter der Spezialisierung u ↦ q^{2} gehen die relativen Grade von H(K_{2}, (1, u)), multipliziert mit Deg(R_{𝕃}^{𝔾}(λ))(q), bis auf das Vorzeichen in die Grade unipotenter Charaktere im Φ_{4}–Hauptblock von ^{2}F_{4}(q^{2}) über.

5F. Die Algebra H(A_{3}^{(3)}, u).

Die Spiegelungsgruppe G_{25} = W (A_{3}^{(3)}) mit der Präsentation

A_{3}^{(3)} :  ◯ 3  ◯ 3  ◯ 3

besitzt 24 irreduzible komplexe Charaktere. Mit etwas Mühe können die zugehörigen Darstellungen der zyklotomischen Heckealgebra H(A_{3}^{(3)}, (1, u, v)) konstruiert und daraus die relativen Grade berechnet werden. Da die beiden größten irreduziblen Darstellungen 9-dimensional sind, Koeffizienten in ℚ(u, v, ζ_{3}) besitzen, und daher die Matrizen für die Erzeuger recht umfangreich werden, geben wir die Darstellungen hier nicht explizit an.

5.15. Bemerkung. Die relativen Grade f_{i} der zyklotomische Heckealgebra H(A_{3}^{(3)}, (1, u, v)) zu den irreduziblen Darstellungen X_{i} lauten mit {x, y, z} = {1, u, v} für die drei linearen Charaktere

\frac{x^{12}y^{12}}{Φ_{3}(xy, z^{2})Φ_{6}(x, z)Φ_{6}(y, z)(x^{2}y– z^{3})(y^{2}x– z^{3})Φ_{4}(x, z)Φ_{4}(y, z)(xy+ z^{2})(x– z)^{2}(y– z)^{2}} ,

für die drei 2-dimensionalen Darstellungen

\frac{x^{2}y^{2}z^{12}}{(x^{2}y^{2} + xyz^{2} + z^{4})(x^{2} − xy + y^{2})(xy + z^{2})(x + z)(y + z)(x– y)^{2}(x– z)^{2}(y– z)^{2}} ,

für die insgesamt sieben 3-dimensionalen

\frac{−u^{4}v^{4}}{(u − v)^{2}(u^{2} + v)(u + v^{2})(u − 1)^{2}(uv + 1)(v − 1)^{2}}

und

\frac{−x^{12}y^{4}z}{(x^{2} − xz + z^{2})(x^{3}– yz^{2})(x^{2} + yz)(xy + z^{2})(y^{2} + z^{2})(x + z)(x– y)(x– z)^{2}(y– z)^{2}} ,

für die sechs 6-dimensionalen

\frac{x^{8}y^{4}z^{2}}{(xy^{2} − z^{3})(x^{2} − xz + 1)(xz + y^{2})(x + y)(x + z)(x − y)^{2}(x − z)^{2}(y − z)},

für die drei 8-dimensionalen

\frac{x^{6}y^{6}z^{2}}{(x^{2}y^{2} + xyz^{2} + z^{4})(xz^{2} − y^{3})(x^{3} − yz^{2})(x − y)^{2}(x − z)(y − z)},

sowie

\frac{−u^{4}v^{4}(ζ_{3}uv(u^{3} + v^{3} + 1) + ζ_{3}^{2}(u^{3}v^{3} + u^{3} + v^{3}))}{(u^{4} + vu^{2} + v^{2})Φ_{6}(u)Φ_{6}(v)Φ_{6}(u, v)(u^{2}v^{2} + uv + 1)(u^{2} + uv^{2} + v^{4})}

und der dazu konjugiert komplexe für die beiden 9-dimensionalen.

5.16. Folgerung. Unter der Spezialisierung u ↦ q, v ↦ q^{2}, gehen die relativen Grade von H(A_{3}^{(3)}, (1, u, v)), multipliziert mit Deg(R_{𝕃}^{𝔾}(λ))(q), bis auf das Vorzeichen in die Grade unipotenter Charaktere im Φ_{3}–Hauptblock von E_{6}(q) über.

Die beiden 9-dimensionalen Darstellungen entsprechen hierbei den beiden kuspidalen unipotenten Charakteren von E_{6} mit ζ_{3} und ζ_{3}^{2} als assoziierten Eigenwerten des Frobenius.

6. Rationalität der Darstellungen zyklotomischer Heckealgebren

Wie auch im Fall der gewöhnlichen Heckealgebren stellt sich bei den zyklotomischen Heckealgebren die Frage nach der Rationalität der irreduziblen Darstellungen. Dieses Problem hat zwei Aspekte: einerseits die Rationalität der Darstellungen der generischen Heckealgebra mit algebraisch unabhängigen Parametern, andererseits die Rationalität der Darstellungen nach der (ersten) Spezialisierung zu den in der Natur vorkommenden Parametern, also zu den in Abschnitt 2 bestimmten Potenzen von q^{\frac{1}{2}} , multipliziert mit einer Einheitswurzel. Wir untersuchen zunächst die generische Fragestellung.

6A. Rationalität der Darstellungen im generischen Fall.

Wir gehen von einem der zusammenhängenden zyklotomischen Diagramme D in Definition 3.1 aus. Dazu bilden wir die zyklotomische Heckealgebra HK̄(D, u) über dem Körper K̄ = \overline{ℚ(u)} und mit algebraisch unabhängigem Parametersatz u. Zuerst untersuchen wir die zwei doppelt unendlichen Serien B_{n}^{(d)} und D_{n}^{(d)}. Für die Beschreibung der Darstellungen der zugehörigen Weylgruppen verweisen wir auf Abschnitt 3C.

6.1. Satz. (a) Die Charaktere der irreduziblen Darstellungen der zyklotomischen Heckealgebren HK̄(B_{n}^{(d)}, u) sind rational.

(b) Der irreduzible Charakter χ_{α} der zyklotomischen Heckealgebra HK̄(D_{n}^{(2e)}, u) ist nicht rational genau dann, wenn α_{2i−1} ≠ α_{2i} für mindestens zwei i zwischen 1 und e gilt.

Beweis. Die irreduziblen Darstellungen von HK̄(B_{n}^{(d)}, u) lassen sich durch leichte Verallgemeinerung der Konstruktion von Hoefsmit [15] mit Hilfe von Standardtableaux explizit hinschreiben (siehe hierzu [3], Th. 3.7). Insbesondere sieht man, daß alle Matrizen der Standarderzeuger nur Einträge aus ℚ(u) haben. Damit folgt der erste Teil des Satzes.

Zum Beweis des zweiten Teils verwenden wir Bemerkung 4.14(a), welche eine Einbettung von HK̄(D_{n}^{(2e)}, u) in die Algebra zu B_{n}^{(2e)} liefert. Diese existiert zwar nur für Dimension n ≥ 3, da HK̄(D_{2}^{(2e)}) einen Parameter mehr besitzt, aber für n = 2 bestimmt man die höchstens 2–dimensionalen irreduziblen Darstellungen leicht explizit und prüft so die Aussage nach. Neben den offensichtlichen 4e linearen Darstellungen sind dies die e(e − 1) 2-dimensionalen

T_{1} ↦ ( \begin{matrix}u_{i} & a_{ij} \\ 0 & u_{j} \end{matrix} ) , T′_{2} ↦ ( \begin{matrix}1 + v & −1 \\ v & 0 \end{matrix} ) , T_{2} ↦ ( \begin{matrix}0 & −r_{ij}/(u_{j}v) \\ r/u_{i} & 1 + w \end{matrix} )

mit r_{ij} := \sqrt{u_{i}u_{j}vw} und a_{ij} := −(wu_{i}(v + 1) + r_{ij}(w + 1))/(vw) für u = (u_{0}, u_{1}, …, u_{e−1}, 1, v, 1, w).

Für n ≥ 3 erhält man aus Bemerkung 4.14(a) und der Isomorphieaussage in Satz 4.7 bereits diejenigen Darstellungen von HK̄(D_{n}^{(2e)}, u), die durch Einschränken einer irreduziblen Darstellung von HK̄(B_{n}^{(2e)}, v) mit

v = (±\sqrt{u_{1,0}}, …, ±\sqrt{u_{1,e−1}}, u_{2,0}, u_{2,1})

entstehen. Diese lassen sich nach Teil (a) schon über K := ℚ(v) schreiben. Der Charakterkörper ist also in allen solchen Fällen in K enthalten. Wir können aber sogar die Operation der erzeugenden Automorphismen von Gal(K/ℚ(u)) auf den irreduziblen Charakteren χ_{α} von HK̄(B_{n}^{(d)}, v) bestimmen. Sei dazu δ_{i} ∈ Gal(K/ℚ(u)) derjenige Automorphismus, welcher \sqrt{u_{1,i}} auf −\sqrt{u_{1,i}} abbildet und die übrigen \sqrt{u_{1,j}}, j ≠ i, festläßt. Dann ist δ_{i}(χ_{α}) = χ_{α′} mit

α′ = (α_{1}, α_{2}, …, α_{2i}, α_{2i−1}, …, α_{2e−1}, α_{2e}).

Also bleibt χ_{α} unter Gal(K/ℚ(u)) invariant, wenn α_{2i−1} = α_{2i} für alle 1 ≤ i ≤ e gilt. Stimmt α_{2i−1} für genau ein i nicht mit α_{2i} überein, so vertauscht die Galoisgruppe offensichtlich gerade die zwei Fortsetzungen des irreduziblen Charakters von HK̄(D_{n}^{(2e)}, u) auf HK̄(B_{n}^{(2e)}, v), und der Charakter von HK̄(D_{n}^{(2e)}) bleibt auch in diesem Fall invariant. Damit folgt die Aussage (b) für die durch Einschränken erhaltenen irreduziblen Charaktere.

Es bleiben die aufspaltenden Charaktere zu untersuchen. Nach den obigen Überlegungen und Bemerkung 3.7 sind diese jedenfalls Gal(K/ℚ(u))-invariant. Die Rationalität der Konstituenten zeigen wir durch Berechnung einer Vielfachheit in einem geeigneten induzierten Charakter. Zunächst genügt es, sich auf gerade n zu beschränken, da nach Bemerkung 3.7 für ungerades n alle Charaktere irreduzibel einschränken. Für n = 2 haben die aufspaltenden Charaktere den Grad 2, ihre irreduziblen Konstituenten sind also linear. Die linearen Charaktere werden aber gerade durch die möglichen Eigenwerte beschrieben und sind somit sicher rational.

Sei nun χ_{α} der durch das d := 2e-Tupel α = (α_{1}, …, α_{d}) von Partitionen α_{i} ⊢ n_{i} parametrisierte irreduzible Charakter von W = W (B_{n}^{(d)}), und ψ_{α} der irreduzible Charakter der zugehörigen Trägheitsgruppe H_{α} ≅ Z_{d} ≀ 𝔖_{n_{1}} × ⋯ × Z_{d} ≀ 𝔖_{n_{d}}, so daß χ_{α} = (ψ_{α})^{W} gilt. Zur Zerlegung des Induzierten (χ_{α})_{W}^{W′} nach W′ := W (B_{n+2}^{(d)}) können wir also auch (ψ_{α})_{H_{α}}^{W′} betrachten. Diese Induktion zerfällt in zwei Schritte gemäß dem Diagramm

Char(W (B_{n}^{(d)})) ⟶ Char(W (B_{n+2}^{(d)}))
↑  ↑
Char(H_{α}) ⟶ Char(H_{α} × Z_{d}^{2}).

Die Induktion in der unteren Zeile ist jedoch nach Definition von ψ_{α} leicht durch eine entsprechende Induktion in symmetrischen Gruppen zu beschreiben. Damit zeigt sich, daß χ_{α}^{W′} diejenigen zerfallenden Charaktere von W′, deren Partitionentupel aus α durch Hinzufügen zweier 1-Haken an verschiedenen Partitionen entsteht, mit der Vielfachheit 1 enthält. Zerfällt χ_{α} bei Einschränkung auf W (D_{n}^{(d)}), so enthalten die Induzierten der zwei Konstituenten also jeweils einen der entsprechenden zerfallenden Charaktere von W′. Dies erlaubt den Induktionsschritt von n nach n + 2, da die Irrationalität eines solchen Charakters in W (D_{n+2}^{(d)}) die Irrationalität des Ausgangscharakters in W (D_{n}^{(d)}) erzwingen würde. Für n = 2 waren aber alle Charaktere schon als rational erkannt worden. □

Als Ergebnis des obigen Beweises können wir sogar den genauen Charakterkörper explizit angeben.

6.2. Folgerung. Der Charakterkörper von χ_{α} in Satz 6.1(b) ist

ℚ(\{\sqrt{u_{1,i}u_{1,j}} | α_{2i−1} ≠ α_{2i}, α_{2j−1} ≠ α_{2j}\}).

Wir erhalten auf diese Weise auch die bekannte Rationalitätsaussage für die klassischen Heckealgebren zum Diagramm D_{n} = D_{n}^{(2)} zurück, denn hier besteht α nur aus zwei Partitionen, erfüllt also nie die Voraussetzung für Irrationalität in Satz 6.1.

Wir wenden uns nun den exzeptionellen Diagrammen zu. Das Resultat für die üblichen Weylgruppen und Heckealgebren ist aus [14] übernommen. Für diejenigen Fälle, in denen die Existenz der zugehörigen Heckealgebra nicht in Satz 4.7 nachgewiesen werden konnte, gilt die folgende Aussage nur unter der Annahme der Existenz.

6.3. Satz. Die Charaktere der irreduziblen Darstellungen der zyklotomischen Heckealgebren HK̄(D, u) zu zusammenhängenden exzeptionellen zyklotomischen Diagrammen D sind rational, besitzen also Werte in ℚ(u), außer in den folgenden Fällen:

– für G_{2} die zwei 2-dimensionalen Darstellungen,

– für E_{7} die zwei 512-dimensionalen Darstellungen,

– für E_{8} die vier 4096-dimensionalen Darstellungen,

– für I_{2}(8) zwei der drei 2-dimensionalen Darstellungen,

– für B_{2}^{3,3} die drei 3-dimensionalen Darstellungen,

– für A_{2}^{(4)} die zwei 4-dimensionalen Darstellungen,

– für G_{2}^{(4)} die zwölf 2-dimensionalen und die vier 4-dimensionalen Darstellungen,

– für B_{2}^{4,3} die zwölf 3-dimensionalen und die sechs 4-dimensionalen Darstellungen,

– für K_{2} zwei der drei 2-dimensionalen Darstellungen,

– für A_{2}^{(5)} die zehn 4-dimensionalen und die fünf 5-dimensionalen Darstellungen,

– für A_{3}^{(3)} die zwei 9-dimensionalen Darstellungen,

– für B_{3}^{2,3} die sechs 8-dimensionalen und die vier 9-dimensionalen Darstellungen,

– für L_{4} sämtliche 34 Darstellungen, deren Spezialisierung zu W (L_{4}) nichtrational ist, sowie

– für A_{4}^{(3)} die jeweils sechs 36-, 45- und 64-dimensionalen und die drei 81-dimensio-nalen Darstellungen.

Beweis. Die Beweisidee wird aus der Arbeit [4] übernommen, in der das entsprechende Problem für die klassischen Heckealgebren im Falle gleicher Parameter gelöst wurde (für den Fall ungleicher Parameter siehe man etwa [14], II, Th. 3.1, sowie [12], 67.14, für I_{2}(8)). Für den Nachweis der Rationalität eines Charakters χ von H genügt es zu zeigen, daß dessen Spezialisierung χ̄ auf den Gruppenring ℚ̄W (D) durch seine Vielfachheiten in Induzierten rationaler Charaktere eindeutig bestimmt wird. Denn dann müssen alle algebraischen Automorphismen trivial auf χ̄ operieren, und diese Aussage gilt sodann auch für den ursprünglichen Charakter χ. Als Untergruppen zum Induzieren bieten sich hier die parabolischen Weyluntergruppen an (siehe Anmerkung 3.3). Den Induktionsanfang erhält man mit den zyklischen Weylgruppen W (B_{1}^{(d)}), für die alle Charaktere in Abschnitt 2 explizit angegeben wurden und offensichtlich Werte in ℚ(u) besitzen.

Die irreduziblen Darstellungen der Algebren zu A_{2}^{(3)}, B_{2}^{3,3}, A_{2}^{(4)}, K_{2} und A_{3}^{(3)} wurden in Abschnitt 5 explizit bestimmt. Die Aussage für diese Gruppen folgt somit durch Vergleich mit den dortigen Ergebnissen.

Für die verbleibenden sechs Algebren verfährt man wie oben angedeutet: Die Zerlegung der Induzierten von bereits als rational erkannten Charakteren parabolischer Untergruppen beweist, daß außer den im Satz aufgeführten Charakteren alle bereits durch ihre Vielfachheiten in den Induzierten ausgezeichnet sind und daher rational sein müssen. □

6.4. Anmerkung. Der Beweis des vorangehenden Satzes konkretisiert die im Beweis des Hauptsatzes von [8] gemachte Bemerkung, daß die meisten Charaktere der zyklotomischen Weylgruppen bereits durch ihre Vielfachheiten in Induzierten irreduzibler Charaktere parabolischer Untergruppen bestimmt sind.

Der genaue Charakterkörper kann wiederum explizit angegeben werden:

6.5. Bemerkung. Der Charakterkörper in den Ausnahmefällen des Satzes 6.3 ist

– ℚ(u, \sqrt{∏ u_{ij}}) für die zwei 2-dimensionalen Darstellungen von H(G_{2}, u),

– ℚ(\sqrt{u}) für die zwei 512-dimensionalen Darstellungen von H(E_{7}, (1, u)),

– ℚ(\sqrt{u}) für die vier 4096-dimensionalen Darstellungen von H(E_{8}, (1, u)),

– ℚ(u, \sqrt{2 ∏ u_{ij}}) für die zwei irrationalen Darstellungen von H(I_{2}(8), u),

– ℚ(u, ζ_{3}, \sqrt[3]{∏ u_{ij}}) für die drei 3-dimensionalen Darstellungen von H(B_{2}^{3,3}, u),

– ℚ(u, \sqrt{∏ u_{j}}) für die zwei 4-dimensionalen Darstellungen von H(A_{2}^{(4)}, u),

– ℚ(u, \sqrt{uv ∏ u_{2j}}) mit \{u, v\} ⊂ \{u_{1j}\} für die zwölf 2-dimensionalen und

ℚ(u, ζ_{4}, \sqrt[4]{∏ u_{1j} ∏ u_{2j}^{2}}) für die vier 4-dimensionalen Darstellungen von H(G_{2}^{(4)},u),

– ℚ(u, ζ_{3}, \sqrt[3]{∏ uvw ∏ u_{2j}}) mit \{u, v, w\} ⊂ \{u_{1j}\} für die zwölf 3-dimensionalen und ℚ(u, \sqrt{xy ∏ u_{1j}}) mit \{x, y\} ⊂ \{u_{2j}\} für die sechs 4-dimensionalen Darstellungen von H(B_{2}^{4,3}, u),

– ℚ(\sqrt{2u}) für die zwei irrationalen 2-dimensionalen Darstellungen von H(K_{2}, (1, u)),

– ℚ(u, \sqrt{∏ uvwx}) mit \{u, v, w, x\} ⊂ \{u_{j}\} für die zehn 4-dimensionalen und ℚ(u, ζ_{5}, \sqrt[5]{∏ u_{j}}) für die fünf 5-dimensionalen Darstellungen von H(A_{2}^{(5)}, u),

– ℚ(u, ζ_{3}) für die zwei 9-dimensionalen Darstellungen von H(A_{3}^{(3)}, u),

– ℚ(u, \sqrt{uv ∏ u_{3,j}}) mit \{u, v\} ⊂ \{u_{1j}\} für die sechs 8-dimensionalen und ℚ(u, ζ_{3}) für die vier 9-dimensionalen Darstellungen von H(B_{3}^{2,3}, u),

– ℚ(u, ζ_{4}) für die zwei 64-dimensionalen und ℚ(\sqrt{u}) für die übrigen nichtrationalen Darstellungen von H(L_{4}, (1, u)), sowie – ℚ(u, ζ_{3}) für die jeweils sechs 36- und 45-dimensionalen, ℚ(u, \sqrt{uv}) mit \{u, v\} ⊂

\{u\} für die sechs 64-dimensionalen sowie ℚ(u, ζ_{3}, \sqrt[3]{∏ u_{j}}) für die drei 81-dimensio-nalen Darstellungen von H(A_{4}^{(3)}, u).

Beweis. Für B_{2}^{3,3}, A_{2}^{(4)}, K_{2} und A_{3}^{(3)} folgt dies sofort aus den expliziten Ergebnissen im Abschnitt 5.

Die zwölf 2-dimensionalen Darstellungen von H(G_{2}^{(4)}) bestimmt man leicht als

T_{1} ↦ ( \begin{matrix}u & 0 \\ −u − vy + \sqrt{uvy} & v \end{matrix} ) , T_{2} ↦ ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & y \end{matrix} )

mit Eigenwerten {u, v} ∈ {u_{1,j}}, {1, y} = {u_{2,1}, u_{2,2}}, und verifiziert damit die Aussage in diesem Fall.

In den übrigen Fällen können die Darstellungen zwar (zur Zeit noch) nicht explizit konstruiert werden, aber die Abwandlung eines Arguments von Springer führt zum gewünschten Resultat (siehe [4], correction, Fußnote): Das Element S := T_{1}T_{2}T_{1}T_{2}T_{1}T_{2} = T_{2}T_{1}T_{2}T_{1}T_{2}T_{1} liegt offensichtlich zentral in H(G_{2}^{(4)}), operiert also in jeder absolut irreduziblen Darstellung von H(G_{2}^{(4)}) als Skalar. In den 4-dimensionalen Darstellungen von H gilt det(T_{1}) = uvwx, det(T_{2}) = y^{2}z^{2}, für {u, v, w, x} = {u_{1,j}} und {y, z} = {u_{2,j}}, wie man durch Spezialisierung zur Gruppenalgebra KW (G_{2}^{(4)}) sofort verifiziert. Damit ergibt sich det(S) = u^{3}v^{3}w^{3}x^{3}y^{6}z^{6}, und S muß demnach wie der Skalar \sqrt[4]{u^{3}v^{3}w^{3}x^{3}y^{6}z^{6}} operieren, wobei die vier verschiedenen Darstellungen offensichtlich genau die vier verschiedenen Galoiskonjugierten dieser Wurzel realisieren. Das war aber die Behauptung in diesem Fall.

In H(B_{2}^{4,3}) liegt das Element S := T_{1}T_{2}T_{1}T_{2} = T_{2}T_{1}T_{2}T_{1} zentral, seine Determinante in den zwölf 3-dimensionalen Darstellungen ergibt sich zu det(S) = u^{2}v^{2}w^{2}a^{2}b^{2}c^{2} mit {u, v, w} ⊂ {u_{1,j}} und {a, b, c} = {u_{2,j}}. Wie eben schließt man somit, daß S als Skalar aus ℚ(u, \sqrt[3]{uvwabc}) operiert. Im 4-dimensionalen Fall wird det(S) = (uvwxabc^{2})^{2} mit {u, v, w, x} = {u_{1,j}} und a, b, c wie eben. Die Aussage über den Charakterkörper folgt somit.

Für H(A_{2}^{(5)}) liegt S := T_{1}T_{2}T_{1}T_{2}T_{1}T_{2} = T_{2}T_{1}T_{2}T_{1}T_{2}T_{1} zentral. Im 4-dimensionalen Fall wird det(S) = (uvwx)^{6} mit {u, v, w, x} ⊂ {u_{j}}, im 5-dimensionalen Fall gilt det(S) = (∏ u_{j})^{6}. Die Aussage folgt in beiden Fällen.

In H(B_{3}^{2,3}) liegt S := T_{1}T_{2}T_{1}T_{3}T_{2}T_{1}T_{3}T_{2}T_{3} zentral, und man erhält det(S) = u^{24}v^{12}w^{12}x^{12}y^{12} mit {u, v, w} = {u_{1,j}} und {x, y} = {u_{3,j}} für die Darstellungen der Dimension 8. Im 9-dimensionalen Fall wird det(S) = (uvwx^{2}y)^{27}, und S operiert als Skalar ζ(uvwx^{2}y)^{3}, mit ζ^{9} = 1. Das Bild s ∈ KW (B_{3}^{2,3}) von S unter der Spezialisierungsabbildung auf die Gruppenalgebra hat die Spur ±9ζ_{3}. Wegen o(s) = 6 operiert s in dieser Darstellung also als dritte oder sechste Einheitswurzel. Somit muß ζ eine primitive dritte Einheitswurzel sein, und die Behauptung folgt.

Für L_{4} bezeichnen wir die drei in der zirkulären Relation gebundenen Erzeuger mit s_{1}, s_{2}, s_{3} und denken uns s_{4} mit s_{2} und s_{3} sowie s_{5} mit s_{1} und s_{2} verbunden. Die zugehörigen Erzeuger der zyklotomischen Algebra seien mit T_{i} bezeichnet. Wir setzen T := T_{1}T_{2}T_{3}T_{4}T_{5}. Dann rechnet man T_{1}T^{3} = T^{3}T_{3}, T_{3}T^{3} = T^{3}T_{1}, T_{4}T^{3} = T^{3}T_{5} und T_{5}T^{3} = T^{3}T_{4} nach, und da T^{6} natürlich auch durch T zentralisiert wird, liegt

S := T^{6} = (T_{1}T_{2}T_{3}T_{4}T_{5})^{6}

zentral in der zyklotomischen Algebra. In der 64-dimensionalen irreduziblen Darstellung von H(L_{4}, (1, u)) hat S die Determinante det(S) = u^{30·32}, operiert also als Skalar ζu^{15} mit ζ^{64} = 1. Das entsprechende Element in der Gruppenalgebra operiert als vierte Einheitswurzel, womit der erste Teil der Aussage gezeigt ist. Die verbleibenden nichtrationalen Charaktere unterscheiden sich jeweils durch ihre Vielfachheiten in den Induzierten nichtrationaler Charaktere von der parabolischen Untergruppe W (D_{3}^{(4)}), so daß sich die Rationalitätsaussage aus Folgerung 6.2 ergibt.

Für A_{4}^{(3)} prüft man nach, daß alle Charaktere außer denen der Grade 64 und 81 eindeutig durch ihre Vielfachheiten in den von A_{3}^{(3)} induzierten Charakteren bestimmt werden. Nach dem Argument im Beweis zu Satz 6.3 liegen ihre Werte also höchstens in demselben Charakterkörper wie die der Charaktere von H(A_{3}^{(3)}, u). Da die 36und 45-dimensionalen Charaktere bei Einschränkung auf A_{3}^{(3)} jeweils genau einen der zwei nichtrationalen Charaktere von A_{3}^{(3)} enthalten, muß ihr Charakterkörper mit demjenigen dieser Charaktere übereinstimmen.

Schließlich nehmen die drei 81-dimensionalen Darstellungen von W (A_{4}^{(3)}) auf den Erzeugern s_{i} den Wert 0 an, weshalb die T_{i} in der entsprechenden Darstellung von H(A_{4}^{(3)}, (1, u, v)) die Determinante det(T_{i}) = u^{27}v^{27} haben. Man findet das zentrale Element

S := (T_{1}T_{2}T_{1}T_{3}T_{2}T_{1}T_{4}T_{3}T_{2}T_{1})^{2}

in H(A_{4}^{(3)}), welches somit als Skalar und mit det(S) = (uv)^{20·27} operiert. Analog haben die T_{i} für die 64-dimensionalen Darstellungen die Determinante det(T_{i}) = x^{16}y^{24}z^{24} mit {x, y, z} = {1, u, v}. Dies zeigt die Behauptung im letzten Fall. □

Anmerkung. Für die zwei 9-dimensionalen Darstellungen von A_{3}^{(3)} und damit für die 36- und 45-dimensionalen von A_{4}^{(3)} hätte das Resultat auch ohne die explizite Konstruktion der Darstellungen von A_{3}^{(3)} in Abschnitt 5 mit Springers Argument bewiesen werden können.

6B. Rationalität der Charaktere nach der ersten Spezialisierung.

Eine weitere interessante Frage ist die nach der Rationalität der Darstellungen der spezialisierten Heckealgebren für solche Parametersätze wie sie in der Situation relativer Weylgruppen auftreten. Sind sowohl die generische Darstellung als auch alle Parameterwerte rational, so ist sicher auch die spezialisierte Darstellung über ℚ definiert. Es bleiben also nur solche Fälle zu untersuchen, in denen entweder die Parameterwerte nichtrational sind, oder die Darstellung unter die in Satz 6.3 gefundenen Ausnahmen fällt. Wir nennen einen Parametersatz zulässig, falls er zu einem Φ_{d}–Block in einer generischen Gruppe vom Lie–Typ gehört. Diese Parametersätze wurden in den Bemerkungen 2.7–2.16 für alle zyklischen Fälle und in Paragraph 5 für einige höherdimensionale exzeptionelle Algebren bestimmt. Treffen die in Abschnitt 4C gemachten Überlegungen zu den Parametern im Allgemeinen zu, so kennen wir die zulässigen Parametersätze sogar in allen Fällen. Zusätzlich zur schon eben gemachten Voraussetzung der Existenz gemäß Vermutung 4.6 nehmen wir für den folgenden Satz also zudem noch an, daß die zulässigen Parametersätze aus denen der Teildiagramme erhalten werden. Dann gilt:

6.6. Satz. Die Charaktere der irreduziblen Darstellungen der spezialisierten zyklotomischen Heckealgebren Hℚ̄(x)(D) zu zulässigen Parametersätzen sind rational, besitzen also Werte in ℚ(x), außer in den folgenden Fällen mit Charakterkörper K ≠ ℚ:

– für B_{1}^{(d)} in den exzeptionellen Gruppen die zu den nichtrationalen Parameterwerten in Tabelle 8.1 gehörigen Darstellungen,

– für E_{7} die beiden 512-dimensionalen Darstellungen mit K = ℚ(\sqrt{x}) für d = 1 bzw. K = ℚ(\sqrt{−x}) für d = 2,

– für E_{8} die vier 4096-dimensionalen Darstellungen mit K = ℚ(\sqrt{x}) für d = 1 bzw. K = ℚ(\sqrt{−x}) für d = 2,,

– für B_{2}^{3,3} zwei der drei 3-dimensionalen Darstellungen mit K = ℚ(ζ_{3}),

– für A_{2}^{(4)} im Falle 𝔾 = F_{4}, d = 4, die zwei 4-dimensionalen Darstellungen mit K = ℚ(ζ_{4}),

– für G_{2}^{(4)} zwei der vier 4-dimensionalen Darstellungen mit K = ℚ(ζ_{4}),

– für B_{2}^{4,3} acht der zwölf 3-dimensionalen Darstellungen mit K = ℚ(ζ_{3}) und zwei der sechs 4-dimensionalen Darstellungen mit K = ℚ(ζ_{4}),

– für K_{2} zwei der drei 2-dimensionalen Darstellungen mit K = ℚ(\sqrt{2}),

– für A_{2}^{(5)} vier der zehn 4-dimensionalen Darstellungen mit K = ℚ(\sqrt{x}) für d = 5 bzw. K = ℚ(\sqrt{−x}) für d = 10 und vier der fünf 5-dimensionalen Darstellungen mit K = ℚ(ζ_{5}),

– für A_{3}^{(3)} die zwei 9-dimensionalen Darstellungen mit K = ℚ(ζ_{3}),

– für B_{3}^{2,3} zwei der sechs 8-dimensionalen Darstellungen mit K = ℚ(\sqrt{x}) für d = 3 bzw. K = ℚ(\sqrt{−x}) für d = 6 und die vier 9-dimensionalen Darstellungen mit K = ℚ(ζ_{3}),

– für L_{4} die zwei 64-dimensionalen Darstellungen mit K = ℚ(ζ_{4}), sowie

– für A_{4}^{(3)} die jeweils sechs 36- und 45-dimensionalen und zwei der drei 81-dimensio-nalen Darstellungen mit K = ℚ(ζ_{3}) und vier der sechs 64-dimensionalen Darstellungen mit K = ℚ(\sqrt{x}) für d = 3 bzw. K = ℚ(\sqrt{−x}) für d = 6.

Beweis. Gemäß Satz 6.1 sind die Charaktere für H(B_{n}^{(d)}, u) sämtlich rational, während die für H(D_{n}^{(2e)}, u) höchstens Werte in ℚ(\{\sqrt{u_{i}}\}) annehmen. Nach den Bemerkungen 2.10, 2.14, 2.16 und 2.19 sind alle Parametersätze für klassische Gruppen rational, und im Falle ausgearteter d-(Ko)-Kerne sogar jeweils positive gerade Potenzen von x. Damit sind also alle spezialisierten Charaktere für klassische Gruppen als rational nachgewiesen, und wir müssen uns nurmehr um die exzeptionellen Gruppen kümmern.

Die generischen Algebren zu den zyklischen Gruppen W (B_{1}^{(d)}) haben nach Paragraph 2 rationale irreduzible Darstellungen, und eine spezialisierte Darstellung wird genau dann nichtrational, wenn der zugehörige Parameter nichtrational ist. Dies führt zum ersten Ausnahmefall.

Die zulässigen Parameterspezialisierungen für H(B_{2}^{3,3}) wurden in 5.9 angegeben. In allen sechs Fällen enthält ℚ(x, ζ_{3}) den Charakterkörper.

Die Parameterwerte für H(A_{2}^{(4)}) finden sich in 5.12. Hier ist der Charakterkörper gleich ℚ(x, ζ_{4}) im Falle 𝔾 = F_{4}, d = 4, und gleich ℚ(x) sonst.

Die relative Weylgruppe W (G_{2}^{(4)}) tritt nur in E_{8} für d = 8 auf. Die parabolischen Unterdiagramme vom Rang 1 entsprechen den Leviuntergruppen Φ_{8} ^{2}D_{4} und Φ_{8}A_{1}^{(4)}. Die zugehörigen Parametersätze in diesen Fällen sind nach den Bemerkungen 2.16 und 2.10 gleich {1, x^{2}, x^{4}, x^{6}} und {1, x^{4}}. Man erhält somit, daß die 2dimensionalen Charaktere bei der Spezialisierung rational werden, ebenso wie zwei der 4-dimensionalen.

Auch W (B_{2}^{(4,3)}) kommt nur in E_{8} vor, für d = 12. Die parabolischen Teilsysteme vom Rang 1 gehören zu Leviuntergruppen Φ_{12} ^{3}D_{4} und Φ_{12}(^{2}A_{2})^{(2)}. In beiden Fällen ist die Φ_{12}-Untergruppe ein Coxetertorus. Damit bekommt man die Parametersätze {1, x^{3}, −x^{3}, x^{6}} und {1, −x^{2}, x^{4}} für die zwei Knoten des Diagramms.

Nach Folgerung 5.14 liegen die Charakterwerte von H(K_{2}) in ℚ(\sqrt{2}).

W (A_{2}^{(5)}) tritt für d = 5 und d = 10 in E_{8} auf. Die Knoten gehören jeweils zu Leviuntergruppen Φ_{5}A_{4} bzw. Φ_{10} ^{2}A_{4}. Gemäß Bemerkung 2.10 gehören dazu die Parametersätze {1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}} bzw. {1, −x, x^{2}, −x^{3}, x^{4}}. Vier der 4-dimensionalen Charaktere haben damit Werte in ℚ(\sqrt{x}) bzw. ℚ(\sqrt{−x}), während vier der 5-dimensionalen Werte in ℚ(x, ζ_{5}) annehmen.

Für H(A_{3}^{(3)}) ist die Behauptung klar.

Die zyklotomische Weylgruppe W (B_{3}^{2,3}) kommt nur für d = 3 und d = 6 in 𝔾 = E_{7} vor. Die zugehörigen Parameterspezialisierungen bestimmt man aus dem Unterdiagramm B_{2}^{(3)} vom Rang 2 zu 1, x, x^{2}; 1, x^{3} für d = 3 und 1, −x, x^{2}; 1, −x^{3} für d = 6. Das Resultat ergibt sich mit Bemerkung 6.5.

Für die 64-dimensionalen Charaktere von H(L_{4}) ist wiederum nichts zu zeigen. Nach Bemerkung 2.19 ist der einzige zulässige Parametersatz für L_{4} gleich {1, x^{2}}, so daß alle weiteren nichtrationalen Charaktere der generischen Algebra rationale Spezialisierungen besitzen.

Die Parameterwerte für H(A_{4}^{(3)}) in E_{8} sind {1, x, x^{2}} im Fall d = 3 und {1, −x, x^{2}} im Fall d = 6. Die Behauptung folgt damit aus den Ergebnissen der Bemerkung 6.5. □

Durch Vergleich von Tabelle 8.1 und Satz 6.6 mit den bekannten Ergebnissen über die Rationalität und die Eigenwerte des Frobenius für die unipotenten Charaktere der Gruppen vom Lie–Typ verifiziert man hieraus leicht das folgende Indiz für die Richtigkeit der in Abschnitt 1 vorgestellten Vermutungen:

6.7. Folgerung. Die Rationalitätseigenschaften der spezialisierten Charaktere der zyklotomischen Heckealgebren stimmen mit denen der nach 1.1 und den Vermutungen (d-HVi) dazugehörigen unipotenten Charaktere in Φ_{d}-Blöcken von Gruppen vom Lie–Typ überein.

Man beachte hierbei, daß die Irrationalität \sqrt{2} für K_{2} dadurch wieder aufgehoben wird, daß der Parameter x nur die Werte \sqrt{2^{2n+1}} annehmen kann.

7. d-Harish-Chandra Theorie für endliche Coxetergruppen

Die endlichen Coxetergruppen H_{3}, H_{4} und I_{2}(p), p ∉ {2, 3, 4, 6}, kommen nicht als Weylgruppen endlicher Gruppen vom Lie-Typ vor. Mit der hier und in [8] erhaltenen Einsicht in die Struktur der Mengen Uch(𝔾) unipotenter Charaktere ist es nun jedoch möglich, eine Entsprechung von Uch(𝔾) auch für diese Coxetergruppen zu konstruieren, die sowohl mit der d-Harish-Chandra Theorie als auch, soweit nachprüfbar, mit der hier vorgestellten Theorie der zyklotomischen Heckealgebren verträglich ist. Diese Mengen ”unipotenter Charaktere” haben aber keine Entsprechung mehr auf der Seite der Gruppen vom Lie-Typ.

In [7] wurde jeder endlichen Weylgruppe W und jedem Graphautomorphismus ϕ von W eine generische Gruppe 𝔾 = ((X, R, Y, R^{∨}), W ϕ) zugeordnet, wobei X, Y zueinander duale ℤ-Gitter und R bzw. R^{∨} Wurzelsysteme in X bzw. in Y sind. Um wohldefinierte Objekte nicht nur für Weylgruppen sondern für alle endlichen Coxetergruppen zu erhalten, müssen wir die Definition einer generischen endlichen reduktiven Gruppe aus [8] leicht abändern.

7.1. Definition. Wir nennen ein Tripel (V, W ϕ), bestehend aus

• einem endlich-dimensionalen Vektorraum V über dem Körper der reellen Zahlen ℝ,

• einer endlichen, von Spiegelungen erzeugten Untergruppe W von GL(V), und • einem W normalisierenden Automorphismus ϕ von V von endlicher Ordnung,

eine ”verallgemeinerte generische endliche reduktive Gruppe”.

Für ein solches Tripel G := (V, W ϕ) bezeichne • K den Koeffizientenkörper der Polynome det(1 − xwϕ) (w ∈ W) und

• Σ die Menge aller Spiegelungen in W (wir setzen N := |Σ|). Eine generische endliche reduktive Gruppe 𝔾 = ((X, R, Y, R^{∨}), W ϕ) definiert durch

G := (ℝ ⊗_{ℤ} Y, W ϕ)

auf natürliche Weise eine verallgemeinerte generische endliche reduktive Gruppe. Abgesehen von den zugehörigen algebraischen Gruppen und ihren nichtunipotenten Charakteren können wir alle anderen Begriffe, die ausgehend von 𝔾 definiert wurden, auch von der zugehörigen verallgemeinerten Gruppe G ablesen, wie nun gezeigt wird:

Sei G eine verallgemeinerte Gruppe.

• Ein Untertorus von G ist eine verallgemeinerte Gruppe der Bauart S = (V′, (wϕ)_{|_{V ′}}), mit einem Teilraum V′ von V und einem Element wϕ aus W ϕ, welches V′ stabilisiert.

• Der Zentralisator eines Torus S = (V′, (wϕ)_{|_{V ′}}) von G ist die verallgemeinerte Gruppe L := (V, W′wϕ), mit der durch die Menge Σ′ von s ∈ Σ mit V′ ⊆ ker(s − 1) erzeugten Untergruppe W′ von GL(V) Die Zentralisatoren von Tori werden verallgemeinerte Leviuntergruppen von G genannt.

• Die Ordnung von G ist das durch

|G| := \frac{ε_{G}x^{N}}{\frac{1}{|W |} ∑_{w∈W} \frac{1}{det_{V} (1 − xwϕ)}}

gegebene Polynom aus K[x], wobei e_{G} wie in [8] definiert wird: Mit SV sei die symmetrische Algebra von V bezeichnet. Die graduierte Teilalgebra der W -invarianten Elemente von SV sei (SV)^{W}, und darin 𝔄 das Ideal der Elemente ohne Terme vom Grad 0. Auf dem Vektorraum 𝔄/𝔄^{2} operiert das Bild ϕ̄ von ϕ modulo W, und wir setzen ε_{G} := (−1)^{r} det ϕ̄ mit r := dim 𝔄/𝔄^{2}.

• Sei Φ ein irreduzibles zyklotomisches Polynom in K[x]. Eine Φ-Untergruppe von G ist ein Untertorus S, dessen Ordnung eine Potenz von Φ ist. Die Φ-Tori erfüllen Sylowsätze wie in [7].

Weiter wurde in [8] jeder generischen Gruppe eine Menge Uch(𝔾) unipotenter Charaktere γ zugeordnet (die nur von G abhängt und daher auch als Uch(G) aufgefaßt werden kann), versehen mit generischen Graden Deg(γ) ∈ ℚ[x], so daß die Grade der unipotenten Charaktere ρ_{γ} der endlichen reduktiven Gruppe 𝔾(q) durch Spezialisierung von x zu q in Deg(γ) entstehen. Für jeden Teiler Φ_{d}(x) des Poincaré-Polynoms von W_{𝔾}, also der Ordnung |𝔾| ∈ ℤ[x], ergeben die Konstituenten der R_{𝕃}^{𝔾}(λ), wobei (𝕃, λ) die d-kuspidalen Paare von 𝔾 durchläuft, eine Partition von Uch(𝔾) in sogenannte d-Harish-Chandra Serien.

Die Existenz der Menge Uch(𝔾) wurde dort aus der Lusztigschen Klassifikation der unipotenten Charaktere der endlichen Gruppen vom Lie-Typ gefolgert. Dieser Zugang ist uns bei dem Versuch der Definition von Uch(G) für G zu beliebigen endlichen Coxetergruppen versperrt, da etwa zu H_{3} oder H_{4} keine algebraische Gruppe existiert, und es somit auch keine spezialisierten Charaktere und keinen R_{𝕃}^{𝔾}-Funktor gibt. Ein möglicher Zugang zur Definition von Uch(G) wird von G. Lusztig im Anhang gegeben.

Bei geeigneter Interpretation erfüllen auch diese Mengen Uch(G) eine Harish-Chan-dra Theorie. Für einen irreduziblen Teiler Φ von |G| über K[x] sei dazu γ ∈ Uch(G) Φ-kuspidal, falls die maximale Φ-Potenz in |G| auch in Deg(γ) aufgeht (man beachte, das auch hier Φ_{1}-kuspidal mit Kuspidalität im Sinne von Lusztig übereinstimmt.). Eine Leviuntergruppe L heiße Φ-zerfallend, falls sie der Zentralisator eines Φ-Torus S ≤ G ist. Ein Paar (L, λ), bestehend aus einer Φ-zerfallenden Leviuntergruppe L und einem Φ-kuspidalen Charakter λ ∈ Uch(L), heiße Φ-kuspidales Paar von G. Als Hauptergebnis erhält man dann:

7.2. Satz. Für jede verallgemeinerte generische Gruppe G und jedes Φ existiert eine Partition

Uch(G) =⋃^{·}_{(L,λ) Φ-kuspidal} Uch(G, (L, λ))

(wobei die Vereinigung über die Φ-kuspidalen Paare von G genommen wird) von Uch(G) in Φ-Harish-Chandra Serien, so daß die durch

R_{L}^{G}(λ) := ∑_{γ∈Uch(G,(L,λ))} Deg(γ)(ζ) γ

mit Φ(ζ) = 0 definierte lineare Abbildung R_{L}^{G}(λ) : ℤ Uch(L) → ℤ Uch(G) das Theorem 3.2 in [8] erfüllt. Insbesondere sind die Deg(γ)(ζ_{d}) bis auf das Vorzeichen gleich den Graden der irreduziblen Charaktere von W_{G}(L, λ).

Im Falle von Weylgruppen W ist dies mit Uch(G, (L, λ)) := Uch(𝔾, (𝕃, λ)) eines der Hauptergebnisse von [8]. Für die übrigen endlichen Coxetergruppen lassen sich die Uch(G, (L, λ)) leicht anhand der von Lusztig im Anhang angegebenen Gradpolynome der unipotenten Charaktere bestimmen und damit die Behauptung nachrechnen.

Analog zu der Situation in den Gruppen vom Lie-Typ kann man die unipotenten Charaktere in Familien aufteilen, entsprechend der Zellzerlegung von W (vergleiche hierzu auch die Andeutung in [19], S.xv). Für H_{4} liegen die sechs ersten je in einer Familie für sich, dann folgen sechs 4-elementige Familien, und die übrigen 74 Charaktere bilden die letzte Familie. Es ist nicht unmittelbar klar, ob diese Familie wie im Fall der Gruppen vom Lie-Typ einer endliche Gruppe zugeordnet ist. Wir merken an, daß die Gruppe SL_{2}(5) genau 74 Paare (g, χ) besitzt, wobei g Vertreter der Konjugiertenklassen durchläuft und χ irreduzible Charaktere des Zentralisators in SL_{2}(5) von g.

Die Grade in der ersten und dritten 4-elementigen Familie von H_{3} sowie in der ersten, zweiten, fünften und sechsten 4-elementigen Familie von H_{4} sind mit den jeweiligen Scheingraden (”fake-degrees”) durch die Fourier-Transformationsmatrix

(7.3)  M := \frac{\sqrt{5}}{5} ( \begin{matrix}−ā & a & 1 & 1 \\ a & −ā & −1 & −1 \\ 1 & −1 & a & ā \\ 1 & −1 & ā & a \end{matrix} )

mit a := \frac{1+\sqrt{5}}{2} verbunden.

Zur Konstruktion der Mengen Uch(G) wurde die Vermutung (d-HV6) nur in zyklischen Fällen und für Φ = Φ_{1} herangezogen (siehe Anhang). Im Nachhinein kann man verifizieren, daß (d-HV6) für alle Φ-Blöcke stimmt, in denen man die generischen Grade der zugehörigen zyklotomischen Heckealgebren kennt.

7.4. Bemerkung. Spezialisiert man die generischen Grade der in Tabelle 8.3 angegebenen zyklotomischen Heckealgebren gemäß den dort aufgeführten Parametern, so erhält man die Grade Deg(γ) der γ ∈ Uch(G, (L, λ)) im entsprechenden generischen Φ-Block von I_{2}(5), H_{3} bzw. H_{4}.

In H_{3} gibt es eine Φ_{2}-zerfallende Leviuntergruppe Φ_{2} ^{2}I_{2}(5) mit einem Φ_{2}-kuspida-len Charakter. Dabei erhält man die Charaktergrade von ^{2}I_{2}(5) gemäß der Ennola-Dualität durch Ersetzen von x durch −x aus denen von I_{2}(5) (siehe Anhang).

7.5. Anmerkung. In H_{4} fehlen uns noch die generischen Grade der zu den in H_{4} vorkommenden Spiegelungsgruppen G_{20} und G_{22} mit Diagrammen I_{2}^{3,3}(5) bzw. M_{2} gehörenden Heckealgebren (siehe 3.8) für einen vollständigen Nachweis von (d-HV6). Umgekehrt sollten aber diejenigen der aufgeführten Grade von H_{4} mit vollem Φ_{4}- Defekt genau die generischen Grade von H(M_{2}) sein. (Man beachte hierzu, daß H(M_{2}) nur einen Parameter hat.)

Dieser (vermutete) Zusammenhang, der nicht über den Umweg einer endlichen Gruppe vom Lie-Typ entstehen kann, deutet unserer Ansicht nach auf eine noch unbekannte Struktur hin, als deren ”Schatten” wir die generische Gruppe G, die Menge Uch(G) und die Menge der zugehörigen zyklotomischen Heckealgebren ansehen können.

54 Michel Broué und Gunter Malle

8. Tabellen 8.1. Parameter für zyklische zyklotomische Heckealgebren in exzeptionellen Gruppen.

𝔾 d  𝕃(q)  λ  W Parameter
2G_{2} 4  Φ_{4}  1  Z_{6} ζ_{12}q, ζ_{12}^{5}q, ζ_{12}^{7}q, ζ_{12}^{11}q, q^{2}
2F_{4} 12  Φ_{12}  1  Z_{6} −ζ_{3}q^{4}, −ζ_{3}^{2}q^{4}, q^{4}, −q^{4}, q^{8}
F_{4} 4  Φ_{4}.B_{2}(q) ϕ_{11,−}, ϕ_{−,2} Z_{4} q^{3}, −q^{3}, q^{6}
8  Φ_{8}  1  Z_{8} q^{2}, q^{3}, −q^{3}, ζ_{4}q^{3}, ζ_{4}^{3}q^{3}, q^{4}, q^{6}
E_{6} 3  Φ_{3}.^{3}D_{4}(q)  ^{3}D_{4}[−1] Z_{3} q^{4}, q^{8}
4 Φ_{1}Φ_{4}.^{2}A_{3}(q)  ϕ_{22}  Z_{4} q^{3}, q^{6}, q^{9}
5 Φ_{1}Φ_{5}.A_{1}(q)  ϕ_{2}  Z_{5} q^{3}, q^{4}, q^{6}, q^{12}
ϕ_{11}  Z_{5} q^{6}, q^{8}, q^{9}, q^{12}
8  Φ_{1}Φ_{2}Φ_{8}  1  Z_{8} q^{3}, −q^{3}, q^{4}, q^{5}, q^{6}, −q^{6}, q^{9}
9  Φ_{9}  1  Z_{9} q^{2}, q^{3}, q^{4}, ζ_{3}q^{4}, ζ_{3}^{2}q^{4}, q^{5}, q^{6}, q^{8}
E_{7} 6 Φ_{2}Φ_{6}.^{3}D_{4}(q)  ϕ_{2,1}  Z_{6} q, q^{4}, q^{5}, q^{8}, q^{9}
6  Φ_{6}.^{2}A_{5}(q)  ϕ_{42}  Z_{6} q, −q, q^{3}, q^{5}, q^{8}
ϕ_{2211} Z_{6} q^{3}, q^{5}, q^{7}, −q^{7}, q^{8}
8 Φ_{8}.A_{1}(q^{2}).A_{1}(q) ϕ_{2}^{2}  Z_{8} q^{2}, q^{3}, −q^{3}, q^{5}, −q^{5}, q^{6}, q^{12}
ϕ_{2}ϕ_{11} Z_{8} q, −q, q^{4}, q^{6}, q^{7}, −q^{7}, q^{10}
ϕ_{11}ϕ_{2} Z_{8} q^{3}, −q^{3}, q^{4}, q^{6}, q^{9}, −q^{9}, q^{10}
ϕ_{11}^{2}  Z_{8} q^{6}, q^{7}, −q^{7}, q^{9}, −q^{9}, q^{10}, q^{12}
10 Φ_{2}Φ_{10}.^{2}A_{2}(q) ϕ_{3} Z_{10} −1, q, q^{2}, −q^{2}, q^{3}, −q^{3}, q^{4}, q^{6}, q^{9}
ϕ_{21}  Z_{10} q, q^{3}, q^{4}, iq^{\frac{9}{2}} , −iq^{\frac{9}{2}} , q^{5}, q^{6}, q^{8}, q^{9}
ϕ_{111}  Z_{10} q^{3}, q^{5}, q^{6}, −q^{6}, q^{7}, −q^{7}, q^{8}, q^{9}, −q^{9}
12 Φ_{12}.A_{1}(q^{3}) ϕ_{2} Z_{12} q, −q, q^{2}, ζ_{3}q^{2}, ζ_{3}^{2}q^{2},

q^{3}, −q^{3}, q^{4}, q^{5}, −q^{5}, q^{8}

ϕ_{11}  Z_{12} q^{3}, – q^{3}, q^{4}, q^{5}, – q^{5}, q^{6},

ζ_{3}q^{6}, ζ_{3}^{2}q^{6}, q^{7}, – q^{7}, q^{8}

14 Φ_{2}Φ_{14} 1 Z_{14} q^{2}, q^{3}, −q^{3}, q^{4}, −q^{4}, iq^{\frac{9}{2}} , −iq^{\frac{9}{2}} , q^{5}, – q^{5}
q^{6}, −q^{6}, q^{7}, q^{9}
E_{8} 6 Φ_{6}.^{2}E_{6}(q) ϕ′_{9,6} Z_{6} −1, q^{2}, q^{5}, q^{7}, q^{10}
ϕ′′_{9,6}  Z_{6} q^{3}, q^{5}, q^{8}, q^{10}, −q^{10}
ϕ′′_{6,6}  Z_{6} q, q^{5}, −q^{5}, q^{9}, q^{10}
8 Φ_{8}.^{2}D_{4}(q) ϕ_{13,−} Z_{8} −1, q, q^{3}, q^{5}, q^{6}, −q^{6}, q^{15}
ϕ_{0123,13} Z_{8} q^{9}, −q^{9}, q^{10}, q^{12}, q^{14}, q^{15}, −q^{15}
ϕ_{023,1} Z_{8} q^{3}, q^{5}, −q^{6}, q^{9}, −q^{10}, q^{12}, q^{15}
ϕ_{123,0} Z_{8} q^{3}, −q^{5}, q^{6}, −q^{9}, q^{10}, q^{12}, q^{15}
ϕ_{013,2} Z_{8} −q^{3}, q^{5}, q^{6}, q^{9}, q^{10}, q^{12}, −q^{15}
ϕ_{012,3} Z_{8} −q^{3}, −q^{5}, −q^{6}, −q^{9}, −q^{10}, q^{12}, −q^{15}

𝔾 d  𝕃(q)  λ W Parameter
10 Φ_{10}.^{2}A_{4}(q) ϕ_{32} Z_{10} −1, q^{3}, −q^{3}, q^{4}, q^{6}, −q^{6}, q^{7}, q^{9}, q^{12}
ϕ_{221} Z_{10} q^{3}, q^{5}, q^{6}, −q^{6}, q^{8}, q^{9}, −q^{9}, q^{12}, −q^{12}
12 Φ_{12}.^{3}D_{4}(q) ϕ′_{1,3} Z_{12} ζ_{3}, ζ_{3}^{2}, q, −q, q^{2}, q^{3}, −q^{3}, q^{5}, −q^{5}, q^{6}, q^{10}
ϕ′′_{1,3} Z_{12} q^{4}, q^{5}, −q^{5}, q^{7}, −q^{7}, q^{8}, q^{9}, −q^{9}, q^{10}, ζ_{3}q^{10}, ζ_{3}^{2}q^{10}
ϕ_{2,2} Z_{12} −q, q^{2}, q^{4}, q^{5}, −q^{5}, ζ_{3}q^{5}, ζ_{3}^{2}q^{5}, q^{6}, q^{8}, −q^{9}, q^{10}
3D_{4}[1] Z_{12} q, q^{2}, q^{4}, q^{5}, −q^{5}, −ζ_{3}q^{5}, −ζ_{3}^{2}q^{5}, q^{6}, q^{8}, q^{9}, q^{10}
14 Φ_{2}Φ_{14}.A_{1}(q) ϕ_{2} Z_{14} q^{3}, −q^{3}, q^{5}, −q^{5}, q^{6}, −q^{6}, q^{7}, iq^{\frac{15}{2}} , −iq^{\frac{15}{2}} , q^{8}

q^{9}, −q^{9}, q^{15}

ϕ_{11} Z_{14} q^{6}, – q^{6}, q^{7}, iq^{\frac{15}{2}} , – iq^{\frac{15}{2}} , q^{8}, q^{9}, – q^{9}, q^{10}, – q^{10}

q^{12}, – q^{12}, q^{15}

18 Φ_{18}.^{2}A_{2}(q) ϕ_{3} Z_{18} −1, q, q^{2}, ζ_{3}q^{2}, ζ_{3}^{2}q^{2}, iq^{\frac{5}{2}} , −iq^{\frac{5}{2}} , q^{3}, −q^{3}

q^{4}, −q^{4}, q^{5}, ζ_{3}q^{5}, ζ_{3}^{2}q^{5}, q^{6}, −q^{6}, q^{10}

ϕ_{21} Z_{18} q, q^{3}, −q^{3}, q^{4}, −q^{4}, q^{5}, −q^{5}, ζ_{3}q^{5}, ζ_{3}^{2}q^{5}

−ζ_{3}q^{5}, −ζ_{3}^{2}q^{5}, q^{6}, −q^{6}, q^{7}, −q^{7}, q^{9}, q^{10}

ϕ_{111} Z_{18} q^{4}, −q^{4}, q^{5}, ζ_{3}q^{5}, ζ_{3}^{2}q^{5}, q^{6}, −q^{6}, q^{7}, −q^{7}

iq^{\frac{15}{2}} , −iq^{\frac{15}{2}} , q^{8}, ζ_{3}q^{8}, ζ_{3}^{2}q^{8}, q^{9}, q^{10}, −q^{10}

20 Φ_{20} 1 Z_{20} q^{3}, q^{4}, q^{5}, q^{6}, q^{7}, q^{8}, q^{9}, q^{12}, −q^{3}, −q^{5}, −q^{6}

−q^{7}, −q^{9}, iq^{6}, −iq^{6}, ζ_{5}q^{6}, ζ_{5}^{2}q^{6}, ζ_{5}^{3}q^{6}, ζ_{5}^{4}q^{6}

24 Φ_{24} 1 Z_{24} q^{2}, q^{3}, q^{4}, q^{5}, q^{6}, q^{7}, q^{8}, q^{10}

−q^{3}, −q^{4}, −q^{5}, −q^{6}, −q^{7}, ζ_{3}q^{4}, ζ_{3}q^{5}, ζ_{3}q^{6} ζ_{3}^{2}q^{4}, ζ_{3}^{2}q^{5}, ζ_{3}^{2}q^{6}, −ζ_{3}q^{5}, −ζ_{3}^{2}q^{5}, iq^{5}, −iq^{5}

In der folgenden Tabelle haben wir einige Eigenschaften zyklotomischer Weylgruppen zusammengestellt. Die erste Spalte gibt die Numerierung der komplexen Spiegelungsgruppe in der Bezeichnung von Shephard und Todd [23] an, die weiteren den hier verwendeten Namen, die Ordnung, das zyklotomische Diagramm, die Dimension der Spiegelungsgruppe, die Grade der fundamentalen Invarianten, die Anzahl der Reflektionen in W der Ordnungen 2,3,4 und 5, die Ordnung des Zentrums Z(W) und schließlich die Anzahl der Konjugiertenklassen. Die Einträge in den Spalten 6 und 7 wurden der Arbeit [10] von Cohen entnommen.

8.2. Eigenschaften zyklotomischer Weylgruppen.

Name  |W |  D  dim
G(d, 1, n) B_{n}^{(d)}  d^{n}n!  ◯^{d} ◯ ⋯ ◯  n
G(2e, 2, n) D_{n}^{(2e)} (2e)^{n}n!/2 ◯^{e}  ◯⧹ ◯⧸◯ ⋯ ◯ n
Name |W |  D  dim  Grade  #Reflek. |Z| #Kl.
G_{4} A_{2}^{(3)}  24  ◯ 3  ◯ 3  2  4, 6 −, 8, −, − 2  7
G_{5} B_{2}^{3,3}  72  ◯ 3  ◯ 3  2  6, 12 −, 16, −, − 6  21
G_{8} A_{2}^{(4)}  96  ◯ 4  ◯ 4  2  8, 12 6, −, 12, − 4  16
G_{9} G_{2}^{(4)}  192  ◯ 4  ◯  2  8, 24 18, −, 12, − 8  32
G_{10} B_{2}^{4,3}  288  ◯ 4  ◯ 3  2  12, 24 6, 16, 12, − 12  48
G_{12} K_{2}  48  ◯  ◯ ◯  2  6, 8 12, −, −, − 2  8
G_{16} A_{2}^{(5)}  600  ◯ 5  ◯ 5  2  20, 30 −, −, −, 48 10  45
G_{25} A_{3}^{(3)}  648 ◯ 3  ◯ 3  ◯ 3 3  6, 9, 12 −, 24, −, − 3  24
G_{26} B_{3}^{3,3} 1296 ◯ 3  ◯ 3  ◯ 3  6, 12, 18 9, 24, −, − 6  48
G_{31} L_{4} 46080 ◯⧸◯ ◯ ◯⧹◯ 4 8, 12, 20, 24 60, −, −, − 4  59
G_{32} A_{4}^{(3)} 155520 ◯ 3 ◯ 3 ◯ 3 ◯ 3 4 12, 18, 24, 30 −, 80, −, − 6 102
G_{20} I_{2}^{3,3}(5) 360  ◯ 3 ^{5} ◯ 3  2  12, 30 −, 40, −, − 6  27
G_{22} M_{2}  240  ◯ 5 ◯ ◯  2  12, 20 30, −, −, − 4  18

8.3. Parameter für zyklische zyklotomische Heckealgebren in I_{2}(5), H_{3} und H_{4}.

G d  L  λ  W Parameter
I_{2}(5) 2  Φ_{1}Φ_{2}  1  Z_{2} q^{5}
5′  Φ′_{5}  1  Z_{5} q, ζ_{5}q, ζ_{5}^{4}q, q^{2}
5′′  Φ′′_{5}  1  Z_{5} q, ζ_{5}^{2}q, ζ_{5}^{3}q, q^{2}
H_{3} 1 Φ_{1}.I_{2}(5) I_{2}(5)[ζ_{5}] Z_{2} −q^{5}
I_{2}(5)[ζ_{5}^{4}] Z_{2} −q^{5}
2 Φ_{2}.^{2}I_{2}(5) ^{2}I_{2}(5)[ζ_{5}] Z_{2} q^{5}
2I_{2}(5)[ζ_{5}^{4}] Z_{2} q^{5}
3  Φ_{1}Φ_{3}  1  Z_{6} q^{2}, q^{\frac{5}{2}} , −q^{\frac{5}{2}} , −q^{3}, −q^{5}
5′ Φ_{1}Φ′_{5}  1  Z_{10} −q, −ζ_{5}^{2}q, −ζ_{5}^{3}q, q^{\frac{3}{2}} , −q^{\frac{3}{2}} , q^{2}, ζ_{5}^{2}q^{2}, ζ_{5}^{3}q^{2}, −q^{3}
6  Φ_{2}Φ_{6}  1  Z_{6} q^{2}, iq^{\frac{5}{2}} , −iq^{\frac{5}{2}} , q^{3}, q^{5}
10′ Φ_{2}Φ′_{10}  1  Z_{10} q, ζ_{5}^{2}q, ζ_{5}^{3}q, iq^{\frac{3}{2}} , −iq^{\frac{3}{2}} , q^{2}, ζ_{5}^{2}q^{2}, ζ_{5}^{3}q^{2}, q^{3}
H_{4} 2  Φ_{2}H_{3}  χ_{4,1} Z_{2} q^{15}
χ_{4,2} Z_{2} q^{15}
10′ Φ′_{10}.^{2}I_{2}(5) χ_{2,2} Z_{10} q, q^{3}, −q^{3}, ζ_{5}^{2}q^{3}, ζ_{5}^{3}q^{3}, −ζ_{5}^{2}q^{3}, −ζ_{5}^{3}q^{3}, q^{5}, q^{6}
12  Φ_{12}  1  Z_{12} q^{4}, q^{5}, –q^{5}, iq^{5}, –iq^{5}, ζ_{3}q^{5}, ζ_{3}^{2}q^{5}, –ζ_{3}q^{5}, –ζ_{3}^{2}q^{5}, q^{6}, q^{10}
20′  Φ′_{20}  1  Z_{20} q^{2}, ζ_{5}^{2}q^{2}, ζ_{5}^{3}q^{2}, q^{3}, –q^{3}, iq^{3}, –iq^{3}, ζ_{5}q^{3}, ζ_{5}^{2}q^{3}, ζ_{5}^{3}q^{3},

ζ_{5}^{4}q^{3}, –ζ_{5}q^{3}, –ζ_{5}^{2}q^{3}, –ζ_{5}^{3}q^{3}, –ζ_{5}^{4}q^{3}, q^{4}, ζ_{5}^{2}q^{4}, ζ_{5}^{3}q^{4}, q^{6}

30′ Φ′_{30} 1 Z_{30} q, ζ_{5}q, ζ_{5}^{4}q, iq^{\frac{3}{2}} , –iq^{\frac{3}{2}} , q^{2}, –q^{2}, ζ_{3}q^{2}, ζ_{3}^{2}q^{2}, ζ_{6}q^{2}, ζ_{6}^{5}q^{2},

ζ_{5}q^{2}, ζ_{5}^{2}q^{2}, ζ_{5}^{3}q^{2}, ζ_{5}^{4}q^{2}, –ζ_{5}q^{2}, –ζ_{5}^{2}q^{2}, –ζ_{5}^{3}q^{2}, –ζ_{5}^{4}q^{2}, ζ_{15}q^{2}, ζ_{15}^{4}q^{2}, ζ_{15}^{11}q^{2}, ζ_{15}^{14}q^{2}, iq^{\frac{5}{2}} , –iq^{\frac{5}{2}} , q^{3}, ζ_{5}q^{3}, ζ_{5}^{4}q^{3}, q^{4}

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