UNIPOTENTE GRADE IMPRIMITIVER

KOMPLEXER SPIEGELUNGSGRUPPEN

Gunter Malle

Universität Heidelberg

In der Darstellungstheorie der endlichen Gruppen vom Lie-Typ G(q) spielen die unipotenten Charaktere eine ausgezeichnete Rolle. Ihre Grade, aufgefaßt als Polynome in q, sind nur von der Weylgruppe von G(q) abhängig. Lusztig hat gezeigt [13], daß man allgemeiner für beliebige endliche Coxetergruppen unipotente Grade definieren kann. In dieser Arbeit konstruieren wir für diejenigen zwei unendlichen Serien n-dimensionaler komplexer Spiegelungsgruppen, die von n ihrer Spiegelungen erzeugt werden, eine Menge von unipotenten Graden, die dieselben kombinatorischen Eigenschaften wie die Grade unipotenter Charaktere zu den endlichen Weylgruppen besitzen. Insbesondere sind sie durch eine Fourier-Transformation mit den Scheingraden verbunden, und zusammen mit geeigneten Frobenius-Eigenwerten liefert dies eine Darstellung der SL_{2}(ℤ).

1. Einleitung

In dieser Arbeit führen wir für diejenigen endlichen n-dimensionalen imprimitiven komplexen Spiegelungsgruppen W, die von n ihrer Spiegelungen erzeugt werden, eine neue Art von zugeordneten Polynome ein, die unipotenten Grade. Ist W die Weylgruppe einer endlichen Gruppe vom Lie-Typ G, so stimmen diese Grade mit den Graden der unipotenten Charaktere von G überein. Im allgemeinen erfüllen die unipotenten Grade viele der formalen Eigenschaften der unipotenten Charaktergrade der Gruppen vom Lie-Typ. Ihre Parametrisierung erfolgt anhand von e-Symbolen, kombinatorischen Objekten, die die Begriffe der Partitionen und der Lusztigschen Symbole für klassische Gruppen verallgemeinern. Die bewiesenen Ergebnisse beinhalten als Spezialfall immer auch Aussagen über die unipotenten Grade klassischer Gruppen, die selbst in diesem Fall teilweise neu sind (etwa Satz 3.14, 4.21 und 6.10). Die Sprechweise der e-Symbole erlaubt auch die Aufstellung einer vermuteten Formel für die relativen Grade der in [2, 4, 1] eingeführten zyklotomischen Heckealgebren zu den komplexen Spiegelungsgruppen G(e, p, n).

Wir schildern nun die Fragestellung und die Ergebnisse im Detail. Seien W eine endliche komplexe Spiegelungsgruppe, und der Zahlkörper K ein Zerfällungskörper einer n-dimensionalen Spiegelungsdarstellung von W. Für jeden irreduziblen Charakter

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Der Autor dankt der ENS in Paris, wo ein Teil dieser Arbeit entstand, für die Gastfreundschaft, sowie der Deutschen Forschungsgemeinschaft für finanzielle Unterstützung

χ von W ist bekanntlich der zugehörige Scheingrad

R_{χ}(q) := (−1)^{n} \frac{P (W)}{|W |}(q − 1)^{n} ∑_{w∈W} \frac{χ(w)}{\overline{det}(1 − qw)} ,

wobei P (W) das Poincaré-Polynom von W bezeichnet, ein Polynom in K[q]. Für den Fall der symmetrischen Gruppe W = S_{n} stimmen diese Scheingrade mit den Graden der unipotenten Charaktere der vollen linearen Gruppen GL_{n}(q) überein. Aber schon bei W = Z_{2} ≀ S_{n} vom Typ B_{n} gehen die Grade der unipotenten Charaktere der zugehörigen Gruppen vom Lie-Typ SO_{2n+1}(q) und Sp_{2n}(q) aus den Scheingraden durch eine nichttriviale Fourier-Transformation hervor (siehe etwa [10, Prop. 2.9(i)]). Die Matrix dieser Fourier-Transformation, zusammen mit der Diagonalmatrix der Eigenwerte der Frobeniusabbildung, liefern im Fall von Weylgruppen W eine Darstellung der Gruppe PSL_{2}(ℤ).

Die Ergebnisse dieser Arbeit lassen sich für die Serie der imprimitiven komplexen ndimensionalen Spiegelungsgruppen W_{n} := Z_{e} ≀S_{n}, n, e ≥ 1, wie folgt zusammenfassen:

1.1. Satz. Zu W_{n} = Z_{e} ≀ S_{n} existiert eine Menge Uch(W_{n}) von Polynomen γ ∈ ℚ(ζ)[q], ζ = exp(2πi/e), mit den folgenden Eigenschaften:

(a) Die γ teilen q^{N^{∗}} P (W_{n}) (q − 1)^{n}, wobei N^{∗} die Zahl der Spiegelungshyperebenen zu W_{n} und P (W_{n}) das Poincaré-Polynom von W_{n} bezeichnen.

(b) Die Menge ± Uch(W_{n}) ist invariant unter allen Körperautomorphismen von ℚ(ζ).

(c) (Ennola-Eigenschaft) Für alle γ(q) ∈ Uch(W_{n}) liegt auch ±γ(ζq) in Uch(W_{n}).

(d) (Harish-Chandra-Theorien) Für jedes irreduzible zyklotomische Polynom Φ über K erfüllen die Grade γ eine Φ-Harish-Chandra Theorie. Die Spezialisierungsparameter der auftretenden zyklotomischen Heckealgebren sind dabei sämtlich ganzzahlige Potenzen von q, multipliziert mit einer e-ten Einheitswurzel.

(e) (Fourier-Transformation) Die Grade und die Scheingrade fallen jeweils auf natürliche Weise in Familien. Innerhalb dieser Familien sind die γ mit den R_{χ} über eine Fourier-Transformation verknüpft; insbesondere spannen sie denselben Teilraum des Raums der Polynome ℚ(ζ)[q] auf und erfüllen familienweise

∑_{γ} γ · \overline{γ} = ∑_{χ} R_{χ}^{2}.

(f) (Frobenius-Eigenwert) Jedem Grad γ ist eine Einheitswurzel Fr(γ) zugeordnet. Die Frobenius-Eigenwerte Fr sind ebenfalls mit jeder Φ-Harish-Chandra Theorie verträglich.

(g) (SL_{2}(ℤ)-Darstellung) Bezeichnet T die Matrix der Fourier-Transformation und U das Produkt von T mit der Diagonalmatrix der Frobenius-Eigenwerte, so gelten

T^{4} = U^{3} = [T^{2}, U] = 1,

das heißt, T und U liefern eine Darstellung der Gruppe SL_{2}(ℤ).

(h) Im Spezialfall der reellen Spiegelungsgruppen (also für e = 1, 2) stimmen die Grade Uch(W_{n}) mit den Graden der unipotenten Charaktere der zugehörigen Gruppen vom Lie-Typ überein.

Die Grade Uch(W_{n}) werden in Definition 3.8 eingeführt. Nach Folgerung 3.17 handelt es sich dabei um Polynome. Die Aussage (a) folgt aus der Hakenformel 3.12 und Bemerkung 2.24, Teil (c) ist Folgerung 3.11. Teil (d) wird in Satz 3.14 konkretisiert. Teil (e) ist Satz 4.17, (f) wird in Satz 4.21 gezeigt und (g) ist Folgerung 4.15.

Im Spezialfall der reellen Spiegelungsgruppen sind (a) und (b) trivial, die Ergebnisse (c), (e) und (g) wurden durch Lusztig bewiesen, wobei hier sogar T^{2} = 1 gilt, also eine Darstellung von PSL_{2}(ℤ) induziert wird. Die Aussagen (d) und (f) waren bisher nur für die übliche Harish-Chandra Theorie, also den Fall Φ = q − 1 bekannt. Die hier bewiesenen Aussagen sind mit der in [4, d-HV6] geäußerten Vermutung im Zusammenhang mit derivierten Äquivalenzen von Blöcken klassischer Gruppen konsistent und können als weiteres Indiz für die Richtigkeit dieser Vermutung angesehen werden.

Die in (e) auftretenden Fouriermatrizen enthalten als Spezialfall auch die von Lusztig eingeführten Fouriermatrizen zu den elementarabelschen Gruppen Z_{2}^{2m}, können aber im Allgemeinen anscheinend nicht von einer endlichen Gruppe abgeleitet werden.

Man sieht auch, daß die Grade Uch(W_{n}) (sinngemäß) die von Lusztig in [13, 2.1–2.8] aufgestellten Postulate für unipotente Charaktergrade erfüllen. Die dortigen Eigenschaften 2.4, 2.6 und 2.7 sind Spezialfälle von 1.1(d).

Ein ganz ähnliches Ergebnis erhalten wir für die zweite unendliche Serie G(e, e, n) von n-dimensionalen Spiegelungsgruppen, welche von n ihrer Spiegelungen erzeugt werden. Allerdings treten hierbei noch getwistete Varianten auf, die im Fall e = 2 den Gruppen vom Lie-Typ ^{2}D_{n} entsprechen, so daß die Formulierung der Ergebnisse aufwendiger wird. Insgesamt gelten jedoch die Analoga sämtlicher Aussagen von Satz 1.1 auch hier, bis auf die Verträglichkeit der Frobenius-Eigenwerte mit den Harish-Chandra Theorien.

Als Spezialfall erhalten wir hier sowohl Aussagen über die unipotenten Charaktergrade von D_{n} und ^{2}D_{n}, als auch für die endlichen Coxetergruppen I_{2}(p). Für ^{2}B_{2}, G_{2} und ^{2}G_{2} liefert dies so eine Parametrisierung der unipotenten Charaktere durch Symbole. Weiter spezialisieren im Fall I_{2}(p) unsere Grade zu den in [13] beschriebenen unipotenten Graden sowie unsere Fourier-Transformation zu der von Lusztig in [14] eingeführten exotischen Fourier-Transformation. Als Korollar erhalten wir, daß Lusztigs exotische Fourier-Transformation tatsächlich die unipotenten Grade in die Scheingrade überführt (Beispiel 6.29).

Die Arbeit ist folgendermaßen aufgebaut: Der folgende Abschnitt führt die Gruppen W_{n} und die zugehörigen Spiegelungsdaten (siehe [5]) ein. Wir geben eine Formel für die Scheingrade an. Anschließend wird an die Definition der zyklotomischen Heckealgebra zu W_{n} erinnert sowie eine Vermutung über die relativen Grade formuliert. Im dritten Abschnitt definieren wir e-Symbole, Haken und Kerne. Dies erlaubt sodann die Einführung der unipotenten Grade. Wir zeigen die Hakenformel und insbesondere den Gradsatz 3.14, welcher die Gültigkeit aller Φ-Harish-Chandra Theorien aussagt. Abschnitt 4 untersucht die Fourier-Transformation und die Frobenius-Eigenwerte. Dies geschieht gesondert für jede einzelne Familie unipotenter Grade. Im fünften Abschnitt führen wir die (getwisteten) Spiegelungsdaten ^{t}I_{n}^{e} ein und verschärfen die vorher gemachte Vermutung über die relativen Grade zyklotomischer Heckealgebren.

Der letzte Abschnitt enthält schließlich die Definition und den Beweis der Eigenschaften der unipotenten Grade von ^{t}I_{n}^{e}. Die Ennola-Eigenschaft ist in Folgerung 6.7 enthalten, die Harish-Chandra-Theorien werden in Satz 6.10 gezeigt, die Fourier-Transformation existiert nach Satz 6.26, und die SL_{2}(ℤ)-Darstellung wird in Folgerung 6.25 verifiziert. Schließlich kann die Alvis-Curtis Dualität formal auf die unipotenten Grade von ^{t}I_{n}^{e} verallgemeinert werden.

Ich danke M. Broué für die Anregung, daß eine Theorie unipotenter Grade auch für nichtreelle Spiegelungsgruppen existieren sollte, sowie K. Brodowsky und G. Hiss für hilfreiche Gespräche.

2. Spiegelungsdaten vom Typ B_{n}^{(e)}

In diesem Abschnitt führen wir die Spiegelungsgruppen W_{n} und das zugehörige Spiegelungsdatum B_{n}^{(e)}(q) ein. Die Scheingrade von B_{n}^{(e)}(q) lassen sich mit einer kombinatorischen Formel beschreiben. Dieser Teil lehnt sich an die Darstellung von Lusztig für den Fall e = 2 in [10] an. Anschließend erinnern wir an die Definition der generischen zyklotomischen Heckealgebra H zu W_{n} und formulieren eine Vermutung über die genaue Form der relativen Grade von H.

2A. Die Spiegelungsgruppen G(e, 1, n).

In diesem Abschnitt seien n und e zwei fest gewählte positive ganze Zahlen und W_{n} := Z_{e} ≀ S_{n} das Kranzprodukt der zyklischen Gruppe Z_{e} mit der symmetrischen Gruppe S_{n}. Den Kern dieses semidirekten Produkts Z_{e}^{n}.S_{n} bezeichnen wir auch mit Z. Wir identifizieren W_{n} mit der von dem n-Zykel

s_{1} = (1, n + 1, 2n + 1, …, (e − 1)n + 1),

sowie den Involutionen

\begin{aligned}s_{2} & = (1, 2)(n + 1, n + 2) ⋯ ((e − 1)n + 1, (e − 1)n + 2), \\ ⋮ & ⋮ \\ s_{n} & = (n − 1, n) ⋯ (en − 1, en), \end{aligned}

erzeugten transitiven Untergruppe der S_{en}. In dieser Darstellung sieht man leicht, daß die Konjugiertenklassen von W_{n} durch e-Tupel von Partitionen α = (α_{0}, …, α_{e−1}), α_{i} ⊢ n_{i} mit ∑ n_{i} = n, parametrisiert werden. Die Erzeuger s_{1}, …, s_{n} genügen den durch das Diagramm

(2.1)  B_{n}^{(e)} :  ◯^{e}  ◯  ◯ ⋯ ◯  ◯

implizierten Relationen, und dieses liefert auch eine Präsentation von W_{n} auf den n Erzeugern s_{1}, …, s_{n} (siehe [4, 3A]).

Eine treue irreduzible Matrixdarstellung von W_{n} über K := ℚ(ζ), ζ := exp(2πi/e), erhält man, indem man s_{1} durch die Diagonalmatrix diag(ζ, 1, 1, …, 1) und die s_{i}, i = 2, …, n, durch die Permutationsmatrix, welche den i − 1-ten und den i-ten Basisvektor vertauscht, auf V := K^{n} operieren läßt. Insbesondere zeigt dies, daß W_{n} eine irreduzible komplexe Spiegelungsgruppe ist, da alle Erzeuger s_{i} in dieser Darstellung n − 1 Eigenwerte 1 haben. In der Notation von Shephard und Todd [16] handelt es sich um die Gruppe G(e, 1, n).

Die linearen Charaktere von W_{n} sind durch {γ_{i}, ϵγ_{i} | 0 ≤ i ≤ e − 1} mit

(2.2)  \begin{aligned}γ_{i} & : W_{n} → K, s_{1} ↦ ζ^{i}, s_{k} ↦ 1 für k ≠ 1, \\ ϵ & : W_{n} → K, s_{1} ↦ 1, s_{k} ↦ −1 für k ≠ 1, \end{aligned}

gegeben. Dabei ist ϵγ_{1} = det_{V} die Determinante in der Spiegelungsdarstellung von W_{n}. Allgemeiner werden die irreduziblen komplexen Charaktere χ von W_{n} durch e-Tupel von Partitionen α = (α_{0}, …, α_{e−1}), α_{i} = (α_{i1} ≤ α_{i2} ≤ … ≤ α_{im_{i}}) ⊢ n_{i} mit ∑_{i=0}^{e−1} n_{i} = n, parametrisiert. Seien dazu n_{i} ≥ 0 mit ∑ n_{i} = n vorgegeben, und W_{n_{0}} × ⋯ × W_{n_{e−1}} die der Young-Untergruppe S_{n_{0}} × ⋯ × S_{n_{e−1}} von S_{n} in dem Kranzprodukt Z_{e} ≀ S_{n} entsprechende Leviuntergruppe von W_{n}. Ein irreduzibler Charakter χ_{i} von S_{n_{i}} kann dann vermöge der Projektion W_{n_{i}} → S_{n_{i}} als Charakter von W_{n_{i}} aufgefaßt werden. Für jedes e-Tupel (χ_{0}, …, χ_{e−1}) irreduzibler Charaktere von S_{n_{0}}, …, S_{n_{e−1}} ist die Induktion von χ_{0}#(χ_{1} ⊗ γ_{1})# ⋯ #(χ_{e−1} ⊗ γ_{e−1}) nach W_{n} ein irreduzibler Charakter. Dieser wird als χ_{α} bezeichnet, wenn der irreduzible Charakter χ_{i} von S_{n_{i}} durch die Partition α_{i} ⊢ n_{i} parametrisiert ist:

(2.3)  χ_{α} = Ind_{W_{n_{0}} ×···×W_{n_{e−1}}}^{W_{n}} (χ_{0}#(χ_{1} ⊗ γ_{1})# ⋯ #(χ_{e−1} ⊗ γ_{e−1})) .

2B. Das zugehörige Spiegelungsdatum.

Ein Spiegelungsdatum ist ein endlich-dimensionaler komplexer Vektorraum V zusammen mit einer Nebenklasse W ϕ einer komplexen Spiegelungsgruppe W auf V in der Automorphismengruppe von (V, W) (siehe [5, ??]). Sei 𝔾 := B_{n}^{(e)}(q) := (V, W_{n}) das zu W_{n} gehörige Spiegelungsdatum mit trivialem Automorphismus. Ein w ∈ W_{n} kann eindeutig als w = z y mit z ∈ Z, y ∈ S_{n}, geschrieben werden. Ist y ein n-Zykel, so gilt in der obigen Spiegelungsdarstellung offensichtlich w^{n} = (zy)^{n} = det_{V} (z) · 1_{V}, und damit wird det_{V} (q − zy) = q^{n} − det_{V} (z). Induktiv können wir daher das charakteristische Polynom eines beliebigen w ∈ W_{n} vom Typ α = (α_{0}, …, α_{e−1}), α_{i} = (α_{i1}, α_{i2}, …, α_{im_{i}}), zu

(2.4)  det_{V} (q − w) = ∏_{i=0}^{e−1} ∏_{k=1}^{m_{i}}(q^{α_{ik}} − ζ^{i})

berechnen.

Seien Φ ein zyklotomisches Polynom über K und ξ eine Nullstelle von Φ in einem geeigneten Erweiterungskörper von K, also eine primitive d-te Einheitswurzel für ein geeignetes d. Wir setzen c := ggT(e, d), d′ := d/c und ξ_{c} := ξ^{d′}. Dann hat ein Φ-Sylow Torus 𝕊 von 𝔾 (siehe [5, ??]) die Ordnung (q − ξ)^{⌊ \frac{n}{d′} ⌋}. Der Zentralisator von 𝕊 in 𝔾 ist ein Spiegelungsdatum vom Typ 𝕋 × ℍ, wobei 𝕋 ein Torus der Ordnung (q^{d′} − ξ_{c})^{⌊ \frac{n}{d′} ⌋} und ℍ vom Typ B_{m}^{(e)} mit m = n − ⌊\frac{n}{d′} ⌋ ist. Die Φ-zerfallenden Leviuntergruppen haben damit die Struktur

(2.5)  𝕃 = GL_{n_{1}}(ξ_{c}^{−1}q^{d′}) × ⋯ × GL_{n_{r}}(ξ_{c}^{−1}q^{d′}) × B_{m}^{(e)}(q),

mit Weylgruppe W_{𝕃} = S_{n_{1}} ×⋯×S_{n_{r}} ×W_{m}, wobei ∑_{i=1}^{r} d′n_{i} = n−m gilt. Die relative Weylgruppe W_{𝔾}(𝕃) = N_{W} (W_{𝕃})/W_{𝕃} einer solchen Leviuntergruppe ergibt sich somit zu

(2.6)  W_{𝔾}(𝕃) = Z_{ed′} ≀ S_{k_{1}} × ⋯ × Z_{ed′} ≀ S_{k_{n}}

mit k_{i} := |{j | n_{j} = i}|.

2C. Scheingrade und generische Grade.

Für eine endliche Teilmenge S von ℕ definieren wir

(2.7)  Δ(S, q) := ∏_{{λ,λ′∈S \atop λ′<λ}} (q^{λ} − q^{λ′}), Θ(S, q) := ∏_{λ∈S} ∏_{h=1}^{λ}(q^{h} − 1).

Für einen irreduziblen Charakter χ von W_{n} sei

(2.8)  δ_{χ}(q) := (−1)^{n}⟨χ, tr_{SV} ⟩_{𝔾} = (−1)^{n} \frac{1}{|W_{n}|} ∑_{w∈W_{n}} \frac{χ(w)}{\overline{det_{V}} (1 − qw)} ,

so daß also

(2.9)  R_{χ} := (−1)^{n}⟨χ, tr_{R𝔾}⟩_{𝔾} = |B_{n}^{(e)}|_{q′} δ_{χ} = ∏_{i=1}^{n}(q^{ei} − 1) δ_{χ}

den Scheingrad zu χ in q bezeichnet (siehe [5, ??]). Einer Partition α = (α_{1} ≤ α_{2} ≤ … ≤ α_{k}) ordnen wir die Folge der β-Zahlen (λ_{i} := α_{i} + i − 1) zu.

2.10. Bemerkung. Seien χ = χ_{α} ∈ Irr(W_{n}) parametrisiert durch das Partitionentupel α = (α_{0}, …, α_{e−1}), α_{i} = (α_{i1}, …, α_{im_{i}}) ⊢ n_{i}, und S_{i} = (λ_{i1}, …, λ_{im_{i}}) die zugehörigen Folgen von β-Zahlen. Dann gilt

(2.11)  δ_{χ}(q) = ∏_{i=0}^{e−1} \frac{Δ(S_{i}, q^{e}) · q^{in_{i}}}{Θ(S_{i}, q^{e}) · q^{e\binom{m_{i}−1}{2}+e\binom{m_{i}−2}{2}+...}} .

Beweis. Seien 𝕃_{i} = (V_{i}, W_{n_{i}}) die Spiegelungsdaten zu den Spiegelungsuntergruppen W_{n_{i}} von W_{n} auf V_{i} ≤ V, und 𝕃 = (V, W_{n_{0}} × ⋯ × W_{n_{e−1}}) dasjenige zu dem direkten Produkt W_{n_{0}} × ⋯ × W_{n_{e−1}}. Nach [5, ??] gilt

δ_{χ}(q) = (−1)^{n}⟨χ, tr_{SV} ⟩_{𝔾} = (−1)^{n}⟨1, tr_{SV} ⟩_{𝔾} · ⟨χ, tr_{R𝔾}⟩_{𝔾}

= x^{N(𝔾)}|𝔾|^{−1}⟨χ_{0}#(χ_{1} ⊗ γ_{1})# ⋯ #(χ_{e−1} ⊗ γ_{e−1}), res_{𝕃}^{𝔾}tr_{R𝔾}⟩_{𝕃}

= x^{N(𝕃)}|𝕃|^{−1} ∏_{i=0}^{e−1}⟨χ_{i} ⊗ γ_{i}, tr_{R𝕃_{i}}⟩_{𝕃_{i}}

= ∏_{i=0}^{e−1}(−1)^{n_{i}}⟨χ_{i} ⊗ γ_{i}, tr_{SV_{i}}⟩_{𝕃_{i}},

so daß wir die Aussage auf den Fall zurückgeführt haben, in dem n_{i} = n für ein 0 ≤ i ≤ e − 1 und n_{j} = 0 für j ≠ i gilt. Aufgrund der bekannten Formel für δ_{χ}(q) für S_{n}, also e = 1 (siehe etwa [10, (2.2.1)]), ist die Behauptung für n_{i} = n äquivalent zu

\frac{1}{e^{n}} ∑_{u∈Z} \frac{γ_{i}(wu)}{\overline{det}(1 − qwu)} = \frac{q^{in}}{\overline{det}(1 − q^{e}w)} für alle w ∈ S_{n}.

Per Induktion reicht es, dieses für den Fall eines n-Zykels w zu beweisen. Für einen solchen gilt

det(1 − qwu) = 1 − γ_{1}(u)q^{n}

nach (2.4), und damit also

\frac{1}{e^{n}} ∑_{u∈Z} \frac{γ_{i}(wu)}{\overline{det}(1 − qwu)} = \frac{1}{e^{n}} ∑_{u∈Z} \frac{γ_{i}(u)}{1 − γ_{e−1}(u)q^{n}} = \frac{q^{in}}{1 − q^{en}} .  □

Sei nun S := (S_{0}, …, S_{e−1}) eine Folge endlicher Teilmengen von ℕ mit |S_{0}| = m + 1, |S_{1}| = … = |S_{e−1}| = m. Wir setzen

(2.12)  δ_{S}(q) := ∏_{i=0}^{e−1} \frac{Δ(S_{i}, q^{e})}{Θ(S_{i}, q^{e})} · \frac{∏_{i=0}^{e−1} ∏_{λ∈S_{i}} q^{iλ}}{q^{\binom{e(m−1)+1}{2}+\binom{e(m−2)+1}{2}+...}} .

Ist α ein e-Tupel von Partitionen von n, so können wir durch Hinzufügen von Nullen immer erreichen, daß α_{0} genau einen Teil mehr hat als α_{1}, …, α_{e−1}, und daß weiterhin nicht jedes α_{i} einen Teil 0 besitzt. Ordnen wir einem irreduziblen Charakter χ_{α} von W_{n} mit einem solcherart normierten α die Folge

(2.13)  S := ((λ_{01}, …, λ_{0,m+1}), (λ_{11}, …, λ_{1m}), …, (λ_{e−1,1}, …, λ_{e−1,m}))

von β-Zahlen zu, so gilt mit unseren Definitionen offensichtlich

(2.14)  δ_{χ_{S}} (q) = δ_{S}(q).

Mit ã(χ_{S}) bezeichnen wir die Vielfachheit der Nullstelle von δ_{S}(q) bei q = 0, mit Ã(χ_{S}) den Grad in q von R_{S}(q) := (q − 1)^{n}P (W_{n}) δ_{S}(q). Aus (2.12) liest man ab: (2.15)

\begin{aligned}ã(χ_{S}) & = e ∑_{i=0}^{e−1} ∑_{{λ,λ′∈S_{i} \atop λ′<λ}} λ′ + ∑_{i=0}^{e−1} i ∑_{λ∈S_{i}} λ − ∑_{k=1}^{m−1} \binom{ek + 1}{2}, \\ Ã(χ_{S}) & = e ∑_{i=0}^{e−1} ∑_{{λ,λ′∈S_{i} \atop λ′<λ}} λ + ∑_{i=0}^{e−1} i ∑_{λ∈S_{i}} λ − ∑_{k=1}^{m−1} \binom{ek + 1}{2} − e ∑_{λ∈S} \binom{λ + 1}{2} + e\binom{n + 1}{2}. \end{aligned}

Wir vermerken noch die Beziehung

(2.16)  ∑_{i=0}^{e−1} ∑_{λ∈S_{i}} λ = ∑_{i,j} α_{ij} + \binom{m + 1}{2} + (e − 1)\binom{m}{2} = n + \frac{m(em − e + 2)}{2}

zwischen den Invarianten von S = (S_{0}, …, S_{e−1}) zu α = (α_{0}, …, α_{e−1}).

2.17. Beispiel. Der Charakter χ der Spiegelungsdarstellung von W_{n} auf V entspricht nach (2.3) für e ≥ 2 dem Partitionentupel α = ((n − 1), (1), −, …, −), mit zugehörigem S = ((0, n), (1), (0), …, (0)). Nach (2.12) hat χ daher den Scheingrad

R_{S}(q) = \frac{q(q^{en} − 1)}{q^{e} − 1}

mit ã(χ) = 1, Ã(χ) = en − e + 1.

Wir erinnern nun an die Definition der zyklotomischen Heckealgebra der komplexen Spiegelungsgruppe W_{n} anhand des Diagramms B_{n}^{(e)} in (2.1) ([4, 4.1], siehe auch [2]).

2.18. Definition. Seien u = (u_{0}, …, u_{e−1}) algebraisch unabhängig über ℚ. Wir definieren die zyklotomische Algebra H(W_{n}, u) = H(B_{n}^{(e)}, u) über ℤ[u, u^{−1}] zum Diagramm B_{n}^{(e)} wie folgt:

- H(W_{n}, u) wird als ℤ[u, u^{−1}]-Algebra durch Elemente {T_{i} | 1 ≤ i ≤ n} erzeugt.

- Die T_{i} erfüllen die durch B_{n}^{(e)} implizierten Zopfrelationen sowie

(T_{1} − u_{0})(T_{1} − u_{1}) ⋯ (T_{1} − u_{e−1}) = 0, (T_{i} − u_{0})(T_{i} + 1) = 0 für 2 ≤ i ≤ n.

Man beachte, daß wir eine andere Normierung des jeweils ersten Eigenwerts der T_{i} als in [4] verwandt haben, die für die hiesigen Zwecke geeigneter erscheint.

Schließlich definieren wir für ein gemäß (2.13) zu α konstruiertes e-Tupel S = (S_{0}, …, S_{e−1}) und für Unbestimmte q, v_{0}, …, v_{e−1} die rationale Funktion

(2.19) \begin{matrix}D_{S}( & q; v_{0}, …, v_{e−1}) := \\ \frac{(−1)^{\binom{e}{2}\binom{m}{2}+n(e−1)}(q − 1)^{n} · ∏_{i=0}^{e−1} ∏_{j=i}^{e−1} ∏_{{(λ,μ)∈S_{i}×S_{j} \atop μ<λ falls i=j}} (q^{λ}v_{i} − q^{μ}v_{j}) · ∏_{i=0}^{e−1} v_{i}^{n}}{q^{\binom{e(m−1)+1}{2}+\binom{e(m−2)+1}{2}+...} · ∏_{i,j=0}^{e−1} ∏_{λ∈S_{i}} ∏_{k=1}^{λ}(q^{k}v_{i} − v_{j}) · ∏_{i=0}^{e−1} ∏_{j=i+1}^{e−1}(v_{i} − v_{j})^{m}} . \end{matrix}

Die Definition von D_{S} ist invariant gegenüber simultanem Verschieben der S_{i}, so daß D_{S} also nur von dem durch S bestimmten Partitionentupel abhängt. Weiter gilt

D_{S}(q; v_{0}, …, v_{e−1}) = D_{S}(q; xv_{0}, …, xv_{e−1})

für alle invertierbaren x. Die D_{S} sollten die relativen Grade der zyklotomischen Algebra H(B_{n}^{(e)}; u) bezüglich einer geeigneten quasi-symmetrischen Basis (siehe [4, 1C]) sein. Dazu definieren wir durch lineare Fortsetzung die Spezialisierungsabbildung

f : H(W_{n}, u) → KW_{n}, u_{i} ↦ f(u_{i}) := ζ^{i} .

2.20. Vermutung. H(W_{n}; u) besitzt eine Basis {T_{w} | w ∈ W_{n}} mit folgenden Eigenschaften:

(1) Die durch f(T_{w}) ↦ w definierte lineare Abbildung ist ein Algebrenisomorphis-

mus

f(H(W_{n}; u)) ⟶^{∼} ℤ[ζ]W_{n}.

(2) Der relative Grad des Charakters χ_{α} der generischen zyklotomischen Algebra H(W_{n}; (u_{0}, u_{1}, …, u_{e−1})) bezüglich der durch

t_{u} : H(W_{n}; u) ⟶ ℤ[u, u^{−1}], t_{u}(T_{w}) := δ_{w,1} ,

definierten Linearform ist D_{S}(u_{0}; 1, u_{1}, …, u_{e−1}), wobei S = (S_{0}, …, S_{e−1}) die gemäß (2.13) zu α gehörige Folge von β-Zahlen bezeichnet.

Für e = 1 lautet die vermutete Formel

D_{S}(q) = \frac{(q − 1)^{n} ∏_{{λ,μ∈S \atop μ<λ}} (q^{λ} − q^{μ})}{q^{\binom{m}{2}+\binom{m−1}{2}+...} ∏_{λ∈S} ∏_{k=1}^{λ}(q^{k} − 1)},

und dies ist in der Tat der generischen Grad von H(A_{n−1}; q) bezüglich der üblichen Basis {T_{w} | w ∈ S_{n}} (siehe etwa [6, 13.5], und beachte, daß hier |S| = m + 1 ist, und nach Definition der generische Grad in loc. cit. aus unserem durch Multiplikation mit dem Poincaré-Polynom von 𝔾 hervorgeht). Für e = 2 erhalten wir nach Umformung D_{S_{0},S_{1}}(q; 1, −r^{−1}) =

\frac{(q − 1)^{n} · Δ(S_{0}, q) Δ(S_{1}, q) · r^{−\binom{m}{2}} ∏_{(λ,μ)∈S_{0}×S_{1}}(q^{λ}r + q^{μ})}{(1 + r)^{m}q^{\binom{2m−1}{2}+\binom{2m−3}{2}+···} ∏_{λ∈S_{0}} ∏_{k=1}^{λ}(q^{k} − 1)(q^{k}r + 1) ∏_{μ∈S_{1}} ∏_{k=1}^{μ}(q^{k} − 1)(q^{k}r^{−1} + 1)},

und die Vermutung folgt wegen 3.2.2 aus 4.6 in [10]. Weiter stimmt 2.20 für n = 1 ([4, 2.4]), und in den Fällen (n, e) = (2, 3), (2, 4), (3, 3).

2D. Generische Grade für B_{n}^{(e)}(q).

Die Heckealgebra zu dem Spiegelungsdatum 𝔾 erhält man aus H(W_{n}, u) durch die Spezialisierung

u_{0} ↦ q, u_{i} ↦ ζ^{i} für 1 ≤ i ≤ e − 1

(siehe auch [5, ??]). Wir schreiben kurz D_{S}(q) := D_{S}(q; 1, ζ, …, ζ^{e−1}) für die (vermuteten) generischen Grade

(2.21)  D_{S}(q) = \frac{(−1)^{\binom{e}{2}}^{\binom{m}{2}}(q − 1)^{n} · ∏_{i=0}^{e−1} ∏_{j=i}^{e−1} ∏_{{(λ,μ)∈S_{i}×S_{j} \atop μ<λ falls i=j}} (q^{λ}ζ^{i} − q^{μ}ζ^{j})}{τ(e)^{m} · q^{\binom{e(m−1)+1}{2}+\binom{e(m−2)+1}{2}+...} · ∏_{i=0}^{e−1} Θ(S_{i}, q^{e})}

der spezialisierten Algebra H(W_{n}, q) := H(W_{n}, (q, ζ, …, ζ^{e−1})), wobei wir zur Abkürzung

(2.22)  τ(e) := ∏_{i=0}^{e−1} ∏_{j=i+1}^{e−1}(ζ^{i} − ζ^{j}) = ζ\binom{e−1}{2}_{4}\sqrt{e}^{e}, ζ_{4} := exp(πi/2),

gesetzt haben. Für eine Folge S = (S_{0}, …, S_{e−1}) von β-Zahlen sei nun a(S) die Nullstellenordnung von D_{S}(q) bei q = 0. Ist Vermutung 2.20(2) richtig, so stimmt a(S) mit der a-Funktion des irreduziblen Charakters χ_{α} überein, welcher durch das zu S gehörige Partitionentupel parametrisiert wird. Weiter sei A(S) gleich dem Grad in q von P (W_{n})D_{S}(q), also bei Gültigkeit von 2.20(2) der A-Wert von χ_{α}. Offensichtlich gelten

(2.23) \begin{aligned}a(S) & = ∑_{\{λ,μ\}} min(λ, μ) − ∑_{k=1}^{m−1} \binom{ek + 1}{2}, \\ A(S) & = ∑_{\{λ,μ\}} max(λ, μ) − ∑_{k=1}^{m−1} \binom{ek + 1}{2} − e ∑_{λ∈S} \binom{λ + 1}{2} + e\binom{n + 1}{2}, \end{aligned}

wobei die ersten Summen jeweils über alle ungeordneten Paare von Einträgen von S laufen. Insbesondere haben zwei β-Folgen S und S′, deren Mengen von Einträgen mit Vielfachheiten übereinstimmen, sowohl dieselben a- wie auch A-Werte. (Solche liegen nach der Definition in 4C in derselben Familie.)

Nach (2.3) sind die beiden durch S = (S_{0}, S_{1}, …, S_{e−1}) und

S̄:= (S_{0}, S_{e−1}, …, S_{1})

parametrisierten Charaktere von W_{n} zueinander komplex konjugiert: \overline{χ_{S}} = χS̄. Die folgende Bemerkung verallgemeinert ein Resultat, welches für Coxetergruppen wohlbekannt ist (siehe [6, 11.3] und [11, 2.9]):

2.24. Bemerkung. (a) Es gilt ã(χ_{S}) ≥ a(S) für alle χ_{S} ∈ Irr(W_{n}). Dabei tritt Gleichheit genau für die S der Gestalt

S = ( \begin{matrix}λ_{e1} & … & λ_{em} & λ_{e,m+1} \\ λ_{11} & … & λ_{1m} \\ ⋮ & & ⋮ \\ λ_{e−1,1} & … & λ_{e−1,m} \end{matrix} )

mit

(2.25)  λ_{ij} ≤ λ_{kl} für j < l oder j = l, i > k,

ein. Ein solches S heißt dann speziell.

(b) Es gilt Ã(χ_{S}) ≤ A(S) für alle χ_{S} ∈ Irr(W_{n}). Dabei tritt Gleichheit genau dann ein, wenn S̄ speziell ist. Solche S heißen kospeziell.

(c) Für alle χ_{S} ∈ Irr(W_{n}) gilt:

ã(χ_{S}) + Ã(χ_{S}) + ã(χS̄) + Ã(χS̄) = a(S) + A(S) + a(S̄) + A(S̄) .

(d) Es gelten a(S) ≤ N^{∗} und A(S) ≤ N. Gleichheit tritt genau für die zu S mit

S_{0} = (0, 1, …, n), S_{i} = \{ \begin{matrix}(0, …, n − 1) & für i ≠ j, \\ (1, …, n) & für i = j, \end{matrix}

für ein 1 ≤ j ≤ e − 1 äquivalenten β-Folgen auf.

Beweis. Nach (2.15) und (2.23) gilt

ã(χ_{S}) − a(S) = e ∑_{i=1}^{e} ∑_{{λ,λ′∈S_{i} \atop λ′<λ}} λ′ + ∑_{i=1}^{e} i ∑_{λ∈S_{i}} λ − ∑_{i≤j} ∑_{{λ∈S_{i},μ∈S_{j} \atop μ<λ falls i=j}} min(λ, μ)

= ∑_{i=1}^{m} ∑_{j=1}^{m}(e(m − j) + i)λ_{ij} − ∑_{i≤j} ∑_{{λ∈S_{i},μ∈S_{j} \atop μ<λ falls i=j}} min(λ, μ).

Hat S die in (a) angegebene Gestalt, so verschwindet die obige Differenz offensichtlich. Ein S nicht von dieser Gestalt erhält man aus einem speziellen S, indem man endlich oft jeweils zwei Einträge vertauscht, so daß der höhere auf die gemäß der Ordnung (2.25) niedrigere Position kommt. Die erste Summe im obigen Ausdruck wird dabei echt größer, die zweite bleibt konstant. Der zweite Teil folgt völlig analog.

Für Teil (c) ergibt sich nach (2.23)

a(S) + A(S) = em ∑_{λ∈S} λ − 2 ∑_{k=1}^{m−1} \binom{ek + 1}{2} − e ∑_{λ∈S} \binom{λ + 1}{2} + e\binom{n + 1}{2}.

Andererseits erhalten wir aus (2.15) den Wert ã(χ_{S}) + Ã(χ_{S}) =

∑_{i=1}^{e−1}(em + eδ_{i,0} − e + 2i) ∑_{λ∈S_{i}} λ − 2 ∑_{k=1}^{m−1} \binom{ek + 1}{2} − e ∑_{λ∈S} \binom{λ + 1}{2} + e\binom{n + 1}{2}.

Die Behauptung folgt durch Einsetzen der Definition von S̄.

Für den letzten Teil gehen wir von dem zur trivialen Partition α = (−, …, −) gehörigen Tupel (S_{0}, …, S_{e−1}), mit

S_{0} = (0, 1, …, n), S_{i} = (0, …, n − 1) für i > 0,

aus. Wir erreichen alle Parameter für Irr(W_{n}), indem wir n-mal nacheinander einen Eintrag von S erhöhen. Ist der zu ändernde Eintrag der i-te in einer Anordnung der Größe nach, so erhöht sich der a-Wert um en + 1 − i. Es ist klar, daß ein maximaler a-Wert erreicht wird, wenn man immer den kleinstmöglichen Eintrag vergrößert. Dies führt aber genau auf die angegebene Gestalt von S und den a-Wert n + e\binom{n}{2}. Es ist leicht zu verifizieren, daß letzteres gleich der Anzahl der von Spiegelungen erzeugten zyklischen Untergruppen von W_{n} ist, also mit der Anzahl N^{∗} der reflektierenden Hyperebenen übereinstimmt. □

3. Unipotente Grade

Die Beschreibung der unipotenten Grade erfolgt anhand von e-Symbolen, einer Verallgemeinerung der üblichen Symbole für klassische Gruppen vom Lie-Typ. Wir definieren die Begriffe des Symbols, der ζ^{j}-Haken und -Kerne. Die Grade Uch(B_{n}^{(e)}) werden durch eine kombinatorische Formel anhand der Symbole vom Inhalt 1 definiert. Wir zeigen, daß die Grade die Hakenformel und den Gradsatz für zyklotomische Heckealgebren, also die verallgemeinerten Harish-Chandra Theorien, erfüllen.

3A. e-Symbole, ζ^{j}-Haken und (l, ζ^{j})-Kerne.

Ein e-Symbol ist eine geordnete Folge S = (S_{0}, …, S_{e−1}) von e streng aufsteigenden endlichen Folgen natürlicher Zahlen S_{i} = (λ_{i1}, …, λ_{im_{i}}), auch dargestellt in der Form

(3.1)  S = ( λ_{01} …  λ_{0m_{0}} ; λ_{11} …  λ_{1m_{1}} ; ⋮ ; λ_{e−1,1} … λ_{e−1,m_{e−1}} ) .

In dieser Form heißen die S_{i} auch die Zeilen des e-Symbols. Wir schreiben |S_{i}| := m_{i} für die Zeilenlängen. Geht der Parameter e aus dem Zusammenhang hervor, so sprechen wir auch kurz von Symbolen. Wir definieren Äquivalenzklassen von Symbolen durch die symmetrische, transitive Hülle der folgenden beiden Operationen: zyklische Vertauschung der S_{i} in S, sowie simultane Verschiebung aller S_{i} via (λ_{i1}, …, λ_{im_{i}}) ↦ (0, λ_{i1} + 1, …, λ_{im_{i}} + 1).

Der Inhalt eines Symbols S wie in (3.1) ist I(S) := m_{0}+m_{1}+…+m_{e−1}. Der Inhalt ist nicht konstant auf Äquivalenzklassen, wohl aber die Restklasse I(S) mod e. Der Rang von S sei

(3.2)  rg(S) := ∑_{i,j} λ_{ij} − ⌊\frac{(I(S) − 1)(I(S) − e + 1)}{2e}⌋ .

Man überzeugt sich, daß der Rang eine Äquivalenzklasseninvariante ist. Wegen 2.16 gilt rg(S) = n, falls S gemäß der dortigen Konstruktion aus einem e-Tupel α von Partitionen von n entsteht.

Sei ζ := exp(2πi/e) eine primitive e-te Einheitswurzel. Ein ζ^{j}-Haken eines e-Symbols S ist ein Tripel (i, λ, μ) mit λ ∈ S_{i}, μ ∉ S_{i+j}, λ > μ (wobei der Index bei S modulo e zu nehmen ist). Die Differenz λ − μ heißt die Länge des ζ^{j}-Haken. Ist (i, λ, μ) ein ζ^{j}-Haken von S, so heißt

S′ := (S_{0}, …, S_{i} \ {λ}, …, S_{i+j} ∪ {μ}, …, S_{e−1})

das durch Entfernen von (i, λ, μ) erhaltene Symbol. Offensichtlich induziert das Entfernen von ζ^{j}-Haken auch eine wohldefinierte Abbildung auf den Äquivalenzklassen von Symbolen. Der Rang eines Symbols vermindert sich beim Entfernen eines Hakens genau um dessen Länge.

Der ζ^{0}-Kern von S ist das (eindeutig bestimmte) Symbol, welches durch Entfernen aller möglicher ζ^{0}-Haken von S entsteht, also

(3.3)  ( 0 … m_{0} − 1 ; 0 … m_{1} − 1 ; ⋮ ; 0 … m_{e−1} − 1 ) .

Allgemeiner heißt ein e-Symbol S ein (l, ζ^{j})-Kern, wenn es keinen ζ^{j}-Haken der Länge l besitzt. Durch sukzessives Entfernen von ζ^{j}-Haken der Länge l von einem vorgegebenen Symbol erreicht man offensichtlich einen (l, ζ^{j})-Kern.

3.4. Bemerkung. Der (l, ζ^{j})-Kern eines Symbols S ist eindeutig bestimmt.

Beweis. Seien S = (S_{0}, …, S_{e−1}), S_{i} = (λ_{i1}, …, λ_{im_{i}}), ein e-Symbol und (l, ζ^{j}) vorgegeben. Wir ordnen S eine Folge von e Abakusdiagrammen mit jeweils l Stäben zu. Für jeden Abakus seien die Positionen auf dem 0-ten Stab mit 0, l, 2l, …, auf dem ersten mit 1, l + 1, 2l + 1, …, usw. bis zum l − 1-ten mit l − 1, 2l − 1, … bezeichnet.

Ein ζ^{j}-Haken von S der Länge l verbindet nun zwei Positionen, die sich durch einen Rösselsprung über j Zeilen bei Verminderung des Eintrags um l unterscheiden. Um dies zu linearisieren, ordnen wir einem Eintrag λ ∈ S_{i} von S eine Perle in Position ⌊\frac{λ}{l}⌋ auf dem λ (mod l)-ten Stab des i + j⌊\frac{λ}{l}⌋-ten Abakus zu. Das Entfernen eines ζ^{j}-Hakens der Länge l entspricht nun offensichtlich auf den Abakusdiagrammen dem Verschieben einer Perle auf einem der Stäbe um genaue eine Position. Der Kern wird also erhalten, indem alle Perlen auf allen Abaki in die kleinstmögliche Position gezogen werden, und ist insbesondere eindeutig bestimmt. □

Seien S ein Symbol und S′ der zugehörige (l, ζ^{j})-Kern. Dann heißt

w(S, l, ζ^{j}) := (rg(S) − rg(S′))/l

das (l, ζ^{j})-Gewicht von S. Das Gewicht gibt demnach an, wieviele (l, ζ^{j})-Haken man entfernen muß, um von S zu dem (l, ζ^{j})-Kern S′ zu gelangen. Die Konstruktion im vorangegangenen Beweis liefert uns zu S und (l, ζ^{j}) ein el-Tupel von Partitionen von w(S, l, ζ^{j}), den (l, ζ^{j})-Quotienten von S.

Sei wie in Abschnitt 2C ein e-Tupel α = (α_{0}, …, α_{e−1}) von Partitionen α_{i} ⊢ n_{i} mit ∑ n_{i} = n gegeben, wobei ohne Beschränkung α_{0} einen Teil mehr als jedes der α_{i}, 1 ≤ i ≤ e−1, besitze. Über die zugehörigen β-Zahlen S_{i} = (α_{i1}, α_{i2} +1, …, α_{im_{i}} +m_{i} −1) ordnen wir α das Symbol S = (S_{0}, …, S_{e−1}) zu. Dieses hat nach (3.2) den Rang rg(S) = n. In der Tat liefert diese Zuordnung eine Bijektion zwischen den irreduziblen Charakteren von W_{n} und den Äquivalenzklassen von Symbolen vom Rang n mit m_{0} = m_{1} + 1 = m_{2} + 1 = … = m_{e−1} + 1. Dies ist ein Spezialfall der folgenden Beobachtung.

Sei S′ ein (l, ζ^{j})-Kern. Einem el-Tupel von Partitionen von w kann auf eindeutige Weise ein e-Tupel von l-Abakusdiagrammen zugeordnet werden, und damit, wenn man dieses als (l, ζ^{j})-Quotienten interpretiert, ein Symbol S mit rg(S) = rg(S′) + lw. Damit haben wir:

3.5. Folgerung. Die Äquivalenzklassen von Symbolen vom Rang n und Inhalt kongruent 1 modulo e mit vorgegebenem (l, ζ^{j})-Kern S′ (und damit (l, ζ^{j})-Gewicht w = (n − rg(S′))/l) stehen in Bijektion mit el-Tupeln von Partitionen von w.

3B. Unipotente Grade von B_{n}^{(e)}.

Die unipotenten Grade werden durch Klassen von Symbolen S vom Inhalt I(S) ≡ 1 (mod e) parametrisiert.

3.6. Definition. Für ein Symbol S vom Inhalt I(S) ≡ 1 (mod e) sei

def(S) := \frac{(e − 1)(I(S) − 1)}{2} − ∑_{i=0}^{e−1} i |S_{i}| (mod e).

Ein solches Symbol heißt reduziert, falls def(S) = 0 gilt und nicht sämtliche λ_{i1} gleich 0 sind.

Offensichtlich liegt in jeder Äquivalenzklasse von Symbolen vom Inhalt I ≡ 1 (mod e) genau ein reduziertes, denn def(S) ändert sich bei zyklischer Vertauschung der Zeilen jeweils um 1.

3.7. Beispiel. Für e = 2 stimmen die reduzierten Symbole vom Inhalt 2m + 1 ≡ 1 (mod 2) genau mit den Lusztigschen reduzierten Symbolen von ungeradem Defekt überein, für die die Anzahl der Einträge in der zweiten Zeile kongruent zu m ist (man erhält also aus jeder Klasse von Symbolen genau einen Vertreter). Die ζ^{0}-Haken sind die üblichen Haken, die ζ^{1}-Haken die sogenannten Kohaken.

Durch sinngemäße Fortsetzung der Definition in (2.19) wird jedem Symbol S = (S_{0}, …, S_{e−1}) eine rationale Funktion D_{S} in den Unbestimmten q, v_{0}, …, v_{e−1} zugeordnet. Diese ist invariant bezüglich Verschiebungen des Symbols, nicht aber bezüglich zyklischer Vertauschung. Spezialisiert man die v_{i} zu ζ^{i}, so zeigt die Formel (2.21), daß nun D_{S}(q) bis auf das Vorzeichen auch invariant bezüglich zyklischer Vertauschung bleibt.

3.8. Definition. Für ein e-Symbol vom Rang n und Inhalt I(S) = em + 1 definieren wir den Grad durch

(3.9)  γ_{S}(q) := \frac{(−1)^{\binom{e}{2}}^{\binom{m}{2}} ∏_{i=1}^{n}(q^{ei} − 1) · ∏_{i=0}^{e−1} ∏_{j=i}^{e−1} ∏_{{(λ,μ)∈S_{i}×S_{j} \atop μ<λ falls i=j}} (q^{λ}ζ^{i} − q^{μ}ζ^{j})}{τ(e)^{m} · q^{\binom{e(m−1)+1}{2}+\binom{e(m−2)+1}{2}+...} · ∏_{i=0}^{e−1} Θ(S_{i}, q^{e})}.

Die Menge mit Vielfachheiten

Uch(B_{n}^{(e)}) := {γ_{S} | S reduziertes e-Symbol, rg(S) = n, I(S) ≡ 1 (mod e)}

heißt die Menge der unipotenten Grade von B_{n}^{(e)}.

3.10. Beispiel. Für das Symbol S = ((0, n), (1), (0), …, (0)) zum Spiegelungscharakter von W_{n} erhalten wir

γ_{S}(q) = \frac{1}{e} \frac{q (q^{n−1} − ζ)(q^{en} − 1)}{(q − 1)(q^{n} − ζ)}

(vergleiche mit Beispiel 2.17).

Man stellt sofort fest (vgl. [10, 3.7 und 8.11(2)] für e = 2):

3.11. Folgerung. Mit γ(q) ∈ Uch(B_{n}^{(e)}) liegt auch ±γ(ζq) in Uch(B_{n}^{(e)}).

Beweis. Das parametrisierende Symbol S′ für γ′ := ±γ(ζq) hat für jeden Eintrag λ ∈ S_{i} von S einen Eintrag λ ∈ S_{i+λ}. Ein reduziertes Symbol erhält man anschließend durch Rotation der Zeilen. □

Sei nun wiederum a(γ_{S}) = a(S) die Nullstellenordnung von γ_{S}(q) bei q = 0. Mit dem oben eingeführten Begriff des ζ^{j}-Hakens eines Symbols läßt sich (3.9) umformen (vgl. [15, Prop. 5] für den Fall e = 2):

3.12. Bemerkung (Hakenformel). Es gilt

γ_{S}(q) = \frac{b_{S} q^{a(S)} ∏_{i=1}^{n}(q^{ei} − 1)}{∏_{j,l}(q^{l} − ζ^{j})} ,

wobei das Produkt im Nenner über alle ζ^{j}-Haken von S der Länge l läuft und

b_{S} = \frac{(−1)^{\binom{e}{2}}^{\binom{m}{2}} ∏_{i=0}^{e−1}(−1)^{L_{i}}ζ^{i(K_{i}+L_{i})}}{∏_{i=0}^{e−1} ∏_{j=i+1}^{e−1}(ζ^{i} − ζ^{j})^{m−|S_{i}∩S_{j}|}}

eine Konstante ist, mit

K_{i} := |{(j, λ, μ) | λ ∈ S_{i}, μ ∈ S_{j}, μ < λ, j ≥ i}|,
L_{i} := |{(j, λ, μ) | λ ∈ S_{i}, μ ∈ S_{j}, μ < λ, j < i}|.

3C. Harish-Chandra Theorien.

Sei Φ ein zyklotomisches Polynom über K mit Φ(ξ) = 0 für eine primitive d-te Einheitswurzel ξ. Ein unipotenter Grad γ_{S} ∈ Uch(B_{n}^{(e)}) heißt Φ-kuspidal, wenn der volle Φ-Anteil von |B_{n}^{(e)}(q)| in γ_{S}(q) aufgeht. Nach der Hakenformel 3.12 ist dies gleichbedeutend damit, daß das parametrisierende Symbol S keine (d′, ξ^{d′} =: ξ_{c})- Haken für c := ggT(e, d), d′ := d/c, besitzt. Diese Definition hängt nicht von der Wahl der Nullstelle ξ von Φ ab. Wir schreiben auch kurz Uch_{Φ}(𝔾) für die Teilmenge der Φ-kuspidalen unipotenten Grade von 𝔾. Ein Paar (𝕃, λ), bestehend aus einer Φzerfallenden Leviuntergruppe 𝕃 von 𝔾 und einem Φ-kuspidalen Grad λ ∈ Uch_{Φ}(𝕃), heißt ein Φ-kuspidales Paar von 𝔾.

Nach der Definition getwisteter Spiegelungsdaten stehen die Φ-kuspidalen Charaktergrade von GL_{m}(ξ_{c}^{−1}q^{d′}) in kanonischer Bijektion mit den 1-kuspidalen Charaktergraden von GL_{m}(q), also besitzt GL_{m}(ξ_{c}^{−1}q^{d′}) nur für m = 1 einen Φ-kuspidalen Grad. Nach der Beschreibung der Φ-zerfallenden Leviuntergruppen von 𝔾 in (2.5) haben die Φ-kuspidalen Paare von 𝔾 daher die Gestalt (𝕃, λ) mit

(3.13) 𝕃 = GL_{1}(ξ_{c}^{−1}q^{d′}) × ⋯ × GL_{1}(ξ_{c}^{−1}q^{d′}) × B_{m}^{(e)}(q),

λ = 1 ⊗ ⋯ ⊗ 1 ⊗ λ′ mit λ′ ∈ Uch_{Φ}(B_{m}^{(e)}).

Sei S′ das reduzierte Symbol vom Rang m, welches den Φ-kuspidalen Grad λ′ parametrisiert. Nach obigem ist S′ dann ein (d′, ξ_{c})-Kern, und die Symbole S vom Rang n mit (d′, ξ_{c})-Kern S′ haben (d′, ξ_{c})-Gewicht w := (n − m)/d′. Die zugehörige relative Weylgruppe hat demnach bei trivialer Operation von W_{𝔾}(𝕃) auf Uch(𝕃) gemäß (2.6) die Struktur

W_{𝔾}(𝕃, λ) = Z_{ed′} ≀ S_{w}.

In Folgerung 3.5 haben wir gesehen, daß die unipotenten Grade γ_{S} ∈ Uch(𝔾), für die S den (d′, ξ_{c})-Kern S′ hat, über die Konstruktion des (d′, ξ_{c})-Quotienten in Bijektion mit den irreduziblen Charakteren von W_{𝔾}(𝕃, λ) stehen. Diese Bijektion ist zudem mit den zugehörigen unipotenten Graden verträglich:

3.14. Satz. Sei γ_{S} ∈ Uch(B_{n}^{(e)}) durch das Symbol S parametrisiert. Seien ξ eine primitive d-te Einheitswurzel mit Minimalpolynom Φ über K, c := ggT(e, d), d′ := d/c, und e′ definiert durch ξ^{d′} = ζ^{e′} =: ξ_{c}. Seien S′ der (d′, ξ_{c})-Kern und Q = (Q_{0}, …, Q_{ed′−1}) ein ed′-Symbol zum (d′, ξ_{c})-Quotienten von S. Dann gilt

γ_{S}(q) = ±\frac{|𝔾(q)|_{q′}}{|𝕃(q)|_{q′}} D_{Q}(ξ_{c}^{−1}q^{d′}; v_{0}, …, v_{ed′−1}) γ_{S′}(q),

mit 𝔾 = B_{n}^{(e)}, γ_{S′} ∈ Uch_{Φ}(𝕃),

v_{i} := q^{ĩ−k_{i}d′}ζ^{i+e′k_{i}}, 0 ≤ i ≤ ed′ − 1, mit ĩ:= ⌊i/e⌋,

und k_{i} := max{|Q_{l}| − δ_{0,l} | 0 ≤ l ≤ ed′ − 1} − |Q_{i}| + δ_{0,i}.

Beweis. Stimmt S mit S′ überein, so gilt die Aussage trivialerweise. Es genügt daher,

(3.15)  \frac{|𝔾′|_{q′} γ_{S}(q)}{|𝔾|_{q′} γ_{R}(q)} = ±\frac{D_{Q}(ξ_{c}^{−1}q^{d′}; v_{1}, …, v_{ed′−1})}{D_{P}(ξ_{c}^{−1}q^{d′}; v_{1}, …, v_{ed′−1})}

zu zeigen, wobei R aus S durch Entfernen eines (d′, ξ_{c})-Hakens hervorgeht, 𝔾′ die zugehörige Leviuntergruppe bezeichnet und P der (d′, ξ_{c})-Quotient von R ist.

Im Beweis von Bemerkung 3.4 haben wir S ein e-Tupel von Abaki mit jeweils d′ Stäben zugeordnet. Dabei entspricht einem Eintrag λ ∈ S_{i} von S eine Perle auf dem λ (mod d′)-ten Stab des i + e′⌊λ/d′⌋-ten Abakus in Position ⌊λ/d′⌋. Umgekehrt kommt eine Perle auf dem s-ten Stab des t-ten Abakus in Position u also von dem Eintrag d′u + s ∈ S_{t−e′u}. Sei nun T das ed′-Symbol, dessen i-te Reihe aus den Positionen der Perlen auf dem ⌊i/e⌋-ten Stab des i (mod e)-ten Abakus herrührt. (Das T zugeordnete ed′-Tupel von Partitionen von w = w(S, d′, ξ_{c}) ist also gerade der (d′, ξ_{c})-Quotient von S.) Wir nehmen nun an, daß R aus S durch Entfernen des (d′, ξ_{c})-Hakens (f, μ, μ − d′) an Position μ ∈ S_{f} entsteht. Weiter sei das Bild von μ ∈ S_{f} auf T unter obiger Konstruktion als ν ∈ T_{j} bezeichnet. Dann gilt

∏_{i=0}^{e−1} ∏_{{λ∈S_{i} \atop λ≠μ falls i=f}} (q^{λ}ζ^{i} − q^{μ}ζ^{f}) = ± ∏_{i=0}^{ed′−1} ∏_{{κ∈T_{i} \atop κ≠ν falls i=j}} (q^{d′κ+ĩ}ζ^{i−e′κ} − q^{d′ν+j̃}ζ^{j−e′ν})

= ± ∏_{i=0}^{ed′−1} ∏_{{κ∈T_{i} \atop κ≠ν falls i=j}} ((ξ_{c}^{−1}q^{d′})^{κ}qĩζ^{i} − (ξ_{c}^{−1}q^{d′})^{ν}qj̃ζ^{j}),

wobei wir ĩ := ⌊i/e⌋ gesetzt haben. Das Symbol T ist nun noch nicht in der Form, daß die erste Reihe genau einen Eintrag mehr als alle übrigen hat. Dies erreichen wir, indem wir die i-te Reihe von T um k_{i} := max_{l}{|T_{l}| − δ_{0,l}} − |T_{i}| + δ_{0,i} verschieben. Bezeichne T′ = (T′_{0}, …, T′_{ed′−1}) das durch diese Verschiebung erhaltene Symbol. Mit

p := ξ_{c}^{−1}q^{d′}, v_{i} := q^{ĩ−k_{i}d′}ζ^{i+e′k_{i}}, 0 ≤ i ≤ ed′ − 1,

wird der obige Ausdruck dann zu

± ∏_{i=0}^{ed′−1} ∏_{{κ∈T_{i} \atop κ≠ν falls i=j}} (p^{κ+k_{i}}v_{i} − p^{ν+k_{j}}v_{j}).

Weiter gilt für den vom Quotienten der Θ-Funktionen beigesteuerten Faktor

\begin{aligned}∏_{i=μ−d′+1}^{μ}(q^{ei} − 1) & = ∏_{i=0}^{d′−1}(q^{e(d′ν+j̃−i)} − 1) \\ & = ∏_{i=0}^{ed′−1}(q^{d′ν+j̃−ĩ}ζ^{j−e′ν−i} − 1) = ∏_{i=0}^{ed′−1} p^{−k_{i}}v_{i}^{−1}(p^{ν′}v_{j} − p^{k_{i}}v_{i}). \end{aligned}

Die linke Seite des zu untersuchenden Quotienten (3.15), dividiert durch (q^{d′} − ξ_{c}), ergibt sich daher zu

± ∏_{i=0}^{ed′−1} ∏_{κ∈T_{i}}′ \frac{(p^{κ+k_{i}}v_{i} − p^{ν+k_{j}}v_{j})}{(p^{κ+k_{i}}v_{i} − p^{ν+k_{j}−1}v_{j})} ∏_{i=0}^{ed′−1} \frac{p^{k_{i}}v_{i}}{(p^{ν′}v_{j} − p^{k_{i}}v_{i})}

= ± ∏_{i=0}^{ed′−1} ∏_{κ∈T′_{i}}′ \frac{(p^{κ}v_{i} − p^{ν′}v_{j})}{(p^{κ}v_{i} − p^{ν′−1}v_{j})} ∏_{i=0}^{ed′−1} \frac{(p^{k_{i}}v_{i} − p^{ν′}v_{j})}{p^{k_{i}}(v_{i} − p^{ν′}v_{j})} ∏_{i=0}^{ed′−1} \frac{p^{k_{i}}v_{i}}{(p^{ν′}v_{j} − p^{k_{i}}v_{i})}

= ± ∏_{i=0}^{ed′−1} ∏_{κ∈T′_{i}}′ \frac{(p^{κ}v_{i} − p^{ν′}v_{j})}{(p^{κ}v_{i} − p^{ν′−1}v_{j})} ∏_{i=0}^{ed′−1} \frac{v_{i}}{(v_{i} − p^{ν′}v_{j})}.

wobei wir mit ∏′ das Produkt über alle κ ∈ T_{i} mit κ ≠ ν für i = j bzw. über alle κ ∈ T′_{i} mit κ ≠ ν′ für i = j bezeichnen. Dies ist aber nach (2.19) gleich dem Quotienten auf der rechten Seite von (3.15) für das Symbol Q := T′, ebenfalls dividiert durch (q^{d′} − ξ_{c}). □

Das obige Ergebnis war bereits in einigen Spezialfällen bekannt: Für e ∈ {1, 2}, d = 1, ist es die klassische Harish-Chandra Theorie für die Gruppen vom Lie-Typ A_{n−1} und B_{n} (siehe etwa [10, 3.2.1] für e = 2, d = 1). Der Fall e ∈ {1, 2}, d beliebig, w(S, d′, ξ_{c}) = 1, wurde in [4, Bem. 2.10, 2.14, 2.19] behandelt. Die wichtige Folgerung von Satz 3.14 in Bezug auf die in [4] ausgesprochenen Vermutungen ergibt sich aus dem Fall e ∈ {1, 2}, d beliebig:

3.16. Folgerung. Sei 𝔾 eine generische Gruppe vom Lie-Typ A_{n}, ^{2}A_{n}, B_{n} oder C_{n}. Dann erfüllen die Φ_{d}-Blöcke von 𝔾 unter der Annahme von 2.20(2) die Vermutung (dHV6) in [4].

Umgekehrt könnte aus der Richtigkeit von (dHV6) für die Gruppen GL_{n}(q) mit Hilfe von Satz 3.14 bereits die Korrektheit der Vermutung 2.20 über die relativen Grade der Heckealgebra H(B_{n}^{(e)}; u) bewiesen werden. Denn alle diese Algebren kämen dann für jeweils unendliche viele Φ-Blöcke von Gruppen GL_{n}(q) als Endomorphismenalgebren Deligne-Lusztig induzierter Charaktere vor. Die gesuchten Grade müßten ebenfalls die Gradformel im Satz erfüllen, mit denselben Parametern (da diese schon durch den Fall des Gewichts 1 bestimmt sind, für den die relativen Grade nach [4, Bem. 2.4] bekannt sind). Durch Interpolation erhielte man daraus die gewünschte Formel. (Vergleiche [10, 9.6] für eine analoge Überlegung.)

Weiterhin erlaubt Satz 3.14 den Schluß:

3.17. Folgerung. Die Grade γ_{S} ∈ Uch(B_{n}^{(e)}) sind Polynome.

Beweis. Wie man leicht anhand des ζ^{0}-Kerns verifiziert, liegt in jeder Äquivalenzklasse von Symbolen eines, dessen sämtliche Einträge kleiner oder gleich seinem Rang sind. Daher kommen als mögliche Nullstellen des Nenners von γ_{S} ∈ Uch(B_{n}^{(e)}) nach der Hakenformel 3.12 neben q = 0 allenfalls primitive d-te Einheitswurzeln ξ mit d|ei für ein 1 ≤ i ≤ n in Frage. Um zu zeigen, daß γ_{S}(q) keinen Pol bei q = ξ hat, wenden wir Satz 3.14 an. Seien S′ der (d′, ξ_{c})-Kern von S, c := ggT(d, e), d′ := d/c, 𝕃 die zugehörige Leviuntergruppe und Φ das Minimalpolynom von ξ über K.

Da 𝕃 eine Φ-zerfallende Leviuntergruppe ist, hat der Quotient |𝔾|/|𝕃| nach Definition triviale q − ξ-Bewertung. Weiter besitzt γ_{S′}(q) nach der Definition Φ-kuspidaler Grade keinen Pol bei q = ξ. Schließlich sieht man aufgrund der Gestalt der Parameter, daß auch der generische Grad D_{Q} der relativen Weylgruppe bei q^{d′} − ξ_{c} weder Pol noch Nullstelle hat. Damit ist also jedenfalls γ_{S}(q) bei q = ξ ganz.

Die Ganzheit bei q = 0 folgt, da zunächst S den gleichen a-Wert wie das spezielle Symbol mit denselben Einträgen hat. Für spezielle Symbole stimmt nach Bemerkung 2.24 der a-Wert mit dem ã-Wert überein, welcher nichtnegativ ist, da die Scheingrade Polynome sind. □

Die Definition der relativen Grade (2.19) zeigt, daß die Inversen der D_{S}(q; v) in K[q, q^{−1}, v, v^{−1}] liegen. Dies erlaubt einen einfachen strukturellen Beweis des von Boyce für e = 2 bewiesenen Ergebnisses [3] für Φ-zerfallende Leviuntergruppen.

3.18. Folgerung. Unter den Voraussetzungen von Satz 3.14 gilt

γ_{S}(q)_{q′} | deg(R_{𝕃}^{𝔾}(γ_{S′})) in K[q], mit deg(R_{𝕃}^{𝔾}(γ_{S′})) := \frac{|𝔾(q)|_{q′}}{|𝕃(q)|_{q′}} γ_{S′}(q) .

4. Fourier-Transformation

In diesem Abschnitt stellen wir einen Zusammenhang zwischen den unipotenten Graden und den Scheingraden von B_{n}^{(e)} her: Beide erzeugen denselben Teilraum des Vektorraums der Polynome in q über K, und die Basiswechselmatrix, von Lusztig im Fall e = 2 Fourier-Transformationsmatrix genannt, kann explizit angegeben werden. Jedem unipotenten Grad ist eine e-te Einheitswurzel, der Frobenius-Eigenwert, zugeordnet. Die Frobenius-Eigenwerte sind mit allen Φ-Harish-Chandra Theorien verträglich. Die Diagonalmatrix der Frobenius-Eigenwerte und die Matrix der Fourier-Transformation ergeben eine Matrixdarstellung von SL_{2}(ℤ).

4A. Fourier-Transformationsmatrizen.

Sei Y eine em + 1-elementige totalgeordnete Menge, m > 0. Mit Ψ = Ψ(Y) sei die Menge der Abbildungen

(4.1)  ψ : Y → \{0, …, e − 1\}, mit ∑_{y∈Y} ψ(y) ≡ m\binom{e}{2} (mod e),

bezeichnet, mit Ψ_{0} die Teilmenge der ψ ∈ Ψ mit |ψ^{−1}(i)| = m+δ_{0,i}. Sei ¯ die natürliche Involution

¯ : Ψ → Ψ, ψ ↦ ψ̄ mit ψ̄(y) := e − ψ(y) (mod e)

auf Ψ. Bezeichne weiter ⟨ , ⟩ die symmetrische Paarung

⟨ϕ, ψ⟩ := ϵ(ϕ)ϵ(ψ) ∏_{y∈Y} ζ^{−ϕ(y)ψ(y)},

auf Ψ, mit ζ := exp(2πi/e) und

ϵ(ψ) := (−1)^{c(ψ)}, c(ψ) := |{(y, y′) ∈ Y × Y | y < y′, ψ(y) < ψ(y′)}| .

4.2. Lemma. Die symmetrische Paarung ⟨ , ⟩ : Ψ × Ψ → ℂ erfüllt:

(a) ⟨ϕ, ψ̄⟩ = ϵ(ψ) ϵ(ψ̄) \overline{⟨ϕ, ψ⟩}.

(b) ∑_{ν∈Ψ}⟨ϕ, ν⟩⟨ν, ψ⟩ = δ_{ϕ,ψ̄} ϵ(ψ) ϵ(ψ̄) |Ψ|.

Beweis. Der erste Teil folgt direkt aus der Definition. Für den zweiten müssen wir

∑_{ν∈Ψ}⟨ϕ, ν⟩ ⟨ν, ψ⟩ = ϵ(ϕ)ϵ(ψ) ∑_{ν∈Ψ} ∏_{y∈Y} ζ^{−ν(y)(ϕ(y)+ψ(y))}

berechnen. Gilt ϕ(y) + ψ(y) ≡ 0 (mod e) für alle y ∈ Y, also ψ̄ = ϕ, so erhalten wir ±|Ψ| als Ergebnis. Sei nun y ∈ Y mit ϕ(y)+ψ(y) ≢ 0 (mod e). Zu einem festen ν ∈ Ψ seien ν_{i} die Abbildungen ν_{i}(z) := ν(z) − 1 + δ_{y,z}. Die ν_{i} liegen wiederum in Ψ und sind für 0 ≤ i ≤ e − 1 alle verschieden. Die Teilsumme über die ν_{i} verschwindet aber, da eine Summe über alle Potenzen einer nichttrivialen Einheitswurzel ausgeklammert werden kann. □

Auf dem Raum der Abbildungen H := R^{Ψ} von Ψ in eine ℂ-Algebra R führen wir den Operator

T : H → H, T (f)(ϕ) := \frac{(−1)^{m(e−1)}}{τ(e)^{m}} ∑_{ψ∈Ψ}⟨ϕ, ψ⟩ f(ψ) ,

ein und bezeichnen T (f) als Fourier-Transformierte von f (man vergleiche mit [10, 1.1]). Nach Lemma 4.2 und (2.22) gilt

T^{2}(f)(ψ) = (−1)^{m\binom{e−1}{2}}ϵ(ψ)ϵ(ψ̄)f(ψ̄),

und die 4-fach Fourier-Transformierte ist wieder die ursprüngliche Funktion. Anhand von Lemma 4.2 prüft man sofort die Identität

(4.3)  ∑_{ψ∈Ψ} T (f)(ψ)\overline{T (f)(ψ)} = ∑_{ψ∈Ψ} f(ψ)\overline{f(ψ)}

nach.

Seien g im weiteren eine feste Funktion von Y in eine ℂ-Algebra, sowie γ und ∂ definiert durch

(4.4)  γ(ψ) := \frac{1}{τ(e)^{m}} ∏_{i=0}^{e−1} ∏_{j=i}^{e−1} ∏_{{y,y′:ψ(y)=i,ψ(y′)=j \atop y>y′ falls i=j}} (g(y)ζ^{ψ(y)} − g(y′)ζ^{ψ(y′)}),

(4.5)  ∂(ψ) := \{ \begin{matrix}∏_{i=0}^{e−1} ∏_{y:ψ(y)=i} g(y)^{i} ∏_{{y′:ψ(y′)=i \atop y>y′}}(g(y)^{e} − g(y′)^{e}) & falls ψ ∈ Ψ_{0}, \\ 0 & sonst. \end{matrix}

4.6. Bemerkung. Die Funktion ψ ↦ (−1)^{\binom{e}{2}}^{\binom{m}{2}}∂(ψ) ist die Fourier-Transformierte von ψ ↦ γ(ψ).

Beweis. Wir interpretieren zunächst den Wert ϵ(ψ)γ(ψ) als Vandermonde-Determi-nante und erhalten mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz

\begin{aligned}ϵ(ψ)γ(ψ) & = \frac{1}{τ(e)^{m}} ∏_{{y,y′∈Y \atop y>y′}} (g(y)ζ^{ψ(y)} − g(y′)ζ^{ψ(y′)}) \\ & = \frac{1}{τ(e)^{m}} ∑_{σ∈S_{em+1}} ϵ(σ) ∏_{y∈Y} (g(y)ζ^{ψ(y)})^{σ(y)}, \end{aligned}

wobei wir hier die symmetrische Gruppe S_{em+1} mit den Bijektionen von Y nach {0, …, em} identifiziert haben, und das Vorzeichen ϵ(σ) durch

ϵ(σ) := (−1)^{c(σ)}, mit c(σ) := |{(y, y′) ∈ Y × Y | y > y′, σ(y) < σ(y′)}|,

definiert sei. Damit wird

\begin{aligned}T (γ)(ϕ) & = \frac{(−1)^{m(e−1)}ϵ(ϕ)}{τ(e)^{2m}} ∑_{ψ∈Ψ} ( ∏_{y∈Y} ζ^{−ϕ(y)ψ(y)}) ∑_{σ∈S_{em+1}} ϵ(σ) ∏_{y∈Y} (g(y)ζ^{ψ(y)})^{σ(y)} \\ & = \frac{(−1)^{m(e−1)}ϵ(ϕ)}{τ(e)^{2m}} ∑_{σ∈S_{em+1}} ϵ(σ) ( ∏_{y∈Y} g(y)^{σ(y)}) ∑_{ψ∈Ψ} ∏_{y∈Y} ζ^{ψ(y)(σ(y)−ϕ(y))}. \end{aligned}

Wie schon beim Beweis von Lemma 4.2(b) verschwindet die innere Summe, falls nicht σ(y) − ϕ(y) auf Y konstant gleich 0 (modulo e) ist. In letzterem Fall haben die Urbildmengen ϕ^{−1}(i) jeweils die Mächtigkeit m + δ_{0,i}, d.h. ϕ liegt in Ψ_{0}, und σ induziert Bijektionen σ_{i} : ϕ^{−1}(i) →^{∼} {i, e + i, …, (m − 1)e + i}, 1 ≤ i ≤ e − 1, und σ_{0} : ϕ^{−1}(0) →^{∼} {0, e, …, em}. Definiert man nun Vorzeichen ϵ(σ_{i}) sinngemäß wie ϵ(σ), so zeigt eine kurze Rechnung

ϵ(σ) = (−1)^{m\binom{e}{2}\binom{m+1}{2}}ϵ(ϕ) ∏_{i=0}^{e−1} ϵ(σ_{i}).

Unter Berücksichtigung des von τ(e)^{2m} herrührenden Vorzeichens erhalten wir somit

T (γ)(ϕ) = (−1)^{\binom{e}{2}}^{\binom{m}{2}} ∑_{σ_{0}} ϵ(σ_{0}) ∏_{y∈ϕ^{−1}(0)} g(y)^{σ_{0}(y)} ⋯ ∑_{σ_{e−1}} ϵ(σ_{e−1}) ∏_{y∈ϕ^{−1}(e−1)} g(y)^{σ_{e−1}(y)}.

Mit der Definition von ∂ ist dies aber bereits das gewünschte Resultat. □

Eine Funktion π : Y → ℕ definiert eine Äquivalenzrelation ∼_{π} auf Ψ über

ϕ ∼_{π} ψ falls π ∘ ϕ^{−1}(i) = π ∘ ψ^{−1}(i) für 0 ≤ i ≤ e − 1.

Die Klasse von ψ in Ψ bezüglich ∼_{π} sei mit [ψ] bezeichnet. Ein ψ ∈ Ψ heiße π-zulässig, falls aus π(y) = π(y′) und ψ(y) = ψ(y′) schon y = y′ folgt. Bezeichne H_{π} den von den f ∈ H mit

(4.7)  f(ϕ) = f(ψ) falls [ϕ] = [ψ], f(ψ) = 0 falls ψ nicht π-zulässig,

erzeugten Teilraum von H.

4.8. Lemma. Der Teilraum H_{π} ist invariant unter Fourier-Transformation.

Beweis. Die Funktionen

(4.9)  {f_{[ϕ]} | ϕ π-zulässig, f_{[ϕ]}(ψ) := δ_{[ϕ],[ψ]}}

erzeugen H_{π}. Ihre Fourier-Transformierten haben Werte

T (f_{[ϕ]})(ψ) = \frac{1}{τ(e)^{m}} ∑_{ν∈Ψ}⟨ψ, ν⟩f_{[ϕ]}(ν) = \frac{ϵ(ψ)}{τ(e)^{m}} ∑_{ν∈[ϕ]} ϵ(ν) ∏_{y∈Y} ζ^{−ψ(y)ν(y)}.

Ist ψ nicht π-zulässig, etwa bezüglich y, y′ ∈ Y, so liegt ein aus ν ∈ [ϕ] durch Vertauschen der Bilder von y und y′ erhaltenes ν′ ebenfalls in [ϕ]. Die zugehörigen Vorzeichen erfüllen ϵ(ν)ϵ(ν′) = −1, während das innere Produkt bei beiden den gleichen Wert annimmt. Damit heben sich die Beiträge von ν und ν′ in der Summe auf, und T (f_{[ϕ]}) verschwindet auf ψ. Ist [ψ] = [ψ′], so sieht man mit ähnlicher Argumentation, daß (4.7) erfüllt ist. □

Damit induziert T eine Fourier-Transformation auf H_{π}. Sei weiter wie oben g eine Funktion auf Y, die zudem via π über π(Y) faktorisiert. Dann liegen die in (4.4) und (4.5) eingeführten Funktionen γ und ∂ bereits in H_{π}, und gehen gemäß Bemerkung 4.6 durch Fourier-Transformation ineinander über.

Die Darstellungsmatrix T (Y, π) von T bezüglich der Basis (4.9), also

(4.10)  T (Y, π) = (\frac{(−1)^{m(e−1)}}{τ(e)^{m}} ∑_{ν∈[ϕ]} ϵ(ν)ϵ(ψ) ∏_{y∈Y} ζ^{−ν(y)ψ(y)})_{[ϕ],[ψ]} ,

bezeichnen wir als Fourier-Transformationsmatrix von (Y, π).

4B. Frobenius-Eigenwerte.

Wir erinnern zunächst an zwei leichte Folgerungen aus dem Satz von Gauß (siehe etwa [9, Th. 211]):

(4.11)  ∑_{i=0}^{e−1} ζ^{(i^{2}+ei)/2} = ζ_{24}^{−3(e−1)}\sqrt{e},

mit ζ_{24} := exp(πi/12). Seien wiederum Y eine em + 1-elementige Menge und Ψ wie oben definiert. Einem ψ ∈ Ψ ordnen wir den Frobenius-Eigenwert

(4.12)  Fr(ψ) := ζ_{24}^{−2(e^{2}−1)m} ∏_{y∈Y} ζ^{−(ψ(y)^{2}+eψ(y))/2}

zu. Offensichtlich ist Fr(ψ) immer eine Einheitswurzel.

4.13. Lemma. Für alle ϕ, ψ ∈ Ψ und γ wie in (4.4) gilt:

(a) Fr(ψ)^{e} = 1,

(b) Fr(ψ) = 1 falls ψ ∈ Ψ_{0},

(c) Fr(ψ) = Fr(ψ̄),

(d) ∑_{ν,μ∈Ψ} Fr(ψ) Fr(ν) Fr(μ) ⟨ψ, ν⟩ ⟨ν, μ⟩ ⟨μ, ϕ⟩ = (−1)^{(e−1)m} τ(e)^{3m} δ_{ψ,ϕ},

(e) ∑_{ν∈Ψ} Fr(ϕ) \overline{⟨ϕ, ν⟩} Fr(ν) γ(ν) = (−1)^{(e−1)m} \overline{τ(e)}^{m}γ(ϕ).

Beweis. Teil (a) folgt direkt aus der Definition von Ψ und Fr. Der zweite Teil ergibt sich aus (4.11). Teil (c) folgt wegen

(e − x)^{2} + e(e − x) = e^{2} − 2ex + x^{2} + e^{2} − ex ≡ x^{2} + ex (mod 2e)

für beliebige x ∈ ℤ. Für (d) wird

∑_{ν,μ∈Ψ} Fr(ψ) Fr(ν) Fr(μ) ⟨ψ, ν⟩ ⟨ν, μ⟩ ⟨μ, ϕ⟩

= ϵ(ν)ϵ(ϕ)ζ_{24}^{−2(e^{2}−1)m}Fr(ψ) ∑_{ν∈Ψ} Fr(ν)⟨ψ, ν⟩ ∑_{μ∈Ψ} ∏_{y∈Y} ζ^{−μ(y)(ϕ(y)+ν(y)+(μ(y)+e)/2)}.

Mit μ liegt auch μ − ϕ − ν in Ψ, und indem wir die Summationsvariable der inneren Summe entsprechend abändern, erhalten wir

ϵ(ϕ)ϵ(ϕ̄)ζ_{24}^{−6(e^{2}−1)m}Fr(ψ) ∑_{ν∈Ψ}⟨ψ, ν⟩ ⟨ν, ϕ̄⟩ \overline{Fr(ϕ)} ∑_{μ∈Ψ} ∏_{y∈Y} ζ^{−(μ(y)^{2}+eμ(y))/2}.

Nun ist

\begin{matrix}(∑_{i=0}^{e−1} ζ^{−(i^{2}+ei)/2})^{em+1} & = ∑_{μ∈\{0,... ,e−1\}^{Y}} ∏_{y∈Y} ζ^{−(μ(y)^{2}+eμ(y))/2} \\ = ∑_{p=0}^{e−1} ∑_{μ∈Ψ} ∏_{y∈Y} ζ^{−((μ(y)+p)^{2}+eμ(y)+ep)/2} = ∑_{p=0}^{e−1} ζ^{−(p^{2}+ep)/2} ∑_{μ∈Ψ} ∏_{y∈Y} ζ^{−(μ(y)^{2}+eμ(y))/2}, \end{matrix}

also

(4.14)  ∑_{μ∈Ψ} ∏_{y∈Y} ζ^{−(μ(y)^{2}+eμ(y))/2} = (∑_{i=0}^{e−1} ζ^{−(i^{2}+ei)/2})^{em} = (ζ_{24}^{3(e−1)}\sqrt{e})^{em}

nach (4.11), und die zu untersuchende Summe wird

ϵ(ϕ)ϵ(ϕ̄)Fr(ψ) \overline{Fr(ϕ)} ζ_{24}^{−6(e^{2}−1)m}(ζ_{24}^{3(e−1)}\sqrt{e})^{em} ∑_{ν∈Ψ}⟨ψ, ν⟩ ⟨ν, ϕ̄⟩

= Fr(ψ) \overline{Fr(ϕ)}ζ_{24}^{−3(e−1)(e+2)m}\sqrt{e}^{em}δ_{ψ,ϕ}|Ψ| = ζ_{24}^{−3(e−1)(e+2)m}δ_{ψ,ϕ}|Ψ|^{3/2},

wobei wir noch Lemma 4.2(b) verwendet haben. Das gewünschte Ergebnis folgt nun mit (2.22).

Für Teil (e) berechnen wir zunächst wie im Beweis von Bemerkung 4.6

τ(e)^{m} ∑_{ν∈Ψ} Fr(ϕ) \overline{⟨ϕ, ν⟩} Fr(ν) γ(ν) = ; \begin{matrix}ϵ(ϕ)κ^{2} ∑_{ν∈Ψ} ( ∏_{y∈Y} ζ^{ϕ(y)ν(y)−(ν(y)^{2}+eν(y)+ϕ(y)^{2}+eϕ(y))/2}) \\ ∑_{σ∈S_{em+1}}ϵ(σ) ∏_{y∈Y} (g(y)ζ^{ν(y)})^{σ(y)}, \end{matrix}

mit κ := ζ_{24}^{−2(e^{2}−1)m}. Nun kann σ (mod e) als Element von Ψ_{0} interpretiert werden. Bei Summation über ψ := ν − ϕ − σ (mod e) statt über ν erhalten wir

κ^{3} ϵ(ϕ) ∑_{σ∈S_{em+1}} ϵ(σ) ∏_{y∈Y} (g(y)ζ^{ϕ(y)})^{σ(y)} \overline{Fr(σ)} ∑_{ψ∈Ψ} ζ^{−(ψ(y)^{2}+eψ(y))/2}.

Die erste Summe ergibt nun gerade τ(e)^{m} γ(ϕ), und weiter ist Fr(σ) = 1 nach (b). Der Wert des letzten Faktors wurde in (4.14) bestimmt, und so bleibt

κ^{3} τ(e)^{m} γ(ϕ) ζ_{24}^{3e(e−1)m}\sqrt{e}^{em}.

Der Ausdruck im Lemma ist somit gleich

\frac{(−1)^{(e−1)m}}{\overline{τ(e)}^{m}} ζ_{24}^{−6(e^{2}−1)m+3e(e−1)m}\sqrt{e}^{em}γ(ϕ) = γ(ϕ).

□

Die Frobenius-Eigenwerte können zu einem Operator

F : H → H, F (f)(ϕ) := Fr(ϕ)f(ϕ)

zusammengefaßt werden. Für eine Abbildung π : Y → ℕ wie oben ist Fr nach Definition konstant auf den zugehörigen Äquivalenzklassen [ψ], und wir setzen Fr([ψ]) := Fr(ψ). Sei F := F (Y, π) die Darstellungsmatrix des induzierten Operators

F : H_{π} → H_{π}, F (f)([ψ]) := Fr([ψ]) f([ψ]),

bezüglich der Basis (4.9).

Aus den beiden oben eingeführten Automorphismen T und F bilden wir den Shintani-Operator

Sh := F ∘ T^{3} ∘ F = F ∘ T̄ ∘ F

auf H und auf H_{π}, und bezeichnen mit Sh(Y, π) die zugehörige Darstellungsmatrix bezüglich der Basis (4.9). Mit den Lemmata 4.2 und 4.13(c)–(e) erhält man dann (vergleiche mit [7, VII.3]):

4.15. Folgerung. Die Funktion γ ∈ H ist ein Fixpunkt von Sh. Die Matrizen T := T (Y, π) und U := T · F (Y, π) erfüllen

T^{4} = 1,  U^{3} = 1,  [T^{2}, U] = 1 .

Insbesondere liefern T und U via

( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ↦ T, ( \begin{matrix}−1 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ↦ U,

eine Matrixdarstellung der SL_{2}(ℤ). Die Urbilder von F (Y, π) und Sh(Y, π) unter dieser Darstellung sind

( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) ↦ F (Y, π), ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ↦ Sh(Y, π).

Wegen Lemma 4.13(a) ist das Bild Ḡ von G = ⟨T, U⟩ in PSL_{2}(ℤ) eine (2, 3, e)- erzeugte Gruppe. Für e = 2 gilt also insbesondere Ḡ = S_{3}, für e = 3 haben wir Ḡ = A_{4}, für e = 4 ist Ḡ = S_{4} und für e = 5 schließlich Ḡ = A_{5}. Da oben zu jedem π : Y → ℕ ein invarianter Teilraum H_{π} konstruiert werden konnte, ist die Darstellung der SL_{2}(ℤ) auch im allgemeinen weit davon entfernt, irreduzibel zu sein.

4C. Familien.

Wir kehren nunmehr zu den im zweiten Abschnitt eingeführten Symbolen zurück. Zwei Symbole S, S′ liegen in derselben Familie, falls die Menge mit Vielfachheiten der Einträge von S mit der Menge mit Vielfachheiten der Einträge von S′ übereinstimmt. Dies induziert eine Einteilung der Äquivalenzklassen von Symbolen in Familien, und damit auch der unipotenten Grade Uch(B_{n}^{(e)}) über die parametrisierenden reduzierten Symbole. Gemäß Bemerkung 2.24 stehen die Familien in Bijektion mit den speziellen Symbolen.

Sei S ein e-Symbol, n(λ) := |{i | λ ∈ S_{i}}|, und N := {λ | 0 < n(λ) < e}. Dann hat die S enthaltende Familie

(4.16)  \frac{1}{e} ∏_{λ∈N} \binom{e}{n(λ)}

Elemente.

Eine Familie F reduzierter Symbole S vom Inhalt I(S) = em + 1 kann auf naheliegende Weise mit einer Menge Ψ(Y, π) wie in Abschnitt A identifiziert werden. Sei nämlich Y eine em + 1-elementige Menge und π : Y → ℕ so gewählt, daß |π^{−1}(n)| = |{i | n ∈ S_{i}}| gilt (dies hängt offensichtlich nicht von dem gewählten Symbol S ∈ F ab). Zu einer Klasse [ψ] von ψ ∈ Ψ assoziieren wir dann das Symbol S mit S_{i} = π(ψ^{−1}(i)). Dies hängt wiederum nicht von dem gewählten Vertreter ψ ∈ [ψ] ab. Aufgrund der Definition von Ψ ist das so erhaltene S reduziert, liegt in F, und die obige Zuordnung definiert eine Bijektion zwischen den π-zulässigen Klassen in Ψ und den Elementen von F. Die Teilmenge Ψ_{0} entspricht dabei genau den 1-Hauptseriengraden F_{0} von F.

Sei T die zugehörige Fourier-Transformationsmatrix (4.10). Wir setzen die Definition der Scheingrade R_{S} aus (2.12) auf beliebige Symbole S durch R_{S} := 0 für S ∉ F_{0} fort. Mit γ_{S} bezeichnen wir wie in 2B den unipotenten Grad zu S.

4.17. Satz. Die Funktion

S ↦ R_{S}(q)

ist die Fourier-Transformierte von

S ↦ γ_{S}(q).

Insbesondere gilt

∑_{γ_{S}∈F} γ_{S}(q) \overline{γ_{S}(q)} = ∑_{S∈F_{0}} R_{S}(q)^{2} .

Beweis. Die Gleichungen (3.9) und (2.12) zeigen

γ_{S}(q) = v(F) γ(S), R_{S}(q) = ∏_{i=1}^{n}(q^{ei} − 1) δ_{S}(q) = (−1)^{\binom{e}{2}}^{\binom{m}{2}}v(F) ∂(S),

wobei γ und ∂ die in (4.4) und (4.5) eingeführten Funktionen mit g(y) := q^{π(y)} bezeichnen, und

v(F) := \frac{(−1)^{\binom{e}{2}}^{\binom{m}{2}} ∏_{i=1}^{n}(q^{ei} − 1)}{q^{\binom{e(m−1)+1}{2}+\binom{e(m−2)+1}{2}+...} ∏_{i=0}^{e−1} Θ(S_{i}, q^{e})}

nur von F abhängt. Da g über π faktorisiert, liegen die Funktionen γ und ∂ in dem Raum H_{π}, und die Aussage folgt aus Bemerkung 4.6. Die letzte Identität ist eine direkte Folgerung aus (4.3) für die eingeschränkte Transformation, wenn man beachtet, daß die R_{S} Polynome in q mit rationalen Koeffizienten sind. □

Im Fall e = 1 stimmen die Scheingrade mit den unipotenten Graden überein, jede Familie ist 1-elementig, und der obige Satz daher trivial. Die Aussage für e = 2 ist in [10, Prop. 2.9(i)] enthalten.

4.18. Beispiel. Für n = 1, e = 4, also W_{n} ≅ Z_{4}, gibt es eine 6-elementige Familie mit den Symbolen

( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ − \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}− \\ 0 & 1 \\ 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ − \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

Die unipotenten Grade hierzu sind nach (3.9)

\begin{matrix}\frac{(1 − I)}{4}q(q + 1)(q + I), \frac{1}{2}q(q^{2} + 1), \frac{(1 + I)}{4}q(q + 1)(q − I), \\ \frac{(1 + I)}{4}q(q − 1)(q + I), \frac{I}{2}q(q − 1)(q + 1), −\frac{(1 − I)}{4}q(q − 1)(q − I), \end{matrix}

mit I := exp(πi/2). Die zugehörige Fourier-Transformationsmatrix (4.10) ergibt sich damit zu

\frac{1}{4} ( \begin{matrix}1 − I & 2 & 1 + I & 1 + I & 2I & −1 + I \\ 2 & 0 & 2 & −2 & 0 & 2 \\ 1 + I & 2 & 1 − I & 1 − I & −2I & −1 − I \\ 1 + I & −2 & 1 − I & 1 − I & 2I & −1 − I \\ 2I & 0 & −2I & 2I & 0 & 2I \\ −1 + I & 2 & −1 − I & −1 − I & 2I & 1 − I \end{matrix} ) ,

und der Vektor der Frobenius-Eigenwerte ist (1, 1, 1, −1, −I, −1).

Wahlweise könnte man im Beweis von Satz 4.17 auch wie in loc. cit. vorgehen: Zur Familie F bezeichne S := S_{0} ∩ S_{1} ∩ … ∩ S_{e−1} die Menge derjenigen Einträge der Symbole in F, die jeweils in allen Zeilen vorkommen. Mit S′_{i} := S_{i} \ S bezeichnen wir das jeweilige Komplement, und F′ sei die Menge der Symbole

F′ := {S′ := (S′_{0}, …, S′_{e−1}) | S ∈ F}.

Mit I(S′) = em′ + 1 wählt man nun Y′ mit |Y′| = em′ + 1 und π′ wie oben. Anhand der Formeln für γ_{S} und δ_{S} überzeugt man sich, daß ein gemeinsamer nur von F abhängiger Faktor ausgeklammert werden kann, so daß der jeweilige Rest genau die Funktionen γ(S′) und ∂(S′) sind. Der Übergang zwischen den beiden wird dann durch die Fourier-Transformationsmatrix T (Y′, π′) geleistet.

4.19. Anmerkung. Ist e ungerade oder m gerade, so trägt die Menge Ψ(Y) zusätzlich die Struktur einer e-homozyklischen Gruppe der Ordnung e^{em} unter punktweiser Addition. Diese überträgt sich im allgemeinen aber nicht auf die zugehörigen Familien, da |F| nach (4.16) für e > 2 keine e-Potenz zu sein braucht. Daher scheint es auch nicht möglich, die Fourier-Transformation wie im reellen Fall mit einer endlichen abelschen Gruppe zu assoziieren.

4D. Harish-Chandra Theorien für Frobenius-Eigenwerte.

Mit der im letzten Abschnitt durchgeführten Identifikation von Familien unipotenter Grade mit geeigneten Mengen Ψ haben wir jedem γ_{S} ∈ Uch(B_{n}^{(e)}) mit S = (S_{0}, …, S_{e−1}), |S_{i}| = m_{i}, einen Frobenius-Eigenwert

Fr(γ_{S}) = Fr(S) = ζ_{24}^{−2(e^{2}−1)m} ∏_{i=0}^{e−1} ζ^{−(i^{2}+ei)m_{i}/2}

zugeordnet. (Es ist klar, daß diese Zuordnung von der gewählten Identifizierung unabhängig ist.) Lusztig hat gezeigt, daß den unipotenten Charakteren γ der Gruppen vom Lie-Typ ebenfalls jeweils eine Einheitswurzel Fr(γ) zugeordnet werden kann, so daß der Eigenwert der Frobeniusabbildung auf dem γ-isotypischen Teil jeder ladischen Kohomologiegruppe einer Deligne-Lusztig-Varietät gleich Fr(γ) mal eine ganzzahlige Potenz von q^{\frac{1}{2}} ist.

4.20. Anmerkung. Durch Vergleich der Formel in [11, Prop. 6.6] mit (4.12) stellt man fest, daß unser Frobenius-Eigenwert im Fall der Gruppen B_{n}(q) genau mit dem von Lusztig definierten Eigenwert der Frobeniusabbildung übereinstimmt. Ebenso erhalten wir für e = 1 wegen Lemma 4.13(b) für alle Symbole Fr(S) = 1, was mit der Tatsache übereinstimmt, daß bei GL_{n}(q) der Eigenwert der Frobeniusabbildung für alle unipotenten Charaktere gleich 1 ist.

Dabei ist der Lusztigsche Eigenwert der Frobeniusabbildung mit der üblichen Harish-Chandra-Induktion verträglich: Liegt γ in der Harish-Chandra-Serie des kuspidalen Charakters λ einer Leviuntergruppe, so gilt Fr(γ) = Fr(λ). Wir zeigen, daß die analoge Aussage für jede beliebige Φ-Harish-Chandra-Serie gilt.

Wir beschreiben die Situation zunächst für Gruppen vom Lie-Typ. Liegt der unipotente Charakter γ in der d-Harish-Chandra-Serie des d-kuspidalen Charakters λ einer d-zerfallenden Leviuntergruppe 𝕃 von 𝔾, so ist γ durch einen irreduziblen Charakter χ der zugehörigen Heckealgebra H der relativen Weylgruppe W_{𝔾}(𝕃, λ) parametrisiert. Ist diese zyklotomische Heckealgebra in der Tat wie in [4, 1B] vermutet die Endomorphismenalgebra der zugehörigen Deligne-Lusztig-Induktion R_{𝕃}^{𝔾}(λ), so gibt es in H einen natürlichen Kandidaten F für das Bild der Frobeniusabbildung. Dies ist ein zentrales Element, operiert in der zu χ gehörigen Darstellung daher als Skalar, welcher als Potenz von q mal eine Einheitswurzel F_{χ} geschrieben werden kann. Dann sollten die Eigenwerte F_{χ} durch die Gleichung Fr(γ) = F_{χ} · Fr(λ) verknüpft sein. (Im Fall d = 1 ist immer F_{χ} = 1, und wir erhalten Lusztigs Aussage zurück.)

Den geeigneten Kandidaten für F erhält man wie folgt: Seien T_{1}, …, T_{n} die Standarderzeuger der Heckealgebra H(W_{n}, u), und U_{i} definiert durch

U_{1} := T_{1}, U_{i} := T_{i}U_{i−1}T_{i} für 2 ≤ i ≤ n .

Dann liegt U := U_{1} ⋯ U_{n} im Zentrum von H [2, Th. 3.20]. Bei Spezialisierung der Parameter von H zu den e-ten Einheitswurzeln geht U in ein erzeugendes Element (der Ordnung e) des Zentrums von W_{n} über. Die Frobeniusabbildung operiert dann als geeignete Potenz von U.

Die entsprechende Aussage macht auch im allgemeinen Fall der Spiegelungsdaten vom Typ B_{n}^{(e)} Sinn. Seien Φ das Minimalpolynom über K einer primitiven d-ten Einheitswurzel ξ und c, d′, e′, ξ_{c} wie in Satz 3.14 definiert. Zu γ_{S} ∈ Uch(B_{n}^{(e)}) sei γ_{S′} ∈ Uch_{Φ}(𝕃) mit dem (d′, ξ_{c})-Kern S′ von S und χ der zugehörige Charakter der Heckealgebra. Die Parameter der zugehörigen Heckealgebra H wurden in Satz 3.14 bestimmt. Das Bild der Frobeniusabbildung in H sollte nun die e′-te Potenz des oben beschriebenen Elements U sein: F = U^{e′}. Dies ist ein zentrales Element, operiert also in der zu χ gehörigen Darstellung von H als Skalar. Dieser Skalar kann immer als Produkt einer ganzzahligen Potenz von q mal eine Einheitswurzel F_{χ} geschrieben werden. (Genauer hängt F_{χ} natürlich noch von e′ und den Parametern u von H ab; diese sollten jedoch aus dem Zusammenhang klar sein.)

Bei simultaner Multiplikation aller Parameter mit einer Einheitswurzel ändert sich die Struktur von H nicht, wohl aber die Einheitswurzel F_{χ}. Dieses entspricht dem simultanen Verschieben der Perlen auf allen Stäben des Abakusdiagramms des (d′, ξ_{c})- Quotienten Q. Um in unserem Fall einen wohldefinierten Eigenwert zu erhalten, verlangen wir, daß die Perlenanzahl auf allen Stäben von Q durch c teilbar sei. Man überzeugt sich, daß damit F_{χ} eindeutig festgelegt wird.

4.21. Satz. Mit den obigen Bezeichnungen erfüllen die Frobenius-Eigenwerte der γ_{S} ∈ Uch(B_{n}^{(e)}) für alle Φ-Harish-Chandra Theorien die Verträglichkeitsbedingung

Fr(S) = F_{χ} · Fr(S′), χ = χ(S, Φ).

Beweis. Als ersten Schritt bestimmen wir die Änderung des Frobenius-Eigenwerts bei Wegnahme eines (d′, ξ_{c})-Hakens. Sei S ein Symbol mit |S_{i}| = m_{i}, vom Inhalt I(S) = ∑ m_{i} = em + 1 ≡ 1 (mod e) und mit def(S) = \binom{e}{2}m − ∑ im_{i} ≡ 0 (mod e). Dann gilt

Fr(S) = κ ∏_{i=0}^{e−1} ζ^{−(i^{2}+ei)m_{i}/2} mit κ = ζ_{24}^{−2(e^{2}−1)m}.

Entfernen eines (d′, ξ_{c})-Hakens von λ ∈ S_{j} führe zum Symbol T′. Für dieses gilt def(T ) ≡ e′ (mod e), zur Berechnung des Frobenius-Eigenwerts müssen daher die Zeilen zyklisch um −e′ vertauscht werden. Das entstandene Symbol sei mit T bezeichnet. Für dieses wird

Fr(T ) = κ ∏_{i=0}^{e−1} ζ^{−(i^{2}+ei)m_{i+e′} /2} · ζ^{(j−e′)^{2}/2+e(j−e′)/2−j^{2}/2−ej/2}

= κ ∏_{i=0}^{e−1} ζ^{−(i^{2}+ei)m_{i}/2} · ∏_{i=0}^{e−1} ζ^{ie′m_{i}} · ∏_{i=0}^{e−1} ζ^{−(e′^{2}−ee′)m_{i}/2}ζ^{(e′^{2}−ee′−2je′)/2}

= ζ^{−je′} · Fr(S).

Wird der (d′, ξ_{c})-Kern S′ aus S durch sukzessives Entfernen von (d′, ξ_{c})-Haken in Zeilen j_{1}, …, j_{w} von S erhalten, so gilt demnach per Induktion

(4.22)  Fr(S) = ζ^{e′(∑ j_{i}−e′\binom{w}{2})} · Fr(S′) .

Zum Beweis müssen wir nun also noch die Einheitswurzel F_{χ} bestimmen. Gemäß [2, S.29] operiert das zentrale Element U in der durch α = (α_{0}, …, α_{e−1}), α_{i} ⊢ w_{i}, ∑ w_{i} = w, parametrisierten Darstellung von H(Z_{f} ≀ S_{w}, u), u = (u_{0}; u_{1}, …, u_{f−1}), als Skalar

u\binom{w}{2}_{0} ∏_{i=0}^{f−1} u_{i}^{w_{i}} u_{0}^{h(α_{i})} .

Dabei ist h(β) für eine Partition β die Summe der Differenzen i−j über alle Kästchen in Spalte i und Zeile j im zugehörigen Young-Diagramm. Das innere Produkt kann auch so interpretiert werden: für jeden (d′, ξ_{c})-Haken an Position λ ∈ S_{j}, mit λ = d′μ + s, j = t − e′μ, erhalten wir einen zusätzlichen Faktor u_{es+t} u_{0}^{μ+k_{es+t}−r}, wobei r die konstante Perlenzahl auf den Stäben des Symbols Q zum (d′, ξ_{c})-Quotienten T′ bezeichnet. Setzt man die in Satz 3.14 bestimmten Werte für die u_{i} ein, so ergibt dies einen Einheitswurzel-Beitrag

ζ^{es+t+e′k_{es+t}}ξ_{c}^{−(μ+k_{es+t}−r)} = ζ^{t+e′k_{es+t}−e′(μ+k_{es+t}−r)} = ζ^{j},

wobei hier die Normierung c|r, also e|e′r, verwendet wurde. Schließlich trägt u\binom{w}{2}_{0} den Faktor ζ^{−e′\binom{w}{2}} bei. Die Aussage folgt durch Vergleich von (4.22) mit der e′-ten Potenz des Einheitswurzelfaktors zu U. □

5. Spiegelungsdaten vom Typ ^{t}I_{n}^{(e)}

In diesem Abschnitt befassen wir uns mit der zweiten doppelt unendlichen Serie irreduzibler n-dimensionaler komplexer Spiegelungsgruppen, die durch n Spiegelungen erzeugt werden können. Zweckmäßigerweise definiert man diese als geeignete Untergruppen von W_{n} = G(e, 1, n). Bei der Untersuchung des zugehörigen Spiegelungsdatums tauchen zudem in natürlicher Weise als relative Weylgruppen die Spiegelungsgruppen G(e, p, n), p|e, und deren in [1] eingeführten Heckealgebren auf. Des weiteren treten hier auch t-getwistete Spiegelungsdaten für jeden Teiler t von e auf, die eine direkte Verallgemeinerung der getwisteten generischen Gruppen vom Typ ^{2}D_{n}, aber auch ^{2}B_{2} und ^{2}G_{2}, darstellen.

5A. Die Spiegelungsgruppen G(e, p, n).

Seien n und e fest, W_{n} = G(e, 1, n) wie in Abschnitt 1 und W̃_{n} die durch die Permutationen

s̃_{1} := s_{1}^{−1}s_{2}s_{1} = (1, n + 2)(n + 1, 2n + 2) ⋯ ((e − 1)n + 1, 2),

und s_{2}, …, s_{n} erzeugte Untergruppe von W_{n}, aufgefaßt als Permutationsgruppe auf en Punkten. Neben den Relationen (2.1) erfüllen s̃_{1}, s_{2}, …, s_{n} noch

(s̃_{1}s_{2})^{e} = 1, s̃_{1}s_{3}s̃_{1} = s_{3}s̃_{1}s_{3}, (s̃_{1}s_{2}s_{3})^{2} = (s_{3}s̃_{1}s_{2})^{2},

und dieses liefert bereits eine Präsentation von W̃_{n}, die durch das Diagramm

(5.1)  I_{n}^{(e)} :  ◯  ◯ ⧸ e ◯ △ ⧹  ◯ ⋯ ◯  ◯

versinnbildlicht sei (siehe [5, ??]).

In der treuen n-dimensionalen irreduziblen Matrixdarstellung von W_{n} über K = ℚ(ζ), ζ := exp(2πi/e), wird W̃_{n} erzeugt durch die Permutationsmatrizen s_{i}, 2 ≤ i ≤ n, die den i − 1-ten und i-ten Basisvektor vertauschen, und durch s̃_{1}, welches auf dem von den ersten beiden Basisvektoren aufgespannten Raum als

( \begin{matrix}0 & ζ^{−1} \\ ζ & 0 \end{matrix} )

und auf den weiteren Basisvektoren als Identität operiert. Damit ist auch W̃_{n} eine n-dimensionale komplexe Spiegelungsgruppe, die durch n ihrer Spiegelungen erzeugt wird, welche zudem alle die Ordnung 2 haben. Von Shephard und Todd [16] wird diese Spiegelungsgruppe als G(e, e, n) bezeichnet. Umgekehrt kann W̃_{n} auch als Kern des in (2.2) definierten linearen Charakters γ_{1} : W_{n} → K definiert werden. Damit ist W̃_{n} ein Normalteiler vom Index e in W_{n} und hat die Ordnung e^{n−1}n! . Offensichtlich ist W̃_{n} für n = 1 die Einsgruppe, während sie für e = 1 mit W_{n} übereinstimmt. Wir können daher für die weiteren Überlegungen n, e ≥ 2 voraussetzen.

Zur Untersuchung der Konjugiertenklassen von W̃_{n} gehen wir zu der Beschreibung der Klassen von W_{n} in Abschnitt 2A zurück. Das Element

( \begin{matrix}& 1 \\ & & . & . & . \\ & & & & & 1 \\ ζ^{i} \end{matrix} )

von W_{n} liegt in der durch α = (−, …, −, (n), −, …, −) mit einzigem Eintrag α_{i} = (n) parametrisierten Konjugiertenklasse. Ist also die Klasse C von W_{n} durch das e-Tupel α = (α_{0}, …, α_{e−1}), α_{i} = (α_{i1}, …, α_{im_{i}}), α_{i} ⊢ n_{i} mit ∑ n_{i} = n, parametrisiert, so liegt sie genau dann in W̃_{n}, falls

γ_{1}(C) = ∏_{i=0}^{e−1} ζ^{i m_{i}} = 1,

also ∑_{i} im_{i} ≡ 0 (mod e) gilt. Weiter zerfällt C in W̃_{n}, wenn das Bild unter γ_{1} des Zentralisator eines Elements aus C nicht ganz {ζ^{i} | 0 ≤ i ≤ e − 1} ist. Damit zerfällt C in g(C) := ggT{e, i, α_{ij} | α_{ij} ≠ 0} Klassen von W̃_{n}.

Allgemeiner sei W_{n,p}, für p|e die durch s_{0} := s_{1}^{p}, s̃_{1}, s_{2}, …, s_{n} erzeugte Untergruppe von W_{n}. Dann ist also W̃_{n} = W_{n,e}, und die W_{n,p} sind die komplexen Spiegelungsgruppen G(e, p, n) in der Notation von [16].

Die irreduziblen Charakteren von W̃_{n} lassen sich leicht aus denen von W_{n} erhalten. Sei χ ∈ Irr(W_{n}) durch α = (α_{0}, α_{1}, …, α_{e−1}) parametrisiert. Die durch den e-Zykel π = (0, 1, …, e − 1) erzeugte Untergruppe ⟨π⟩ der symmetrischen Gruppe auf {0, …, e − 1} operiert auf den e-Tupeln von Partitionen α via π : α ↦ (α_{1}, …, α_{e−1}, α_{0}) durch zyklische Vertauschung. Nach (2.3) gilt dabei χ_{π(α)} ⊗ γ_{1} = χ_{α}. Sei s(α) die Ordnung der Fixgruppe von α in ⟨π⟩. Wegen W̃_{n} = ker(γ_{1}) haben alle χ mit unter ⟨π⟩ äquivalentem Index α dieselbe Einschränkung und zerfallen in s(α) irreduzible Charaktere von W̃_{n}. Damit wird Irr(W̃_{n}) parametrisiert durch e-Tupel von Partitionen bis auf zyklische Vertauschung, mit der Maßgabe, daß jedes α für genau s(α) Charaktere steht.

Allgemeiner gilt wegen W_{n,p} = ker(γ_{1}^{e/p}): Ein irreduzibler Charakter χ = χ_{α} ∈ Irr(W_{n}) zerfällt bei Einschränkung auf W_{n,p} in s_{p}(α) verschiedene irreduzible Konstituenten, wobei s_{p}(α) die Ordnung der Fixgruppe von α in der von π^{e/p} erzeugten zyklischen Gruppe ist.

5B. Die Spiegelungsdaten ^{t}I_{n}^{(e)}.

Nach obigem ist W̃_{n} ein Normalteiler vom Index t := e/p in der Spiegelungsgruppe W_{n,p}, mit zyklischer Faktorgruppe erzeugt von s_{1}^{p}. Seien I_{n}^{(e)}(q) = (V, W̃_{n}) und

(5.2)  ^{t}I_{n}^{(e)}(q) = (V, W̃_{n}s_{1}^{p})

das durch twisten mit s_{1}^{p} aus I_{n}^{(e)} entstehende Spiegelungsdatum. Hierbei handelt es sich um eine Verallgemeinerung der getwisteten generischen Gruppe ^{2}D_{n}, die den Spezialfall (e, p) = (2, 1) darstellt. In der Nebenklasse W_{n}s_{1}^{p} liegen gerade diejenigen Elemente w ∈ W_{n} mit γ_{1}(w) = ζ_{e}^{p}. Wegen |Z(W_{n,p})| = ggT(nt, e) ist die Erweiterung W̃_{n} ≤ W_{n,p} zentral, falls t|(e/ ggT(n, e)) gilt. Es liegt also nur dann ein echt getwistetes Spiegelungsdatum vor, wenn t nicht e/ ggT(n, e) teilt. Allgemeiner für ein beliebiges 1 ≤ p ≤ e seien t := e/p und das zugehörige getwistete Spiegelungsdatum tI_{n}^{(e)}(q) ebenfalls durch (5.2) definiert.

Sei Φ ein zyklotomisches Polynom über K mit einer primitiven d-ten Einheitswurzel ξ als Nullstelle. Wir setzen wieder c := ggT(e, d), d′ := d/c und ξ_{c} := ξ^{d′}. Aus der Beschreibung der Nebenklasse W_{n}s_{1}^{p} anhand von γ_{1} sieht man, daß ein Φ-Sylow Torus 𝕊 von 𝔾 = ^{t}I_{n}^{(e)}(q) dieselbe Ordnung wie im zu W_{n} gehörigen Spiegelungsdatum besitzt, außer im Fall d|en, ξ^{n} ≠ ζ^{p}, in welchem der Exponent sich um 1 erniedrigt. Damit hat ^{t}I_{n}^{(e)} die Ordnung

|^{t}I_{n}^{(e)}(q)| = (q^{e} − 1)(q^{2e} − 1) ⋯ (q^{(n−1)e} − 1)(q^{n} − ζ^{p}).

Die Φ-zerfallenden Levi-Untergruppen haben die Struktur

(5.3)  𝕃 = GL_{n_{1}}(ξ_{c}^{−1}q^{d′}) × ⋯ × GL_{n_{r}}(ξ_{c}^{−1}q^{d′}) × ^{s}I_{m}^{(e)}(q),

wobei ∑_{i=1}^{r} d′n_{i} = n − m gilt und s =: e/p′, 1 ≤ p′ ≤ e, mittels γ_{1} durch die Bedingung

ζ^{p′} = ξ_{c}^{− ∑ n_{i}} ζ^{p}

festgelegt wird. Die relative Weylgruppe W_{𝔾}(𝕃) = N_{W} (W_{𝕃})/W_{𝕃} einer solchen Levi-Untergruppe ist dann gleich

(5.4)  W_{𝔾}(𝕃) = Z_{ed′} ≀ S_{k_{1}} × ⋯ × Z_{ed′} ≀ S_{k_{n}}  falls m ≠ 0,

mit k_{i} := k_{i}(𝕃) := |{j | n_{j} = i}|, beziehungsweise eine Untergruppe vom Index e hiervon für m = 0.

Mit (2.8) wird jeder endlichen Gruppe W mit einer komplexen Darstellung auf einem endlich-dimensionalen Vektorraum ℂ und jedem irreduziblen Charakter χ von W eine Invariante δ_{χ}(W, q) zugeordnet. Sind N ein Normalteiler von W, χ ∈ Irr(N), und χ_{1}, …, χ_{s} die irreduziblen Konstituenten von Ind_{N}^{W} (χ), so gilt

δ_{χ}(N, q) = ∑_{i=1}^{s} δ_{χ_{i}}(W, q) .

Angewandt auf den Normalteiler W̃_{n} von W_{n} liefert das

δ_{α}(W̃_{n}, q) = \frac{1}{s(α)} ∑_{i=0}^{e−1} δ_{π^{i}(α)}(W_{n}, q) mit π^{i}(α) := (α_{π^{i}(0)}, …, α_{π^{i}(e−1)}).

Definieren wir allgemeiner ^{t}δ̃_{α} gemäß (2.8) für ^{t}I_{n}^{(e)} zu (Fortsetzungen von) irreduziblen Charakteren χ_{α} auf der Nebenklasse W̃_{n}.s_{1}^{p}, p = e/t, so stehen diese im folgenden Zusammenhang mit den δ_{α} zu W_{n}:

(5.5)  ^{t}δ̃_{α} = \frac{1}{s(α)} ∑_{i=0}^{e−1} ζ^{ip} δ_{π^{i}(α)} .

Die Polynome ^{t}R_{α} seien die analog zu (2.9) definierten Scheingrade von ^{t}I_{n}^{(e)}, also tR_{α}(q) := |^{t}I_{n}^{(e)}|_{q′} ^{t}δ̃_{α}. Mit (2.11) erhält man eine explizite Formel für die ^{t}δ̃_{α}:

5.6. Bemerkung. Seien χ_{α} ∈ Irr(W̃_{n}) parametrisiert durch α = (α_{0}, …, α_{e−1}), α_{i} = (α_{i1}, …, α_{im_{i}}) ⊢ n_{i}, und S_{i} = (λ_{i1}, …, λ_{im_{i}}) die zugehörigen Folgen von β-Zahlen. Dann ist der Scheingrad von ^{t}I_{n}^{(e)} zu χ_{α} gleich

(5.7)  ^{t}δ̃_{α}(q) = \frac{1}{s(α)} ∑_{j=0}^{e−1} ζ^{jp} ∏_{i=0}^{e−1} \frac{Δ(S_{i}, q^{e})}{Θ(S_{i}, q^{e})} · \frac{∏_{i=0}^{e−1} ∏_{λ∈S_{i+j}} q^{iλ}}{q^{\binom{e(m−1)}{2}+\binom{e(m−2)}{2}+...}} .

Man beachte, daß unter ⟨π⟩ äquivalente α tatsächlich zum selben Scheingrad^{1}δ̃_{α}(q) führen. Die Nullstellenordnung ã(χ_{α}) von ^{1}δ̃_{α}(q) an q = 0 wird nach (5.7) zu

(5.8)  ã(χ_{α}) = e ∑_{i=0}^{e−1} ∑_{{λ,λ′∈S_{i} \atop λ′<λ}} λ′ + min_{j} \{ ∑_{i=0}^{e−1} i ∑_{λ∈S_{i+j}} λ\} − ∑_{k=1}^{m−1} \binom{ek}{2},

wobei (S_{0}, …, S_{e−1}) das Symbol der β-Folgen S_{i} zu α mit |S_{i}| = m bezeichnet.

5C. Heckealgebren und generische Grade.

Aus der in (5.4) gegebenen Struktur der relativen Weylgruppen Φ-zerfallender Leviuntergruppen von 𝔾 wird klar, daß wir zur Beschreibung der Φ-Harish-Chandra Serien von I_{n}^{(e)} Heckealgebren H(W_{n,p}; u) mit Parametern u = (u_{0}, …, u_{e/p−1}) zu allen komplexen Spiegelungsgruppen G(e, p, n) benötigen. Solche wurden von Ariki in seinem Artikel [1] in Verallgemeinerung der Fälle e = 1, 2 [8] und p = 1, 2 [4] eingeführt. Die Definition beruht auf einer geeigneten Präsentation von W_{n,p} auf den Erzeugern s_{0}, s̃_{1}, s_{2}, …, s_{n}, in Anlehnung an Definition 2.18. Wir geben hier eine aus [1, Prop. 1.6] folgende alternative Beschreibung als Teilalgebra von H(B_{n}^{(e)}) mit geeignet spezialisiertem Parametersatz.

5.9. Definition. Es sei H(W_{n,p}; u), u = (u_{0}, …, u_{t−1}), die von

{T_{1}^{p}, T_{1}^{−1}T_{2}T_{1}, T_{2}, …, T_{n}}

erzeugte ℤ[u, u^{−1}]-Teilalgebra der zyklotomischen Heckealgebra H(W_{n}; ũ) bezüglich dem Parametersatz

(5.10) ũ = (u_{0}, u_{0}ζ_{p}, …, u_{0}ζ_{p}^{p−1}, …, u_{t−1}, …, u_{t−1}ζ_{p}^{p−1}), mit ζ_{p} := exp(2πi/p).

Für p = e stimmt diese Algebra H(W̃_{n}; u) mit der anhand des Diagramms I_{n}^{(e)} wie in 2.18 definierten überein.

Wir erinnern daran (siehe [4, 1C]), daß für eine zerfallende halbeinfache Algebra KH über dem Körper K mit symmetrisierender Form t : KH → K die relativen Grade δ_{χ}(t) von KH bezüglich t als die Koeffizienten in der Darstellung

t = ∑_{χ∈Irr(KH)} δ_{χ}(t) χ

gegeben sind. Zur Bestimmung der relativen Grade von H(W_{n,p}, u) verwenden wir die folgende einfache Beobachtung, auf die mich dankenswerterweise M. Broué hingewiesen hat:

5.11. Lemma. Seien KH und t wie oben, KH′ eine zerfallende halbeinfache Teilalgebra von KH und t′ die Einschränkung von t auf KH′. Schreibt man

res_{KH′}^{KH}(χ) = ∑_{χ′∈Irr(KH′)} a_{χ′,χ} χ′

für die χ ∈ Irr(KH), so gilt

δ_{χ′}(t′) = ∑_{χ∈Irr(KH)} a_{χ′,χ} δ_{χ}(t).

Insbesondere ist t′ genau dann eine symmetrisierende Form für KH′, wenn die ∑_{χ∈Irr(KH)} a_{χ′,χ} δ_{χ}(t) sämtlich ungleich Null sind.

Dies erlaubt die Berechnung der relativen Grade von H(W_{n,p}, u) unter der Annahme von Vermutung 2.20. Das Ergebnis läßt sich wieder anhand von Symbolen darstellen; die dazu erforderlichen Formeln werden zunächst eingeführt.

Gemäß Abschnitt A werden die irreduziblen Charaktere von W_{n,p} durch e-Tupel, von Partitionen α modulo zyklischer Vertauschung mit π^{t}, t = e/p, parametrisiert. Wir normieren nun wiederum die Tupel von Partitionen α. Durch Hinzufügen von Nullen kann erreicht werden, daß α_{i} für i ≡ 0 (mod t) jeweils m + 1 und für die übrigen i jeweils m Teile hat. Seien S_{0}, …, S_{e−1} die zugehörigen Folgen von β-Zahlen und S := (S_{0}, …, S_{e−1}) das daraus gebildete Symbol. Dann hängt die Klasse von S nur von der Partition α modulo zyklischer Vertauschung mit π^{t} ab. Insbesondere wird Irr(W_{n,p}) auch durch (e-)Symbole vom Rang n parametrisiert, deren i-te Zeilen jeweils m + 1 Einträge für i ≡ 0 (mod t) und m Einträge sonst enthalten, wobei jedes S für s_{p}(S) := s_{p}(α) Charaktere steht.

Für ein Symbol S zu W_{n,p} sei

(5.12)  D_{S}(q; v_{0}, …, v_{t−1}) := D_{S}(q; w_{0}, …, w_{e−1}) :=

\frac{p}{s_{p}(S)} \frac{(−1)^{\binom{e}{2}\binom{m}{2}+\binom{p}{2}mt+n(e−1)} (q − 1)^{n} · ∏_{i=0}^{e−1} ∏_{j=i}^{e−1} ∏_{{(λ,μ)∈S_{i}×S_{j} \atop μ<λ falls i=j}} (q^{λ}w_{i} − q^{μ}w_{j}) · ∏_{i=0}^{e−1} w_{i}^{n}}{q^{\binom{e(m−1)+p}{2}+\binom{e(m−2)+p}{2}+···} ∏_{i,j=0}^{e−1} ∏_{λ∈S_{i}} ∏_{k=1}^{λ}(q^{k}w_{i} − w_{j}) ∏_{i=0}^{e−1} ∏_{j=i+1}^{e−1}(w_{i} − w_{j})^{m+δ(t,i,j)}} ,

δ(t, i, j) := \{ \begin{matrix}1 & falls i ≡ j ≡ 0 (mod t), \\ 0 & sonst, \end{matrix}

w_{i} := v_{i}ζĩ ; p für 0 ≤ i ≤ e − 1,  ĩ:= ⌊i/t⌋,

wobei der Index bei v_{i} modulo t zu nehmen ist. Im Fall p = 1 erhalten wir offensichtlich die Definition (2.19) zurück. Im Fall e = 2(= p) ergeben die obigen Formeln gerade die generischen Grade der Gruppen vom Lie-Typ D_{n}. Allgemeiner gilt:

5.13. Satz. Unter Annahme von Vermutung 2.20 wird der relative Grad des Charakters χ_{α} der generischen Heckealgebra H(W_{n,p}; u) bezüglich der Einschränkung der symmetrisierenden Form t von H(W_{n}; ũ) durch D_{S}(u_{0}; u_{1}, …, u_{t−1}) gegeben, wobei S = (S_{0}, …, S_{e−1}) das gemäß obiger Vorschrift zu α konstruierte Symbol bezeichnet.

Beweis. In 5A haben wir gesehen, wie die irreduziblen Charaktere von W_{n,p} sich als Konstituenten der Einschränkung irreduzibler Charaktere von W_{n} erhalten lassen. Aufgrund der Ergebnisse von Ariki [1, Th. 2.6] zeigen die irreduziblen Charaktere von H_{1} := H(W_{n}; ũ) bei Einschränkung auf H := H(W_{n,p}; u) dasselbe Verhalten. Für χ ∈ Irr(H_{1}) sei χ|_{H} = ∑_{i=1}^{s(χ)} χ^{(i)} seine Zerlegung in Irreduzible bei Einschränkung auf H. Dann erhalten wir nach Lemma 5.11 die relativen Grade von H als

δ_{χ^{(i)}}(t) = \frac{p}{s(χ)}δ_{χ}(t), 1 ≤ i ≤ s(χ).

Weiter gilt auch s(χ) = s_{p}(S), wenn χ durch das Partitionentupel α mit zugehörigem Symbol S parametrisiert ist. Es ist leicht zu sehen, und sei daher dem Leser überlassen, daß die D_{S}(q; v_{0}, …, v_{t−1}) in (5.12) aus denen in (2.19) gerade durch Spezialisierung der Parameter gemäß (5.10), Multiplikation mit p/s_{p}(S) und Verschieben der i-ten Zeilen des Symbols S, i ≡ 0 (mod e/p), entstehen. □

Für p = e, also die Spiegelungsgruppe W̃_{n}, vereinfacht sich (5.12) zu dem nur noch von dem einen Parameter q abhängigen

(5.14)  D_{S}(q) = \frac{e}{s(S)} \frac{(−1)^{\binom{e}{2}}^{\binom{m+1}{2}}(q − 1)^{n} · ∏_{i=0}^{e−1} ∏_{j=i}^{e−1} ∏_{{(λ,μ)∈S_{i}×S_{j} \atop μ<λ falls i=j}} (q^{λ}ζ^{i} − q^{μ}ζ^{j})}{τ(e)^{m+1} · q^{\binom{em}{2}+\binom{e(m−1)}{2}+...} · ∏_{i=0}^{e−1} Θ(S_{i}, q^{e})},

wobei hier nach unserer Vorschrift jede Zeile von S genau m + 1 Einträge hat. Wir ändern die Notation so, daß auch in diesem Fall m die Anzahl der Einträge in jeder Zeile von S angibt. Bezeichnen wir dann wieder mit a(S) die Nullstellenordnung an q = 0 von D_{S}(q) und mit A(S) den Grad von |^{t}I_{n}^{(e)}|_{q′}D_{S}(q), so haben wir

(5.15) \begin{aligned}a(S) & = ∑_{\{λ,μ\}} min(λ, μ) − ∑_{k=1}^{m−1} \binom{ek}{2}, \\ A(S) & = ∑_{\{λ,μ\}} max(λ, μ) − ∑_{k=1}^{m−1} \binom{ek}{2} − e ∑_{λ∈S} \binom{λ + 1}{2} − \frac{n(en − e + 2)}{2} , \end{aligned}

wobei die jeweils ersten Summen über alle ungeordneten Paare von Einträgen von S laufen. Wie im Fall von W_{n} beweist man aus (5.8) und (5.15):

5.16. Lemma. (a) Es gilt ã(χ_{S}) ≥ a(S) für alle χ_{S} ∈ Irr(W̃_{n}). Gilt hierin Gleichheit, so hat S bis auf zyklische Vertauschung der Zeilen die Gestalt

S = ( \begin{matrix}λ_{01} & … & λ_{0m} \\ ⋮ & & ⋮ \\ λ_{e−1,1} & … & λ_{e−1,m} \end{matrix} )

mit

(5.17)  λ_{ij} ≤ λ_{kl} für j < l oder j = l, i > k.

S heißt dann ein spezielles Symbol.

(b) Es gilt Ã(χ_{S}) ≤ A(S) für alle χ_{S} ∈ Irr(W_{n}). Dabei tritt Gleichheit genau dann ein, wenn S̄ speziell ist. Solche S heißen kospeziell.

(c) Für alle χ_{S} ∈ Irr(W̃_{n}) gilt:

ã(χ_{S}) + Ã(χ_{S}) + ã(χS̄) + Ã(χS̄) = a(S) + A(S) + a(S̄) + A(S̄) .

(d) Es gelten a(S) ≤ N^{∗} = N und A(S) ≤ N. Gleichheit tritt genau für die zu

S_{St} := ((1, …, n), (0, …, n − 1), …, (0, …, n − 1))

äquivalenten Symbole auf.

6. Unipotente Grade für ^{t}I_{n}^{(e)}

Unipotente Grade für ^{t}I_{n}^{(e)} werden durch Symbole vom Inhalt 0 parametrisiert, und durch dieselbe kombinatorische Formel wie bei B_{n}^{(e)} angegeben. Die Grade erfüllen die Hakenformel und den Gradsatz. Sie gehen durch eine Fourier-Transformation in die Scheingrade der zugehörigen Spiegelungsdaten über. Zusammen mit Frobenius-Eigenwerten erhalten wir eine Darstellung der SL_{2}(ℤ). Im ungetwisteten Fall hängen die Frobenius-Eigenwerte nur von der Äquivalenzklasse der Symbole ab und erlauben so eine Zuordnung zu den unipotenten Graden. Für den Fall I_{2}^{(e)} spezialisiert unsere Fourier-Transformation zu Lusztigs exotischer Fourier-Transformation [14].

6A. Symbole und unipotente Grade für ^{t}I_{n}^{(e)}.

Die unipotenten Grade der Spiegelungsdaten ^{t}I_{n}^{(e)} sollen durch Symbole vom Inhalt I(S) ≡ 0 (mod e) parametrisiert werden. Für solche S = (S_{0}, …, S_{e−1}) vereinfacht sich die Formel (3.2) für den Rang zu

rg(S) = ∑_{λ∈S} λ − e\binom{m}{2} mit I(S) = em .

Wir definieren den Defekt als

(6.1)  def(S) := \frac{e − 1}{2}I(S) − ∑_{i=0}^{e−1} i|S_{i}| (mod e).

Man beachte, daß dies wegen I(S) ≡ 0 (mod e) in der Tat nur von der Äquivalenzklasse von S abhängt. Bei Wegnahme eines (l, ζ^{j})-Hakens erniedrigt sich der Defekt offensichtlich um j. Über die Konstruktion des (l, ζ^{j})-Quotienten erhalten wir mit der Beschreibung der irreduziblen Charaktere von W_{n,p}:

6.2. Folgerung. Die Äquivalenzklassen von Symbolen vom Rang n und Inhalt kongruent 0 modulo e mit vorgegebenem (l, ζ^{j})-Kern S′ (und damit (l, ζ^{j})-Gewicht w = (n − rg(S′))/l), wobei ein Symbol S jeweils s(S)-mal vorkomme, stehen in Bijektion mit den irreduziblen Charakteren der Spiegelungsgruppe G(el, s(S′), w).

6.3. Definition. Für ein e-Symbol vom Rang n, Inhalt I(S) = em ≡ 0 (mod e) und Defekt def(S) ≡ p (mod e), t := e/p, definieren wir den Grad durch

(6.4)  γ_{S}(q) := \frac{e}{s(S)} \frac{(−1)^{\binom{e}{2}}^{\binom{m}{2}}|^{t}I_{n}^{(e)}|_{q′} · ∏_{i=0}^{e−1} ∏_{j=i}^{e−1} ∏_{{(λ,μ)∈S_{i}×S_{j} \atop μ<λ falls i=j}} (q^{λ}ζ^{i} − q^{μ}ζ^{j})}{τ(e)^{m} · q^{\binom{e(m−1)}{2}+\binom{e(m−2)}{2}+...} · ∏_{i=0}^{e−1} Θ(S_{i}, q^{e})}.

Durchläuft S die Menge der Äquivalenzklassen von e-Symbolen vom Rang n, Inhalt I ≡ 0 (mod e) und Defekt def(S) ≡ p (mod e), wobei ein Symbol S jeweils s(S)- mal vorkomme, so nennen wir die Menge mit Vielfachheiten Uch(^{t}I_{n}^{(e)}) der γ_{S} die Menge der unipotenten Grade von ^{t}I_{n}^{(e)}. (Hierdurch sind die Grade nur bis auf ein Vorzeichen wohldefiniert.) Die Gruppe W_{n}/W̃_{n} operiere auf Uch(^{t}I_{n}^{(e)}), indem das erzeugende Element s_{1} jeweils die s(S) Kopien eines Symbols S zyklisch vertauscht.

Für Symbole S mit e gleichlangen Zeilen der Länge m ist γ_{S} also gerade der (vermutete) relative Grad (5.14) zu S, multipliziert mit dem Poincaré-Polynom von I_{n}^{(e)}. Die Wohldefiniertheit nur bis auf ein Vorzeichen wird im Weiteren nicht stören, da die Sätze ebenfalls nur bis auf Vorzeichen richtig sind. Einzige Ausnahme ist Satz 6.26, in welchem die (wohldefinierten) Grade zu jedem einzelnen Symbol eingehen.

6.5. Anmerkung. (a) Für e = 2, t = 1, 2, ergibt die obige Definition die unipotenten Charaktergrade für Gruppen vom Lie-Typ D_{n} und ^{2}D_{n}.

(b) Man prüft nach, daß (6.4) für n = 2 eine Beschreibung anhand von Symbolen der von Lusztig in [13] definierten unipotenten Grade der Spiegelungsdaten I_{2}(e) und ^{2}I_{2}(e) liefert. Insbesondere sind wegen G(e, e, 2) = I_{2}(e) hiermit die unipotenten Charaktergrade von GL_{3}, Sp_{4}, G_{2}, ^{2}B_{2} und ^{2}G_{2} in einer einheitlichen Formel erfaßt.

6.6. Beispiel. (a) Für n = 2, e = 3, t = 1, erhalten wir W̃_{2} = G(3, 3, 2). Die Menge Uch(I_{2}^{(3)}) ist gegeben durch

( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

Man prüft nach, daß diese dieselben unipotenten Grade ergeben wie die Symbole (3), (1, 3) und (1, 2, 3) für W (A_{2}) ≅ G(3, 3, 2).

(b) Für n = 2, e = 4, t = 1, erhalten wir W̃_{2} = G(4, 4, 2). Die Menge Uch(I_{2}^{(4)}) ist gegeben durch

( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) (2×), ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \\ − \\ − \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

Man prüft nach, daß diese dieselben unipotenten Grade haben wie die Symbole

( \begin{matrix}2 \\ − \end{matrix} ) , \binom{0 2}{1} , \binom{0 1}{2} , \binom{1 2}{0} , \binom{0 1 2}{−} , \binom{0 1 2}{1 2} ,

für W (B_{2}) ≅ G(4, 4, 2).

(c) Für n = 2, e = 4, t = 4, erhalten wir Uch(^{4}I_{2}^{(4)}) zu

( \begin{matrix}0 & 2 \\ − \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ − \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ − \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

Es gilt |^{4}I_{2}^{(4)}| = q^{4}(q^{4} − 1)(q^{2} − ζ_{4}), und durch Ennola-twisten mit ζ_{8} erhält man die unipotenten Charaktere von ^{2}B_{2}. Dabei gehen die beiden mittleren Hauptseriengrade in 1-kuspidale Grade über.

(d) Für n = 2, e = 6, t = 1, erhalten wir W̃_{2} = G(6, 6, 2) = W (G_{2}). Die Menge Uch(I_{2}^{(6)}) ist gegeben durch

( \begin{matrix}2 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) (2×), ( \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ,

für die 1-Hauptserie, und die 1-kuspidalen Symbole

( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 \\ − \\ − \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 \\ 0 & 1 \\ − \\ 0 \\ − \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 1 \\ − \\ 0 \\ 0 \\ − \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 & 1 \\ − \\ − \end{matrix} ) .

In der Bezeichnung von [6, 13.8] entsprechen diese in derselben Reihenfolge den unipotenten Charakteren

ϕ_{1,0}, ϕ_{2,1}, ϕ_{2,2}, ϕ′_{1,3}, ϕ′′_{1,3}, ϕ_{1,6}, G_{2}[1], G_{2}[−1], G_{2}[θ], G_{2}[θ^{2}].

(e) Für n = 2, e = 6, t = 2, erhalten wir Uch(^{2}I_{2}^{(6)}) als

( \begin{matrix}0 & 2 \\ 0 \\ 0 \\ − \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 \\ 0 \\ − \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 \\ 1 \\ − \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 \\ 0 \\ − \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 \\ 0 \\ − \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \\ 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ,

für die 1-Hauptserie, sowie die 1-kuspidalen Symbole

( \begin{matrix}0 & 1 \\ − \\ 0 & 1 \\ 0 \\ − \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 \\ − \\ 0 & 1 \\ − \\ 0 \end{matrix} ) .

Es gilt |^{2}I_{2}^{(6)}| = q^{6}(q^{6} − 1)(q^{2} + 1), und durch Ennola-twisten mit ζ_{4} erhält man die unipotenten Grade Uch(^{2}G_{2}) von ^{2}G_{2}.

Die unipotenten Grade erfüllen wiederum die Ennola-Eigenschaft und die Hakenformel:

6.7. Folgerung. Für alle γ(q) ∈ Uch(^{t}I_{n}^{(e)}) liegt ±γ(ζq) in Uch(^{s}I_{n}^{(e)}) mit s = et/(e − tn).

6.8. Bemerkung (Hakenformel). Es gilt

γ_{S}(q) = \frac{e}{s(S)} \frac{b_{S} q^{a(S)} |^{t}I_{n}^{(e)}|_{q′}}{∏_{j,l}(q^{l} − ζ^{j})} ,

wobei das Produkt im Nenner über alle ζ^{j}-Haken von S der Länge l läuft und b_{S} formal genau wie in Bemerkung 3.12 anhand von S definiert ist.

Seien Φ ein zyklotomisches Polynom über K, mit der primitiven d-ten Einheitswurzel ξ als Nullstelle, c := ggT(e, d), d′ := d/c und ξ_{c} := ξ^{d′}. Wie in Abschnitt 2 gehören die Φ-kuspidalen Grade γ_{S} ∈ Uch(^{t}I_{n}^{(e)}) zu den Symbolen ohne (d′, ξ_{c})-Haken. Wir schreiben kurz Uch_{Φ}(𝔾) für die Φ-kuspidalen Grade von 𝔾. Gemäß der Beschreibung Φ-zerfallender Leviuntergruppen in (5.3) haben die Φ-kuspidalen Paare von 𝔾 die Gestalt (𝕃, λ) mit

(6.9) 𝕃 = GL_{1}(ξ_{c}^{−1}q^{d′}) × ⋯ × GL_{1}(ξ_{c}^{−1}q^{d′}) × ^{s}I_{m}^{(e)}(q),

λ = 1 ⊗ ⋯ ⊗ 1 ⊗ λ′ ∈ Uch_{Φ}(𝕃).

Sei S′ das Symbol vom Rang m, welches den Φ-kuspidalen Grad λ′ parametrisiert. Dann ist S′ ein (d′, ξ_{c})-Kern, und die Symbole S ∈ Uch(𝔾) vom Rang n mit (d′, ξ_{c})- Kern S′ haben (d′, ξ_{c})-Gewicht w := (n − m)/d′. Die zugehörige relative Weylgruppe bezüglich der in 6.3 definierten Operation auf Uch hat gemäß (5.4) die Struktur

W_{𝔾}(𝕃, λ) = G(ed′, s(S′), w).

In Folgerung 6.2 haben wir gesehen, daß die unipotenten Grade γ_{S} ∈ Uch(𝔾), für die S den (d′, ξ_{c})-Kern S′ hat, über die Konstruktion des (d′, ξ_{c})-Quotienten in Bijektion mit den irreduziblen Charakteren von W_{𝔾}(𝕃, λ) stehen. Wie bereits für B_{n}^{(e)} gilt genauer:

6.10. Satz. Sei γ_{S} ∈ Uch(^{t}I_{n}^{(e)}) durch das Symbol S parametrisiert. Seien ξ eine primitive d-te Einheitswurzel mit Minimalpolynom Φ über K, c := ggT(e, d), d′ := d/c, und e′ definiert durch ξ^{d′} = ζ^{e′} =: ξ_{c}. Seien S′ der (d′, ξ_{c})-Kern und Q = (Q_{0}, …, Q_{ed′−1}) ein ed′-Symbol zum (d′, ξ_{c})-Quotienten von S . Dann gilt

γ_{S}(q) = \frac{|𝔾(q)|_{q′}}{|𝕃(q)|_{q′}} D_{Q}(ξ_{c}^{−1}q^{d′}; w_{0}, …, w_{ed′−1}) γ_{S′}(q),

mit 𝔾 = ^{t}I_{n}^{(e)}, γ_{S′} ∈ Uch_{Φ}(𝕃),

w_{i} := q^{ĩ−k_{i}d′}ζ^{i+e′k_{i}}, 0 ≤ i ≤ ed′ − 1, mit ĩ:= ⌊i/e⌋,

und k_{i} := max_{l}{|Q_{l}| − δ(l)} − |Q_{i}| + δ(i),

δ(l) = \{ \begin{matrix}1, & für l ≡ 0 (mod ed′/s(S′)), \\ 0, & sonst. \end{matrix}

Man beachte: Mit s′ := e/s(S′) erfüllen die obigen Parameter w_{i+js′} = ζ^{js′}w_{i}, 0 ≤ j ≤ s(S′) − 1, bilden also einen zulässigen Parametersatz für die Grade D_{Q} zur Heckealgebra der Spiegelungsgruppe G(ed′, s(S′), w) gemäß (5.12).

Beweis. Wir können genau wie im Beweis von Satz 6.10 vorgehen. Es genügt, das Analogon von (3.15) zu zeigen. Die darauf folgenden Rechnungen bleiben gültig bis auf die letzte Gleichungskette. Dort muß auf der linken Seite ein Faktor s(S)/s(R) und auf der rechten ein Faktor s_{s′}(T )/s_{s′}(T′) hinzugefügt werden, wobei s′ := s(S′) die Ordnung der Symmetriegruppe des Kerns S′ sowie T′ das aus T durch Entfernen des 1-Hakens an Position ν ∈ T_{j} erhaltene ed′-Symbol bezeichnet. Die Gleichheit dieser beiden Faktoren ist aber klar, da die Symmetriegruppe von S und R jeweils eine Untergruppe der Symmetriegruppe von S′ ist. □

Das obige Ergebnis war wiederum bereits in einigen Spezialfällen bekannt: Für d = 1, und entweder e = 2 oder n = 2, t ∈ {1, e}, ist es die übliche Harish-Chandra Theorie für die Gruppen vom Lie-Typ D_{n}, ^{2}D_{n}, G_{2}, ^{2}B_{2} und ^{2}G_{2}, beziehungsweise für generische Gruppen vom Typ I_{2}(n) (siehe [4, 7.2]). Der Fall e ∈ {1, 2}, d beliebig, w(S, d′, ξ_{c}) = 1, wurde in [4, Bem. 2.14, 2.16, 2.19] behandelt. In Bezug auf die in [4] ausgesprochenen Vermutungen erhalten wir:

6.11. Folgerung. Sei 𝔾 eine generische Gruppe vom Lie-Typ D_{n} oder ^{2}D_{n}. Dann erfüllen die Φ_{d}-Blöcke von 𝔾 unter der Annahme von 2.20 die Vermutung (dHV6) in [4].

Wie schon bei B_{n}^{(e)} folgt zudem mit identischem Beweis:

6.12. Folgerung. Die Grade γ_{S} ∈ Uch(^{t}I_{n}^{(e)}) sind Polynome.

6.13. Anmerkung. Obwohl die Definition unipotenter Grade in (3.9) und (6.4) für beliebige e-Symbole S Sinn macht, erhält man im allgemeinen, also für I(S) ≢ 0, 1 (mod e), durch diese Vorschrift keine Polynome! Das kleinste Beispiel hierfür ist das Symbol

S = ( \begin{matrix}2 \\ − \\ 0 \\ − \end{matrix} ) ,

welches bei sinngemäßer Interpretation einen unipotenten 1-Hauptseriengrad für die Spiegelungsgruppe G(4, 2, 2) (welche in [4] auch D_{2}^{(4)} genannt wurde) parametrisieren sollte (siehe Satz 5.13). Mit dem Poincaré-Polynom (q^{4} −1)^{2}/(q −1)^{2} erhält man aber

γ_{S} = \frac{(q^{4} − 1)^{2}(q^{2} + 1)}{(q^{4} − 1)(q^{8} − 1)} = \frac{q^{2} + 1}{q^{4} + 1} .

Rechnungen mit möglichen Graden für G(4, 2, 2) lassen es unwahrscheinlich scheinen, daß zu dieser Spiegelungsgruppe eine Menge von Polynomen mit den Eigenschaften in Satz 1.1 existiert.

Schließlich erhalten wir noch (vgl. [3] für e = 2):

6.14. Folgerung. Unter den Voraussetzungen von Satz 6.10 gilt

γ_{S}(q)_{q′} | deg(R_{𝕃}^{𝔾}(γ_{S′})) in K[q], mit deg(R_{𝕃}^{𝔾}(γ_{S′})) := \frac{|𝔾(q)|_{q′}}{|𝕃(q)|_{q′}} γ_{S′}(q) .

6B. Eine Involution auf Uch(^{t}I_{n}^{(e)}).

Im Fall der Gruppen vom Lie-Typ definiert die Alvis-Curtis Dualität eine Involution auf der Menge der unipotenten Charaktere mit guten funktoriellen Eigenschaften. Eine entsprechende Involution scheint im Fall der Spiegelungsdaten B_{n}^{(e)}, e > 2, nicht zu existieren, unter anderem deswegen, weil die Gruppe W_{n} keinen Vorzeichencharakter besitzt. Die Gruppe W̃_{n} wird jedoch von Involutionen erzeugt und hat einen Vorzeichencharakter ϵ. Für diese läßt sich ein Analogon der Dualität definieren.

Sei dazu zunächst S = (S_{0}, …, S_{e−1}) ein e-Symbol. Für ein k ≥ max{λ | λ ∈ S} setzen wir

D(S) := (D(S)_{0}, …, D(S)_{e−1}), mit D(S)_{i} := {k − j | 0 ≤ j ≤ k, j ∉ S_{i}}

(vgl. [12, 1.4]). Dann ist D(S) wieder ein e-Symbol, vom selben Rang wie S, vom Inhalt I(D(S)) = e(k + 1 − m) und Defekt def(D(S)) = −def(S). Weiter hängt die Äquivalenzklasse von D(S) nicht von dem gewählten k ab, und bei zweimaliger Anwendung erhalten wir ein Symbol aus der ursprünglichen Klasse zurück. Damit induziert diese Abbildung eine Involution

(6.15)  D : Uch(^{t}I_{n}^{(e)}) → Uch(^{−t}I_{n}^{(e)}), γ_{S} ↦ D(γ_{S}) := γ_{D(S)}

auf den Mengen der unipotenten Grade der ^{t}I_{n}^{(e)}.

6.16. Lemma. (a) Für alle S gilt a(D(S)) = N −A(S), wobei N = e\binom{n}{2}, n = rg(S), den Grad in q des Poincaré-Polynoms P (W̃_{n}) bezeichnet.

(b) Für alle γ ∈ Uch(^{t}I_{n}^{(e)}) gilt

D(γ)(q) = b(γ) q^{e\binom{n}{2}} γ(q^{−1})

mit einem b(γ) ∈ K.

Beweis. Teil (a) folgt aus (5.15). Für den zweiten Teil verwenden wir die Hakenformel. Entsteht S′ aus S durch Entfernen des (l, ζ^{j})-Hakens an λ ∈ S_{i}, so erhält man D(S′) durch Entfernen des (l, ζ^{−j})-Hakens an k + l − λ ∈ D(S)_{i+j}. Die Involution D führt daher (l, ζ^{j})-Haken in (l, ζ^{−j})-Haken über, und die Hakenformel 6.8 zeigt (b) bis auf eine Konstante b(γ) ∈ K. □

Insbesondere ist das Bild des Einsgrades

γ_{1}(q) = 1, zum Symbol S_{1} = ((n), (0), …, (0)),

der Steinberggrad

γ_{St}(q) = q^{e\binom{n}{2}}, zu S_{St} = ((1, …, n), (0, …, n − 1), …, (0, …, n − 1)),

der genau mit dem q-Anteil von |I_{n}^{(e)}| übereinstimmt. Da (l, ζ^{j})-Haken durch D komplex konjugiert werden, führt D auch (l, ζ^{j})-Kerne in (l, ζ^{−j})-Kerne über und damit Φ-Harish-Chandra Serien in \overline{Φ}-Harish-Chandra Serien für sämtliche zyklotomischen Polynome Φ über K. Für die 1-Serien, also die Harish-Chandra Serien zu Φ = q − 1, können wir die Operation noch genauer angeben. Zu γ ∈ Uch(^{t}I_{n}^{(e)}) sei S′ der (1, ζ^{0})- Kern und χ_{α} der gemäß Folgerung 6.2 aus dem (1, ζ^{0})-Quotienten gebildete irreduzible Charakter der zugehörigen relativen Weylgruppe.

6.17. Bemerkung. Sei γ_{S} ∈ Uch(^{t}I_{n}^{(e)}) in der 1-Serie des 1-kuspidalen Grades γ_{S′} parametrisiert durch χ_{α}. Dann wird D(γ_{S}) in der 1-Serie von γ_{D(S′)} durch ϵ ⊗ χ_{α} parametrisiert, wobei ϵ der in 2A definierte Vorzeichencharakter ist.

Beweis. Zur Konstruktion des (1, ζ^{0})-Quotienten interpretiert man die Zeilen von S als Folgen von β-Zahlen; das e-Tupel α = (α_{0}, …, α_{e−1}) der zugehörigen Partitionen parametrisiert dann χ_{α}. Offensichtlich erhalten wir mit diesem Vorgehen das e-Tupel (α′_{0}, …, α′_{e−1}) für S′, wobei α′_{i} die zu α_{i} duale Partition bezeichnet. Die Behauptung folgt aus der Aussage χ_{α′_{i}} = ϵ ⊗ χ_{α_{i}} für die symmetrische Gruppe. □

6.18. Anmerkung. Die oben konstruierte Involution D stimmt zwar für e = 2 mit der Alvis-Curtis Dualität überein, kann aber im Allgemeinen nicht durch die übliche Formel von Alvis und Curtis erhalten werden. Denn dann wäre jedenfalls jeder 1kuspidale Grad ein Fixpunkt von D. In I_{3}^{(3)} gibt es aber die zwei 1-kuspidalen Symbole

( \begin{matrix}0 & 1 & 2 \\ & − \\ & − \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}& − \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) ,

mit Graden −\sqrt{−3}/3q(q − 1)^{3}(q + 1) und \sqrt{−3}/3q^{4}(q − 1)^{3}(q + 1), die durch D vertauscht werden.

6C. Transformationsmatrizen und Frobenius-Eigenwerte.

Wie im Fall B_{n}^{(e)} fallen die unipotenten Grade auf natürliche Weise in Familien, welche durch Fourier-Transformationsmatrizen mit den entsprechenden Scheingraden verbunden sind.

Seien Y eine em-elementige totalgeordnete Menge, Ψ := Ψ(Y) := {0, …, e − 1}^{Y} die Menge der Abbildungen

ψ : Y → {0, …, e − 1}.

Offensichtlich ist Ψ die disjunkte Vereinigung der

tΨ := \{ψ ∈ Ψ | m\binom{e}{2} − ∑_{y∈Y} ψ(y) ≡ e/t (mod e)\}, für t := \frac{e}{p}, 1 ≤ p ≤ e.

Weiter seien

Ψ_{0} := {ψ ∈ Ψ | |ψ^{−1}(i)| = m},

und ¯ die Involution

¯ : Ψ → Ψ, ψ ↦ ψ̄ mit ψ̄(y) := e − ψ(y) (mod e).

Offensichtlich gilt \overline{^{t}Ψ} = ^{−t}Ψ. Bezeichne weiter ⟨ , ⟩ die symmetrische Paarung

⟨ϕ, ψ⟩ := ϵ(ϕ)ϵ(ψ) ∏_{y∈Y} ζ^{−ϕ(y)ψ(y)}

auf Ψ, mit

ϵ(ψ) := (−1)^{c(ψ)}, c(ψ) := |{(y, y′) ∈ Y × Y | y < y′, ψ(y) < ψ(y′)}| .

Wie in Abschnitt 4A beweist man:

6.19. Lemma. Für alle ψ, ϕ ∈ Ψ und 1 ≤ p ≤ e, t := e/p, gilt

∑_{ν∈^{t}Ψ}⟨ϕ, ν⟩ ⟨ν, ψ⟩ = \{ \begin{matrix}ζ^{j(p+m\binom{e}{2})}ϵ(ϕ) ϵ(ψ) |^{t}Ψ| & falls ϕ(i) ≡ ψ̄(i) + j (mod e), \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Wie in 4A bezeichne

T : H → H, T (f)(ϕ) := \frac{(−1)^{m(e−1)}}{τ(e)^{m}} ∑_{ψ∈Ψ}⟨ϕ, ψ⟩ f(ψ)

die zugehörige Fourier-Transformation auf dem Raum der Abbildungen H := R^{Ψ} von Ψ in eine ℂ-Algebra R. Aus Lemma 6.19 ergibt sich

T^{2}(f)(ψ) = (−1)^{m\binom{e−1}{2}} f(ψ̄) für alle ψ ∈ Ψ,

und T^{4} ist die Identität auf H. Für eine feste Funktion g von Y in eine ℂ-Algebra definieren wir

(6.20)  γ(ψ) := \frac{1}{τ(e)^{m}} ∏_{i=0}^{e−1} ∏_{j=i}^{e−1} ∏_{{y,y′:ψ(y)=i,ψ(y′)=j \atop y>y′ falls i=j}} (g(y)ζ^{ψ(y)} − g(y′)ζ^{ψ(y′)}),

sowie für 1 ≤ p ≤ e, t := e/p,

tγ(ψ) := \{ \begin{matrix}γ(ψ) & falls ψ ∈ ^{t}Ψ, \\ 0 & sonst, \end{matrix}

und

t∂(ψ) := \{ \begin{matrix}\frac{1}{e} ∑_{j=0}^{e−1} ζ^{jp} ∏_{i=0}^{e−1} ∏_{y:ψ(y)=i−j} g(y)^{i} ∏_{{y′:ψ(y′)=i−j \atop y>y′}} (g(y)^{e} − g(y′)^{e}) & falls ψ ∈ Ψ_{0}, \\ 0 & sonst. \end{matrix}

6.21. Bemerkung. Die Funktion ϕ ↦ (−1)^{\binom{e}{2}}^{\binom{m}{2}} ^{t}∂(ϕ) ist die Fourier-Transfor-mierte von ϕ ↦ ^{t}γ(ϕ).

Beweis. Wie im Beweis von Bemerkung 4.6 erhalten wir

T (^{t}γ)(ϕ) = \frac{(−1)^{m(e−1)}ϵ(ϕ)}{τ(e)^{2m}} ∑_{σ∈S_{em}} ϵ(σ) ( ∏_{y∈Y} g(y)^{σ(y)}) ∑_{ψ∈^{t}Ψ} ∏_{y∈Y} ζ^{ψ(y)(σ(y)−ϕ(y))}.

Die innere Summe verschwindet genau dann nicht, wenn σ(y)−ϕ(y) modulo e konstant auf Y ist. Gilt etwa ϕ(y) − σ(y) ≡ j (mod e), so wird

∑_{ψ∈^{t}Ψ} ∏_{y∈Y} ζ^{ψ(y)(σ(y)−ϕ(y))} = ζ^{j( \frac{e}{t} +\binom{e}{2}m)}|^{t}Ψ| = (−1)^{j(e−1)m}ζ^{je/t}e^{em−1}.

Zudem liegt dann ϕ in Ψ_{0}, und σ induziert Bijektionen

σ_{i} : ϕ^{−1}(i + j) ⟶^{∼} {i, e + i, …, (m − 1)e + i}, 0 ≤ i ≤ e − 1 .

Die zugehörigen Vorzeichen erfüllen

(−1)^{j(e−1)m}ϵ(σ) = (−1)^{\binom{e}{2}}^{\binom{m}{2}}ϵ(ϕ) ∏_{i=0}^{e−1} ϵ(σ_{i}).

Die behauptete Formel folgt. □

Wie zuvor besitzt ein ψ ∈ Ψ einen Frobenius-Eigenwert

Fr(ψ) := ζ_{24}^{−2(e^{2}−1)m} ∏_{y∈Y} ζ^{−(ψ(y)^{2}+eψ(y))/2} .

6.22. Lemma. Für alle ϕ, ψ ∈ Ψ und γ wie in (6.20) gilt:

(a) Fr(ψ)^{2e} = 1,

(b) Fr(ψ) = 1 falls ψ ∈ Ψ_{0},

(c) Fr(ψ) = Fr(ψ̄),

(d) ∑_{ν,μ∈Ψ} Fr(ψ) Fr(ν) Fr(μ) ⟨ψ, ν⟩ ⟨ν, μ⟩ ⟨μ, ϕ⟩ = (−1)^{(e−1)m} τ(e)^{3m} δ_{ψ,ϕ},

(e) ∑_{ν∈Ψ} Fr(ϕ) \overline{⟨ϕ, ν⟩} Fr(ν) γ(ν) = (−1)^{(e−1)m} \overline{τ(e)}^{m}γ(ϕ).

Beweis. Dies folgt wie in Lemma 4.13. Für Teil (d) verwendet man zusätzlich die Gleichheit

(∑_{i=0}^{e−1} ζ^{−(i^{2}+ei)/2})^{em} = ∑_{ψ∈Ψ} ∏_{y∈Y} ζ^{−(ψ(y)^{2}+eψ(y))/2} = ∑_{p=0}^{e−1} ∑_{{ψ∈^{t}Ψ \atop t=e/p}} ∏_{y∈Y} ζ^{−(ψ(y)^{2}+eψ(y))/2}

sowie die Beobachtung

∑_{ψ∈^{t}Ψ} Fr(ψ) = 0 falls t ≠ 1.

□

Wie in 3A induziert eine Funktion π : Y → ℕ eine Äquivalenzrelation ∼_{π} auf Ψ über

ϕ ∼_{π} ψ falls π ∘ ϕ^{−1}(i) = π ∘ ψ^{−1}(i) für 0 ≤ i ≤ e − 1.

Die Klasse von ψ in Ψ bezüglich ∼_{π} sei mit [ψ] bezeichnet. Ein ψ ∈ Ψ heiße π-zulässig, falls es keine y ≠ y′ ∈ Y mit π(y) = π(y′) und ψ(y) = ψ(y′) gibt. Bezeichne H_{π} den von den f ∈ H mit

(6.23)  f(ϕ) = f(ψ) falls [ϕ] = [ψ], f(ψ) = 0 falls ψ nicht π-zulässig,

erzeugten Teilraum von H, mit Basis

(6.24)  {f_{[ϕ]} | ϕ π-zulässig, f_{[ϕ]}(ψ) := δ_{[ϕ],[ψ]}} .

Dieser ist wiederum invariant unter Fourier-Transformation. Damit induziert T eine Fourier-Transformation auf H_{π}. Sei weiter wie oben g eine Funktion auf Y, die zudem via π über π(Y) faktorisiert. Dann liegen die in 6C eingeführten Funktionen ^{t}γ und t∂ bereits in H_{π}, und gehen gemäß Bemerkung 6.21 durch Fourier-Transformation ineinander über.

Die Darstellungsmatrix T = T (Y, π) von T bezüglich der Basis (6.24) bezeichnen wir als Fourier-Transformationsmatrix von (Y, π).

Der Frobenius-Eigenwert Fr ist wiederum konstant auf den Äquivalenzklassen [ψ]. Die zugehörige Darstellungsmatrix sei mit F (Y, π) bezeichnet. Wiederum sei

Sh := F ∘ T^{3} ∘ F = F ∘ T̄ ∘ F

der Shintani-Operator auf H und auf H_{π}, und Sh(Y, π) die zugehörige Darstellungsmatrix bezüglich der Basis (6.24). Mit den Lemmata 6.19 und 6.22(c)–(e) erhält man dann (vgl. [7, VII.3] für e = 2, t = 1):

6.25. Folgerung. Die Funktion γ ∈ H ist ein Fixpunkt von Sh. Die Matrizen T := T (Y, π) und U := T · F (Y, π) erfüllen

T^{4} = 1,  U^{3} = 1,  [T^{2}, U] = 1 .

Insbesondere liefern T und U via

( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ↦ T, ( \begin{matrix}−1 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ↦ U,

eine Matrixdarstellung der SL_{2}(ℤ). Die Urbilder von F (Y, π) und Sh(Y, π) unter dieser Darstellung sind

( \begin{matrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{matrix} ) ↦ F (Y, π), ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ↦ Sh(Y, π).

6D. Familien.

Wie im Abschnitt 3C können wir die Symbole aus ∪_{t} Uch(^{t}I_{n}^{(e)}) in Familien aufteilen, indem zwei Symbole S, S′ in derselben Familie liegen, falls die Menge mit Vielfachheiten der Einträge von S mit der Menge mit Vielfachheiten der Einträge von S′ übereinstimmt. Dies induziert wiederum eine Familieneinteilung der unipotenten Grade. Die unipotenten Grade in einer Familie F stehen in enger Beziehung zu einer geeigneten Menge Ψ(Y, π). Besitzen die Symbole zu F jeweils em Einträge, so sei Y eine em-elementige totalgeordnete Menge und π : Y → ℕ eine mit der Ordnungsstruktur verträgliche Abbildung mit |π^{−1}(n)| = |{i | n ∈ S_{i}}|. Zu einer Klasse von ψ ∈ Ψ assoziieren wir das Symbol S mit S_{i} = π(ψ^{−1}(i)), welches nicht von dem gewählten Vertreter ψ ∈ [ψ] abhängt. Dabei liegt das Bild von ψ ∈ ^{t}Ψ gerade in Uch(^{t}I_{n}^{(e)}). Allerdings erreichen wir auf diese Weise jede Klasse von Symbolen genau e/s(S)^{2} mal. Mit F_{0} bezeichnen wir das Bild in F von Ψ_{0}. Für t := e/p, 1 ≤ p ≤ e, und S ein Symbol vom Inhalt I(S) ≡ 0 (mod e) setzen wir

tγ_{S} := \{ \begin{matrix}γ_{S} & falls def(S) = p \\ 0 & sonst. \end{matrix}

6.26. Satz. Für jedes t := e/p, 1 ≤ p ≤ e, ist die Funktion

S ↦ ^{t}R_{S}(q)

die Fourier-Transformierte von

S ↦ ^{t}γ_{S}(q).

Insbesondere gilt für jede Familie F von Symbolen vom Defekt p = e/t

∑_{S∈F} ^{t}γ_{S}(q) \overline{^{t}γ_{S}(q)} = ∑_{S∈F_{0}} ^{t}R_{S}(q) \overline{^{t}R_{S}(q)}.

Beweis. Dies erhält man durch Vergleich der Definitionen (5.7) und (6.4) mit (6.20) unter Verwendung von Bemerkung 6.21 wie in Satz 4.17. Es bleibt nur zu verifizieren, daß die durch die nichttrivialen Symmetriegruppen auftretenden Vorfaktoren sich gerade wegheben. □

6.27. Anmerkung. Sei Y wie oben mit ungeradem em. Seien ψ, ψ′ ∈ Ψ(Y) mit

(6.28)  ψ′(y) = ψ(y) + 1 für alle y ∈ Y .

Man überzeugt sich, daß dann ϵ(ψ) = ϵ(ψ′) gilt, sowie ⟨ϕ, ψ⟩ = ⟨ϕ, ψ′⟩ für alle ϕ ∈ ^{1}Ψ. Sei Ψ̃ die Menge der ψ ∈ ^{1}Ψ modulo der Äquivalenzrelation (6.28). Dann induziert T eine Fourier-Transformation

T (f)(ϕ̃) := ∑_{ψ̃∈Ψ̃}⟨ϕ̃, ψ̃⟩f(ψ̃)

auf dem Raum H̃ := RΨ̃. Schließlich ist auch der Frobenius-Eigenwert Fr konstant auf den Klassen ψ̃. Da offensichtlich die ψ̃-Klassen mit den [ψ]_{π}-Klassen verträglich sind, erhalten wir in diesem Fall eine alternative Beschreibung der Fourier-Transformation und der SL_{2}(ℤ)-Darstellung auf dem Raum Ψ̃, also für das ungetwistete Spiegelungsdatum I_{n}^{(e)}.

6.29. Beispiel. Ist zudem m = 1 und π : Y → ℕ mit |π^{−1}(0)| = e − 2, |π^{−1}(1)| = 2, so erhalten wir die [ψ̃]_{π}-Klassen von Symbolen S = (S_{0}, …, S_{e−1}) mit

S_{i} = {0} für i ≠ 0, k, l, k + l, S_{0} = S_{k+l} = {0, 1}, S_{k} = S_{l} = ∅, oder
S_{i} = {0} für i ≠ 0, l, S_{0} = S_{l} = {1}.

Die Klassen können also auch durch Paare (k, l) nichtnegativer ganzer Zahlen mit 0 < k < l < e, k + l < e, oder 0 = k < l < e/2, parametrisiert werden. Dann ergibt sich

\frac{⟨(k_{1}, l_{1}), (k_{2}, l_{2})⟩}{τ(e)} = v(k_{1}, k_{2}) \frac{ζ^{k_{1}l_{2}+k_{2}l_{1}} + ζ^{−k_{1}l_{2}−k_{2}l_{1}} − ζ^{k_{1}k_{2}+l_{1}l_{2}} − ζ^{−k_{1}k_{2}−l_{1}l_{2}}}{e} ,

wobei das Vorzeichen v(k_{1}, k_{2}) gleich −1 für k_{1} = 0, k_{2} ≠ 0 oder k_{1} ≠ 0, k_{2} = 0, und gleich 1 sonst ist. Weiter sieht man sofort

Fr((k, l)) = ζ^{−kl} .

Da die Symbole S den Rang 2 haben, parametrisieren sie unipotente Grade in einer Familie von I_{2}^{(e)}. Ein Vergleich zeigt, daß die obigen Matrizen der Fourier-Transformation (bis auf die Vorzeichen v(k_{1}, k_{2})) und der Frobenius-Eigenwerte mit den entsprechenden in [14, 3.1] eingeführten der exotischen Fourier-Transformation übereinstimmen. Das Ergebnis von Prop. 3.2 in loc. cit. ergibt sich daher bis auf die Gültigkeit der Eigenschaft 1.1(f) aus dem oben bewiesenen. Da unsere unipotenten Grade für I_{2}^{(e)} sich von den Lusztigschen in [13, 4.1] gerade durch Vorzeichen v(k) = −1 falls k ≠ 0 unterscheiden, können wir zudem mit Satz 6.26 folgern: Die exotische Fourier-Transformationsmatrix in [14] führt die unipotenten Grade von I_{2}(e) in die Scheingrade über.

Der Fall eines geraden e sei dem Leser überlassen.

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