Die unipotenten Charaktere von ^{2}F_{4}(q^{2})

Gunter Malle

Mathematisches Institut der Universität Heidelberg, Im Neuenheimer Feld 288, D - 6900 Heidelberg.

Alle endlichen Gruppen vom Lie-Typ besitzen eine ausgezeichnete Menge von irreduziblen komplexen Charakteren, die von Lusztig eingeführten unipotenten Charaktere. Diese werden für einen vorgegebenen Typ unabhängig vom zugrunde liegenden Körper klassifiziert. Aufgrund der ebenfalls von Lusztig bewiesenen Jordan-Zerlegung der irreduziblen komplexen Charaktere läßt sich die Charaktertafel einer jeden endlichen Gruppe G vom Lie-Typ im wesentlichen zusammenbauen, wenn man die unipotenten Charaktere der halbeinfachen Anteile der Zentralisatoren aller halbeinfachen Elemente in G kennt. Das Problem der Berechnung der Charaktertafel ist somit zurückgeführt auf die Bestimmung aller Werte der unipotenten Charaktere der einfachen Gruppen vom Lie-Typ.

Die Werte der unipotenten Charaktere auf halbeinfachen Elementen, und somit insbesondere ihre Grade, lassen sich nach einem bereits in [4] angegebenen Verfahren errechnen. Die Werte auf den anderen Klassen sind Linearkombinationen der Greenfunktionen von G sowie einiger weiterer sogenannter uniformer Funktionen, die auf den halbeinfachen Klassen verschwinden. Umgekehrt bestimmen die Werte der unipotenten Charaktere sowohl die Greenfunktionen als auch die uniformen Funktionen.

Für die klassischen Gruppen sind die Greenfunktionen dank der Arbeit von Green, Lusztig und anderen recht gut verstanden. Auch für die exzeptionellen Gruppen vom Lie-Typ in guter Charakteristik wurden durch Suzuki, Ward, Chang, Ree, Shoji, Beynon und Spaltenstein Tabellen der Greenfunktionen errechnet (bzw. bei den kleineren Gruppen sogar die komplette Charaktertafel). In schlechter Charakteristik weiß man jedoch wenig, abgesehen von den Typen ^{2}B_{2}, ^{2}G_{2}, G_{2} und ^{3}D_{4}, für die die Charaktertafeln vollständig bekannt sind. Die einzige Rang-2 Lie-Gruppe, für die die Charaktertafel noch fehlt, ist die Ree-Gruppe ^{2}F_{4}(q^{2}), q^{2} = 2^{2n+1}. Hier wurden von Lusztig die unipotenten Charaktere klassifiziert sowie ihre Vielfachheiten in den Deligne-Lusztig Charakteren R_{T,θ} angegeben [9]. Die Greenfunktionen waren bisher unbekannt, ebenso die uniformen Funktionen. In dieser Arbeit werdendie Werte aller 21 unipotenten Charaktere auf allen Klassen angegeben, und somitimplizit auch die Greenfunktionen und uniformen Funktionen von ^{2}F_{4}(q^{2}). Für q^{2} = 2, also die Gruppe Aut(^{2}F_{4}(2)′), war die Tafel bereits bekannt [3].

Satz: Die Werte der 21 unipotenten Charaktere der Ree-Gruppen ^{2}F_{4}(q^{2}), q^{2} = 2^{2n+1}, sind wie im Anhang angegeben.

Aus der Charaktertafel sowie aus Informationen über die lokale Struktur von G, wie sie etwa in [12] und [10] erhalten wurden, kann die Einteilung der irreduziblen Charaktere in r-Blöcke für Primzahlen r | |G| abgeleitet werden. Daraus lassen sich einige Vermutungen aus der modularen Charaktertheorie für die Gruppen G verifizieren.

Korollar: Für die Gruppen ^{2}F_{4}(q^{2}), q^{2} = 2^{2n+1}, sind die Brauersche Höhenvermutung, die Vermutung über die Anzahl der Charaktere im Block sowie die Alperin-McKay-Vermutung richtig.

Eine genaue Beschreibung dieser Vermutungen findet man im siebten Teil.

Ich möchte an dieser Stelle Gerhard Hiss für einige hilfreiche Gespräche über modulare Charaktertheorie danken, ebenso Holger Gollan, der mir die Charaktertafel der 4^{.}S_{4} zur Verfügung stellte. Weiter gilt mein Dank der Deutschen Forschungsgemeinschaft für finanzielle Unterstützung.

§1 Beschreibung des Verfahrens

Die Gruppen F_{4}(q) besitzen in Charakteristik zwei einen zusätzlichen Graphautomorphismus der Ordnung zwei. Die Gruppe der Fixpunkte unter diesem Automorphismus ist für ungerade Zweierpotenzen 2^{2n+1} eine fasteinfache Gruppe, die sogenannte Ree-Gruppe 2F_{4}(2^{2n+1}). Um die Gruppe im Rahmen der Theorie der Gruppen vom Lie-Typ einzuordnen, bezeichnet man sie günstigerweise als ^{2}F_{4}(q^{2}) mit q^{2} = 2^{2n+1}. Für n ≥ 1 ist diese Gruppe sogar einfach, für n = 0 enthält sie die einfache Tits-Gruppe als Normalteiler vom Index zwei. Für letztere Gruppe ist die Charaktertafel bereits bekannt (siehe etwa [3]). Die Konjugiertenklassen der Ree-Gruppen wurden von Shinoda [12] bestimmt. Insbesondere gibt es 19 unipotente Klassen, mit Vertretern u_{0}, …, u_{18}.

Die Charaktertafel (und damit die 21 unipotenten Charaktere) kann aus diesen Kenntnissen im Prinzip nach folgendem Verfahren errechnet werden: Man induziert von echten Untergruppen von G Charaktere und reduziert die entstehende Menge untereinander solange, bis man eine Basis des ℤ-Gitters der virtuellen Charaktere von G aus lauter Vektoren der Norm eins erhalten hat. Dazu müssen für einige (möglichst maximale) Untergruppen von G die Charaktertafeln und die Fusion ihrer Klassen in die von G bekannt sein bzw. bestimmt werden. Geeignet für das beschriebene Verfahren sind natürlich vor allem Untergruppen von kleinem Index in G, da dann die Induzierten eine kleinere Norm besitzen. Solche großen maximalen Untergruppen gibt es in den Ree-Gruppen nur sehr wenige (siehe hierzu [10]). Während G asymptotisch die Ordnung q^{52} besitzt, haben die beiden parabolischen Untergruppen nur etwa die Ordnungen q^{32} und q^{30}. Dies sind auch die größten maximalen Untergruppen. Zwei weitere maximale Untergruppen B_{2}(q^{2}): 2 und ^{2}B_{2}(q^{2})≀2 haben jeweils näherungsweise die Ordnung q^{20}. Vor allem diese vier Typen von Untergruppen, die eine einfache Beschreibung in den Steinberg-Erzeugenden von G besitzen, wurden zur Induktion von Charakteren herangezogen. Alle Rechnungen mit Charakteren von G wurden mit Hilfe eines Computers durchgeführt. Eine wesentliche Vereinfachung der Rechnung wurde dadurch erreicht, daß nur mit ”rationalen” Charakteren gearbeitet wurde, das heißt also, von einem induzierten Charakter wurde die Summe aller dazu algebraisch konjugierten Charaktere gebildet und damit weitergerechnet. Eine Ausnahme wurde nur für die Irrationalitäten \sqrt{−1} und \sqrt{−3} gemacht, die bei den unipotenten Charakteren vorkommen.

§2 Induktion von den maximalen parabolischen Untergruppen

Eine Beschreibung von G = ^{2}F_{4}(q^{2}) durch erzeugende Elemente erhält man nach Steinberg oder aus der Arbeit von Shinoda [12] wie folgt: G hat ein BN-Paar vom Rang zwei. Die Untergruppe H = B ∩ N ist ein maximaler Torus der Ordnung (q^{2} − 1)^{2}, und N ist eine Erweiterung von H mit der Weylgruppe W ≅ D_{16} von G. Die Untergruppe B ist ein semidirektes Produkt einer 2-Sylowgruppe U von G mit H. Die maximale unipotente Untergruppe U läßt sich erzeugen durch Elemente α_{1}(t), …, α_{12}(t), t ∈ 𝔽_{q^{2}}, die in [12] als Elemente der umfassenden Gruppe F_{4}(q^{2}) angegeben sind. Aus diesen Darstellungen und den Relationen in [11] für F_{4}(q^{2}) lassen sich die Kommutatorformeln für die α_{1}, …, α_{12} leicht errechnen [13]. Das beschreibt die 2-Sylowgruppe vollständig. Die Operation der zwei Erzeugenden h_{a}, h_{b} der Ordnung q^{2} − 1 von H auf U folgt ebenfalls aus den entsprechenden Formeln in F_{4}(q^{2}). Schließlich werden in [12] noch zwei erzeugende Involutionen r_{a}, r_{b} für die Weylgruppe von G aufgeführt. Aus ihrer Beschreibung als Elemente von F_{4}(q^{2}) folgt wiederum leicht sowohl die Operation auf H, als auch auf den ”Wurzeluntergruppen” U_{±i} := {α_{±i}(t) | t ∈ 𝔽_{q^{2}}} in U^{+} ∪ U^{−}. (Für i = 1, 4, 5, 6 sind dies keine Untergruppen.) Damit ist G durch Erzeugende und Relationen beschrieben.

Die parabolischen Untergruppen haben nun nach Definition die Form

P_{a} = ⟨U_{1}, …, U_{12}, H, r_{a}⟩,
P_{b} = ⟨U_{1}, …, U_{12}, H, r_{b}⟩,

wobei eine Leviuntergruppe L_{a} in P_{a} von U_{3} und r_{a} erzeugt wird und die Gestalt A_{1}(q^{2}) hat, während L_{b} in P_{b} etwa U_{1} und r_{b} als Erzeugende besitzt und isomorph zu ^{2}B_{2}(q^{2}) ist. Das unipotente Radikal hat in den beiden Fällen die Ordnungen q^{22} und q^{20}.

Nun müssen die Charaktere (und Klassen) der parabolischen Untergruppen gefunden werden. Hier benutzt man den ‘schichtweisen’ Aufbau dieser Gruppen: aus den Relationen für G erhält man für P_{a} eine Reihe von Normalteilern

1 < ⟨U_{12}, U_{11}, U_{10}, U_{9}, U_{7}⟩ =: N_{a3} < ⟨N_{a3}, U_{8}, U_{6}, U_{5}, U_{2}⟩ =: N_{a2}
< ⟨N_{a2}, U_{4}, U_{1}⟩ =: N_{a1} < ⟨N_{a1}, U_{3}, H, r_{a}⟩ = P_{a}.

Man kennt nun bereits die Charaktere von P_{a}/N_{a1} ≅ L_{a} × Z_{q^{2}−1} ≅ L_{2}(q^{2}) × Z_{q^{2}−1}. Diese setzt man fort auf P_{a}/N_{a2} und bestimmt durch Induzieren und Ausnutzen der Orthogonalitätsrelationen die Charaktertafel letzterer Gruppe. Ebenso kann noch die Tafel von P_{a}/N_{a3} erhalten werden. Alle diese Charaktere können auf P_{a} fortgesetzt werden. Damit ist ein Teil der Charaktere der parabolischen Untergruppe bekannt, und zwar gerade solche von relativ kleinem Grad. Diese können zu G induziert werden. Das mühsamste Problem ist die Berechnung der unipotenten Klassen der jeweiligen Faktorgruppen von P_{a} sowie von P_{a} selbst, und die Bestimmung der Fusion in die unipotenten Klassen von G. Dies gelingt durch Rechnungen mit den Kommutatorformeln [13].

Auch P_{b} hat eine geeignete Schichtstruktur:

1 < ⟨U_{12}, U_{11}, U_{10}, U_{9}, U_{8}⟩ =: N_{b3} < ⟨N_{b3}, U_{5}⟩ =: N_{b2}
< ⟨N_{b2}, U_{7}, U_{6}, U_{4}, U_{3}⟩ =: N_{b1} < ⟨N_{b1}, U_{2}, U_{1}, H, r_{b}⟩ = P_{b}.

Wiederum können die Charaktere von P_{b}/N_{b3} berechnet, auf P_{b} fortgesetzt und dann zu G induziert werden.

§3 Induktion von ^{2}B_{2}(q^{2}) ≀ 2

Die Untergruppen R_{1} := ⟨U_{1}, r_{b}⟩ und R_{2} := ⟨U_{5}, r_{a}r_{b}r_{a}r_{b}r_{a}r_{b}r_{a}⟩ sind jeweils isomorph zu der Suzukigruppe ^{2}B_{2}(q^{2}) und kommutieren miteinander. Das Element r_{a}r_{b}r_{a} vertauscht zudem die beiden, so daß R := ⟨R_{1}, R_{2}, r_{a}r_{b}r_{a}⟩ eine Untergruppe von G isomorph zum Kranzprodukt von ^{2}B_{2}(q^{2}) mit Z_{2} ergibt (siehe auch [10]).

Die Charaktertafel der Suzukigruppe ^{2}B_{2}(q^{2}) wurde von Suzuki [14] bestimmt; daraus erhält man leicht die Tafel des Kranzprodukts R (siehe etwa Chapter 4 in [8]). Die Fusion der Klassen von R in die von G ist ebenfalls einfach aus der expliziten Darstellung der Erzeugenden von R als Elemente von G berechenbar. ^{2}B_{2}(q^{2}) besitzt eine Involutionsklasse und zwei Klassen von Elementen der Ordnung vier, hier mit 2, 4, 4′ bezeichnet. Nennt man weiter die äußere Involution des Kranzprodukts w, so hat jedes Element eine Darstellung (a, b) oder (a, b)w mit a, b ∈ ^{2}B_{2}(q^{2}). In der folgenden Tabelle wird die Fusion der unipotenten Klassen von ^{2}B_{2}(q^{2}) ≀ 2 (diese haben bereits Vertreter in ^{2}B_{2}(2) ≀ 2 ≅ (5: 4) ≀ 2) in die von G aufgeführt.

\begin{matrix}(1, 2) & (2, 2) & (1, 4) & (2, 4) & (4, 4) & (4, 4′) & (1, 1)w & (1, 2)w & (1, 4)w \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} & u_{6} & u_{7} & u_{8} & u_{1} & u_{8} & u_{14} \end{matrix}

Man beachte, daß (1, 4′) ∼ (1, 4)^{−1}, (2, 4′) ∼ (2, 4)^{−1}, (4′, 4′) ∼ (4, 4)^{−1} und (1, 4′)w ∼ ((1, 4)w)^{−1} sind. Damit können die irreduziblen Charaktere von R zu G induziert werden. §4 Induktion von B_{2}(q^{2}): 2

Die Erzeugenden von ⟨U_{3}, U_{7}, U_{9}, U_{10}, r_{a}, r_{b}r_{a}r_{b}⟩ =: S_{1} erfüllen die Steinberg-Relationen der symplektischen Gruppe B_{2}(q^{2}), und r_{b} operiert auf dieser Gruppe wie der Graphautomorphismus, denn es normalisiert S_{1} und zentralisiert eine ^{2}B_{2}(q^{2}). Hieraus kann die Untergruppe S := ⟨S_{1}, r_{b}⟩ ≅ B_{2}(q^{2}): 2 erhalten werden (siehe [10]).

Die Charaktertafel der symplektischen Gruppen B_{2}(q^{2}) in gerader Charakteristik wurde von Enomoto [5] angegeben. Diejenigen Charaktere von S, die von S_{1} induziert werden, sind damit ebenfalls bekannt (wenn man die Druckfehler in [5] berücksichtigt). Einige auf S fortgesetzte Charaktere lassen sich durch Induktion von parabolischen Untergruppen von S errechnen (Methoden wie bei der Howlett-Lehrer Theorie). Die Fusion der Klassen von S in die von G ergibt sich wiederum aus der expliziten Beschreibung der Erzeugenden von S. Für die unipotenten Klassen wird sie in der folgenden Tabelle angegeben. Dabei sind die Klassenbezeichnungen aus [5] übernommen worden. Die äußeren unipotenten Klassen sind die 2-Potenz Klassen in Aut(S_{6})\S_{6}, also eine Involutionsklasse 2A sowie Klassen 4A, 8A und 8B mit Elementen der Ordnungen vier und acht.

\begin{matrix}A_{2} & A_{32} & A_{41} & A_{42} & 2A & 4A & 8A & 8B \\ u_{2} & u_{2} & u_{8} & u_{7} & u_{1} & u_{8} & u_{13} & u_{13} \end{matrix}

Das ermöglicht die Induktion irreduzibler Charaktere von S.

§5 Die Greenfunktionen

Wenn man zusätzlich zu Charakteren von P_{a} und P_{b} und der in den letzten beiden Paragraphen beschriebenen Untergruppen noch die unipotenten Charaktere des Normalisators SU_{3}(q^{2}): 2 einer Untergruppe der Ordnung drei [10] induziert und das entstehende ℤ-Gitter (auf dem Computer) reduziert, so erhält man alle irreduziblen Charaktere von G außer den unipotenten Charakteren und den Deligne-Lusztig-Charakteren zu den maximalen Tori T_{10} und T_{11} (in der Bezeichnung von [12]). Insbesondere kennt man damit die Werte der Greenfunktionen für neun der elf maximalen Tori. Da die Grade aller irreduziblen Charaktere von G bekannnt sind, kann man die Konstituenten der bei der obigen Reduktion verbleibenden reduziblen Charaktere von G bestimmen. So findet man etwa einen Charakter χ, der eine Summe aller irreduziblen Deligne-Lusztig Charaktere R_{T,θ} zu T = T_{10} sowie eines weiteren unipotenten Charakters ρ ist. Da alle R_{T,θ} zu einem festen T auf einer unipotenten Klasse [u] konstante Werte haben, lassen sich die Werte von χ auf [u] darstellen als \frac{1}{12}(q^{4} − \sqrt{2}q^{3} + q^{2} − \sqrt{2}q)R_{T,θ}(u) + ρ(u). Beachtet man weiter die Ungleichung |ρ(u)|^{2} ≤ |C_{G}(u)|, so kann man daraus die Werte von R_{T,θ} auf den Elementen u_{13}, …, u_{18} errechnen. Zusammen mit den Orthogonalitätsrelationen zu den bereits bekannten ersten neun Greenfunktionen und unter Beachtung von R_{T,θ}(u) = R_{T,θ}(u^{−1}) ([2], Proposition 7.6.2) erhält man hieraus die noch fehlenden zwei Greenfunktionen. Damit können schließlich auch die unipotenten Charaktere aus den übrigen reduziblen Charakteren errechnet werden.

Die Darstellung der Greenfunktionen aus den unipotenten Charakteren wurde schon von Lusztig [9], S.374, angegeben. Die Formeln können leicht aus den Werten der unipotenten Charaktere auf den regulären Elementen des jeweiligen Torus erhalten werden. So ist etwa für T_{1} ≅ Z_{q^{2}−1} × Z_{q^{2}−1} aufgrund der Werte auf t_{3}

R_{T_{1}} = χ_{1} + χ_{2} + χ_{3} + χ_{4} + 2χ_{9} + 2χ_{10} + 2χ_{11}.

§6 Blöcke und Defektgruppen

Die Kenntnis der gewöhnlichen Charaktere von G erlaubt es auch, gewisse Aussagen über die modulare Charaktertheorie von G zu machen. Zuerst soll die Blockeinteilung der komplexen irreduziblen Charaktere von G untersucht werden. Um diese bequem beschreiben zu können, wird die Lusztigsche Parametrisierung der Charaktere benötigt. In unserem Fall einer selbstdualen Gruppe läßt sich diese wie folgt beschreiben [9]: Zu jeder halbeinfachen Konjugiertenklasse [s] von G gibt es eine Familie E(s) von irreduziblen Charakteren von G. Die Charaktere in einer solchen Familie stehen in Bijektion mit den unipotenten Charakteren von C_{G}(s). (So liegen etwa in E(1) genau die 21 unipotenten Charaktere von G.) Ist C := C_{G}(s) der Zentralisator von s in G, so lassen sich die Charaktergrade der χ ∈ E(s) schreiben als (G : C)_{p′} · ρ(ι), wobei χ in der Bijektion zum unipotenten Charakter ρ von C gehöre.

Ein Satz von Broué und Michel [1] stellt nun eine Verbindung her zwischen diesen Lusztig-Familien und der Blockeinteilung von G. Sei dazu r ein von der definierenden Charakteristik verschiedener Primteiler der Gruppenordnung (also r ≠ 2 in unserem Fall). Dann bildet für jedes halbeinfache, r-reguläre s die Menge

E_{r}(s) := ⋃_{t∈C_{G}(s) t halbeinfach r−singulär} E(st)

von gewöhnlichen Charakteren eine Vereinigung von r-Blöcken von G. Damit läßt sich die Blockeinteilung, bis auf die der unipotenten Charaktere, leicht bestimmen. Für die unipotenten Charaktere bildet man mit Hilfe der Werte aus der Tabelle die Zentrumscharaktere und leitet daraus die Blockeinteilung ab.

Bemerkung 1: (a) Für r = 2 liegen alle Charaktere außer dem Steinbergcharakter im Hauptblock.

(b) Für r ≠ 2, r | (q^{2} − 1) sind die E_{r}(s) jeweils Vereinigung von höchstens einem Block von nichttrivialem Defekt mit Defekt Null Blöcken. Insbesondere gibt es jeweils nur einen unipotenten Block vom Defekt ungleich Null.

(c) Gilt r|(q^{2} − 1), so gibt es drei unipotente Blöcke vom Defekt ungleich Null, mit den unipotenten Charakteren {χ_{1}, χ_{2}, χ_{3}, χ_{4}, χ_{9}, χ_{10}, χ_{11}}, {χ_{5}, χ_{7}} sowie {χ_{6}, χ_{8}}, d.h. die Blockeinteilung respektiert die Aufspaltung in Harish-Chandra Serien. Für s vom Typ t_{1} [12] (bzw. vom Typ t_{2} oder t_{3}) enthält E_{r}(s) jeweils zwei Blöcke (jeweils einen Block) mit nichttrivialem Defekt.

Beweis : Die erste Aussage ist ein Satz von Humphreys [7]. Die Teile (b) und (c) folgen aus der Tabelle und aus der Blockstruktur der Suzukigruppen ^{2}B_{2}(q^{2}) ≤ C_{G}(t_{1}).

Auch die Defektgruppen können bestimmt werden:

Bemerkung 2: (a) Für r = 2 ist die einzige nichttriviale Defektgruppe die 2-Sylowgruppe U von G.

(b) Für r ≠ 2 hat nur der Hauptblock zu r = 3 mit D ∈ 3-Syl(G) eine nichtabelsche Defektgruppe.

(c) Alle weiteren Defektgruppen sind abelsch und isomorph zur r-Sylowgruppe eines maximalen Torus T von G.

Beweis : Teil (a) folgt wieder aus dem Satz von Humphreys [7]. Für die anderen Primzahlen sieht man dies aus der Definition einer Defektgruppe und der Tatsache, daß Defektgruppen Durchschnitte von r-Sylowgruppen sind ([6],Theorem 8.14, S.135).

§7 Drei Vermutungen aus der modularen Charaktertheorie

In diesem Paragraphen wird die Gültigkeit der Brauerschen Höhenvermutung, der Vermutung über die Anzahl der Charaktere im Block sowie die Alperin-McKay-Vermutung für G = ^{2}F_{4}(q^{2}) nachgeprüft. Für Primzahlen r|\frac{1}{3}(q^{4} − q^{2} + 1)(q^{8} − q^{4} + 1) hat G zyklische t.i. r-Sylowgruppen [12] und in diesem Fall ist die Korrektheit der zu untersuchenden Vermutungen bekannt. Sei also im weiteren r|2(q^{8} −1), B ein r-Block von G und D die zugehörige Defektgruppe. Brauer vermutete die folgende Beziehung (siehe [6], S.169): Genau dann haben alle gewöhnlichen irreduziblen Charaktere in B die Höhe Null wenn D abelsch ist (Brauersche Höhenvermutung).

Bemerkung 3: Bei den Gruppen ^{2}F_{4}(q^{2}) ist die Brauersche Höhenvermutung für jedes r und jeden r-Block B erfüllt.

Beweis : In der definierenden Charakteristik r = 2 liegen alle Charaktere außer dem Steinbergcharakter im Hauptblock [7]. Für diesen ist die Defektgruppe D die volle 2-Sylowgruppe U von G, also nichtabelsch, und es existieren Charaktere mit von Null verschiedener Höhe.

Für r ≠ 2 hat der 3-Hauptblock die nichtabelsche 3-Sylowgruppe als Defektgruppe und enthält nicht nur Charaktere der Höhe Null. Alle anderen Defektgruppen sind nach Bemerkung 2(c) abelsch. Aus der in Bemerkung 1 angegebenen Blockeinteilung folgt dann die Behauptung.

Nach einer weiteren Vermutung von Brauer gilt für die Anzahl k(B) der gewöhnlichen Charaktere in einem Block B mit Defektgruppe D die Ungleichung k(B) ≤ |D| ([6], S.170).

Bemerkung 4: Bei den Gruppen ^{2}F_{4}(q^{2}) gilt k(B) ≤ |D| für alle r und jeden r-Block B.

Beweis : Sei zuerst r = 2. Nach [7] ist hier nur zu zeigen, daß die Anzahl k(G) = q^{4} + 4q^{2} + 17 der gewöhnlichen irreduziblen Charaktere von G [12] kleiner als |D| = |U| = q^{24} ist. Dies ist aber klar. Sei also r ≠ 2. Ist die Defektgruppe von B abelsch, so liegt sie nach Bemerkung 2(c) in einem maximalen Torus von G, wird also von höchstens zwei Elementen erzeugt. Nach [6], Theorem 10.13, S.316, gilt in diesem Fall die Aussage. Daher kann D nichtabelsch angenommen werden, und damit ist B nach Bemerkung 2(b) der 3-Hauptblock. Dieser enthält elf unipotente Charaktere, die drei Charaktere in E(t_{4}), jeweils zwei Charaktere aus E(t_{5}) für die \frac{1}{2}(d − 3) Klassen von t_{5} ∈ D, und \frac{1}{48}(d − 3)(d − 9) Charaktere aus E(t_{14}) mit t_{14} ∈ D, wobei |D| = 3d^{2} gesetzt ist. Damit wird k(B) = \frac{1}{48}(d^{2} + 36d + 555) < 3d^{2} (da d ≥ 3).

Schließlich untersuchen wir noch die Alperin-McKay-Vermutung ([6], S.171). Sei dazu B ein Block von G mit Defektgruppe D und B_{1} der Brauerkorrespondent von B in H := N_{G}(D).

Bemerkung 5: Bei den Gruppen ^{2}F_{4}(q^{2}) ist für alle r||G| und alle B die Anzahl k_{0}(B) der Charaktere der Höhe Null in B gleich der Anzahl k_{0}(B_{1}) der Charaktere der Höhe Null in H = N_{G}(D).

Anmerkung: Die Richtigkeit der Alperin-McKay-Vermutung beruht im Fall der Gruppen 2F_{4}(q^{2}) für r ≠ 2 im Wesentlichen auf folgender Tatsache: Sei T ein maximaler Torus von G, der eine r-Sylowgruppe enthält, mit Weylgruppe W (T) = N_{G}(T)/T. Dann gibt es genausoviele unipotente Charaktere der Höhe Null in G wie Charaktere der Weylgruppe W (T) der Höhe Null. Für r|(q^{2} −1) ist dieses gerade die Bijektion zwischen den unipotenten Hauptseriencharakteren und den irreduziblen Charakteren der Weylgruppe von G. Beweis der Bemerkung 5: Sei zuerst wieder r = 2. Nach der Jordanzerlegung der irreduziblen Charaktere von G gibt es ebensoviele Charaktere der Höhe Null wie halbeinfache Klassen (falls q^{2} > 2, sonst haben zum Beispiel einige unipotente Charaktere die Höhe Null). Die Zahl der halbeinfachen Klassen ist aber nach einem allgemeinen Satz ([2], Theorem 3.7.6) gleich q^{4}. Aus (U : U′) = q^{4} und der Operation von H auf U/U′ errechnet man die Anzahl der Charaktere der Höhe Null in B = N_{G}(U) ebenfalls zu q^{4}. Für q^{2} = 2 gibt es 16 Charaktere der Höhe Null in G [3], und es gilt (U : U′) = 16. Wegen H = 1 folgt auch in diesem Fall die Behauptung.

Sei nun r ≠ 2. Ist D zyklisch, so gilt die Behauptung nach [6], S.171. Für r ≠ 3 sind somit nach Bemerkung 2(c) nur noch Defektgruppen D = r^{ν} × r^{ν} ∈ r-Syl(T), T ∈ {T_{1}, T_{6}, T_{7}, T_{8}}, zu untersuchen. Insbesondere liegt dann N_{G}(D) im Normalisator N_{G}(T) des zugehörigen Torus. Die Blockeinteilung der auflösbaren Gruppe N_{G}(T) läßt sich leicht bestimmen. Da die Werte auf den regulären Elementen von T bereits mit denen in G übereinstimmen, erhält man dasselbe Bild wie in G. Wegen Bemerkung 3 muß nur noch k(B) = k(B_{1}) nachgeprüft werden. Dies ist nur eine Fleißarbeit.

Für r = 3 schließlich unterscheiden wir zwei Fälle. Gilt q^{2} ≡ 2, 4 (mod 9), also n ≢ 1 (mod 3), so hat die 3-Sylowgruppe von G die Struktur S = 3^{.}3^{2}, mit Normalisator N_{G}(S) = (3^{.}3^{2}): 8: 2 = SU_{3}(2): 2. Es treten nur Blöcke mit zyklischer Defektgruppe oder mit D = S auf. Ist D = S, so handelt es sich nach Bemerkung 2 um den Hauptblock B. Dieser enthält sechs unipotente Charaktere der Höhe Null sowie die drei Charaktere der Höhe Null aus E(t_{4}). Man rechnet leicht nach, daß SU_{3}(2): 2 = N_{G}(S) nur einen Block B_{1} mit Defektgruppe S hat, und es gilt k_{0}(B_{1}) = 9 wie gefordert. Für Blöcke mit zyklischer Defektgruppe verwendet man wieder [6], S.171.

Im Fall q^{2} ≡ −1 (mod 9), also n ≡ 1 (mod 3), hat die 3-Sylowgruppe S den Normalisator N_{G}(S) = (3^{ν} × 3^{ν}): (S_{3} × Z_{2}), wobei ν = ord_{3}(q^{2} + 1) sei. Ist B der Hauptblock von G, so gilt wieder k_{0}(B) = 9. In N_{G}(S) haben nur solche Charaktere die Höhe Null, die vom äußeren Element der Ordnung drei festgelassen werden. Diese entsprechen dem Einselement und einem in (3^{ν} × 3^{ν}): S_{3} zentralen Element, weswegen auch k_{0}(B_{1}) = 9 für den Hauptblock B_{1} von N_{G}(S) gilt. Als einzige andere nichtzyklische Defektgruppe kann ein 3-Block B von G noch D = 3^{ν} ×3^{ν} ∈ 3-Syl(T_{8}) haben. Hier wird N_{G}(D) = N_{G}(T_{8}) = T_{8}: GL_{2}(3). Man bestimmt die Blockeinteilung dieser Gruppe aus der Kenntnis der Operation von GL_{2}(3) auf T_{8} und erhält damit die Richtigkeit der Bemerkung.

§8 Die Tabellen

In den Tabellen werden nur die 21 unipotenten Charaktere von G aufgeführt. Da die Werte der unipotenten Charaktere auf Elementen mit konjugiertem Zentralisator in G übereinstimmen, genügt es, für jeden Typ von nichtunipotenten Klassen von G jeweils einen Vertreter aufzuführen; die entsprechenden Vertreter finden sich in den Tabellen 4 und 5 von [12]. Zur Abkürzung der Notation wird die Schreibweise der zyklotomischen Polynome benutzt; die in der Tabelle vorkommenden werden der Übersichtlichkeit halber hier zusammengestellt. Man beachte allerdings die Definition von Φ̃_{1}!

Φ̃_{1} =  q^{2} − 1
Φ_{4} =  q^{2} + 1
Φ_{8}′ =  q^{2} + \sqrt{2}q + 1
Φ_{8}′′ =  q^{2} − \sqrt{2}q + 1
Φ_{8} =  q^{4} + 1
Φ_{12} =  q^{4} − q^{2} + 1
Φ_{24}′ = q^{4} + \sqrt{2}q^{3} + q^{2} + \sqrt{2}q + 1
Φ_{24}′′ = q^{4} − \sqrt{2}q^{3} + q^{2} − \sqrt{2}q + 1
Φ_{24} =  q^{8} − q^{4} + 1

Entgegen dem Augenschein sind die Ausdrücke \sqrt{2}q aufgrund der Definition von q ganze rationale Zahlen.

Literatur

[1] M. Broué, J. Michel, Blocs et séries de Lusztig dans un groupe réductif fini, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 306 (1988), S.21–24.

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[3] J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker, R. A.

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[4] P. Deligne, G. Lusztig, Representations of reductive groups over finite fields, Ann. of Math. 103 (1976), S.103–161.

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J. Math. 9 (1972), S.75–94.

[6] W. Feit, The representation theory of finite groups, North Holland 1982, Amsterdam, New York, Oxford.

[7] J. E. Humphreys, Defect groups for finite groups of Lie type, Math. Z. 119 (1971), S.149–152.

[8] G. James, A.Kerber, The representation theory of the symmetric group, Addison Wesley 1981, London u.s.w.

[9] G. Lusztig, Characters of reductive groups over a finite field, Annals of Math. Studies 107 (1984), Princeton University Press.

[10] G. Malle, The maximal subgroups of ^{2}F_{4}(q^{2}), submitted to J. Algebra.

[11] K. Shinoda, The conjugacy classes of Chevalley groups of type (F_{4}) over finite fields of characteristic 2, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 21 (1974), S.133–159.

[12] K. Shinoda, The conjugacy classes of the finite Ree groups of type (F_{4}), J. Fac. Sci Univ. Tokyo 22 (1975), S.1–15.

[13] K. Shinoda, A characterization of odd order extensions of the Ree groups ^{2}F_{4}(q), J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 22 (1975), S.79–102.

[14] M. Suzuki, On a class of doubly transitive groups, Ann. of Math. 75 (1962), S.105– 145.

Heidelberg März 1989 Tabelle 1: Die unipotenten Charaktere von ^{2}F_{4}(q^{2}) (Klassen nach [12].)

ι  u_{1}
|C_{G}|  |G|  q^{24}Φ̃_{1}Φ_{8}
χ_{1}  1  1
χ_{2}  q^{2}Φ_{12}Φ_{24}  q^{2}(q^{6} − q^{2} + 1)
χ_{3}  q^{10}Φ_{12}Φ_{24}  −q^{10}Φ̃_{1}
χ_{4}  q^{24}  .
χ_{5}  \frac{1}{\sqrt{2}}qΦ̃_{1}Φ_{4}^{2}Φ_{12}  −\frac{1}{\sqrt{2}}q(q^{6} − q^{4} + 1)
χ_{6}  \frac{1}{\sqrt{2}}qΦ̃_{1}Φ_{4}^{2}Φ_{12}  −\frac{1}{\sqrt{2}}q(q^{6} − q^{4} + 1)
χ_{7}  \frac{1}{\sqrt{2}}q^{13}Φ̃_{1}Φ_{4}^{2}Φ_{12}  −\frac{1}{\sqrt{2}}q^{13}
χ_{8}  \frac{1}{\sqrt{2}}q^{13}Φ̃_{1}Φ_{4}^{2}Φ_{12}  −\frac{1}{\sqrt{2}}q^{13}
χ_{9}  \frac{1}{4}q^{4}Φ_{4}^{2}Φ_{8}′′^{2}Φ_{12}Φ_{24}′  \frac{1}{4}q^{4}Φ_{8}′′(2q^{6} + \sqrt{2}q^{5} + \sqrt{2}q^{3} + q^{2} + 1)
χ_{10}  \frac{1}{4}q^{4}Φ_{4}^{2}Φ_{8}′^{2}Φ_{12}Φ_{24}′′  \frac{1}{4}q^{4}Φ_{8}′(2q^{6} − \sqrt{2}q^{5} − \sqrt{2}q^{3} + q^{2} + 1)
χ_{11}  \frac{1}{2}q^{4}Φ_{8}^{2}Φ_{24}  \frac{1}{2}q^{4}Φ_{8}
χ_{12}  \frac{1}{12}q^{4}Φ̃_{1}^{2}Φ_{8}′^{2}Φ_{12}Φ_{24}′  \frac{1}{12}q^{4}Φ̃_{1}Φ_{8}′(2q^{4} + \sqrt{2}q^{3} − 2q^{2} − 2\sqrt{2}q − 1)
χ_{13}  \frac{1}{12}q^{4}Φ̃_{1}^{2}Φ_{8}′′^{2}Φ_{12}Φ_{24}′′  \frac{1}{12}q^{4}Φ̃_{1}Φ_{8}′′(2q^{4} − \sqrt{2}q^{3} − 2q^{2} + 2\sqrt{2}q − 1)
χ_{14}  \frac{1}{6}q^{4}Φ̃_{1}^{2}Φ_{4}^{2}Φ_{24}  \frac{1}{6}q^{4}Φ̃_{1}Φ_{4}(2q^{4} − 1)
χ_{15}  \frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}^{2}Φ_{4}^{2}Φ_{12}Φ_{24}′′  −\frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}(\sqrt{2}q^{5} − \sqrt{2}q^{3} + q^{2} − \sqrt{2}q + 1)
χ_{16}  \frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}^{2}Φ_{4}^{2}Φ_{12}Φ_{24}′′  −\frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}(\sqrt{2}q^{5} − \sqrt{2}q^{3} + q^{2} − \sqrt{2}q + 1)
χ_{17}  \frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}^{2}Φ_{4}^{2}Φ_{12}Φ_{24}′  \frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}(\sqrt{2}q^{5} − \sqrt{2}q^{3} − q^{2} − \sqrt{2}q − 1)
χ_{18}  \frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}^{2}Φ_{4}^{2}Φ_{12}Φ_{24}′  \frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}(\sqrt{2}q^{5} − \sqrt{2}q^{3} − q^{2} − \sqrt{2}q − 1)
χ_{19}  \frac{1}{3}q^{4}Φ̃_{1}^{2}Φ_{4}^{2}Φ_{8}^{2}  −\frac{1}{3}q^{4}Φ̃_{1}Φ_{4}Φ_{8}
χ_{20}  \frac{1}{3}q^{4}Φ̃_{1}^{2}Φ_{4}^{2}Φ_{8}^{2}  −\frac{1}{3}q^{4}Φ̃_{1}Φ_{4}Φ_{8}
χ_{21}  \frac{1}{3}q^{4}Φ̃_{1}^{2}Φ_{12}Φ_{24}  −\frac{1}{3}q^{4}Φ̃_{1}(q^{6} + q^{4} − 2q^{2} + 1)

Tabelle 2

u_{2}  u_{3} = u_{4}^{−1}
q^{20}Φ̃_{1}Φ_{4}  2q^{14}Φ̃_{1}Φ_{8}
1  1
−q^{2}Φ̃_{1}  q^{2}Φ_{12}
q^{10}  .
.  .
\frac{1}{\sqrt{2}}qΦ̃_{1}Φ_{4}  \frac{1}{\sqrt{2}}q(q^{4}i + q^{2} − 1)
\frac{1}{\sqrt{2}}qΦ̃_{1}Φ_{4}  \frac{1}{\sqrt{2}}q(−q^{4}i + q^{2} − 1)
.  \frac{1}{\sqrt{2}}q^{9}i
.  −\frac{1}{\sqrt{2}}q^{9}i
\frac{1}{4}q^{4}Φ_{4}(\sqrt{2}q^{3} + q^{2} − \sqrt{2}q + 1)  \frac{1}{4}q^{4}Φ_{8}′′(q^{2} + 2\sqrt{2}q + 3)
−\frac{1}{4}q^{4}Φ_{4}(\sqrt{2}q^{3} − q^{2} − \sqrt{2}q − 1)  \frac{1}{4}q^{4}Φ_{8}′(q^{2} − 2\sqrt{2}q + 3)
\frac{1}{2}q^{4}Φ_{8}  \frac{1}{2}q^{4}Φ_{8}
−\frac{1}{12}q^{4}Φ̃_{1}(3\sqrt{2}q^{3} + 7q^{2} + 3\sqrt{2}q + 1)  −\frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}Φ_{8}′
\frac{1}{12}q^{4}Φ̃_{1}(3\sqrt{2}q^{3} − 7q^{2} + 3\sqrt{2}q − 1)  −\frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}Φ_{8}′′
−\frac{1}{6}q^{4}Φ̃_{1}Φ_{4}  −\frac{1}{2}q^{4}Φ̃_{1}Φ_{4}
\frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}Φ_{4}(\sqrt{2}q − 1)  −\frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}(q^{2} − 2q^{2}i − \sqrt{2}q + 1)
\frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}Φ_{4}(\sqrt{2}q − 1)  −\frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}(q^{2} + 2q^{2}i − \sqrt{2}q + 1)
−\frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}Φ_{4}(\sqrt{2}q + 1)  −\frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}(q^{2} − 2q^{2}i + \sqrt{2}q + 1)
−\frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}Φ_{4}(\sqrt{2}q + 1)  −\frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}(q^{2} + 2q^{2}i + \sqrt{2}q + 1)
−\frac{1}{3}q^{4}Φ̃_{1}Φ_{4}  .
−\frac{1}{3}q^{4}Φ̃_{1}Φ_{4}  .
\frac{1}{3}q^{4}Φ̃_{1}(2q^{2} − 1)  .

u_{5}  u_{6}  u_{7}
q^{16}  q^{14}  6q^{12}
1  1  1
−q^{2}Φ̃_{1}  −q^{2}Φ̃_{1}  q^{2}
.  .  .
.  .  .
−\frac{1}{\sqrt{2}}q  \frac{1}{\sqrt{2}}qΦ̃_{1}  \frac{1}{\sqrt{2}}q(2q^{2} − 1)
−\frac{1}{\sqrt{2}}q  \frac{1}{\sqrt{2}}qΦ̃_{1}  \frac{1}{\sqrt{2}}q(2q^{2} − 1)
.  .  .
.  .  .
−\frac{1}{4}q^{4}(\sqrt{2}q − 1)  −\frac{1}{4}q^{4}(\sqrt{2}q − 3)  −\frac{1}{4}q^{4}(q^{2} − 5)
\frac{1}{4}q^{4}(\sqrt{2}q + 1)  \frac{1}{4}q^{4}(\sqrt{2}q + 3)  −\frac{1}{4}q^{4}(q^{2} − 5)
\frac{1}{2}q^{4}  \frac{1}{2}q^{4}  \frac{1}{2}q^{4}Φ_{4}
\frac{1}{12}q^{4}(4q^{2} + 3\sqrt{2}q + 1)  \frac{1}{4}q^{4}(\sqrt{2}q + 1)  −\frac{1}{12}q^{4}(q^{2} − 5)
\frac{1}{12}q^{4}(4q^{2} − 3\sqrt{2}q + 1)  −\frac{1}{4}q^{4}(\sqrt{2}q − 1)  −\frac{1}{12}q^{4}(q^{2} − 5)
−\frac{1}{6}q^{4}(2q^{2} − 1)  \frac{1}{2}q^{4}  −\frac{1}{6}q^{4}(q^{2} − 5)
−\frac{1}{4}q^{4}(\sqrt{2}q − 1)  −\frac{1}{4}q^{4}(\sqrt{2}q − 1)  \frac{1}{4}q^{4}Φ_{4}
−\frac{1}{4}q^{4}(\sqrt{2}q − 1)  −\frac{1}{4}q^{4}(\sqrt{2}q − 1)  \frac{1}{4}q^{4}Φ_{4}
\frac{1}{4}q^{4}(\sqrt{2}q + 1)  \frac{1}{4}q^{4}(\sqrt{2}q + 1)  \frac{1}{4}q^{4}Φ_{4}
\frac{1}{4}q^{4}(\sqrt{2}q + 1)  \frac{1}{4}q^{4}(\sqrt{2}q + 1)  \frac{1}{4}q^{4}Φ_{4}
\frac{1}{3}q^{4}Φ_{4}  .  −\frac{1}{3}q^{4}Φ_{4}
\frac{1}{3}q^{4}Φ_{4}  .  −\frac{1}{3}q^{4}Φ_{4}
−\frac{1}{3}q^{4}(2q^{2} − 1)  .  −\frac{1}{3}q^{4}Φ_{4}

u_{8}  u_{9}  u_{10}  u_{11} ∼ u_{12}^{−1}  u_{13}  u_{14}
2q^{12}  3q^{12}  2q^{8}  4q^{8}  2q^{6}  2q^{6}
1  1  1  1  1  1
q^{2}  q^{2}  q^{2}  q^{2}  .  .
.  .  .  .  .  .
.  .  .  .  .  .
−\frac{1}{\sqrt{2}}q  −\frac{1}{\sqrt{2}}qΦ_{4}  −\frac{1}{\sqrt{2}}q q^{2}i − \frac{1}{\sqrt{2}}q  −\frac{1}{\sqrt{2}}q  −\frac{1}{\sqrt{2}}q
−\frac{1}{\sqrt{2}}q  −\frac{1}{\sqrt{2}}qΦ_{4}  −\frac{1}{\sqrt{2}}q −q^{2}i − \frac{1}{\sqrt{2}}q  −\frac{1}{\sqrt{2}}q  −\frac{1}{\sqrt{2}}q
.  .  .  .  .  .
.  .  .  .  .  .
\frac{1}{4}q^{4}Φ_{4}  −\frac{1}{4}q^{4}Φ_{4}  \frac{1}{4}q^{4}  −\frac{1}{4}q^{4}  \frac{1}{4} \sqrt{2}q^{3} −\frac{1}{4} \sqrt{2}q^{3}
\frac{1}{4}q^{4}Φ_{4}  −\frac{1}{4}q^{4}Φ_{4}  \frac{1}{4}q^{4}  −\frac{1}{4}q^{4}  −\frac{1}{4} \sqrt{2}q^{3}  \frac{1}{4} \sqrt{2}q^{3}
−\frac{1}{2}q^{4}Φ̃_{1}  \frac{1}{2}q^{4}Φ_{4}  −\frac{1}{2}q^{4}  \frac{1}{2}q^{4}  .  .
\frac{1}{12}q^{4}Φ_{4}  −\frac{1}{12}q^{4}Φ_{4}  −\frac{1}{4}q^{4}  \frac{1}{4}q^{4}  −\frac{1}{4} \sqrt{2}q^{3}  \frac{1}{4} \sqrt{2}q^{3}
\frac{1}{12}q^{4}Φ_{4}  −\frac{1}{12}q^{4}Φ_{4}  −\frac{1}{4}q^{4}  \frac{1}{4}q^{4}  \frac{1}{4} \sqrt{2}q^{3} −\frac{1}{4} \sqrt{2}q^{3}
\frac{1}{6}q^{4}Φ_{4}  −\frac{1}{6}q^{4}Φ_{4}  −\frac{1}{2}q^{4}  \frac{1}{2}q^{4}  .  .
−\frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}  \frac{1}{4}q^{4}Φ_{4}  \frac{1}{4}q^{4} −\frac{1}{4}q^{4} − \frac{1}{\sqrt{2}}q^{3}i −\frac{1}{4} \sqrt{2}q^{3}  \frac{1}{4} \sqrt{2}q^{3}
−\frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}  \frac{1}{4}q^{4}Φ_{4}  \frac{1}{4}q^{4} −\frac{1}{4}q^{4} + \frac{1}{\sqrt{2}}q^{3}i −\frac{1}{4} \sqrt{2}q^{3}  \frac{1}{4} \sqrt{2}q^{3}
−\frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}  \frac{1}{4}q^{4}Φ_{4}  \frac{1}{4}q^{4} −\frac{1}{4}q^{4} − \frac{1}{\sqrt{2}}q^{3}i \frac{1}{4} \sqrt{2}q^{3} −\frac{1}{4} \sqrt{2}q^{3}
−\frac{1}{4}q^{4}Φ̃_{1}  \frac{1}{4}q^{4}Φ_{4}  \frac{1}{4}q^{4} −\frac{1}{4}q^{4} + \frac{1}{\sqrt{2}}q^{3}i \frac{1}{4} \sqrt{2}q^{3} −\frac{1}{4} \sqrt{2}q^{3}
\frac{1}{3}q^{4}Φ_{4}  −\frac{1}{3}q^{4}(q^{2} − 2)  .  .  .  .
\frac{1}{3}q^{4}Φ_{4}  −\frac{1}{3}q^{4}(q^{2} − 2)  .  .  .  .
\frac{1}{3}q^{4}Φ_{4}  −\frac{1}{3}q^{4}(q^{2} − 2)  .  .  .  .

u_{15} ∼ u_{16}^{−1} u_{17} ∼ u_{18}^{−1}  t_{1}  t_{1}u_{1} t_{1}u_{3} ∼ t_{1}u_{4}^{−1}  t_{2}  t_{2}u_{2} t_{3}
4q^{4}  4q^{4}  q^{4}Φ̃_{1}^{2}Φ_{8} q^{4}Φ̃_{1}  2q^{2}Φ̃_{1}  q^{2}Φ̃_{1}^{2}Φ_{4} q^{2}Φ̃_{1} Φ̃_{1}^{2}
1  1  1  1  1  1  1  1
.  .  1  1  1  q^{2}  .  1
.  .  q^{4}  .  .  1  1  1
.  .  q^{4}  .  .  q^{2}  .  1
\frac{1}{\sqrt{2}}qi  \frac{1}{\sqrt{2}}qi  \frac{1}{\sqrt{2}}qΦ̃_{1} −\frac{1}{\sqrt{2}}q  \frac{1}{\sqrt{2}}qi  .  .  .
−\frac{1}{\sqrt{2}}qi  −\frac{1}{\sqrt{2}}qi  \frac{1}{\sqrt{2}}qΦ̃_{1} −\frac{1}{\sqrt{2}}q  −\frac{1}{\sqrt{2}}qi  .  .  .
.  .  \frac{1}{\sqrt{2}}qΦ̃_{1} −\frac{1}{\sqrt{2}}q  \frac{1}{\sqrt{2}}qi  .  .  .
.  .  \frac{1}{\sqrt{2}}qΦ̃_{1} −\frac{1}{\sqrt{2}}q  −\frac{1}{\sqrt{2}}qi  .  .  .
\frac{1}{2}q^{2}  −\frac{1}{2}q^{2}  Φ_{8}  1  1  Φ_{4}  1  2
−\frac{1}{2}q^{2}  \frac{1}{2}q^{2}  Φ_{8}  1  1  Φ_{4}  1  2
.  .  Φ_{8}  1  1  Φ_{4}  1  2
\frac{1}{2}q^{2}  −\frac{1}{2}q^{2}  .  .  .  .  .  .
−\frac{1}{2}q^{2}  \frac{1}{2}q^{2}  .  .  .  .  .  .
.  .  .  .  .  .  .  .
\frac{1}{2}q^{2}i  −\frac{1}{2}q^{2}i  .  .  .  .  .  .
−\frac{1}{2}q^{2}i  \frac{1}{2}q^{2}i  .  .  .  .  .  .
−\frac{1}{2}q^{2}i  \frac{1}{2}q^{2}i  .  .  .  .  .  .
\frac{1}{2}q^{2}i  −\frac{1}{2}q^{2}i  .  .  .  .  .  .
.  .  .  .  .  .  .  .
.  .  .  .  .  .  .  .
.  .  .  .  .  .  .  .

t_{4}  t_{4}u_{2}  t_{4}u_{7}  t_{4}u_{9} ∼ (t_{4}u′_{9})^{−1}  t_{5}  t_{5}u_{2} t_{6}
q^{6}Φ̃_{1}Φ_{4}^{2}Φ_{12}  q^{6}Φ_{4}  3q^{4}  3q^{4}  q^{2}Φ̃_{1}Φ_{4}^{2} q^{2}Φ_{4} Φ̃_{1}Φ_{4}
1  1  1  1  1  1  1
−Φ_{12}  Φ̃_{1}  −1  −1  q^{2} − 2 −2 −1
q^{2}Φ_{12}  q^{2}  .  .  2q^{2} − 1 −1  1
−q^{6}  .  .  .  −q^{2}  .  −1
.  .  .  .  .  .  .
.  .  .  .  .  .  .
.  .  .  .  .  .  .
.  .  .  .  .  .  .
.  .  .  .  .  .  .
.  .  .  .  .  .  .
q^{2}Φ̃_{1}  −q^{2}  .  .  −Φ̃_{1}  1  .
\frac{1}{3} Φ̃_{1}Φ_{12}  \frac{1}{3}(2q^{2} − 1) \frac{1}{3}(2q^{2} − 1)  −\frac{1}{3}Φ_{4}  Φ̃_{1}  −1  .
\frac{1}{3} Φ̃_{1}Φ_{12}  \frac{1}{3}(2q^{2} − 1) \frac{1}{3}(2q^{2} − 1)  −\frac{1}{3}Φ_{4}  Φ̃_{1}  −1  .
−\frac{1}{3} Φ̃_{1}Φ_{4}^{2}  \frac{1}{3}Φ_{4}  −\frac{1}{3}(2q^{2} − 1)  \frac{1}{3}Φ_{4}  .  .  .
.  .  .  .  .  .  .
.  .  .  .  .  .  .
.  .  .  .  .  .  .
.  .  .  .  .  .  .
\frac{1}{3} Φ̃_{1}Φ_{4}^{2}  −\frac{1}{3}Φ_{4}  −\frac{1}{3}Φ_{4}  \frac{1}{6}(q^{2} + 3\sqrt{−3}q^{2} − 2) .  .  .
\frac{1}{3} Φ̃_{1}Φ_{4}^{2}  −\frac{1}{3}Φ_{4}  −\frac{1}{3}Φ_{4}  \frac{1}{6}(q^{2} − 3\sqrt{−3}q^{2} − 2) .  .  .
−\frac{2}{3} Φ̃_{1}Φ_{12} −\frac{2}{3}(2q^{2} − 1)  \frac{2}{3}Φ_{4}  −\frac{1}{3}(q^{2} − 2)  −2Φ̃_{1}  2  .

t_{7}  t_{7}u_{1}  t_{7}u_{3} ∼ t_{7}u_{4}^{−1}  t_{8}  t_{9}
q^{4}Φ̃_{1}Φ_{8}′′Φ_{8}  q^{4}Φ_{8}′′  2q^{2}Φ_{8}′′  Φ̃_{1}Φ_{8}′′  q^{4}Φ̃_{1}Φ_{8}′Φ_{8}
1  1  1  1  1
−\sqrt{2}q^{3} + \sqrt{2}q + 1 \sqrt{2}q + 1  1  1  \sqrt{2}q^{3} − \sqrt{2}q + 1
−q^{4} − \sqrt{2}q^{3} + \sqrt{2}q  \sqrt{2}q  .  −1 −q^{4} + \sqrt{2}q^{3} − \sqrt{2}q
−q^{4}  .  .  −1  −q^{4}
\frac{1}{\sqrt{2}}q^{3} − \frac{1}{\sqrt{2}}q − 1 −\frac{1}{\sqrt{2}}q − 1 −\frac{1}{\sqrt{2}}qi − 1  −1  \frac{1}{\sqrt{2}}q^{3} − \frac{1}{\sqrt{2}}q + 1
\frac{1}{\sqrt{2}}q^{3} − \frac{1}{\sqrt{2}}q − 1 −\frac{1}{\sqrt{2}}q − 1  \frac{1}{\sqrt{2}}qi − 1  −1  \frac{1}{\sqrt{2}}q^{3} − \frac{1}{\sqrt{2}}q + 1
−q^{4} − \frac{1}{\sqrt{2}}q^{3} + \frac{1}{\sqrt{2}}q  \frac{1}{\sqrt{2}}q  \frac{1}{\sqrt{2}}qi  −1  q^{4} − \frac{1}{\sqrt{2}}q^{3} + \frac{1}{\sqrt{2}}q
−q^{4} − \frac{1}{\sqrt{2}}q^{3} + \frac{1}{\sqrt{2}}q  \frac{1}{\sqrt{2}}q  −\frac{1}{\sqrt{2}}qi  −1  q^{4} − \frac{1}{\sqrt{2}}q^{3} + \frac{1}{\sqrt{2}}q
.  .  .  .  Φ̃_{1}Φ_{8}′′
Φ̃_{1}Φ_{8}′  −\sqrt{2}q − 1  −1  .  .
.  .  .  .  .
Φ̃_{1}Φ_{8}′  −\sqrt{2}q − 1  −1  .  .
.  .  .  .  Φ̃_{1}Φ_{8}′′
Φ̃_{1}Φ_{4}  −1  −1  .  Φ̃_{1}Φ_{4}
−\frac{1}{\sqrt{2}}qΦ̃_{1}  \frac{1}{\sqrt{2}}q  \frac{1}{\sqrt{2}}qi  .  Φ̃_{1}(q^{2} − \frac{1}{\sqrt{2}}q + 1)
−\frac{1}{\sqrt{2}}qΦ̃_{1}  \frac{1}{\sqrt{2}}q  −\frac{1}{\sqrt{2}}qi  .  Φ̃_{1}(q^{2} − \frac{1}{\sqrt{2}}q + 1)
Φ̃_{1}(q^{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}q + 1) −\frac{1}{\sqrt{2}}q − 1  \frac{1}{\sqrt{2}}qi − 1  .  \frac{1}{\sqrt{2}}qΦ̃_{1}
Φ̃_{1}(q^{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}q + 1) −\frac{1}{\sqrt{2}}q − 1 −\frac{1}{\sqrt{2}}qi − 1  .  \frac{1}{\sqrt{2}}qΦ̃_{1}
.  .  .  .  .
.  .  .  .  .
−\sqrt{2}qΦ̃_{1}  \sqrt{2}q  .  .  \sqrt{2}qΦ̃_{1}

t_{9}u_{1}  t_{9}u_{3} ∼ t_{9}u_{4}^{−1} t_{10} t_{11} t_{12} t_{13} t_{14} t_{15} t_{16} t_{17}
q^{4}Φ_{8}′  2q^{2}Φ_{8}′  Φ̃_{1}Φ_{8}′ Φ_{8} Φ_{8}′′^{2} Φ_{8}′^{2} Φ_{4}^{2} Φ_{12} Φ_{24}′′ Φ_{24}′
1  1  1  1  1  1  1 1  1  1
−\sqrt{2}q + 1  1  1  −1 3  3 −3 .  .  .
−\sqrt{2}q  .  −1 −1 3  3 −3 .  .  .
.  .  −1  1  1  1  1 1  1  1
−\frac{1}{\sqrt{2}}q + 1 −\frac{1}{\sqrt{2}}qi + 1  1  . −2  2  .  .  −1  1
−\frac{1}{\sqrt{2}}q + 1  \frac{1}{\sqrt{2}}qi + 1  1  . −2  2  .  .  −1  1
\frac{1}{\sqrt{2}}q  \frac{1}{\sqrt{2}}qi  1  .  2  −2 .  .  1  −1
\frac{1}{\sqrt{2}}q  −\frac{1}{\sqrt{2}}qi  1  .  2  −2 .  .  1  −1
\sqrt{2}q − 1  −1  .  .  .  −4 .  .  −1  .
.  .  .  . −4  .  .  .  .  −1
.  .  .  .  .  .  2 −1  .  .
.  .  .  . −4  . −2 .  1  .
\sqrt{2}q − 1  −1  .  .  .  −4 −2 .  .  1
−1  −1  .  −2 −2 −2 .  1  .  .
\frac{1}{\sqrt{2}}q − 1 −\frac{1}{\sqrt{2}}qi − 1  .  −1 1  −3 .  .  .  1
\frac{1}{\sqrt{2}}q − 1  \frac{1}{\sqrt{2}}qi − 1  .  −1 1  −3 .  .  .  1
−\frac{1}{\sqrt{2}}q  −\frac{1}{\sqrt{2}}qi  .  −1 −3  1  .  .  1  .
−\frac{1}{\sqrt{2}}q  \frac{1}{\sqrt{2}}qi  .  −1 −3  1  .  .  1  .
.  .  .  .  .  .  . −1 1  1
.  .  .  .  .  .  . −1 1  1
−\sqrt{2}q  .  .  −2 2  2  4  .  .  .