Polynome mit Galoisgruppen P GL_{2}(p) und P SL_{2}(p) über ℚ(t)

Gunter Malle * Mathematisches Institut und IWR Im Neuenheimer Feld 368 D - 6900 Heidelberg

1 Einleitung und Ergebnisse

Die konstruktive Galoistheorie untersucht die Existenz von Körpererweiterungen von ℚ mit vorgegebener Galoisgruppe G. Die vollständigste Lösung für dieses Existenzproblem besteht in der expliziten Angabe einer solchen Körpererweiterung, etwa durch ein erzeugendes Polynom. Obwohl inzwischen eine ganze Reihe von Serien nicht auflösbarer Gruppen als Galoisgruppen über ℚ nachgewiesen werden konnten, gibt es bisher nur für die Serien der alternierenden und der symmetrischen Gruppen Polynomscharen mit diesen Galoisgruppen [7]. In dieser Arbeit beschreiben wir ein Verfahren, mit dem für beliebig große Primzahlen (die noch einer gewissen Kongruenzbedingung genügen müssen) Polynome f_{p}(t, X) ∈ ℚ(t)[X] mit der Galoisgruppe P SL_{2}(p) über ℚ(t) bestimmt werden können. Nach dem Hilbertschen Irreduzibilitätssatz erhält man daraus durch geeignete Spezialisierungen, die auch konstruktiv gefunden werden können, unendlich viele verschiedene Körpererweiterungen der rationalen Zahlen mit der Galoisgruppe P SL_{2}(p). Somit kann zwar nicht wie bei den alternierenden Gruppen eine geschlossene Form für die Polynome mit Gruppe P SL_{2}(p) gegeben werden, aber für eine vorgegebene Primzahl algorithmisch jeweils ein Polynom bestimmt werden. Zur Illustration der Anwendbarkeit des Algorithmus wird für alle Primzahlen p ≤ 37 ein erzeugendes Polynom vorgestellt. Die kleinste Primzahl p, die die zu stellenden Kongruenzbedingungen verletzt, für die im übrigen auch P SL_{2}(p) noch gar nicht als Galoisgruppe über ℚ nachgewiesen werden konnte, ist nach [5] p = 239.

* Der Autor dankt der Deutschen Forschungsgemeinschaft für finanzielle Unterstützung

Bisherige Polynomkonstruktionen machten sich besondere Eigenschaften der vorliegenden Galoiserweiterung zu Nutze, so etwa für p = 7, 11, 13 in [6]

[7] und [4]. Dort beruhte die Konstruktion darauf, daß mit den Methoden der konstruktiven Galoistheorie [8] die Existenz einer an drei Punkten verzweigten regulären Körpererweiterung N/ℚ(t) mit der Galoisgruppe P SL_{2}(p) nachgewiesen worden war. Aus der Kenntnis der Verzweigung ließ sich dann ein Ansatz für das Minimalpolynom eines erzeugenden Elements eines Stammkörpers K von N/ℚ(t) aufstellen. Die Koeffizienten erhielt man als rationale Lösungen eines nichtlinearen Gleichungssystems. Dieses war effektiv nur im Fall von Stammkörpern K des Geschlechts g = 0 oder, bei niedrigem Grad, auch g = 1 lösbar [4]. Im Falle g > 1 ergab sich bereits das Problem, wie geeignete Erzeugende von K angesetzt werden sollten.

Schon im vergangenen Jahrhundert war bekannt, daß der Körper der Modulfunktionen zu Γ(p) die Galoisgruppe SL_{2}(ℤ)/Γ(p) ≅ P SL_{2}(p) über ℂ(j) besitzt. Allerdings ist dieser, wie Weber zeigte [14], nicht als Galoiserweiterung über ℚ definiert, sondern erst über ℚ(\sqrt{p^{∗}}) mit p^{∗} := (−1)^{\frac{p−1}{2}} · p. Die galoissche Hülle über ℚ(j) ist eine nichtreguläre Erweiterung mit Gruppe P GL_{2}(p). Insbesondere erhält man hieraus keine Galoisrealisierungen von P SL_{2}(p) über ℚ. Aber Shih bewies in [12], daß für n = 2, 3, 7 die mit Γ_{0}(n) verschobene Erweiterung im Fall (\frac{n}{p}) = −1 über ℚ definiert werden kann und zu regulären Galoiserweiterungen N_{p}/ℚ(t) mit Gruppe P SL_{2}(p) führt. Dies konnte zuerst für n = 2, 3 nachträglich auch mit den Methoden der konstruktiven Galoistheorie gefolgert werden [8], wobei sich zudem noch ergab, daß diese Erweiterungen von regulären P GL_{2}(p)-Erweiterungen N_{p}/ℚ(u), [ℚ(t) : ℚ(u)] = 2, herrühren. Für n = 7 wurde in [5] ein Existenzbeweis der P SL_{2}(p)-Erweiterungen aus den Rationalitätskriterien der konstruktiven Galoistheorie geführt. Weiter konnte dort gezeigt werden, daß für (\frac{5}{p}) = −1 ebenfalls reguläre Galoiserweiterungen von ℚ(t) mit Gruppe P SL_{2}(p) existieren. Dies geschah jedoch ohne Bezugnahme auf die Modulgruppe; wir zeigen hier, wie auch die letztgenannten Galoisrealisierungen im Rahmen von Körpern von Modulfunktionen gedeutet werden können.

Die Galoisrealisierungen des Satzes von Shih eignen sich offensichtlich gut für eine explizite Berechnung von Polynomen. Denn als erzeugende Elemente eines Stammkörpers können Modulfunktionen gewählt werden. Ein Minimalpolynom kann dann durch Koeffizientenvergleich der Potenzreihen der q-Entwicklung bei i∞ erhalten werden, also durch Lösen eines linearen Gleichungssystems. Die notwendigen Berechnungen sind so einfach, daß bereits im vorigen Jahrhundert Kiepert erzeugende Gleichungen für den Körper der Modulfunktionen zu Γ_{0}(np) bis zu np = 58 angeben konnte [1,2]. Ausgehend von einer solchen Gleichung muß dann noch das nach [12] oder [5] existierende Modell über ℚ gefunden werden. Für p ≤ 37 erhält man den

Satz : Die Zerfällungskörper der folgenden Polynome f_{p,n}(t, X) sind regulär über ℚ(t) mit der Galoisgruppe P GL_{2}(p) zur Verzweigungsstruktur (2, 2n, p) für n = 2, 3, (2, 2, 4, p) für n = 5 bzw. (2, 2, 3, p) für n = 7:

f_{7,5}(t, X) = t^{2} + (X^{7} − 7 X^{5} − 14 X^{2} + 8 X + 8) t + (X^{2} + X + 2)^{4},

\begin{matrix}f_{11,7} & (t, X) = t^{4} − (11 X^{4} + 11 X^{3} − 55 X^{2} + 99 X − 80)t^{3} + ( X^{11} + 11 X^{10} \\ + & 22 X^{9}− 44 X^{8}+ 33 X^{7}+ 363 X^{6}− 715 X^{5} + 572 X^{4}− 957 X^{3} + 2772 X^{2} \\ − & 4212 X + 2187)t^{2} + (18 X^{11} − 209 X^{10} + 286 X^{9} + 1837 X^{8} − 9108 X^{7} \\ + & 14102 X^{6} + 4950 X^{5} − 56727 X^{4} + 100386 X^{3} − 77517 X^{2} + 20412 X \\ + & 1458)t + ( X^{4} − 3 X^{3} + 24 X^{2} − 45 X + 27)^{3}, \end{matrix}

\begin{matrix}f_{13,2} & (t, X) = t^{2} + X (X^{12} − 52 X^{10} − 52 X^{9} + 910 X^{8} + 1716 X^{7} − 5330 X^{6} \\ − & 15652 X^{5} + 533 X^{4} + 33540 X^{3} + 28626 X^{2} + 1040 X − 3808) t \\ + & X^{2} (X^{3} + 26 X^{2} + 65 X + 52)^{4}, \end{matrix}

\begin{matrix}f_{13,7} & (t, X) = t^{4} + (26 X^{6} + 611 X^{5} + 4381 X^{4} + 14937 X^{3} + 27027 X^{2} \\ + & 25090 X + 9328) t^{3} − (X^{13} − 13 X^{12} − 39 X^{11} + 455 X^{10} + 1963 X^{9} \\ − & 741 X^{8} − 14547 X^{7} − 11245 X^{6} + 58097 X^{5} + 123812 X^{4} + 35399 X^{3} \\ − & 125034 X^{2} − 139580 X − 49528) t^{2} + (X − 1) (16 X^{12} + 315 X^{11} \\ + & 2564 X^{10} + 11872 X^{9} + 35844 X^{8} + 75871 X^{7} + 116704 X^{6} + 118654 X^{5} \\ + & 8544 X^{4} − 246464 X^{3} − 456128 X^{2} − 349216 X − 88576) t \\ + & (X − 1)^{2} (X^{4} + 9 X^{3} + 32 X^{2} + 48 X + 40)^{3}, \end{matrix}

\begin{matrix}f_{17,3} & (t, X) = t^{2} − (X^{17} − 17 X^{15} + 34 X^{14} + 85 X^{13} − 408 X^{12} + 289 X^{11} \\ + & 1190 X^{10} − 2907 X^{9} + 1462 X^{8} + 3281 X^{7} − 5780 X^{6} + 3196 X^{5} \\ + & 238 X^{4} − 646 X^{3} − 68 X^{2} + 120 X − 16) t + (X^{3} − 7 X^{2} + 5 X − 2)^{6}, \end{matrix}

\begin{matrix}f_{17,5} & (t, X) = t^{4} − (X^{17} + 17 X^{14} − 17 X^{13} − 34 X^{12} + 85 X^{11} − 170 X^{10} \\ − & 238 X^{9} + 391 X^{8} − 102 X^{7} − 255 X^{6} + 816 X^{5} + 323 X^{4} − 357 X^{3} \\ − & 136 X^{2} + 18 X + 32) t^{3} + (X^{18} + 28 X^{17} + 102 X^{16} + 34 X^{15} + 595 X^{14} \\ + & 1955 X^{13} − 5321 X^{12} − 14382 X^{11} + 23715 X^{10} + 71298 X^{9} + 85 X^{8} \\ − & 89658 X^{7} − 19057 X^{6} + 61387 X^{5} + 22644 X^{4} − 15912 X^{3} − 7463 X^{2} \\ + & 810 X + 580) t^{2} − (3 X − 2)(8 X^{17} + 112 X^{16} + 664 X^{15} + 2120 X^{14} \\ + & 4377 X^{13}+9412 X^{12}+21960 X^{11}+24721 X^{10} − 42158 X^{9} − 204163 X^{8} \\ − & 335411 X^{7} − 264617 X^{6} − 45823 X^{5}+94951 X^{4}+76113 X^{3}+10112 X^{2} \\ − & 9522 X − 2592) t + (3 X − 2)^{2} (2 X^{4} + 6 X^{3} + 11 X^{2} + 14 X + 9)^{4}, \end{matrix}

\begin{matrix}f_{17,7} & (t, X) = t^{2} + (X^{17}− 17 X^{13}+17 X^{12}− 17 X^{11}+17 X^{10}+68 X^{9}− 136 X^{8} \\ + & 187 X^{7} − 221 X^{6} + 102 X^{5} + 17 X^{4} − 136 X^{3} + 170 X^{2}− 84 X + 16) t \\ + & (X^{6} − 3 X^{5} + 8 X^{4} − 11 X^{3} + 19 X^{2} − 14 X + 4)^{3}, \end{matrix}

\begin{matrix}f_{19,2} & (t, X) = t^{2} − (X^{19} − 38 X^{17} − 38 X^{16}+513 X^{15}+1064 X^{14} − 2299 X^{13} \\ − & 9538 X^{12} − 5358 X^{11} + 24358 X^{10} + 55081 X^{9} + 35416 X^{8} − 40204 X^{7} \\ − & 105374 X^{6}− 98496 X^{5}− 41040 X^{4}+3648 X^{3}+11552 X^{2}+4352 X+512) t \\ + & (X^{5} + 26 X^{4} + 69 X^{3} + 108 X^{2} + 68 X + 16)^{4}, \end{matrix}

\begin{matrix}f_{19,3} & (t, X) = X t^{2} − (X^{20} + 38 X^{19} + 608 X^{18} + 5377 X^{17} + 29298 X^{16} \\ + & 105773 X^{15} + 273334 X^{14} + 546041 X^{13} + 877135 X^{12} + 1154744 X^{11} \\ + & 1272753 X^{10} + 1166467 X^{9} + 901968 X^{8} + 569772 X^{7} + 298129 X^{6} \\ + & 118370 X^{5} + 36347 X^{4} + 6251 X^{3} + 570 X^{2} + 31 X + 1) t \\ − & (13 X^{2} + X + 13) (11 X^{3} + 8 X^{2} + 10 X + 1)^{6}, \end{matrix}

\begin{matrix}f_{23,5} & (t, X) = t^{4} − (X^{23} − 23 X^{20} + 23 X^{18} + 161 X^{17} + 23 X^{16} − 345 X^{15} \\ − & 276 X^{14} − 161 X^{13} + 1265 X^{12} − 207 X^{11} − 230 X^{10} − 138 X^{9} − 851 X^{8} \\ + & 1449 X^{7} − 1449 X^{6} + 874 X^{5} − 46 X^{4} − 230 X^{3} + 230 X^{2} − 68 X + 6) t^{3} \\ + & (X^{24} − 36 X^{23}+230 X^{22}+782 X^{21} − 8211 X^{20}+14122 X^{19}+27485 X^{18} \\ − & 113712 X^{17} + 81949 X^{16} + 128570 X^{15} − 229701 X^{14} + 39790 X^{13} \\ + & 224434 X^{12} − 351164 X^{11} + 343459 X^{10} − 297896 X^{9} + 276989 X^{8} \\ − & 251114 X^{7} + 181999 X^{6} − 95680 X^{5} + 34661 X^{4} − 7130 X^{3} + 736 X^{2} \\ − & 36 X + 1) t^{2} + (32 X^{24} − 592 X^{23} + 4002 X^{22} − 14536 X^{21} + 19734 X^{20} \\ + & 80270 X^{19} − 540454 X^{18} + 1532789 X^{17} − 2356074 X^{16} + 860039 X^{15} \end{matrix}

\begin{matrix}+ & 5108369 X^{14} − 14552031 X^{13} + 22702840 X^{12} − 25160689 X^{11} \\ + & 22088763 X^{10}− 16606345 X^{9}+11173262 X^{8}− 6767451 X^{7}+3509685 X^{6} \\ − & 1432509 X^{5} + 423798 X^{4} − 84985 X^{3} + 10787 X^{2} − 776 X + 24) t \\ + & (4 X^{6} − 17 X^{5} + 44 X^{4} − 62 X^{3} + 66 X^{2} − 21 X + 2)^{4}, \end{matrix}

\begin{matrix}f_{23,7} & (t, X) = t^{4} − (X^{23} + 23 X^{20} + 23 X^{19} + 23 X^{18} + 161 X^{17} + 368 X^{16} \\ + & 529 X^{15} + 575 X^{14} + 1610 X^{13} + 3036 X^{12} + 2668 X^{11} + 2300 X^{10} \\ + & 3542 X^{9} + 5428 X^{8} + 2599 X^{7} − 1748 X^{6} − 1265 X^{5} + 345 X^{4} − 598 X^{2} \\ − & 252 X − 16) t^{3} + (X^{24}− 7 X^{23}+69 X^{22}− 460 X^{21}− 1564 X^{20}− 3289 X^{19} \\ + & 11017 X^{18} + 19159 X^{17} − 20792 X^{16} − 269307 X^{15} − 650440 X^{14} \\ − & 547124 X^{13} + 609937 X^{12} + 2106294 X^{11} + 2682306 X^{10} + 1410682 X^{9} \\ − & 856612 X^{8} − 1557215 X^{7} − 609132 X^{6} + 135079 X^{5} + 225814 X^{4} \\ + & 113436 X^{3} + 33764 X^{2} + 5904 X + 496) t^{2} − (2 X^{24} + X^{23} − 322 X^{22} \\ + & 1219 X^{21}+1863 X^{20}+4094 X^{19}+99084 X^{18}+197501 X^{17}+877910 X^{16} \\ + & 1337726 X^{15}+3132117 X^{14}+8697795 X^{13}+15394935 X^{12}+16590866 X^{11} \\ + & 4182642 X^{10}+6982731 X^{9}+36934642 X^{8}+43085601 X^{7}+13510591 X^{6} \\ − & 9423054 X^{5}− 10152936 X^{4}− 4024080 X^{3}− 824688 X^{2}− 85536 X− 3456) t \\ + & (X^{8}+3 X^{7}+37 X^{6} − 24 X^{5}+121 X^{4}+333 X^{3}+429 X^{2}+216 X+36)^{3}, \end{matrix}

\begin{matrix}f_{29,3} & (t, X) = t^{2} − t (X^{29} + 29 X^{26} − 29 X^{25} + 29 X^{24} + 290 X^{23} − 638 X^{22} \\ + & 899 X^{21} + 464 X^{20} − 4118 X^{19} + 8323 X^{18} − 9686 X^{17} − 899 X^{16} \\ + & 20532 X^{15}− 46197 X^{14}+55477 X^{13}− 36801 X^{12}− 8584 X^{11}+66874 X^{10} \\ − & 100601 X^{9} + 105560 X^{8} − 73602 X^{7} + 34017 X^{6} − 2349 X^{5} − 11745 X^{4} \\ + & 10962 X^{3}−6264 X^{2}+1944 X−432)+(X^{5}−7 X^{4}+8 X^{3}−17 X^{2}+9 X −6)^{6}, \end{matrix}

\begin{matrix}f_{31,3} & (t, X) = t^{4} + (X^{31}−31 X^{30}+403 X^{29}−2728 X^{28}+8835 X^{27}+1364 X^{26} \\ − & 115351 X^{25} + 335854 X^{24} + 76012 X^{23} − 2275121 X^{22} + 3443108 X^{21} \\ + & 4643552 X^{20}−17150750 X^{19}+4082700 X^{18}+34927669 X^{17}−31068293 X^{16} \\ − & 32924294 X^{15}+50183203 X^{14}+12109344 X^{13}−39060930 X^{12} \\ + & 1188757 X^{11}+17586641 X^{10} − 3317310 X^{9} − 4565215 X^{8}+1828442 X^{7} \\ + & 447020 X^{6}−463636 X^{5}+27156 X^{4}+59520 X^{3}−12400 X^{2}−960 X+256) t^{3} \\ + & (X^{32} − 290 X^{31}+5487 X^{30}−36518 X^{29}+424297 X^{28}−7107928 X^{27} \\ + & 63126633 X^{26} − 337004162 X^{25} + 1347700231 X^{24} − 4509213934 X^{23} \end{matrix}

\begin{matrix}+ & 11871029423 X^{22}−21991031534 X^{21}+26435514771 X^{20}−19458911358 X^{19} \\ + & 8839833706 X^{18} − 3248528626 X^{17} + 568442629 X^{16} + 384269056 X^{15} \\ + & 2008357413 X^{14} − 3926429930 X^{13} + 2705259578 X^{12} − 604910564 X^{11} \\ − & 410358780 X^{10}+468689744 X^{9}−156046064 X^{8}−111359936 X^{7}+79056448 X^{6} \\ + & 9356544 X^{5}+1515776 X^{4}− 9427968 X^{3}+2126848 X^{2}+20480 X − 8192) t^{2} \\ − & (4 X − 3)(54 X^{31}−5940 X^{30}+55530 X^{29}−697160 X^{28}+1829999 X^{27} \\ + & 46486249 X^{26} − 557328972 X^{25} + 2912934733 X^{24} − 6201811015 X^{23} \\ − & 8566415911 X^{22}+77066336750 X^{21}−160201441867 X^{20}+100444378386 X^{19} \\ + & 139830514876 X^{18} − 362330851236 X^{17} + 396246786756 X^{16} \\ − & 250281969408 X^{15} + 74753517264 X^{14} + 21149425152 X^{13} \\ − & 26790254784 X^{12} + 9279043584 X^{11} + 2340475136 X^{10} − 3403894784 X^{9} \\ − & 2311920640 X^{8} + 4041523200 X^{7} − 3509137408 X^{6} + 1771896832 X^{5} \\ − & 646823936 X^{4} + 184680448 X^{3} − 39256064 X^{2} + 8650752 X − 1048576) t \\ + & (4 X − 3)^{2} (3 X^{5} − 19 X^{4} − 18 X^{3} − 64 X^{2} + 24 X − 16)^{6}, \end{matrix}

\begin{matrix}f_{37,2} & (t, X) = t^{4} − (37 X^{17}− 1147 X^{16}+14430 X^{15}− 92204 X^{14}+295297 X^{13} \\ − & 306471 X^{12} − 631923 X^{11} + 1465977 X^{10} + 462759 X^{9} − 2070298 X^{8} \\ − & 359455 X^{7}+1414621 X^{6}+206571 X^{5}−462722 X^{4}−23902 X^{3}+48692 X^{2} \\ − & 888 X − 1008) t^{3} − (X^{37}− 74 X^{36}+2516 X^{35}− 52096 X^{34}+733858 X^{33} \\ − & 7437740 X^{32} + 55888352 X^{31} − 315680744 X^{30} + 1340444103 X^{29} \\ − & 4205500586 X^{28}+9255361596 X^{27} − 12026798644 X^{26}+261241534 X^{25} \\ + & 35411411364 X^{24}−74946072832 X^{23}+63050463608 X^{22}+35035489255 X^{21} \\ − & 159154315926 X^{20} + 173694914254 X^{19} − 13848713572 X^{18} \\ − & 189297881446 X^{17} + 216842284027 X^{16} − 36643970756 X^{15} \\ − & 147123077911 X^{14}+144132985589 X^{13}−9884706177 X^{12}−73620693982 X^{11} \\ + & 48806115437 X^{10}+7241121260 X^{9} − 21391686382 X^{8}+4716064918 X^{7} \\ + & 3721939779 X^{6}−1396723212 X^{5}−273366508 X^{4}+135878208 X^{3}−79920 X^{2} \\ − & 2220480 X − 67392) t^{2} − (X − 2) (208 X^{36}+177535 X^{35}+8419479 X^{34} \\ − & 167928904 X^{33}+267045019 X^{32}+10857600823 X^{31} − 76923485707 X^{30} \\ + & 113742295906 X^{29}+ 588139068505 X^{28} − 2354192582266 X^{27} \\ + & 1790474840616 X^{26} + 4001135947618 X^{25} − 7971331351924 X^{24} \\ + & 3098809637204 X^{23} + 9302805738316 X^{22} − 18464956566316 X^{21} \end{matrix}

\begin{matrix}+ & 2859507992844 X^{20} + 19281298546269 X^{19} − 11778016981975 X^{18} \\ − & 3734734798848 X^{17} + 3195239611229 X^{16} + 4152724770053 X^{15} \\ − & 2532644995785 X^{14} − 10355085212222 X^{13} + 11385083689283 X^{12} \\ + & 3796937113646 X^{11} − 9844112064160 X^{10} + 1986835863598 X^{9} \\ + & 3154056560132 X^{8} − 1491313158816 X^{7} − 285294321216 X^{6} \\ + & 269841105216 X^{5} − 17675521920 X^{4} − 12859637760 X^{3} + 1136913408 X^{2} \\ + & 381832704 X − 47029248) t + (X − 2)^{2} (X^{9} − 536 X^{8} − 781 X^{7} − 746 X^{6} \\ + & 5087 X^{5} − 1220 X^{4} − 3911 X^{3} + 54 X^{2} + 972 X − 216)^{4}. \end{matrix}

Ersetzt man darin jeweils t durch \frac{a_{p,n}}{(s^{2}−p^{∗})}, mit

a_{p,2} = 2^{8}p, a_{p,3} = 2^{2}3^{3}p, a_{p,5} = 2^{2}p + (−1)^{\frac{p−1}{2}} 2^{4}s^{2}, a_{p,7} = p + (−1)^{\frac{p−1}{2}} 3^{3}s^{2}

so hat das Polynom g_{p,n}(s, X) := f_{p,n}(\frac{a_{p,n}}{(s^{2}−p^{∗})}, X) ∈ ℚ(s)[X] die Galoisgruppe P SL_{2}(p) über ℚ(s).

Der zweite Index bei jedem der obigen Polynome deutet an, zu welchem Fall der Sätze in [12] oder [5] die Körpererweiterungen gehören.

Die Gruppen P GL_{2}(2) und P GL_{2}(3) sind auflösbar, und P GL_{2}(5) ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S_{5} auf fünf Ziffern, daher wird für diese kein Polynom angegeben. Für (p, n) = (7, 3) wurden in [7] mit verzweigungstheoretischen Methoden sowohl der P SL_{2}(7)- als auch der P GL_{2}(7)-Körper berechnet. Ebenso findet man die Polynome zu (p, n) = (11, 2) in [4]. Die Fälle (p, n) ∈ {(5, 2), (7, 3), (11, 2), (13, 2)} wurden zudem bereits von Shih in [13] behandelt. Seine Methode erforderte allerdings, daß der Körper der Modulfunktionen zu Γ_{0}(pn) hyperelliptisch ist. Unter dieser Einschränkung sind die vier Shih’schen Fälle die einzigen, wie ein Resultat von Ogg zeigt [13]. Da Shih nicht die zugehörigen P GL_{2}(p)-Polynome konstruiert, wurde der Fall (13, 2) in den Satz aufgenommen. Ein P GL_{2}(13)-Polynom zu einer anderen Verzweigungsstruktur findet man noch in [6].

In den folgenden Abschnitten wird das Verfahren zur Konstruktion der Polynome beschrieben. Die Zwischenergebnisse für den Fall (p, n) = (29, 3) werden als Beispiel angegeben.

2 Die Bestimmung der Transformationsgleichung

Wir führen die folgenden Bezeichnungen ein. Der Körper N_{n}/ℚ(j) sei der Körper der Modulfunktionen zu Γ(n), ebenso K_{n}/ℚ(j) derjenige zu Γ_{0}(n). Dann besitzt bekanntlich ℂN_{p}/ℂ(j) die Galoisgruppe P SL_{2}(p), während die entsprechende Erweiterung N_{p}/ℚ(j) über ℚ nicht galoissch ist, wobei die galoissche Hülle dieser Erweiterung die Gruppe P GL_{2}(p) hat [14]. Shih zeigte nun, daß für n ∈ \{2, 3, 7\} mit (\frac{n}{p}) = −1 die durch K_{n} verschobene Erweiterung N_{p}K_{n}/K_{n} ein über ℚ definiertes galoissches Modell Ñ_{p}/K̃_{n} besitzt. Weiter hat K̃_{n} unter diesen Voraussetzungen einen rationalen Punkt [12], so daß wegen g(K̃_{n}) = g(K_{n}) = 0 der Körper K̃_{n} ein rationaler Funktionenkörper ℚ(t) ist. Damit erhält Shih also eine Galoiserweiterung Ñ_{p}/ℚ(t) mit Galoisgruppe P SL_{2}(p). Die Verzweigung läßt sich leicht aus der bekannten Verzweigung von N_{p}/ℚ(j) und K_{n}/ℚ(j) ableiten. Für die Konstruktion von Ñ_{p}/ℚ(t) genügt es, erzeugende Elemente für den Stammkörper K_{p}K_{n} = K_{pn} vom Grad p+1 über K_{n}, also den Körper der Modulfunktionen zu Γ_{0}(pn) zu bestimmen. Dann braucht nur noch ein Modell von K_{pn}/K_{n} gefunden zu werden, dessen galoissche Hülle regulär über K_{n} ist.

Eine Methode zur Bestimmung von Modulfunktionen zu Γ_{0}(pn), also zu ‘zusammengesetztem Transformationsgrad’ in der damaligen Sprechweise, gibt bereits Kiepert [3] an. Bezeichnet nämlich für q = e^{2πiz} die Funktion

Δ(z) = q ∞ ; ∏ ; m=1(1 − q^{m})^{24}

die Diskriminante und

η(z) = q^{\frac{1}{24}} ∞ ; ∏ ; m=1(1 − q^{m})

die Dedekindsche η-Funktion, so untersucht Kiepert, wann die Funktion

_{d|np}^{∏} (\frac{η(dz)}{η(z)})^{r_{d}}

eine Modulfunktion zu Γ_{0}(pn) ist. Diese Frage wurde von Newman [9] aufgegriffen und allgemein für Γ_{0}(N) beantwortet. In Newmans Fassung lautet das Resultat

Lemma [9]: Die Funktion

F (\underline{r}) := _{d|N}^{∏} (\frac{η(dz)}{η(z)})^{r_{d}} , mit r_{1} = 0,

ist eine Modulfunktion zu Γ_{0}(N), wenn \frac{1}{24} ∑_{d|N} (d − 1)r_{d} und \frac{1}{24} ∑_{d|N} (\frac{N}{d} − N)r_{d} ganz sind und ∏_{d|N} d^{r_{d}} ein Quadrat ist.

Das Lemma besagt, daß F in der angegebenen Form im wesentlichen an allen Spitzen ganzzahlige Ordnung haben muß, um eine Modulfunktion zu sein. In [3] wurde dies für die Fälle N = p und N = pq, p, q ∈ ℙ, bewiesen. Zudem gibt Kiepert noch an, wie man leicht den Grad der durch das Tupel (\underline{r}) definierten Modulfunktion berechnen kann.

Seien also x := F (\underline{r}) und y := F (\underline{s}) zwei mit Hilfe des Lemmas bestimmte Modulfunktionen auf Γ_{0}(np) zu den Tupeln (\underline{r}) und (\underline{s}), mit Graden ∂(x) = m_{1}, ∂(y) = m_{2}. Dann genügen diese einer algebraischen Relation

m_{2} ; ∑ ; i=0 m_{1} ; ∑ ; j=0 a_{ij}x^{i}y^{j} = 0.  (∗)

Aus der bekannten q-Entwicklung von η können leicht diejenigen von x und y berechnet werden. Die a_{ij} erhält man dann durch Koeffizientenvergleich in der q-Entwicklung der Summe (∗), also durch Lösen eines linearen Gleichungssystems. Dies ist für kleinere Werte von Hand möglich (etwa für np = 58, siehe [3]). Die hier vorkommenden Fälle waren entweder bereits in [2,3] gelöst worden, oder wurden mit dem Computeralgebrasystem MAPLE behandelt, wobei die Rechenzeiten jeweils im Minutenbereich lagen. Für die Handrechnung hat Kiepert sich die Arbeit noch weiter erleichtert, indem er die Wirkung der (heute so genannten) Atkin-Lehner Involutionen auf den Elementen x, y vorher bestimmte und daraus auf Symmetrien in der Gleichung (∗) schloß. Dies vermindert den Rechenaufwand nochmals beträchtlich.

Für den Fall p = 29, n = 3, findet man nach dem Lemma die folgenden beiden Modulfunktionen zu Γ_{0}(87):

x = \frac{η(3z)^{2}η(87z)^{2}}{η(z)^{2}η(29z)^{2}} , y = \frac{η(3z)^{3}η(29z)^{3}}{η(z)^{3}η(87z)^{3}} .

Diese haben die Grade ∂x = 10, ∂y = 14. Aus dem bekannten Transformationsverhalten der η-Funktion errechnet sich leicht die Operation

w_{29} : x ↦ \frac{1}{9x}, y ↦ y, w_{87} : x ↦ x, y ↦ −\frac{1}{y}

der in [1] eingeführten Atkin-Lehner Involutionen w_{29} und w_{87}. Daher liegen die Funktionen u := 9x + \frac{1}{x} und v := y − \frac{1}{y} im Fixkörper von K_{87} unter der Gruppe der Atkin-Lehner Involutionen, und haben darin die Grade ∂u = 5 und ∂v = 7. Aus den q-Entwicklungen

u = q^{−5}−2q^{−4}−q^{−3}+4q^{−2}−3q^{−1}+7q−8q^{2}−3q^{3}+14q^{4}−5q^{5}+14q^{6}+71q^{7} …,

v = q^{−7}+3q^{−6}+9q^{−5}+19q^{−4}+42q^{−3}+81q^{−2}+155q^{−1}+276+486q+821q^{2} … bestimmt man durch Koeffizientenvergleich die algebraische Relation u^{7} − (58v−1271)u^{5}+29 (v^{2}−276v−586)u^{4}+(9918v^{2}+155556v+112175)u^{3} −29 (99v^{3}+8252v^{2}+27968v+28508)u^{2}+(116v^{4}+77546v^{3}+1966722v^{2}+366502v +4688953)u−v^{5}+2668v^{4}−375439v^{3}−5338001v^{2}+4169876v−10686674 = 0 zwischen u und v.

Bekanntlich erzeugt die Funktion t := (\frac{η(nz)}{η(z)})^{\frac{24}{n−1}} für n = 2, 3, 7 den Körper K_{n} der Modulfunktionen zu Γ_{0}(n). Eine definierende Gleichung f(t, x) von N_{p}K_{n} über K_{n} erhält man also, indem man t durch x und y ausdrückt, und etwa die Funktion x daraus mittels (∗) eliminiert.

In unserem Fall ist t = (\frac{η(3z)}{η(z)})^{12} eine erzeugende Funktion von K_{3} und nach Definition von x und y gilt die Beziehung t = x^{3}y^{2}. Elimination von x, u und v aus den obigen Gleichungen führt nun zu der gesuchten definierenden Gleichung von K_{87} über K_{3} = ℚ(t).

3 Die Konstruktion des rationalen Modells

Als nächstes wird nun das rationale Modell der Galoiserweiterung bestimmt. Die zwei Verzweigungspunkte der Ordnung p von K_{pn}/K_{n} müssen in einem über ℚ definierten Modell über ℚ(\sqrt{p^{∗}}) konjugiert sein, da die zugehörigen Klassen in der Klassenstruktur erst über diesem abelschen Zahlkörper rational sind. Man sieht leicht, daß die Körpererweiterung K_{pn}/K_{n} über den Stellen t = 0 und t = ∞ jeweils von der Ordnung p verzweigt ist. Eine geeignete erzeugende Funktion muß also als s := a (t + \sqrt{p^{∗}})/(t − \sqrt{p^{∗}}) mit einem noch zu bestimmenden a ∈ ℚ(\sqrt{p^{∗}}) gewählt werden. In den Fällen n = 2, 3 gibt es noch genau einen weiteren Verzweigungspunkt von K_{pn}/K_{n}, der also bezüglich der neuen Transzendenten s rational sein muß. Dies liefert dann die noch fehlende Bedingung für die richtige Wahl von a. In unserem Fall (p, n) = (29, 3) wird dies durch die Ersetzung s := −\frac{1}{27}(t + \sqrt{p^{∗}})/(t − \sqrt{p^{∗}}) erreicht.

Bei n = 7 existieren noch genau zwei weitere Verzweigungspunkte jeweils von der Verzweigungsordnung drei. Hier benutzt man, daß das Produkt dieser beiden ebenfalls rational bezüglich der neuen Variablen s sein muß, um ein rationales Modell zu erhalten. Damit ist in allen Fällen eine Substitution von t durch s gefunden worden, die die richtigen Rationalitätseigenschaften der Verzweigungspunkte erreicht. Nach dem Satz von Shih muß es nun noch eine Substitution von y geben, so daß die definierende Gleichung f in s und der neuen Variablen z wieder rational wird. Hierzu beachtet man, daß über den Punkten ∞ und 0 von ℚ(t) die Punkte ∞ und 0 von ℚ(y) liegen. Entsprechend der Substitution für t muß also auch hier z := b (y + \sqrt{p^{∗}})/(y − \sqrt{p^{∗}}) gewählt werden. Die Konstante b ∈ ℚ(\sqrt{p^{∗}}) bestimmt man nun aus der Bedingung, daß die Gleichung g(s, z) := f(t, y) rational sein soll. Besonders leicht überprüft man dies an dem dritten (bzw. für n = 7 an dem dritten und vierten) Verzweigungspunkt der Erweiterung K_{pn}/K_{n}. Schreibt man b = b_{0} + b_{1}\sqrt{p^{∗}} mit b_{0}, b_{1} ∈ ℚ, so führt die Rationalitätsforderung auf eine quadratische Gleichung zwischen b_{0} und b_{1}, die nach dem Satz von Shih ja eine rationale Lösung besitzen muß. Mit der Wahl z := \frac{1}{3}(y + \sqrt{p^{∗}})/(y − \sqrt{p^{∗}}) erreicht man etwa bei (29, 3) die Rationalität.

Damit erhält man eine definierende Gleichung g(s, z) für die gesuchte reguläre P SL_{2}(p)-Erweiterung über ℚ(s).

Bezeichne nun w_{n} die durch

\frac{1}{\sqrt{n}} ( \begin{matrix}0 & −1 \\ n & 0 \end{matrix} ) ∈ SL_{2}(ℝ)

auf Γ_{0}(n) induzierte Atkin-Lehner Involution. Diese normalisiert auch die Untergruppe Γ_{0}(n) ∩ Γ(p). Da n als Nichtquadrat modulo p gewählt worden war, gilt dann

⟨Γ_{0}(n), w_{n}⟩/(Γ_{0}(n) ∩ Γ(p)) ≅ P GL_{2}(p).

Auf der Körperseite erhält man also, daß K_{pn}^{w_{n}} Stammkörper einer regulären P GL_{2}(p)-Erweiterung des Fixkörpers K_{n}^{w_{n}} unter w_{n} in K_{n} ist. Da die Operation von w_{n} explizit gegeben ist, kann die Wirkung auf die gefundenen erzeugenden Elemente leicht bestimmt und damit eine Gleichung für die P GL_{2}(p)- Erweiterung erhalten werden.

Nach [7] ist die Existenz dieser P GL_{2}(p)-Erweiterung zumindest in den Fällen n = 2, 3 bekannt. In diesen Fällen kann nämlich mit den Kriterien der konstruktiven Galoistheorie nachgewiesen werden, daß eine reguläre Erweiterung von ℚ(t) mit Galoisgruppe P GL_{2}(p) zur Verzweigungsstruktur (2, 2n, p) existiert. In [5] wurde kürzlich auch im Fall n = 7 ein solcher Existenznachweis in der konstruktiven Galoistheorie gefunden.

4 Kleine Modelle

Das Problem der expliziten Berechnung von Polynomen mit der Galoisgruppe P SL_{2}(p) ist durch die bisher beschriebenen Methoden gelöst. Mit bestehenden Computeralgebrasystemen, etwa MAPLE, gelangt man mindestens bis zur Grössenordnung p = 61. Allerdings haben die so gefundenen Gleichungen den Nachteil, daß der Grad in der Variablen s relativ hoch ist, daß also der Körper ℚ(z) in ℚ(s, z) einen großen Index hat. So ist der Körper K_{pn}^{w_{n}} für die Paare (13, 2), (17, 3), (19, 2), (19, 3) und (29, 3) zwar hyperelliptisch, enthält also Funktionen vom Grad zwei, aber die nach dem Lemma gefundenen Funktionen besitzen etwa bei (29, 3) mindestens den Grad zehn. Ist man also an möglichst kleinen Gleichungen mit der vorgegebenen Galoisgruppe interessiert, so muß man Modulfunktionen kleinen Grades zu ⟨Γ_{0}(pn), w_{n}⟩ finden. In allen Fällen außer (23, 7) ist dies durch verzweigungstheoretische Methoden aus den bereits erhaltenen Gleichungen möglich. Dies wird wieder am Beispiel (29, 3) demonstriert. Hier hatten wir bereits eine Gleichung für den Fixkörper M in K_{87} unter den Atkin-Lehner Involutionen berechnet. Anhand dieser Gleichung bestimmt man das Geschlecht von M zu g(M) = 0. Man überzeugt sich weiter, daß Primdivisoren ungeraden Grades existieren und somit M sogar ein rationaler Funktionenkörper ist. Der Körper ℚ(u) hat darin den Index 5, und man findet, daß in M/ℚ(u) genau fünf Punkte verzweigt sind, und zwar in u = ∞ von der Ordnung fünf und in den anderen vier Punkten jeweils vom Typ (2)(1)^{3}. Man kann nun eine erzeugende Funktion X von M festlegen, indem man ihren Pol sowie die Nullstellen von X und X − 1 vorschreibt und den bekannten Verzweigungstyp von M/ℚ(u) benutzt (vergleiche [7] für ähnliche Rechnungen). Dies führt auf ein nichtlineares Gleichungssystem, dessen einzige rationale Lösung zu der Gleichung

u + X^{5} − 3X^{4} + X^{3} + 6X^{2} − 8X − 3 = 0

für das gesuchte X mit M = ℚ(X) führt. Der Fixkörper von K_{87} unter w_{n}, also der Stammkörper der P GL_{2}(29)-Erweiterung, hat über M den Grad zwei, also genügen t und X einer Polynomidentität, die in X den Grad zwei hat. Diese erhält man, indem man in dem bisher bestimmten Polynom die Variable z durch das neue X ausdrückt. Damit ist das gesuchte kleine Modell gefunden.

Geht man im Fall (p, n) = (23, 7) wie eben vor, so findet man zuerst, daß der wie oben definierte Körper M das Geschlecht zwei hat; der Stammkörper K_{87} der P SL_{2}(23) hat sogar das Geschlecht g(K_{87}) = 15. Der verzweigungstheoretische Ansatz ist hier nicht so einfach, da nicht klar ist, wie geeignete erzeugende Funktionen kleinen Grades eines Körpers vom Geschlecht zwei angesetzt werden können. Andererseits weiß man aber, daß M Funktionen vom Grad zwei enthält, die demnach im Stammkörper der P GL_{2}(23)-Erweiterung den Grad vier haben.

Um solche zu bestimmen, müssen zusätzlich zu den nach dem Lemma gefundenen Funktionen noch mit dem Algorithmus von Pizer [10] Modulformen vom Gewicht zwei zu Γ_{0}(pn) berechnet werden. Anhand der in [10] gegebenen Beschreibung läßt sich ein MAPLE-Programm zur Berechnung der (ersten paar Terme der) q-Entwicklung der gesuchten Modulformen schreiben. Der Quotient zweier solcher linear unabhängiger ist dann eine Modulfunktion vom Grad 2. Die Beziehung der so gefundenen Funktion zu dem ursprünglichen y läßt sich nun wieder durch einen Ansatz (∗), Vergleich der (Anfangsstücke der) q-Entwicklungen und Lösen eines linearen Gleichungssystems finden. Der Pizer’sche Algorithmus ist sehr viel aufwendiger als die bisher durchgeführten Schritte, die in kleinen Fällen sogar von Hand gemacht werden könnten. Man beachte aber, daß dieser Algorithmus nur zur Bestimmung eines möglichst kleinen Modells gebraucht wird, daß also Polynome mit der vorgegebenen Galoisgruppe bereits ohne diesen letzten Schritt erhalten wurden.

5 Einordnung der (2, 4, 5)-Verschiebungskörper

In [5] wurden die Ergebnisse von Shih in einem rein verzweigungstheoretischen Zusammenhang neu bewiesen. Dort wurde auch gezeigt, daß für Primzahlen p ≡ ±1 (mod 8) mit (\frac{5}{p}) = −1 reguläre Galoiserweiterungen von ℚ(t) mit Gruppe P SL_{2}(p) existieren. Dies gelang, indem eine nichtrationale (2, 4, p)-Erweiterung durch den Stammkörper vom Grad 6 einer P GL_{2}(5)- Erweiterung zur Verzweigungsstruktur (2, 4, 5) verschoben wurde, um so eine über ℚ definierte Galoiserweiterung zu erhalten. Im Gegensatz zur Situation im Shih’schen Satz ist die ursprüngliche Galoisgruppe also keine kanonische Faktorgruppe der SL_{2}(ℤ), so daß die bisherige Konstruktion nicht unmittelbar angewendet werden kann. Aber es zeigt sich, daß trotzdem eine Interpretation und somit explizite Berechnung im Rahmen von Modulfunktionen möglich ist.

Dazu führen wir die Hecke-Gruppe

H := G(\sqrt{2}) := ⟨Γ_{0}(2), \frac{1}{\sqrt{n}} ( \begin{matrix}0 & −1 \\ n & 0 \end{matrix} )⟩

ein, also Γ_{0}(2) erweitert durch die Atkin-Lehner Involution w_{2}. Es ist bekannt, daß G(\sqrt{2}) eine abstrakte Präsentation als (2, 4, ∞)-Dreiecksgruppe besitzt. Für jede Primzahl p ≡ ±1 (mod 8), die also in ℚ(\sqrt{2}) zerlegt ist, können nun Kongruenzuntergruppen von H durch

H(p) := \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ H | b ≡ c ≡ 0 (mod p)\}

und

H_{0}(p) := \{( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ H | b ≡ 0 (mod p)\}

definiert werden. Die Kongruenzen modulo p machen dabei Sinn, da wegen p ≡ ±1 (mod 8) eine Wurzel aus 2 schon in 𝔽_{p} liegt. Weiter können für die Gruppe H und ihre Untergruppen wie im klassischen Fall Körper von Modulfunktionen definiert werden. Die Faktorgruppe H/H(p) ist isomorph zu P SL_{2}(p), und damit hat die zugehörige Erweiterung der Körper von Modulfunktionen über ℚ̄ die Galoisgruppe P SL_{2}(p). Das Theorem 4 in [5] kann nun als Verallgemeinerung des Shih’schen Resultats auf diese Körper interpretiert werden. Es sagt nämlich in dieser Sprechweise aus, daß die mit H_{0}(5) verschobene Körpererweiterung für Primzahlen p ≡ 2, 3 (mod 5), also mit (\frac{5}{p}) = −1 ein über ℚ definiertes Galois’sches Modell hat.

Diese Sichtweise liefert auch den Schlüssel zu einer expliziten Berechnung erzeugender Polynome der in [5] nachgewiesenen Galoiserweiterungen. Die mit H_{0}(5) verschobene Erweiterung kann auch erhalten werden, indem man die zu Γ_{0}(2)/(Γ(p) ∩ Γ_{0}(2)) gehörende Erweiterung zuerst mit Γ_{0}(5) verschiebt (also zur Gruppe Γ_{0}(10)/(Γ(p) ∩ Γ_{0}(10)) übergeht), und dann den Fixkörper unter der entsprechenden Atkin-Lehner Involution berechnet. Der erste Schritt verläuft genau analog zu dem Vorgehen in den vorigen Abschnitten. Die Bestimmung des Fixkörpers unter Atkin-Lehner Involutionen wurde oben ebenfalls schon besprochen. So können auch für Primzahlen p ≡ 2, 3 (mod 5) mit p ≡ ±1 (mod 8) die in [5] gefundenen Galoiserweiterungen durch Rechnungen mit Modulfunktionen explizit konstruiert werden. Im Satz sind die Ergebnisse für p = 7, 17, 23 angegeben.

Zum Abschluß sei noch bemerkt, daß keiner der berechneten P SL_{2}(p)- Körper sich in einen SL_{2}(p)-Körper einbetten läßt. In der Arbeit [11] zeigte Serre, wie die Obstruktion zu einem solchen Einbettungsproblem bei Kenntnis eines die Körpererweiterung erzeugenden Polynoms explizit über die Hasse-Witt Invariante berechenbar ist. Dieses Resultat ist also auf die im Satz gegebenen Polynome anwendbar. Es zeigt sich, daß jeweils bereits die Obstruktion an ∞ nichttrivial ist, die Polynome also keine total reellen Spezialisierungen besitzen. Insbesondere hat auch die zur viergliedrigen Verzweigungsstruktur (3, 3, p, p) gehörige P SL_{2}(23)-Erweiterung keine Lösung des Einbettungsproblems in einen SL_{2}(23)-Körper. (Man überlegt sich leicht, daß eine solche Einbettung für Gruppen P SL_{2}(p) die Existenz von mindestens vier Verzweigungspunkten voraussetzt.)

Die kleinste Primzahl, für die P SL_{2}(p) bisher nicht als Galoisgruppe über ℚ realisiert werden konnte, ist p = 239 [5]. Somit ist dies auch die kleinste Primzahl, zu der mit der hier vorgestellten Methode kein Polynom bestimmt werden kann.

LITERATUR

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[11] J.-P. Serre, L’invariant de Witt de la forme T r(x^{2}), Comment. Math. Helvetici 59 (1984), 651–676.

[12] K.-y. Shih, On the construction of Galois extensions of function fields and number fields, Math. Ann. 207 (1974), 99–120.

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[14] H. Weber, Lehrbuch der Algebra III, Viehweg, Braunschweig 1908.