THÉORÈMES DE SYLOW GÉNÉRIQUES POUR LES

GROUPES RÉDUCTIFS SUR LES CORPS FINIS

Michel Broué et Gunter Malle

Ecole Normale Supérieure et Université de Heidelberg

Avril 1991

à Jacques Tits

1991 Mathematics Subject Classification. 20, 20G. Nous remercions le M.S.R.I. de Berkeley pour son hospitalité pendant l’élaboration d’une partie

de ce travail. Le second auteur remercie l’Ecole Normale Supérieure pour son hospitalité pendant la rédaction de cet article, et remercie la Deutsche Forschungsgemeinschaft pour son soutien financier.

Nous sommes redevables à Jean Michel de son aide, ses suggestions, et d’améliorations apportées à la rédaction de ce travail

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Soit G un groupe linéaire algébrique connexe réductif défini sur une clôture algébrique du corps fini 𝔽_{q}, muni d’une isogénie F : G → G définissant une structure rationnelle sur 𝔽_{q}. Pour un type donné, l’ordre du groupe fini G^{F} est un polynôme en q, dont la décomposition en facteurs irréductibles dans ℤ[q] ne contient que des puissances de q et de polynômes cyclotomiques Φ_{d}(q).

Les spécialistes de la théorie des groupes finis savent bien que, pour l’étude des groupes finis G^{F}, il faut souvent considérer Φ_{d}(q) “comme un nombre premier”. Ce point de vue a été récemment conforté par les phénomènes constatés en étudiant les représentations modulaires des groupes G^{F}. Soit en effet ℓ un nombre premier ne divisant pas q, divisant l’ordre du groupe fini G^{F}, et “assez grand”. On sait maintenant que, par bien des aspects, l’étude des représentations de G^{F} sur un anneau ℓ–adique ne dépend que du facteur cyclotomique de G^{F} divisé par ℓ, et non de ℓ lui–même. Certains auteurs, comme Boyce (cf. [Boy]), ont introduit la notion de Φ_{d}(q)–défaut (numérique) d’un caractère.

L’objet du présent article est de donner des fondations rigoureuses à ces intuitions. Nous y établissons en effet l’existence d’une théorie des Φ_{d}(q)–sous–groupes de G, analogue à celle des p–sous–groupes des groupes finis (cf. théorème 3.4). On constatera en particulier que les Φ_{d}(q)–sous–groupes sont tous “abéliens élémentaires”. La plupart de ces résultats restent valables pour les groupes “tordus” (groupes de Ree, Tits, Suzuki), en remplaçant les polynômes cyclotomiques par des polynômes convenables (produits de polynômes cyclotomiques sur ℤ[\sqrt{2}] ou ℤ[\sqrt{3}]).

Le langage des données radicielles (cf. [De], ou encore [Ti]) nous a paru particulièrement bien adapté. Dans ce cadre, les “théorèmes de Sylow” se réduisent à des résultats d’algèbre linéaire sur la représentation naturelle d’un groupe de Weyl, dont la base est un article de Springer ([Sp2]). Certains résultats présentés ici (en particulier dans les parties 1. et 2.) ne sont que des reformulations de résultats classiques. Il nous a paru utile de les inclure dans ce texte, pour sa compréhension et sa cohérence.

Dans un deuxième article, nous appliquerons les notions introduites ici à la théorie des représentations du groupe G^{F}.

Sommaire

1. Données radicielles complètes • Notation et définition

• Les sous–données toriques et les sous–données de Levi

• Polynômes et séries de Poincaré associés aux données radicielles

complètes et aux sous–données de Levi 2. Les groupes réductifs finis associés

3. Les Φ_{d}(x)–groupes et les théorèmes de Sylow • Ordres et exposants des tores

• Les Φ_{d}(x)–groupes

• Les théorèmes de Sylow

• Les cas d = 1

• Compléments

• Le cas des groupes tordus Appendice 1 : exemples de normalisateurs de Φ_{d}(x)–sous–groupes

de Sylow Appendice 2 : quelques remarques sur les polynômes cyclotomiques

1. Données radicielles complètes

A. Notation et définition.

Soit Γ = (X, R, Y, R^{∨}) une donnée radicielle de rang r (selon la définition de [De]). On rappelle ce que cela signifie: (dr.1) X et Y sont des ℤ–modules libres de rang r, munis d’une dualité X × Y → ℤ

notée (x, y) ↦<x, y >. (dr.2) R et R^{∨} sont des sous–ensembles finis de, respectivement, X et Y, munis

d’une bijection R → R^{∨}, notée α ↦ α^{∨}. (dr.3) Soit α ∈ R. On a <α, α^{∨} >= 2. Soit s_{α} l’automorphisme d’ordre 2 de X

défini par s_{α}(x) = x− < x, α^{∨} > α, et soit s_{α}^{∨} l’automorphisme de Y déduit par transposition (on a alors s_{α}^{∨}(y) = y− < α, y > α^{∨}). Alors s_{α}(R) = R et

s_{α}^{∨}(R^{∨}) = R^{∨}.

On désigne par W_{Γ} (ou plus simplement par W) le groupe engendré par les s_{α}^{∨}, sous–groupe du groupe des automorphismes de Y (opérant à gauche sur Y). Par dualité, le groupe W opère à droite sur X et W peut ainsi être aussi défini comme un groupe d’automorphismes (à droite) de X. Soit Q(R) le sous–ℤ–module de X engendré par R; le groupe W opère fidèlement sur Q(R) (cf. [De], 1.2.7), et W s’identifie au groupe de Weyl défini par le système de racines R dans ℚ ⊗_{ℤ} Q(R).

Complément.

On note X_{Z} l’orthogonal de Q(R^{∨}) dans X. On a X_{Z} ∩ Q(R) = {0}. On note P (R) le dual de Q(R^{∨}) dans ℚ ⊗_{ℤ} X, i.e., P (R) est l’ensemble des éléments χ ∈ X tels que, pour tout α^{∨} ∈ R^{∨}, on ait < χ, α^{∨} >∈ ℤ. On dit que Γ est “à dérivé adjoint” si X = X_{Z} ⊕ Q(R), et on dit que Γ est “à dérivé simplement connexe” si P (R) ⊂ X + (ℚ ⊗_{ℤ} X_{Z}).

On fait les hypothèses suivantes.

(drc.g) – cas général – On note ϕ^{∗} un automorphisme d’ordre fini de X et l’on note ϕ_{∗} son transposé, automorphisme de même ordre de Y. On suppose qu’il existe une permutation σ de R telle que, pour tout α ∈ R, on ait ϕ^{∗}(σ(α)) = α et ϕ_{∗}(α^{∨}) = (σ(α))^{∨}, ou bien

(drc.t2, drc.t3) – cas tordus – Soit p un nombre premier égal à 2 ou 3. On suppose que R est une union disjointe de systèmes de racines de type A_{1} × A_{1}, qualifiés de “distingués”, dans chacun desquels sont choisies une racine dite “courte” et une racine dite “longue”, et de systèmes irréductibles du type

• B_{2} ou F_{4} si p = 2,

• G_{2} si p = 3.

On note ϕ^{∗} un automorphisme d’ordre fini de ℤ[\sqrt{p}^{−1}] ⊗_{ℤ} X, ϕ_{∗} son transposé, automorphisme de même ordre de ℤ[\sqrt{p}^{−1}] ⊗_{ℤ} Y, possédant les propriétés suivantes.

• Les automorphismes ϕ^{∗}^{2} et \sqrt{p}ϕ^{∗} stabilisent tous deux X dans ℤ[\sqrt{p}^{−1}]⊗_{ℤ} X.

• Il existe une permutation σ de R qui permute entre eux les systèmes distingués A_{1} × A_{1}, et qui est telle que

ϕ^{∗}(σ(α)) = \sqrt{p}α,  ϕ_{∗}(α^{∨}) = (\sqrt{p})^{−1}(σ(α))^{∨} pour α courte,
ϕ^{∗}(σ(α)) = (\sqrt{p})^{−1}α, ϕ_{∗}(α^{∨}) = \sqrt{p}(σ(α))^{∨}  pour α longue.

Tout élément de W satisfait à (drc.g) ([De], 1.2.9). De plus, si ϕ^{∗} satisfait à (drc.g) (resp. (drc.tp)), ϕ^{∗} normalise le groupe W, et tout élément de la classe ϕ^{∗}W satisfait aussi à (drc.g) (resp. (drc.tp)).

Commentaire. Dans ce qui suit, on écrira toujours ϕ^{∗}w et wϕ_{∗} (dans cet ordre), en considérant que ϕ^{∗}w opère à droite sur X, tandis que wϕ_{∗} opère à gauche sur Y, de sorte que ϕ^{∗}w et wϕ_{∗} sont adjoints. Par abus de notation, il nous arrivera cependant (comme ci–dessus) d’écrire à gauche l’opération de ϕ^{∗}, ou plus généralement de ϕ^{∗}w, sur X.

Exemples.

(Cas général): Prendre pour σ l’identité, ou une permutation de R définie par un automorphisme du diagramme de Dynkin.

(Cas 2-tordu): Supposons R de type B_{2} et X engendré par R. Soit {α_{1}, α_{2}} une base de R, où α_{1} est courte et α_{2} est longue. Les autres racines positives sont alors α_{1} + α_{2} et 2α_{1} + α_{2}. Soit σ l’involution qui échange respectivement α_{1} et α_{2}, α_{1} + α_{2} et 2α_{1} + α_{2}, définie par symétrie sur les racines négatives. L’application ϕ^{∗} définie par ϕ^{∗}(α_{1}) = \sqrt{2}^{−1}α_{2} et ϕ^{∗}(α_{2}) = \sqrt{2}α_{1} satisfait aux conditions (t2) ci–dessus.

(Cas 3-tordu): Supposons R de type G_{2} et X engendré par R. Soit {α_{1}, α_{2}} une base de R, où α_{1} est courte et α_{2} est longue. Les autres racines positives sont alors α_{1} +α_{2}, 2α_{1} +α_{2}, 3α_{1} +α_{2}, 3α_{1} +2α_{2}. Soit σ l’involution qui échange respectivement α_{1} et α_{2}, α_{1} + α_{2} et 3α_{1} + α_{2}, 2α_{1} + α_{2} et 3α_{1} + 2α_{2}, définie par symétrie sur les racines négatives. L’application ϕ^{∗} définie par ϕ^{∗}(α_{1}) = \sqrt{3}^{−1}α_{2} et ϕ^{∗}(α_{2}) = \sqrt{3}α_{1} satisfait aux conditions (t3) ci–dessus.

On note alors 𝔾 = (Γ, ϕ^{∗}W). Une telle paire est appelée “donnée radicielle complète”.

Morphismes de données radicielles complètes.

Commentaire.

La définition qui suit n’est donnée que dans un but de cohérence de l’exposition. Elle ne servira pas dans la suite: nous n’utiliserons que des sous–données toriques, et des sous-données de Levi (correspondant respectivement aux sous–tores et à leurs centralisateurs dans les groupes algébriques associés).

Soient 𝔾 = (Γ, ϕ^{∗}W) et 𝔾′ = (Γ′, ϕ′^{∗}W′) deux données radicielles complètes. Un morphisme de données radicielles complètes f: 𝔾′ → 𝔾 est la donnée d’un élément de W′\ Hom_{ℤ}(X, X′)/W, désigné dans ce qui suit par un représentant f^{∗} dans Hom_{ℤ}(X, X′), d’adjoint noté f_{∗} ∈ Hom_{ℤ}(Y′, Y), tels que les conditions suivantes soient satisfaites

(mr.1) L’image de f_{∗} est un sous–module pur de Y. (mr.2) f_{∗} est injectif sur R′^{∨}, et f_{∗}(R′^{∨}) est un sous-système de racines de R^{∨}; si

α^{∨} = f_{∗}(α′^{∨}) on a f^{∗}(α) = α′. (mr.3) il existe w ∈ W et w′ ∈ W′ tels que ϕ^{∗}′w′f^{∗}w = f^{∗}ϕ^{∗}.

B. Les sous–données toriques et les sous–données de Levi.

Définition 1.1.

(1) Une donnée radicielle complète est dite torique si R = ∅.

(2) Soit 𝔾 = (Γ, ϕ^{∗}W) une donnée radicielle complète. Une sous–donnée torique de 𝔾 consiste en un triplet (X′, Y′, (ϕ^{∗}w)_{|_{X′}}), où ϕ^{∗}w est un élément de ϕ^{∗}W, X′ est un quotient de X par un sous–module pur stable par ϕ^{∗}w, Y′ est le dual de X′ dans Y, et (ϕ^{∗}w)_{|_{X′}} désigne l’automorphisme de X′ induit par ϕ^{∗}w.

On appelle “sous–système parabolique” de R tout sous–ensemble R_{1} de R tel que R_{1} = R ∩ X_{1} où X_{1} est un sous–module pur de X (cf. [De], §3.4). Dans ce cas, on note R_{1}^{∨} l’image de R_{1} par la bijection ^{∨}. L’ensemble R_{1}^{∨} est alors aussi l’intersection de R^{∨} avec un sous–module pur Y_{1} de Y. Soit W_{1} le sous–groupe de W engendré par les s_{α} pour α ∈ R_{1}. Pour w ∈ W, les conditions suivantes sont équivalentes ([De], 3.4.10):

(i) w ∈ W_{1}, (ii) w opère trivialement sur l’orthogonal de Y_{1} dans X, (iii) pour tout α ∈ R, α.w − α ∈ ℚ ⊗_{ℤ} X_{1}.

Définition 1.2. Soit 𝔾 = ((X, R, Y, R^{∨}), ϕ^{∗}W) une donnée radicielle complète. Une sous–donnée de Levi 𝕃 de 𝔾 est une donnée radicielle complète (Λ, ϕ^{∗}wW_{Λ}) telle que

• ϕ^{∗}w est un élément de ϕ^{∗}W,

• Λ est une donnée radicielle de la forme (X, R′, Y, R′^{∨}), où R′ (resp. R′^{∨}) est un sous–système parabolique de R (resp. R^{∨}) stable par ϕ^{∗}w (resp. wϕ_{∗}), et W_{Λ} est le groupe de Weyl de Λ.

La démonstration de la proposition suivante est facile et laissée au lecteur (elle utilise les propriétés des sous–systèmes paraboliques et de leurs groupes de Weyl rappelées ci–dessus).

Proposition 1.3. Soit 𝔾 = ((X, R, Y, R^{∨}), ϕ^{∗}W) une donnée radicielle complète.

(1) Soit 𝕊 = (X′, Y′, (ϕ^{∗}w)_{|_{X′}}) une sous–donnée torique de 𝔾. Alors 𝕊 définit une sous–donnée de Levi de 𝔾, appelée “centralisateur de 𝕊 dans 𝔾” et notée C_{𝔾}(𝕊), de la manière suivante: C_{𝔾}(𝕊) = (Λ, ϕ^{∗}wW_{Λ}) avec Λ = (X, R′, Y, R′^{∨}) où R′ est l’ensemble des α ∈ R orthogonales à Y′.

(2) Soit 𝕃 = (Λ, ϕ^{∗}wW_{Λ}) une sous–donnée de Levi de 𝔾, où Λ = (X, R′, Y, R′^{∨}). Alors 𝕃 définit une sous–donnée torique de 𝔾, appelée le “centre de 𝕃” et notée Z(𝕃), de la manière suivante: Z(𝕃) = (X′, Y′, (ϕ^{∗}w)_{|_{X′}}) où Y′ est l’orthogonal de R′ dans Y.

(3) On a C_{𝔾}(Z(𝕃)) = 𝕃.

Remarque. Les sous–données toriques maximales sont les sous–données de Levi minimales.

Soit 𝔾 = (Γ, ϕ^{∗}W) une donnée radicielle complète et soit 𝕃 = (Λ, ϕ^{∗}wW_{Λ}) une sous–donnée de Levi de 𝔾. Le sous–groupe des éléments de W qui stabilisent Λ coïncide avec le normalisateur du sous–groupe parabolique W_{Λ}, et on pose W_{𝔾}(𝕃) := N_{W} (W_{Λ}, ϕ^{∗}wW_{Λ})/W_{Λ}.

Ainsi le groupe W_{𝔾}(𝕃) est le groupe des automorphismes de 𝕃 induit par les éléments de W.

Par exemple, si 𝕋 = (X, Y, ϕ^{∗}w) est une sous–donnée torique maximale de 𝔾, on voit que W_{𝔾}(𝕋) = C_{W} (ϕ^{∗}w).

Lemme 1.4. Soit 𝕊 = (X′, Y′, (ϕ^{∗}w_{0})_{|_{X′}}) une sous–donnée torique de 𝔾, et soit 𝕃 = C_{𝔾}(𝕊). On pose 𝕃 = (Λ, ϕ^{∗}w_{0}W_{Λ}). Soit N_{W} (𝕊) l’ensemble des w ∈ W tels que w.Y′ = Y′ et (ww_{0}ϕ_{∗}w^{−1})_{|_{Y ′}} = (w_{0}ϕ_{∗})_{|_{Y ′}}. Alors N_{W} (𝕊)/W_{Λ} ⊂ W_{𝔾}(𝕃). Si de plus 𝕊 = Z(𝕃) alors N_{W} (𝕊)/W_{Λ} = W_{𝔾}(𝕃).

Démonstration. Posons Λ = (X, R′, Y, R′^{∨}). Si l’élément w ∈ W stabilise Y′, il stabilise l’orthogonal de Y′ dans X, donc stabilise R′, et par conséquent normalise W_{Λ}. Si de plus w centralise la restriction de w_{0}ϕ_{∗} à Y′, on voit que ww_{0}ϕ_{∗}w^{−1}ϕ_{∗}^{−1}w_{0}^{−1} induit l’identité sur Y′, donc appartient à W_{Λ}, ce qui prouve que w ∈ N_{W} (W_{Λ}, ϕ^{∗}w_{0}W_{Λ}).

Supposons maintenant que 𝕊 = Z(𝕃), et soit w ∈ N_{W} (W_{Λ}, ϕ^{∗}w_{0}W_{Λ}). Comme w stabilise R, il stabilise l’orthogonal Y′ de R dans Y. Puisque ww_{0}ϕ_{∗}w^{−1}ϕ_{∗}^{−1}w_{0}^{−1} ∈ W_{Λ}, il en résulte que ww_{0}ϕ_{∗}w^{−1}ϕ_{∗}^{−1}w_{0}^{−1} opère trivialement sur Y′, et donc w ∈ N_{W} (𝕊). □

C. Polynômes et séries de Poincaré associés aux données radicielles complètes et aux sous–données de Levi.

Généralités.

Nous aurons besoin des quelques considérations élémentaires qui suivent.

Soit G un groupe fini, soit K un corps, et soit M = ⊕_{n≥0}M^{n} un KG–module gradué. On appelle caractère gradué de M la série formelle χ_{M}(x) (à coefficients dans l’anneau des fonctions centrales sur G à valeurs dans K et en l’indéterminée x) définie par la formule

χ_{M}(x): g ↦ ∑_{n≥0} tr(g; M^{n})x^{n} ,

ou encore χ_{M}(x) = ∑_{n≥0} χ_{M^{n}}x^{n} .

Soit H un sous–groupe distingué de G. Pour tout KG–module E, la conjugaison par les éléments de G définit sur Hom_{KH}(E, M) une structure naturelle de K(G/H)– module gradué.

Lemme 1.5. Le caractère gradué de ce K(G/H)–module gradué se calcule par la formule suivante

tr(g; Hom_{KH}(E, M)) = \frac{1}{|H|} ∑_{h∈H} tr((gh)^{−1}; E) tr(gh; M) .

Démonstration. On se ramène à vérifier que, si E est un KG–module, pour tout g ∈ G on a

tr(g; E^{H}) = \frac{1}{|H|} ∑_{h∈H} tr(gh; E) ,

ce qui est immédiat. □

Polynômes et séries associés à une donnée radicielle complète.

Soit 𝔾 = ((X, R, Y, R^{∨}), ϕ^{∗}W) une donnée radicielle complète. On sait que le cardinal de R est un nombre pair; on le désigne par 2N.

Soit V = ℚ̄ ⊗_{ℤ} Y. On note SV = ⊕_{n≥0}S^{n}V l’algèbre symétrique de V, considérée comme ℚ̄W<ϕ_{∗}>–module gradué.

Ainsi l’algèbre des points fixes par W, notée (SV)^{W}, a une structure naturelle de ℚ̄<ϕ_{∗} >–module gradué. D’après le lemme 1.5 ci–dessus, son caractère gradué est donné par la formule

tr(ϕ_{∗}; (SV)^{W}) = \frac{1}{|W |} ∑_{w∈W} tr(wϕ_{∗}; SV)

soit encore

tr(ϕ_{∗}; (SV)^{W}) = \frac{1}{|W |} ∑_{w∈W} \frac{1}{det_{V} (1 − xwϕ_{∗})} .

Plus généralement, d’après les remarques ci–dessus, pour tout ℚ̄W<ϕ_{∗}>–module E, on définit un ℚ̄<ϕ_{∗}>–module gradué S_{E}V := Hom_{ℚ̄W} (E, SV). On note P_{𝔾,E}(x) la valeur en ϕ_{∗} de son caractère gradué. D’après le lemme 1.5, on a

P_{𝔾,E}(x) = \frac{1}{|W |} ∑_{w∈W} tr((wϕ_{∗})^{−1}; E) tr(wϕ_{∗}; SV) ,

soit encore

P_{𝔾,E}(x) = \frac{1}{|W |} ∑_{w∈W} \frac{χ_{E}((wϕ_{∗})^{−1})}{det_{V} (1 − xwϕ_{∗})} .

On note P_{𝔾}(x) := P_{𝔾,1}(x).

On note I_{W} SV l’idéal de SV engendré par les éléments de (SV)^{W} sans terme constant. Alors, par un théorème de Chevalley (cf. [Ch2]), ou [Bou], 5.2, th. 2), l’algèbre quotient RV := SV/I_{W} SV est de dimension finie, et on a RV = ⊕_{n=0}^{n=N}R^{n}V. On voit RV comme un ℚ̄W<ϕ_{∗}>–module gradué. On rappelle (cf. [Bou], 5.2) que, vu comme ℚ̄W –module, RV est isomorphe au module régulier ℚ̄W.

Il résulte, par exemple, de [Bou], 5.2 que RV ⊗ℚ̄ (SV)^{W} est isomorphe à SV en tant que ℚ̄W <ϕ_{∗} >–module gradué. Pour tout ℚ̄W <ϕ_{∗} >–module E, on note R_{E}V := Hom_{ℚ̄W} (E, RV), et pour tout entier n, R_{E}^{n}V := Hom_{ℚ̄W} (E, R^{n}V). On a l’isomorphisme suivant de ℚ̄<ϕ_{∗}>–modules gradués:

S_{E}V ≃ R_{E}V ⊗ℚ̄ (SV)^{W} .

Pour tout ℚ̄W < ϕ_{∗} >–module E on note R_{𝔾,E}(x) la valeur en ϕ_{∗} du caractère gradué de R_{E}V. On a donc

R_{𝔾,E}(x) := ∑_{n=0}^{n=N} tr(ϕ_{∗}; R_{E}^{n}V)x^{n} .

La proposition suivante résulte des isomorphismes précédents. Dans le cas où ϕ_{∗} = Id, on retrouve la proposition 2.6 de [Sp2].

Proposition 1.6. Pour tout ℚ̄W<ϕ_{∗}>–module E, on a

\frac{1}{|W |} ∑_{w∈W} \frac{χ_{E}((wϕ_{∗})^{−1})}{det_{V} (1 − xwϕ_{∗})} = ( ∑_{n=0}^{n=N} tr(ϕ_{∗}; R_{E}^{n}V)x^{n})\frac{1}{|W |} ∑_{w∈W} \frac{1}{det_{V} (1 − xwϕ_{∗})} ,

soit encore P_{𝔾,E}(x) = R_{𝔾,E}(x)P_{𝔾}(x) .

Remarque. Si E est rationnel sur ℚ (resp. sur ℚ(\sqrt{p}) dans les cas tordus tp), on voit qu’il en est de même de R_{E}V, et par conséquent on a alors R_{𝔾,E}(x) ∈ ℤ[x] (resp. ℤ[\sqrt{p}][x] dans les cas tp).

Polynômes et séries associés à une sous–donnée de Levi.

Soit 𝕃 = (Λ, ϕ^{∗}wW_{Λ}) une sous–donnée de Levi de 𝔾. Soit E = Ind_{W_{Λ}<wϕ_{∗}>}^{W<wϕ_{∗}>} 1. Puisque P_{𝔾,E}(x) = tr(wϕ_{∗}; Hom_{ℚ̄W} (E, SV)), on voit que

P_{𝔾,E}(x) = tr(wϕ_{∗}; Hom_{ℚ̄W_{Λ}}(1, SV)) ,

i.e., que P_{𝔾,E}(x) = P_{𝕃}(x).

D’autre part, on a

R_{𝔾,E}(x) = ∑_{n=0}^{n=N} tr(wϕ_{∗}; (R^{n}V)^{W_{Λ}}) x^{n} .

On note I_{𝔾,𝕃}(x) := R_{𝔾,E}(x), et on appelle ce polynôme l’indice polynomial de 𝕃 dans 𝔾. On a I_{𝔾,𝕃}(x) ∈ ℤ[x] (resp. ℤ[\sqrt{p}][x] dans les cas tp).

De la proposition 1.6, on déduit alors

Proposition 1.7. Pour toute sous–donnée de Levi 𝕃 de 𝔾, on a

P_{𝕃}(x) = I_{𝔾,𝕃}(x)P_{𝔾}(x) .

Calcul de P_{𝔾}(x), ordre polynomial.

On note 𝔄_{𝔾} l’idéal de (SV)^{W} formé des éléments sans terme de degré 0. On sait (cf. par exemple [St]) que 𝔄_{𝔾}/𝔄_{𝔾}^{2} est un espace vectoriel de dimension r. Il est clair que cet espace est muni d’une action naturelle de <ϕ_{∗}> (en fait, comme ci–dessus, d’une action de <ϕ_{∗}> modulo W).

Soit {S_{1}, …, S_{r}} une famille d’éléments homogènes de 𝔄_{𝔾}, de degrés respectifs d_{1}, …, d_{r}, dont l’image dans 𝔄_{𝔾}/𝔄_{𝔾}^{2} est une base de cet espace sur laquelle ϕ_{∗} est diagonal, de valeurs propres respectives ε_{1}, …, ε_{r}. Alors la famille {(d_{1}, ε_{1}), …, (d_{r}, ε_{r})} ne dépend que de 𝔾 (cf. [Sp2], 6.1).

Comme les espaces considérés ci–dessus sont tous définis sur ℝ, le déterminant de ϕ_{∗} dans son action sur 𝔄_{𝔾}/𝔄_{𝔾}^{2} (i.e., ε_{1} … ε_{r}) vaut ±1. On pose ε_{𝔾} := (−1)^{r}ε_{1} … ε_{r}.

Remarque. On peut démontrer (cf. [St], 2.9) que si ϕ_{∗} est tel que W ∩<ϕ_{∗}>= {1}, alors {ε_{1}, …, ε_{r}} est le spectre de ϕ_{∗} dans son action sur V. En particulier, on voit que ε_{𝔾} := (−1)^{r} det_{V} ϕ_{∗}.

Soit alors 𝕋 = (X, Y, ϕ^{∗}w) une sous–donnée torique maximale de 𝔾. On a ε_{𝔾}ε_{𝕋} = det_{V} w.

La démonstration du résultat suivant est facile et laissée au lecteur (et, par ailleurs, bien connue).

Proposition 1.8. On a P_{𝔾}(x) = ∏_{j=1}^{j=r} \frac{1}{1 − ε_{j}x^{d_{j}}} = ε_{𝔾} ∏_{j=1}^{j=r} \frac{1}{x^{d_{j}} − ε_{j}^{−1}} .

Définition 1.9. On appelle ordre polynomial de 𝔾 et on note O_{𝔾}(x) le polynôme ε_{𝔾} x^{N}/P_{𝔾}(x).

Remarque. Introduisons les notations suivantes • P_{𝔾}^{S}(x) := tr(ϕ_{∗}; SV) = ∑_{n=0}^{∞} tr(ϕ_{∗}; S^{n}V) x^{n},

• P_{𝔾}^{Λ}(x) := ∑_{n=0}^{n=r}(−1)^{n} tr(ϕ_{∗}; Λ^{n}V) x^{n},
• R_{𝔾,reg}(x) := tr(ϕ_{∗}; RV) = ∑_{n=0}^{n=N} tr(ϕ_{∗}; R^{n}V) x^{n}.

On sait que P_{𝔾}^{S}(x) P_{𝔾}^{Λ}(x) = 1. D’après l’isomorphisme SV ≃ RV ⊗ℚ̄ (SV)^{W} rappelé ci–dessus, on voit donc que

O_{𝔾}(x) = ε_{𝔾} x^{N}P_{𝔾}^{Λ}(x)R_{𝔾,reg}(x) .

Supposons les hypothèses (drc.g) (cas général) satisfaites. La décomposition de l’ordre polynomial en polynômes irréductibles de ℤ[x] résulte de la proposition 1.8 ci–dessus et de l’appendice 2. Pour tout entier positif d, on note Φ_{d}(x) le d–ième polynôme cyclotomique.

Proposition 1.10. Dans le cas général (drc.g), on a O_{𝔾}(x) = x^{N} ∏_{d} Φ_{d}(x)^{a(d)} , où a(d) est le nombre d’entiers j (1 ≤ j ≤ r) tels que ε_{j} = exp(2πid_{j}/d).

Le résultat suivant est, pour l’essentiel, une reformulation de la proposition 1.7 ci–dessus.

Proposition 1.11. Soit 𝔾 une donnée radicielle complète.

(1) Pour toute sous–donnée de Levi 𝕃 de 𝔾, le polynôme O_{𝕃}(x) divise le polynôme O_{𝔾}(x) dans ℤ[x] (resp. ℤ[\sqrt{p}][x] dans les cas tp).

(2) Pour toute sous–donnée torique 𝕊 de 𝔾, le polynôme O_{𝕊}(x) divise le polynôme O_{𝔾}(x) dans ℤ[x] (resp. ℤ[\sqrt{p}][x] dans les cas tp).

La proposition suivante donne une autre expression pour le calcul de P_{𝔾}(x), que nous utiliserons ci–dessous (démonstration du lemme 3.7).

Remarquons que V est rationnel (ou défini sur ℚ(\sqrt{p}) dans les cas tordus), donc que det(wϕ_{∗}) = ±1. Conformément aux notations introduites ci–dessus, on pose

P_{𝔾,det_{V}} (x) = \frac{1}{|W |} ∑_{w∈W} \frac{det_{V} (wϕ_{∗})}{det_{V} (1 − xwϕ_{∗})} .

On a

P_{𝔾,det_{V}} (x) = (−1)^{r} \frac{1}{|W |} ∑_{w∈W} \frac{1}{det_{V} (x − (wϕ_{∗})^{−1})} .

Proposition 1.12. On a

P_{𝔾,det_{V}} (x) = ε_{𝔾} x^{N}P_{𝔾}(x) ,

d’où

O_{𝔾}(x).\frac{1}{|W |} ∑_{w∈W} \frac{1}{det_{V} (x − (wϕ_{∗})^{−1})} = x^{2N} .

Démonstration. La première formule résulte de la proposition 1.6 ci–dessus et de [Sp2], 2.9. La deuxième est alors immédiate.

2. Les groupes réductifs finis associés

Soit p un nombre premier, et soit 𝔽̄_{p} une clôture algébrique du corps à p éléments 𝔽_{p}. On sait, depuis les travaux de Chevalley, Tits, Grothendieck, Demazure (cf. par exemple [Ti], ou [St], 12.1), qu’une donnée radicielle Γ définit un couple (G, T), où G est un groupe linéaire algébrique connexe réductif défini sur 𝔽̄_{p} et T est un tore maximal de G, de sorte que Γ soit la donnée radicielle associée au couple (G, T). Le couple (G, T) est défini à une unique classe d’isomorphismes modulo les automorphismes intérieurs induits par T près.

Dans les cas particuliers (t2) et (t3), on suppose en outre que p est égal respectivement à 2 ou 3. On désigne par q une puissance de p dans le cas général, une puissance impaire de \sqrt{2} dans le cas particulier (t2), une puissance impaire de \sqrt{3} dans le cas particulier (t3).

Soit 𝔾 = (Γ, ϕ^{∗}W) une donnée radicielle complète. La donnée de ϕ^{∗} et de q définit un p–morphisme F: Γ → Γ au sens de [Ch] (voir par exemple [De], §6 et 7, ou [Sp], chap. 11).

En effet, on définit F^{∗}: X → X par la formule F^{∗} = qϕ^{∗}, et F_{∗}: Y → Y par la formule F_{∗} = qϕ_{∗}. On vérifie alors (voir [Sp], chap. 11) que pour tout α ∈ R il existe une puissance de p (une puissance impaire de \sqrt{p} dans le cas (tp)), notée q_{α}, telle que F^{∗}(σ(α)) = q_{α}α et F_{∗}(α^{∨}) = q_{α}(σ(α))^{∨}.

Ainsi (voir par exemple [Sp], chap. 11), la donnée de 𝔾, ϕ^{∗} et q définit un triplet (G, T, F) constitué d’un groupe linéaire algébrique réductif connexe G sur 𝔽̄_{p}, muni d’un endomorphisme surjectif F: G → G dont le groupe des points fixes G^{F} est fini, et d’un tore F –stable T. Un tel triplet est bien défini aux automorphismes intérieurs induits par T près.

Il résulte du théorème de Lang que si on remplace ϕ^{∗} par ϕ^{∗}w, le triplet (G, T, F) est remplacé par un triplet (G, T, F_{g}), où g est un élément de G tel que g^{−1}F (g) appartienne à N_{G}(T) et soit d’image w dans W, et où F_{g}: G → G est la transmuée de F par la conjugaison par g (i.e., F_{g}(h) = gF (g^{−1}hg)g^{−1} pour tout h ∈ G). Ainsi, un donnée radicielle complète définit un triplet (G, T, F) unique à automorphismes intérieurs près.

On note, par abus de notation, 𝔾(q) = G^{F}.

Si deux données radicielles complètes 𝔾 et 𝔾′ sont isomorphes, pour tout q comme ci–dessus deux paires (G, F) et (G′, F′) correspondantes sont isomorphes, et en particulier les groupes finis 𝔾(q) et 𝔾′(q) sont isomorphes.

Si 𝔾 = (Γ, ϕ^{∗}W), et si 𝔾^{−} := (Γ, −ϕ^{∗}W), on pose par abus de notation 𝔾(−q) := 𝔾^{−}(q). On voit que si le groupe de Weyl W contient −1, on a 𝔾 = 𝔾^{−}, et en particulier les groupes 𝔾(q) et 𝔾(−q) sont isomorphes.

Remarque. Si R est simple, et de type différent des types A_{n}, D_{2n+1}, E_{6}, son groupe de Weyl contient −1.

Exemples.

1. Si Γ est une donnée radicielle de GL_{r} (on prend X = Y = ℤ^{r} muni du produit scalaire canonique, et R = R^{∨} = {(e_{i} − e_{j}) | (1 ≤ i, j ≤ r)(i ≠ j)} où {e_{1}, e_{2}, …, e_{r}} est la base canonique de ℤ^{r}) et si ϕ^{∗} = Id, alors pour tout q puissance d’un nombre premier, on a 𝔾(q) = GL_{r}(q), et 𝔾(−q) = U_{r}(q) (le groupe des matrices carrées r × r à coefficients dans 𝔽_{q^{2}} d’inverse égal à la transposée–conjuguée). On note donc GL_{r}(−q) = U_{r}(q).

2. Supposons 𝔾 = (Γ, ϕ^{∗}) torique, et supposons que ϕ^{∗} est défini par une matrice de permutation d’ordre r. Alors, pour ε = ±1, 𝔾(εq) est isomorphe à GL_{1}((εq)^{r}) (groupe cyclique d’ordre |(εq)^{r} − 1|).

3. Les hypothèses (t2) et (t3) permettent d’obtenir respectivement pour 𝔾(q) les groupes “tordus” ^{2}B_{2}(q^{2}), ^{2}F_{4}(q^{2}) (q puissance impaire de \sqrt{2}), et ^{2}G_{2}(q^{2}) (q puissance impaire de \sqrt{3}), ainsi que leurs sous–tores et sous–groupes de Levi.

Soit 𝔾 = ((X, R, Y, R^{∨}), ϕ^{∗}W) une donnée radicielle complète. Supposons fixé ϕ^{∗} dans la classe ϕ^{∗}W, et choisis un nombre premier p et un entier algébrique q comme ci–dessus. On note G le groupe linéaire algébrique correspondant, T le tore maximal et F: G → G l’isogénie associés.

• Soit 𝕊 = (X′, Y′, (ϕ^{∗}w)_{|_{X′}}) une sous–donnée torique de 𝔾. Alors 𝕊 définit une classe de G^{F} –conjugaison de sous–tores de G de la manière suivante. Soit n ∈ N_{G}(T) un élément d’image w dans W. La donnée de 𝕊 définit un sous– tore S_{w} de T stable par l’action de nF. D’après le théorème de Lang, il existe g ∈ G tel que g^{−1}F (g) = n. On pose S = ^{g}S_{w}. On vérifie que S est stable par F, et que la classe de G^{F} –conjugaison de S ne dépend que de 𝕊.

• Soit S un sous-tore F -stable de G. Alors S définit une classe de W -conjugaison de sous–données toriques de 𝔾, de la manière suivante. Comme les tores F – stables maximaux de G sont des tores maximaux, il existe g ∈ G tel que gT soit F –stable et S ⊂ ^{g}T. Alors g^{−1}F (g) ∈ N_{G}(T) et on note w son image dans W. On identifie Hom(S^{g}, 𝔽̄_{p}^{×}) à une image de X, et on note X′ := Hom(S^{g}, 𝔽̄_{p}^{×}), et de même on identifie Hom(𝔽̄_{p}^{×}, S^{g}) à un sous–groupe de Y, et on note Y′ := Hom(𝔽̄_{p}^{×}, S^{g}). À S on associe alors la classe de W –conjugaison de la sous–donnée torique 𝕊 de 𝔾 définie par 𝕊 = (X′, Y′, (ϕ^{∗}w)_{|_{X′}}), dont on vérifie qu’elle ne dépend que de S.

On appelle “sous–groupe de Levi” d’un groupe linéaire algébrique connexe réductif G tout centralisateur dans G d’un sous–tore de G. Ainsi, les sous–groupes de Levi sont des groupes linéaires algébriques connexes; ce sont les compléments de Levi des sous–groupes paraboliques de G. Il y a une bijection naturelle entre l’ensemble des sous–groupes de Levi de G et un sous–ensemble de l’ensemble des sous–tores de G (l’ensemble des centres des sous–groupes de Levi).

Le théorème suivant est essentiellement une reformulation de résultats classiques. Il est une conséquence de la description qui précède.

Théorème 2.1. Soit 𝔾 = (Γ, ϕ^{∗}W) une donnée radicielle complète. Choisissons, comme ci–dessus, ϕ^{∗} et q , donc un triplet (G, T, F).

(1) La correspondance définie ci–dessus est une bijection entre les classes de W – conjugaison de sous–données toriques de 𝔾 et les classes de G^{F} –conjugaison de sous–tores F –stables de G.

(2) Cette correspondance induit une bijection entre les classes de W –conjugaison de sous–données de Levi 𝕃 de 𝔾 et les classes de G^{F} –conjugaison de sousgroupes de Levi F –stables de G.

(3) Si 𝕃 et L sont respectivement une sous–donnée de Levi de 𝔾 et un sous– groupe de Levi de G dont les classes sous W et G^{F} se correspondent, on a un isomorphisme W_{𝔾}(𝕃) ≃ N_{G^{F}} (L)/L^{F}.

Remarque. Ainsi en particulier (avec les abus de notation autorisés) 𝕃(q) est un sousgroupe – bien défini à automorphismes intérieurs près – du groupe 𝔾(q).

Ordres des groupes finis associés.

Le résultat suivant est bien connu (cf. par exemple [St], chap. 11).

Théorème 2.2. Pour tout q comme ci–dessus l’ordre du groupe 𝔾(q) est égal à O_{𝔾}(q).

Remarques.

1. Il résulte de la définition de P_{𝔾}(x) que P_{𝔾^{−}}(x) = P_{𝔾}(−x). On en déduit donc que O_{𝔾^{−}}(x) = (−1)^{r}O_{𝔾}(−x), et par conséquent que |𝔾(−q)| = (−1)^{r}O_{𝔾}(−q).

Soit 𝕃 une sous–donnée de Levi de 𝔾.

2. Des théorèmes 2.1 et 2.2 (dont on utilise ici les notations) on déduit que si L est un sous–groupe de Levi de G correspondant à 𝕃, alors |N_{G^{F}} (L)| = |W_{𝔾}(𝕃)|O_{𝕃}(q).

3. Puisque W_{𝔾^{−}}(𝕃^{−}) = W_{𝔾}(𝕃), on voit aussi que (avec des notations évidentes) |𝔾(−q): N_{𝔾(−q)}(L^{−})| = O_{𝔾}(−q)/(|W_{𝔾}(𝕃)|O_{𝕃}(−q)).

3. Les Φ_{d}(x)-groupes et les théorèmes de Sylow

La plupart des résultats présentés ci–dessous sont généraux et s’appliquent, convenablement énoncés, aux cas “tordus” comme au cas général. Cependant, dans un but de simplification et de clarification de l’exposé, nous les énonçons et démontrons d’abord en supposant les hypothèses (drc.g) (cas général) satisfaites. Nous traitons les cas “tordus” à la fin de ce paragraphe.

A. Ordres et exposants des tores.

Soit 𝕊 = (X, Y, ϕ^{∗}) une donnée torique. On appelle exposant polynomial de 𝕊 et on note E_{𝕊}(x) le polynôme minimal de ϕ^{∗}.

On définit l’ensemble d’entiers D(𝕊) par la formule E_{𝕊}(x) = ∏_{d∈D(𝕊)} Φ_{d}(x). L’or-

dre polynomial de 𝕊 est alors de la forme O_{𝕊}(x) = ∏_{d∈D(𝕊)} Φ_{d}(x)^{a(d)} où a(d) ≥ 1 pour tout d ∈ D(𝕊).

Lemme 3.1. Soit 𝕊 = (X, Y, ϕ^{∗}) une donnée torique, d’exposant polynomial E_{𝕊}(x), et d’ordre polynomial O_{𝕊}(x) = ∏_{d∈D(𝕊)} Φ_{d}(x)^{a(d)}.

(1) L’exposant du groupe fini 𝕊(q) divise E_{𝕊}(q).

(2) Soit D′ un sous–ensemble de D(𝕊). Il existe une unique sous–donnée 𝕊′ de 𝕊 telle que O_{𝕊′}(x) = ∏_{d∈D′} Φ_{d}(x)^{a(d)}.

Démonstration. (1) On sait (cf. par exemple [DeLu], 5.2) que S^{F} ≃ Y/(qϕ_{∗} − 1)Y. Il suffit donc de vérifier que E_{𝕊}(q) annule le module Y/(qϕ_{∗} − 1)Y. Cela résulte du fait que E_{𝕊}(x) annule ϕ_{∗}^{−1}.

(2) Pour tout ensemble fini d’entiers D on note Φ_{D}(x) := ∏_{d∈D} Φ_{d}(x). On pose Y′ = ker Φ_{D′}(ϕ_{∗}), et on note X′ le quotient de X par l’orthogonal de Y′. Soit 𝕊′ = (X′, Y′, ϕ_{|_{X′}}^{∗}) : cette sous–donnée satisfait aux conditions de l’énoncé. □

Remarques.

(1) Soit D′′ = D(𝕊) \ D′, et soit 𝕊′′ la sous–donnée d’exposant polynomial Φ_{D′′}(x). En général, les sous–groupes correspondants 𝕊′(q) et 𝕊′′(q) ont une intersection non triviale, et le groupe 𝕊′(q)𝕊′′(q) qu’ils engendrent est un sous–groupe propre de 𝕊(q) (considérer par exemple le cas où 𝕊(q) = GL_{1}(q^{2}), D′ = {1} et D′′ = {2}).

(2) Nous verrons ci–dessous (prop. 3.3) que si E_{𝕊}(x) est irréductible, l’exposant du groupe fini 𝕊(q) est égal à E_{𝕊}(q). Cette égalité n’est pas vraie en général. Considérons par exemple (nous nous permettons ici des abus de notation et de langage évidents) le groupe G = 2.U_{4}(3).2, i.e., le groupe noté “2.G.2_{1}” dans [Atl], p. 52–53 (un groupe “entre SU_{4}(3) et PGU_{4}(3)”). Ce groupe a un tore maximal 𝕋 tel que O_{𝕋}(x) = Φ_{1}(x)Φ_{4}(x), d’où E_{𝕋}(3) = 20. Cependant le groupe G n’a pas d’élément d’ordre 20 (cf. [Atl], p. 52–53). Pour des exemples plus généraux, on peut se reporter à la thèse de Gager ([Ga]).

B. Les Φ_{d}(x)–groupes.

Définition 3.2.

(1) Une Φ_{d}(x)–donnée torique est une donnée torique (Σ, ϕ^{∗}) telle que Φ_{d}(ϕ^{∗}) = 0.

(2) Un couple (S, F) défini comme ci-dessus par le choix de q et d’une Φ_{d}(x)– donnée torique est appelé Φ_{d}(x)–groupe.

Remarque. Un nombre premier p et une puissance q de p étant donnés, les (x − 1)– groupes (noter que x − 1 = Φ_{1}(x) ...) sont simplement les tores (sur 𝔽̄_{p}) déployés sur 𝔽_{q}.

Proposition 3.3. Soit 𝕊 = (Σ, ϕ^{∗}) une Φ_{d}(x)–donnée torique de rang r. Soit p un nombre premier et soit q une puissance de p. Soit (S, F) le Φ_{d}(x)–groupe ainsi déterminé. Alors (notant φ(d) = deg Φ_{d}(x))

(1) φ(d) | r,

(2) le groupe des points fixes 𝕊(q) = S^{F} est d’ordre Φ_{d}(q)^{r/φ(d)},

(3) S est produit direct de r/φ(d) tores F –stables, dont le groupe des points fixes par F est cyclique d’ordre Φ_{d}(q).

Démonstration. Posons Σ = (X, Y). Par extension des scalaires, ϕ^{∗} définit un endomorphisme du ℚ–espace vectoriel ℚ ⊗_{ℤ} X. D’après la formule donnant l’ordre polynomial, on voit que O_{𝕊}(x) est égal au polynôme caractéristique de cet endomorphisme. Comme le polynôme minimal de cet endomorphisme est Φ_{d}(x), qui est irréductible dans ℚ[x], on voit que O_{𝕊}(x) est une puissance de Φ_{d}(x), ce qui prouve que

(1) φ(d) divise r,

(2) 𝕊(q) est d’ordre Φ_{d}(x)^{r/φ(d)}. Soit ζ une racine primitive d–ième de l’unité. En définissant la multiplication par ζ dans le ℤ–module X comme l’opération de ϕ^{∗}, on munit X d’une structure de ℤ[ζ]– module projectif de type fini. Comme l’anneau ℤ[ζ] est un anneau de Dedekind, un tel module est somme directe de modules projectifs de rang 1; en d’autres termes, X est somme directe de sous–ℤ–modules stables par ϕ^{∗} et de rang φ(d) sur ℤ, ce qui démontre que S est produit direct de r/φ(d) tores F –stables pour chacun desquels le groupe des points fixes par F est d’ordre Φ_{d}(q).

Il reste donc à démontrer que si S est un tore d’ordre polynomial Φ_{d}(x), alors S^{F} est cyclique. Soit 𝕊 = (X, Y, ϕ^{∗}) la donnée torique correspondante. Comme ci– dessus, on peut voir Y comme un idéal dans ℤ[ζ], où ζ = exp(2πi/d), et ϕ^{∗} comme la multiplication par ζ, et alors S^{F} ≃ Y/(q − ζ^{−1})Y. Il suffit de vérifier que l’exposant de Y/(q − ζ^{−1})Y est divisible par Φ_{d}(q). Or si n ∈ ℤ est tel que nY ⊂ (q − ζ^{−1})Y, on voit (utilisant le fait que ℤ[ζ] est un anneau de Dedekind) que n est divisible par (q −ζ) dans ℤ[ζ]. Il reste donc à démontrer que si n est divisible par (q −ζ) dans ℤ[ζ], alors n est divisible par Φ_{d}(q) dans ℤ. Ceci résulte du fait que ℤ[ζ] = ℤ[x]/Φ_{d}(x) : en effet, si n ≡ (q − x)P (x) mod Φ_{d}(x), la substitution de q à x montre que Φ_{d}(q) divise n. □

Remarque.

Soit 𝕊 une Φ_{d}(x)–donnée torique. Alors 𝕊^{−} est une Φ_{d}(−x)–donnée torique, i.e., (cf. appendice 2)

• une Φ_{d}(x)–donnée torique si d est divisible par 4,

• une Φ_{d/2}(x)–donnée torique si d ≡ 2 mod 4,

• une Φ_{2d}(x)–donnée torique si d est impair. De plus, comme φ(d) divise le rang r de 𝕊 et que φ(d) est pair si d > 2, on voit que O_{𝕊^{−}}(x) = O_{𝕊}(−x) pour d > 2 (et O_{𝕊^{−}}(x) = (−1)^{r}O_{𝕊}(−x) pour d = 1 ou 2).

Soit G un groupe linéaire algébrique connexe réductif défini sur une clôture algébrique de 𝔽_{p}, et muni d’une isogénie F: G → G telle que G^{F} soit fini (endomorphisme de Frobenius définissant sur G une structure rationnelle sur 𝔽_{q}). Un Φ_{d}(x)–sous–groupe de (G, F) est un tore de G, stable par F, dont la donnée torique correspondante est une Φ_{d}(x)–donnée torique.

C. Les théorèmes de Sylow.

Le résultat suivant est l’analogue complet des théorèmes de Sylow pour les groupes finis. Pour bien marquer cette analogie, nous l’énonçons en termes de Φ_{d}(x)–sous– groupes et non de Φ_{d}(x)–sous–données toriques (ce qui est équivalent d’après le théorème 2.1 ci–dessus).

Il est également une généralisation de l’énoncé affirmant que, dans un groupe linéaire algébrique connexe réductif G sur 𝔽̄_{p} muni d’une structure rationnelle sur 𝔽_{q}, les sous–tores déployés maximaux sont tous conjugués par le groupe des points rationnels de G (cf. [BoTi], 4.21).

Théorème 3.4. Soient 𝔾 une donnée radicielle complète, p et q comme ci-dessus, (G, F) la paire correspondante. Soit d un entier positif.

(1) Si Φ_{d}(x) divise O_{𝔾}(x), il existe des Φ_{d}(x)–sous–groupes non triviaux de G.

(2) Soit S un Φ_{d}(x)–sous-groupe maximal de G, correspondant à une donnée torique 𝕊. Alors O_{𝕊}(x) est égal à Φ_{d}(x)^{a(d)}, contribution de Φ_{d}(x) à O_{𝔾}(x).

(3) Deux Φ_{d}(x)–sous–groupes maximaux de (G, F) sont conjugués par G^{F}.

(4) Soit S un Φ_{d}(x)–sous-groupe maximal de G et soit L = C_{G}(S), de sous– donnée de Levi correspondante 𝕃. Alors |N_{G^{F}} (S)| = |W_{𝔾}(𝕃)|O_{𝕃}(q), et

O_{𝔾}(x)/(|W_{𝔾}(𝕃)|O_{𝕃}(x)) ≡ 1 mod Φ_{d}(x) ;

on voit donc en particulier que |G^{F} : N_{G^{F}} (S)| ≡ 1 mod Φ_{d}(q).

Nous appelons Φ_{d}(x)–sous–données de Sylow de 𝔾 (resp. Φ_{d}(x)–sous–groupes de Sylow de G) les Φ_{d}(x)–sous–données toriques maximales de 𝔾 (resp. les Φ_{d}(x)–sous– groupes maximaux de G).

Démonstration.

Supposons que 𝔾 = ((X, R, Y, R^{∨}), ϕ^{∗}W). Pour tout entier d et tout élément w de W, on désigne par Y (ϕ^{∗}w, d) le noyau de l’endomorphisme Φ_{d}(wϕ_{∗}) de Y, et par X(ϕ^{∗}w, d) le quotient de X par l’orthogonal de Y (ϕ^{∗}w, d). Il est clair que Y (ϕ^{∗}w, d) est un sous–module pur de Y et donc que (X(ϕ^{∗}w, d), Y (ϕ^{∗}w, d), (ϕ^{∗}w)_{|_{X(ϕ^{∗}w,d)}}) est une sous–Φ_{d}(x)–donnée torique de 𝔾, désignée dans ce qui suit par 𝕊(ϕ^{∗}w, d).

On pose V = ℚ̄ ⊗_{ℤ} Y et V (ϕ^{∗}w, d) = ℚ̄ ⊗_{ℤ} Y (ϕ^{∗}w, d). On note encore wϕ_{∗} l’endomorphisme de V défini par extension des scalaires.

Soit ζ = exp(2πi/d). Pour tout entier j, on note V (ϕ^{∗}w, ζ^{j}) l’ensemble des vecteurs propres de wϕ_{∗} pour la valeur propre ζ^{j}. On a ainsi

dim V (ϕ^{∗}w, ζ^{j}) = dim V (ϕ^{∗}w, ζ) ∀j ∈ (ℤ/dℤ)^{×} ,

V (ϕ^{∗}w, d) = ⨁_{j∈(ℤ/dℤ)^{×}} V (ϕ^{∗}w, ζ^{j}) .

Il résulte de [Sp2], 3.4 et 6.2, et de la proposition 1.10 ci–dessus (dont on utilise ici les notations) que

(S1) max_{(w∈W)} dim V (ϕ^{∗}w, ζ) = a(d),

(S2) pour tout w ∈ W, il existe w′ ∈ W tel que

dim V (ϕ^{∗}w′, ζ) = a(d) et V (ϕ^{∗}w, ζ) ⊂ V (ϕ^{∗}w′, ζ) ,

(S3) Si w_{1}, w_{2} ∈ W sont tels que dim V (ϕ^{∗}w_{1}, ζ) = dim V (ϕ^{∗}w_{2}, ζ) = a(d), il existe

w ∈ W tel que w · V (ϕ^{∗}w_{1}, ζ) = V (ϕ^{∗}w_{2}, ζ). L’assertion (S1) montre que si a(d) ≠ 0, il existe w ∈ W tel que 𝕊(ϕ^{∗}w, d) soit de

rang a(d)φ(d), d’où résulte en particulier l’assertion (1) du théorème.

Si V (ϕ^{∗}w, ζ) ⊂ V (ϕ^{∗}w′, ζ), on a V (ϕ^{∗}w, ζ^{j}) ⊂ V (ϕ^{∗}w′, ζ^{j}) pour tout j ∈ (ℤ/dℤ)^{×}, et par conséquent

• V (ϕ^{∗}w, d) ⊂ V (ϕ^{∗}w′, d), d’où Y (ϕ^{∗}w, d) ⊂ Y (ϕ^{∗}w′, d),

• w′ϕ_{∗}_{|_{Y (ϕ^{∗}w,d)}} = wϕ_{∗}_{|_{Y (ϕ^{∗}w,d)}}.

L’assertion (S2) montre donc que pour tout w ∈ W, il existe w′ ∈ W tel que 𝕊(ϕ^{∗}w′, d) soit de rang a(d)φ(d) et 𝕊(ϕ^{∗}w, d) soit contenu dans 𝕊(ϕ^{∗}w′, d), ce qui démontre l’assertion (2) du théorème.

Pour la même raison, l’assertion (S3) montre que si w_{1} et w_{2} sont deux éléments de W tels que 𝕊(ϕ^{∗}w_{1}, d) et 𝕊(ϕ^{∗}w_{2}, d) soient de rang a(d)φ(d), il existe w ∈ W tel que 𝕊(w^{−1}ϕ^{∗}w_{1}w, d) = 𝕊(ϕ^{∗}w_{2}, d), ce qui démontre l’assertion (3) du théorème.

La démonstration de l’assertion (4) se fait grâce au théorème 2.1 (3), et à la série de résultats auxiliaires suivants (prop. 3.5 et lemme 3.7).

Proposition 3.5. Soit 𝕊 une Φ_{d}(x)–sous–donnée torique de 𝔾. On pose 𝕃 := C_{𝔾}(𝕊), et on note 2N(𝔾) (resp. 2N(𝕃)) le nombre de racines de 𝔾 (resp. 𝕃). Alors 2N(𝔾) ≡ 2N(𝕃) mod d.

Démonstration. Elle résulte du lemme élémentaire suivant

Lemme 3.6. Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur ℚ, et soit Ω une partie finie du dual V^{∗} de V. Soit g un élément d’ordre fini de GL_{ℚ}(V) dont le transposé g^{∗} stabilise Ω. Pour tout entier d, on note Ω(g, d) l’ensemble des éléments de Ω qui sont orthogonaux au sous–espace ker Φ_{d}(g). Alors |Ω| ≡ |Ω(g, d)| mod d.

Démonstration du lemme 3.6. Le groupe cyclique engendré par g^{∗} opère sur Ω \ Ω(g, d). Il suffit de démontrer que chaque cycle de g^{∗} sur cet ensemble est d’ordre multiple de d. Soit donc ω ∈ Ω \ Ω(g, d), définissant l’élément (non nul) ω̄ dans le dual de ker Φ_{d}(g). Puisque Φ_{d}(x) est irréductible dans ℚ[x], le polynôme minimal de g^{∗} en ω̄ est Φ_{d}(x), et par suite l’ordre de l’orbite de ω̄ sous g^{∗} est multiple de d. On en déduit que l’ordre de l’orbite de ω sous g^{∗} est a fortiori multiple de d. □

Lemme 3.7. Soit 𝕊 une Φ_{d}(x)–sous–donnée torique de rang maximal dans 𝔾, et soit 𝕃 = C_{𝔾}(𝕊). On a alors la congruence suivante dans ℤ[x]:

O_{𝔾}(x)/O_{𝕃}(x) ≡ |W_{𝔾}(𝕃)|x^{2N(𝔾)−2N(𝕃)} mod Φ_{d}(x) .

Démonstration de 3.7. On sait, d’après la proposition 1.12, que

x^{2N(𝔾)} = \frac{1}{|W |} ∑_{w∈W} \frac{O_{𝔾}(x)}{det(x − (ϕ^{∗}w)^{−1})} .

On voit donc que

x^{2N(𝔾)} ≡ O_{𝔾}(x)\frac{1}{|W |} ∑ \frac{1}{det(x − (ϕ^{∗}w)^{−1})} mod Φ_{d}(x) ,

où la somme est prise sur les w ∈ W tels que V (ϕ^{∗}w, d) soit de dimension maximale. Ces sous–espaces sont permutés transitivement par W (cf. (S3) ci–dessus). Soit V (ϕ^{∗}w_{0}, d) l’un d’entre eux, soit 𝕊 la sous–Φ_{d}(x)–donnée torique définie par 𝕊 = (X(ϕ^{∗}w_{0}, d), Y (ϕ^{∗}w_{0}, d), (ϕ^{∗}w_{0})_{|_{X(ϕ^{∗}w_{0},d)}}). On pose 𝕃 := C_{𝔾}(𝕊) =: (Λ, ϕ^{∗}w_{0}W_{Λ}). Rappelons que l’on note N_{W} (𝕊) l’ensemble des w ∈ W tels que w.Y (ϕ^{∗}w_{0}, d) = Y (ϕ^{∗}w_{0}, d) et (ww_{0}ϕ_{∗}w^{−1})_{|_{Y (ϕ^{∗}w_{0},d)}} = (w_{0}ϕ_{∗})_{|_{Y (ϕ^{∗}w_{0},d)}}. Puisque dans ce cas tout élément w ∈ W tel que w.Y (ϕ^{∗}w_{0}, d) = Y (ϕ^{∗}w_{0}, d) appartient à N_{W} (𝕊), on a alors

x^{2N(𝔾)} ≡ |W : N_{W} (𝕊)|O_{𝔾}(x)\frac{1}{|W |} ∑_{w∼w_{0}} \frac{1}{det(x − (ϕ^{∗}w)^{−1})} mod Φ_{d}(x) ,

où “w ∼ w_{0}” signifie que V (ϕ^{∗}w, d) = V (ϕ^{∗}w_{0}, d).

• D’après l’assertion (S3) ci–dessus, les éléments w ∼ w_{0} sont ceux tels que w_{0}^{−1}w opère trivialement sur V (ϕ^{∗}w_{0}, d), i.e., sont les éléments de la classe w_{0}W_{Λ}. On voit donc que

∑_{w∼w_{0}} \frac{1}{det(x − (ϕ^{∗}w)^{−1})} = ∑_{w∈W_{Λ}} \frac{1}{det(x − (ϕ^{∗}w_{0}w)^{−1})} = |W_{Λ}|x^{2N(𝕃)}/O_{𝕃}(x) .

• D’après le lemme 1.4, on sait que N_{W} (𝕊) ⊂ N_{W} (𝕃). Vérifions l’inclusion inverse. Soit Y′ l’orthogonal de R′ dans Y. Le groupe N_{W} (𝕃)/W_{Λ} opère sur Y′, et centralise (w_{0}ϕ_{∗})_{|_{Y ′}}. Il stabilise donc les espaces caractéristiques de (w_{0}ϕ_{∗})_{|_{Y ′}}, et en particulier Y (ϕ^{∗}w_{0}, d). Ceci établit bien que N_{W} (𝕃) = N_{W} (𝕊). On a donc en particulier |N_{W} (𝕊)| = |W_{Λ}||W_{𝔾}(𝕃)|.

Le lemme 3.7 résulte bien de ce qui précède. □

D. Le cas d = 1.

Définition 3.8. Soit 𝔾 une donnée radicielle complète. On appelle sous-données de Levi d-déployées de 𝔾 les centralisateurs des Φ_{d}(x)–sous–données toriques de 𝔾. Si (G, F) est la paire associée à 𝔾 et au choix d’un nombre q, on appelle sous–groupes de Levi d–déployés de G les centralisateurs des Φ_{d}(x)–sous-groupes de G.

D’après [BoTi], §4, les sous–groupes de Levi 1–déployés sont les compléments de Levi des sous–groupes paraboliques F –stables de G.

Les tores maximaux quasi–déployés.

Soit 𝔾 = ((X, R, Y, R^{∨}), ϕ^{∗}W) une donnée radicielle complète.

On dit qu’une sous–donnée torique maximale 𝕋 = (X, Y, ϕ^{∗}w) de 𝔾 est quasi– déployée si ϕ^{∗}w stabilise un système de racines simples de R. Le résultat suivant est bien connu – tout au moins une fois traduit en termes de groupes algébriques (unicité à conjugaison rationnelle près des tores maximaux quasi–déployés).

Proposition 3.9. Il existe des sous–données toriques maximales quasi-déployées, et elles sont toutes conjuguées entre elles par W.

Démonstration. Nous la donnons ici pour mémoire.

Soit Π un système de racines simples dans R. L’image de Π par ϕ^{∗} est un autre système simple de R, noté Π′. Soit w l’élément de W qui envoie Π′ sur Π. On voit ainsi que ϕ^{∗}w stabilise Π, donc que la donnée torique maximale 𝕋_{w} = (X, Y, ϕ^{∗}w) est quasi–déployée.

Si 𝕋_{w′} est aussi quasi–déployée, ϕ^{∗}w′ stabilisant le système simple Π′, et si w′′ est l’élément de W qui envoie Π sur Π′, on voit que (ϕ^{∗}w′)^{w′′} stabilise aussi Π. On en déduit que (ϕ^{∗}w)^{−1}(ϕ^{∗}w′)^{w′′} stabilise Π. Comme cet élément appartient à W, il vaut 1, ce qui achève la démonstration. □

Proposition 3.10. Les centralisateurs des (x − 1)–sous–données de Sylow sont les sous–données toriques maximales quasi-déployées.

Démonstration. Soit 𝕋 une sous-donnée torique maximale quasi–déployée. Soit 𝕊_{0} (cf. lemme 3.1) la (x − 1)–sous–donnée de Sylow de 𝕋. Nous allons d’abord démontrer que C_{𝔾}(𝕊_{0}) = 𝕋.

Supposons 𝕋 = (X, Y, ϕ^{∗}), et supposons que ϕ^{∗} stabilise le système simple Π. Le centralisateur de 𝕊_{0} est une sous–donnée de Levi dont le système de racines est formé des racines orthogonales à ker(ϕ_{∗} − 1). Il suffit donc de vérifier qu’aucune racine n’est orthogonale à ker(ϕ_{∗} − 1). Or l’orthogonal (dans X) de ker(ϕ_{∗} − 1) est l’image de (ϕ^{∗} − 1). Puisque ϕ^{∗} stabilise Π, l’image de (ϕ^{∗} − 1) est constituée d’éléments dont la somme des coefficients dans leur décomposition sur Π est nulle: ce n’est le cas d’aucune racine, ce qui établit l’assertion annoncée.

Il en résulte que si 𝕊 est une (x − 1)–sous–donnée de Sylow contenant 𝕊_{0}, son centralisateur est aussi 𝕋. Par suite 𝕊 = 𝕊_{0}, ce qui démontre la proposition 3.10, puisque aussi bien les (x − 1)–sous–données de Sylow que les sous–données toriques maximales quasi–déployées forment une seule classe sous l’action de W. □

E. Compléments.

Le théorème de Burnside.

On a vu que les Φ_{d}(x)–sous–groupes de Sylow de G sont “abéliens élémentaires” (produit directs de sous-groupes cycliques d’ordres Φ_{d}(x)). Il doit en résulter, comme pour un groupe fini à p–sous–groupes de Sylow abéliens, que leur normalisateur “contrôle la fusion des Φ_{d}(x)–sous–groupes”. C’est l’objet de la proposition suivante (analogue du théorème de Burnside pour les groupes finis).

Proposition 3.11. Soit S un Φ_{d}(x)–sous–groupe de Sylow de G. Soit S′ un soustore F –stable de S et soit g ∈ G^{F} tels que S′^{g} ⊂ S. Alors il existe n ∈ N_{G^{F}} (S) et z ∈ C_{G^{F}} (S′) tels que g = zn.

Démonstration. On voit que S et ^{g}S sont deux Φ_{d}(x)–sous–groupes de Sylow de C_{G}(S′). Ils sont donc conjugués dans C_{G^{F}} (S′), ce qui établit la proposition. □

Remarques.

(a) Le groupe des points rationnels d’un Φ_{d}(x)–sous–groupe de Sylow de G n’est pas en général un sous–groupe de Hall de G^{F}.

(b) Même si Φ_{d}(q) est une puissance d’un nombre premier, le groupe des points rationnels d’un Φ_{d}(x)–sous–groupe de Sylow n’est pas en général un sous–groupe de Sylow de G^{F} (considérer par exemple le cas q = 3, d = 1).

(c) Le groupe des points rationnels d’un Φ_{d}(x)–sous–groupe non trivial peut être trivial (q = 2, d = 1).

Les deux premiers phénomènes cités ci–dessus se produisent pour des nombres premiers qui divisent l’ordre du groupe de Weyl, alors que le dernier se produit pour q “petit”. Dans le cas générique, on a le résultat suivant (cf. proposition 3.3 et théorème 3.4).

Corollaire 3.12. Soit ℓ un nombre premier qui divise |𝔾(q)|, mais ne divise ni l’ordre de W<ϕ_{∗}> ni q.

(1) Il existe un et un seul entier d tel que Φ_{d}(x) | O_{𝔾}(x) et ℓ | Φ_{d}(q).

(2) Tout ℓ–sous–groupe de Sylow de 𝔾(q) est contenu dans l’ensemble des points rationnels d’un Φ_{d}(x)–sous–groupe de Sylow de G. En particulier, les ℓ–sous– groupes de Sylow de 𝔾(q) sont isomorphes à (ℤ/ℓ^{a}ℤ) × ⋯ × (ℤ/ℓ^{a}ℤ) (a(d) facteurs), où a(d) est la Φ_{d}(x)–valuation de O_{𝔾}(x), et où a est la ℓ–valuation de Φ_{d}(q).

Mentionnons pour terminer quelques propriétés élémentaires des Φ_{d}(x)–sous–groupes.

• Si deux Φ_{d}(x)–sous–groupes commutent, ils engendrent un Φ_{d}(x)–sous–groupe. En effet, ils engendrent un tore S. Soit S_{d} l’unique Φ_{d}(x)–sous–groupe de Sylow de S. On voit que S_{d} contient les deux Φ_{d}(x)–sous–groupes initiaux, donc S = S_{d}.

• La composante connexe de l’intersection de deux Φ_{d}(x)–sous–groupes est un Φ_{d}(x)–sous–groupe.

F. Le cas des groupes tordus.

Soit 𝔾 = ((X, R, Y, R^{∨}), ϕ^{∗}W) une donnée radicielle complète “tordue”. Ainsi (pour p = 2 ou 3) ϕ_{∗} opère sur Y′ := ℤ[\sqrt{p}^{−1}] ⊗ Y, de sorte que \sqrt{p}ϕ_{∗} stabilise Y. Si q est une puissance impaire de \sqrt{p}, on voit que qϕ_{∗} stabilise aussi Y.

Les sous–données toriques de 𝔾 correspondent aux sous–espaces de ℚ(\sqrt{p}) ⊗ Y, rationnels sur ℚ, et stables par un endomorphisme de la forme qwϕ_{∗} (i.e., stables par w\sqrt{p}ϕ_{∗}) pour w ∈ W.

Les polynômes (tp)–cyclotomiques.

Soit P (x) ∈ ℚ(\sqrt{p})[x]. On note P̄(x) le conjugué de P (x) par l’élément non trivial de Gal(ℚ(\sqrt{p})/ℚ)); on remarque que P (−x) = P̄(x) si et seulement si P (\sqrt{p}x) ∈ ℤ[x]. L’espace ker P (wϕ_{∗}) est rationnel (et stable par qwϕ_{∗}) si et seulement si P (−x) = P̄(x).

Définition 3.13. On appelle polynômes (tp)–cyclotomiques les polynômes Ψ(x) qui sont minimaux (pour la relation de divisibilité) parmi les polynômes non constants possédant les propriétés suivantes:

• Ψ(x) est produit de polynômes cyclotomiques sur ℤ[\sqrt{p}],

• Ψ(−x) = Ψ̄(x).

Ces polynômes sont décrits dans l’appendice 2.

Si Ψ(x) est un polynôme (tp)–cyclotomique, on définit, comme en 3.2 ci–dessus, les Ψ(x)–données toriques (et les Ψ(x)–groupes).

Nous laissons le soin au lecteur de vérifier que les assertions (1) et (2) de la proposition 3.3, ainsi que le théorème 3.4 (théorèmes de Sylow), restent valables dans les cas (tp) en y remplaçant les polynômes cyclotomiques par les polynômes (tp)–cyclotomiques, ainsi que les propositions 3.9, 3.10, 3.11 et le corollaire 3.12 (à condition de considérer les Ψ(x)–sous–données dans les énoncés 3.11 et 3.12, et les (x^{2} − 1)–sous–données dans 3.10).

C’est ainsi que

• dans le cas ^{2}G_{2}(q) (q puissance impaire de \sqrt{3}), le groupe G a des sous–tores F –stables d’ordres polynomiaux respectifs (x^{2} − 1), (x^{2} + 1), (x^{2} + x\sqrt{3} + 1), (x^{2} − x\sqrt{3} + 1),

• dans le cas ^{2}F_{4}(q) (q puissance impaire de \sqrt{2}), le groupe G a des sous–tores F –stables d’ordres polynomiaux respectifs

(x^{2} − 1)^{2} , (x^{2} + 1)^{2} , (x^{2} + x\sqrt{2} + 1)^{2} , (x^{2} − x\sqrt{2} + 1)^{2} , (x^{4} − x^{2} + 1) ,

(x^{4} + x^{3}\sqrt{2} + x^{2} + x\sqrt{2} + 1) , (x^{4} − x^{3}\sqrt{2} + x^{2} − x\sqrt{2} + 1) .

L’assertion (3) de la proposition 3.3, par contre, ne se généralise pas. C’est ainsi que le groupe des points rationnels du (x^{2} + 1)–sous–groupe de Sylow dans le cas 2G_{2}(q), d’ordre polynomial (x^{2} + 1), n’est pas cyclique (c’est un produit direct d’un groupe d’ordre 2 par un groupe cyclique d’ordre (q^{2} + 1)/2).

Appendice 1: Exemples de normalisateurs de Φ_{d}(x)–sous–groupes de Sylow

Cas de GL_{n}.

Soit d ≤ n. Effectuons la division euclidienne de n par d : n = dm + r, où r < d. Les groupes de points rationnels des sous–groupes de Levi d–déployés (centralisateurs dans GL_{n}(q) des Φ_{d}(x)–sous–groupes de Sylow) sont de la forme

GL_{1}(q^{d}) × ⋯ × GL_{1}(q^{d}) × GL_{r}(q)

(m facteurs GL_{1}(q^{d})).

Le normalisateur dans GL_{n}(q) d’un Φ_{d}(x)–sous–groupe de Sylow est produit semi– direct de son centralisateur par un groupe isomorphe à Gal(𝔽_{q^{d}}/𝔽_{q}) ≀ 𝔖_{m}

Cas des groupes exceptionnels pour les d non réguliers.

Nous présentons ici les Φ_{d}(x)–sous–groupes de Sylow dans le cas où G est simple et de type exceptionnel, i.e., Q(R) = X et le diagramme de Dynkin de R est connexe et de type exceptionnel.

Choisissons ϕ^{∗} et q, et soit d un entier tel que Φ_{d}(x) | O_{𝔾}(x). Soit S un Φ_{d}(x)– sous–groupe de Sylow de G (cf. théorème 3.4).

Si S n’est contenu que dans un seul tore maximal F –stable T de G, i.e., si le centralisateur de la sous–donnée torique correspondante 𝕊 est une sous–donnée torique (maximale, ou encore une sous–donnée de Levi minimale), notée C_{𝔾}(𝕊) = (X, Y, ϕ^{∗}w), on a alors N_{G^{F}} (S) = N_{G^{F}} (T) et N_{G^{F}} (T)/T^{F} ≃ C_{W} (wϕ_{∗}). La structure de N_{G^{F}} (T) est donc connue. De tels éléments wϕ_{∗} sont appelés réguliers par Springer ([Sp2]).

Dans la table ci–dessous sont présentés les cas (𝔾, d) où 𝔾 est exceptionnel, et où les Φ_{d}(x)–sous–données de Sylow de 𝔾 sont de la forme 𝕊 = (X′, Y′, (ϕ^{∗}w)_{|_{X′}}) avec wϕ_{∗} non régulier.

Pour les cas E_{7} et E_{8}, on peut se reporter à [Der], où sont décrits les centralisateurs de tous les éléments semi–simples, et où l’élément w est donné explicitement. Nous avons simplifié la table en omettant systématiquement les cas qui peuvent être décrits, à partir de ceux présentés, en changeant q en −q. Les tores y sont désignés par leur ordre polynomial en q, qui les caractérise à isomorphisme près.

Le cas (E_{7}, 4) mérite d’être noté: le groupe N_{G^{F}} (S)/S^{F} est produit semi–direct d’un sous–groupe distingué H par le groupe symétrique 𝔖_{3}, où H est produit direct d’un “groupe de Levi” de type 3·A_{1} par un groupe “non connexe”, et où 𝔖_{3} agit simultanément sur ces deux composants. Un tel phénomène se retrouve fréquemment dans les cas des groupes de type D_{n}. Cet exemple montre que la structure de N_{G^{F}} (S)/S^{F} peut être plus compliquée que celle constatée dans le cas de GL_{n}.

𝔾  d  C_{G^{F}} (S)  N_{G^{F}} (S)/S^{F}
E_{6}  5  (q^{5} − 1).A_{1}(q)  (q − 1).A_{1}(q).Z_{5}
E_{7}  4  (q^{2} + 1)^{2}.A_{1}(q)^{3}  (A_{1}(q)^{3}.[16]).𝔖_{3}
5  (q^{5} − 1).A_{2}(q)  (q − 1).A_{2}(q).Z_{10}
8  (q^{4} + 1).A_{1}(q^{2}).A_{1}(q)  A_{1}(q^{2}).A_{1}(q).Z_{8}
12  (q^{4} − q^{2} + 1).A_{1}(q^{3})  A_{1}(q^{3}).Z_{12}
E_{8}  7  (q^{7} − 1).A_{1}(q)  (q − 1).A_{1}(q).Z_{14}
9  (q^{6} + q^{3} + 1).A_{2}(q)  A_{2}(q).Z_{18}

Appendice 2: quelques remarques sur les polynômes cyclotomiques

Soit x une indéterminée. Pour tout entier positif n, on désigne par Φ_{n}(x) le n–ième polynôme cyclotomique, défini inductivement par la formule x^{n} − 1 = ∏_{d|n} Φ_{d}(x).

1. Le changement de x en −x permute entre eux les polynômes cyclotomiques :

Φ_{d}(−x) = Φ_{2d}(x) pour d impair et d > 1
Φ_{d}(−x) = Φ_{d}(x) pour d divisible par 4.

2. Si p est un nombre premier, on a

\{ \begin{matrix}Φ_{n}(x^{p}) & = Φ_{n}(x)Φ_{pn}(x) si p ∤ n \\ Φ_{n}(x^{p}) & = Φ_{pn}(x) si p | n \end{matrix}

On en déduit le calcul de Φ_{n}(x^{m}) pour deux entiers positifs quelconques n et m. Posons m = m_{n}m′_{n}, où m′_{n} est premier avec n, et où tous les nombres premiers qui divisent m_{n} divisent aussi n. On a alors

Φ_{n}(x^{m}) = ∏_{d|m′_{n}} Φ_{dm_{n}n}(x) .

3. Soient d et e deux entiers distincts de p.p.c.m. noté d ∨ e et de p.g.c.d. noté d ∧ e. Soit q un entier, et soit ℓ un nombre divisant à la fois Φ_{d}(q) et Φ_{e}(q). Alors ℓ divise à la fois d ∨ e et q^{d∧e} − 1.

Grâce à la dérivation de la formule x^{n} − 1 = ∏_{d|n} Φ_{d}(x), on voit en effet qu’il existe deux polynômes à coefficients entiers U_{d,e}(x) et U_{e,d}(x) tels que U_{d,e}(x)Φ_{d}(x)+ U_{e,d}(x)Φ_{e}(x) = (d ∨ e)x^{(d∨e)−1}. Donc ℓ divise (d ∨ e)q^{(d∨e)−1}

D’autre part il existe deux polynômes à coefficients entiers, notés V_{d}(x) et V_{e}(x), tels que x^{d∧e}−1 = V_{d}(x)(x^{d}−1)+V_{e}(x)(x^{e}−1), d’où on déduit que ℓ divise q^{d∧e}−1. □

Polynômes cyclotomiques sur ℤ[\sqrt{p}^{−1}] (p = 2 ou 3).

1. Le polynôme cyclotomique Φ_{d}(x) se décompose dans ℤ[\sqrt{p}^{−1}] si et seulement si 4p | d. C’est ainsi que

Φ_{4p}(x) = (x^{2} + x\sqrt{p} + 1)(x^{2} − x\sqrt{p} + 1) ,

ou encore que

Φ_{24}(x) = (x^{4} + x^{3}\sqrt{2} + x^{2} + x\sqrt{2} + 1)(x^{4} − x^{3}\sqrt{2} + x^{2} − x\sqrt{2} + 1)
Φ_{24}(x) = (x^{4} + x^{2}\sqrt{3} + 1)(x^{4} − x^{2}\sqrt{3} + 1) .

Pour 4p | d, on note Ψ_{d}(x) et Ψ̄_{d}(x) les deux diviseurs irréductibles de Φ_{d}(x) dans ℤ[\sqrt{p}^{−1}][x].

2. Pour P (x) ∈ ℚ(\sqrt{p})[x], on note P̄(x) le transformé de P (x) par l’automorphisme de Galois qui échange \sqrt{p} et −\sqrt{p}.

Les polynômes P (x) ∈ ℤ[\sqrt{p}^{−1}][x] possédant les propriétés suivantes:

• P (−x) = P̄(x),

• P (x) est produit de polynômes cyclotomiques de ℤ[\sqrt{p}^{−1}][x] sont les produits des polynômes suivants:

• Φ_{d}(x^{2}) pour 4 ∤ d,

• Φ_{d}(x) pour 4 | d, 4p ∤ d,

• Ψ_{d}(x) et Ψ̄_{d}(x) pour 4p | d, 8p ∤ d,

• Φ_{d}(x) pour 8p | d. Ainsi, pour p = 2, on a par exemple les polynômes Φ_{1}(x^{2}) = x^{2} − 1, Φ_{3}(x^{2}) =

x^{4} + x^{2} + 1, Φ_{4}(x) = x^{2} + 1, …, Ψ_{8}(x) = x^{2} + x\sqrt{2} + 1, Ψ̄_{8}(x) = x^{2} − x\sqrt{2} + 1, …, Φ_{16}(x) = x^{8} + 1, . . ..

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M. B. : D.M.I., 45 rue d’Ulm, F–75005 Paris, France

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