GAR-REALISIERUNGEN KLASSISCHER GRUPPEN

Gunter Malle

Universität Heidelberg

1. Einleitung

Das Umkehrproblem der Galoistheorie über dem Körper ℚ^{ab}(t) ist durch ein Resultat von Matzat zurückgeführt auf die Frage nach der Existenz von GAR-Realisierun-gen über ℚ^{ab} der endlichen nichtabelsch einfachen Gruppen. Auch über ℚ(t) können bei Vorliegen einer GAR-Realisierung über ℚ für eine nichtabelsch einfache Gruppe H alle Einbettungsprobleme mit Kern H^{r}, r ∈ ℕ, gelöst werden. Für die alternierenden und sporadischen Gruppen sind GAR-Realisierungen über ℚ^{ab} und bis auf die Fälle A_{6} und M_{23} auch über ℚ bekannt. Es bleiben somit die endlichen Gruppen vom Lie-Typ zu betrachten. Nachdem durch Arbeiten Belyis und des Autors nahezu alle dieser Gruppen als Galoisgruppen über ℚ^{ab}(t) realisiert wurden, stellt sich nun die Frage der Konstruktion von GAR-Realisierungen. In dieser Arbeit werden zwei Aspekte dieses Problems untersucht.

Zum ersten sind über ℚ^{ab} die Erweiterungen mit diagonalen Automorphismen bereits als Galoisgruppen realisiert. Wir geben hier für die Serien L_{n}(q) und O_{8}^{+}(q) Galoiserweiterungen an, die auch die Graphautomorphismen umfassen. Für die letztgenannte Serie wird damit erstmals eine äußere Automorphismengruppe vom Typ S_{4} realisiert. Zusammen mit einem Resultat von Belyi bedeutet dies:

Folgerung 1.1. Sei G = G(p) eine klassische Gruppe über dem Primkörper 𝔽_{p} (bzw. über dem Körper 𝔽_{p^{2}} im Falle der getwisteten Gruppen O_{2n}^{−}(p) und U_{n}(p)). Dann besitzt G eine GAR-Realisierung über ℚ^{ab} außer eventuell in den Fällen U_{n}(p), n ≥ 3, oder L_{n}(2), n ≥ 5.

Beweis. In [1] zeigt Belyi, daß die Gruppen L_{2}(p), S_{2n}(p), O_{2n+1}(p), O_{2n}^{+}(p) für n > 4, und O_{2n}^{−}(p) GAR-Realisierungen über ℚ^{ab} besitzen. Die übrigen Fälle werden in den Sätzen 3.4, 3.8 und 5.3 behandelt. □

Im Bezug auf Graphautomorphismen bleiben somit wesentlich nur die unitären Gruppen, für welche ähnliche Methoden wie die hier für GL_{n}(q) vorgestellten zum Ziel führen sollten. Der Nachweis von GAR-Realisierungen für Gruppen vom Lie-Typ mit nichttrivialen Körperautomorphismen wird im Allgemeinen einen anderen Zugang erfordern, da mit der hier verwendeten Methode nur äussere Automorphismengruppen behandelt werden können, die als Untergruppen von PGL_{2}(ℚ) vorkommen. Der oben angesprochene Fall einer S_{4} stellt also bereits einen Grenzfall dar. Mit einer

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Der Autor dankt der Deutschen Forschungsgemeinschaft für finanzielle Unterstützung

mehrdimensionalen Konstruktion ist es etwa Völklein gelungen, in jeder Dimension n für jeweils endlich viele Gruppen L_{n}(2^{e}) GAR-Realisierungen zu finden [21].

Als zweiter Aspekt (Abschnitte 4 und 6) werden GA(R)-Realisierungen über ℚ nachgewiesen. Es ist weiterhin ein offenes Problem, ob jede endliche einfache Gruppe als Galoisgruppe über ℚ vorkommt. Wir geben reguläre Galoisrealisierungen für einige unendliche Serien klassischer einfacher Gruppen über dem Körper ℚ(t) an. Dies umfaßt und verallgemeinert nahezu alle bisher bekannten Resultate in dieser Richtung, so etwa die Ergebnisse von Feit [7], Folkers [8], Häfner [9] und Matzat [15]. Zwar gelingt es auch hier nicht, eine vollständige Serie von Gruppen über ℚ zu realisieren; unseres Wissens ist dies jedoch das erste Mal, daß (für lineare und alle drei Typen orthogonaler Gruppen) in unendlich vielen Dimensionen jeweils unendlich viele Gruppen als Galoisgruppen über ℚ nachgewiesen werden konnten. Im Fall der linearen und orthogonalen Gruppen in ungerader Dimension handelt es sich hierbei zudem um GAR-Realisierungen; damit kommen alle endlichen Gruppen, deren sämtliche Kompositionsfaktoren von diesem Typ sind, als Galoisgruppen über ℚ vor. Das Hauptergebnis für lineare Gruppen ist das folgende:

Satz 1.2. (a) Seien n ungerade und p ≥ 5 mit ggT(n, p − 1) = 1 und p ≢ −1 (mod 12). Dann besitzt L_{n}(p) eine GAR-Realisierung über ℚ.

(b) Seien n > 2 gerade und p ≥ 5 mit ggT(n, p − 1) = 2 und p ≡ 5 (mod 8) oder p ≡ 7 (mod 12). Dann besitzt L_{n}(p) eine GA-Realisierung über ℚ.

Die Ergebnisse für orthogonale Gruppen lassen sich zusammenfassen als

Satz 1.3. Die folgenden Gruppen besitzen GA-Realisierungen über ℚ:

(a) Für n ≥ 1 mit 2n + 1 ∈ ℙ und 2 < p ∈ ℙ, p |̸2n + 3, die Gruppe O_{2n+1}(p), wobei p eine Primitivwurzel modulo 2n + 1 ist, und n gerade oder p ≡ 1 (mod 4) ist.

(b) Für n ≥ 2 mit 2n + 1 ∈ ℙ und 2 < p ∈ ℙ die Gruppe O_{2n}^{−}(p), wobei p eine Primitivwurzel modulo 2n + 1 ist, und n gerade oder p ≡ 1 (mod 4) ist.

(c) Für ungerade n ≥ 3 mit 2n + 1 ∈ ℙ und p ∈ ℙ die Gruppe O_{2n}^{+}(p), wobei p das Quadrat einer Primitivwurzel modulo 2n + 1 und entweder kongruent zu 3 (mod 4) oder gleich 2 ist.

(d) Für p ∈ ℙ mit p ≢ ±1 (mod 5) und p ≢ ±1 (mod 7) die Gruppe O_{8}^{+}(p).

Dabei handelt es sich in (a), und für p = 2 auch in (c) sogar um GAR-Realisierun-gen über ℚ, in (b), (c) und (d) um GAR-Realisierungen über ℚ^{ab}.

Für die in dieser Arbeit verwendeten Ergebnisse und Sprechweisen aus der konstruktiven Galoistheorie verweisen wir auf das Buch von Matzat [16], für die charaktertheoretischen Methoden auf die Arbeit [12], in der ähnliche Überlegungen zur Galoisrealisierung exzeptioneller Gruppen über ℚ^{ab} angestellt wurden.

Die Beweisidee für die orthogonalen Gruppen läßt sich kurz wie folgt skizzieren. Für die Automorphismengruppe der zu untersuchenden Gruppe findet sich ein Tripel C = (C_{1}, C_{2}, C_{3}) rationaler Konjugiertenklassen, welches starr im Sinne der konstruktiven Galoistheorie ist. Der Nachweis der Starrheit erfolgt zunächst mit Hilfe der Lusztigschen Charaktertheorie der Gruppen vom Lie-Typ, wobei für die orthogonalen Gruppen in gerader Dimension auch die jüngste Verallgemeinerung durch Digne und Michel [6] und den Autor [13] auf unzusammenhängende Gruppen benötigt wird. Aus dieser Theorie kann die Strukturkonstante von C so abgeschätzt werden, daß durch einen Grenzübergang p → ∞ die gewünschte Aussage folgt. Sodann zeigt man unter Verwendung von Wagners Klassifikation der endlichen Spiegelungsgruppen in positiver Charakteristik, daß Elementtripel in C bereits die gesamte Gruppe erzeugen. Das Matzatsche Starrheitskriterium liefert dann die behaupteten Galoisrealisierungen, und ebenso die schärfere Aussage über die GA(R)-Eigenschaft der zugehörigen Erweiterungen.

Die gemachten zahlentheoretischen Einschränkungen in den Ergebnissen erzwingen einmal die Rationalität der drei Klassen und ermöglichen andererseits den Beweis der Erzeugung. Es scheint bei diesem Zugang nicht möglich zu sein, Ergebnisse ohne solche einschränkenden Bedingungen zu erzielen (man vergleiche hierzu mit den übrigen bisher erhaltenen Realisierungen einfacher Gruppen über ℚ).

Die verwendete Methode gibt auch einen alternativen Beweis von Thompsons Realisierung [20] von O_{2n}^{−}(2), für 2n + 1 prim mit Primitivwurzel 2, siehe Satz 6.20.

An dieser Stelle möchte ich noch F. Lübeck und S. Reiter für einige wertvolle Hinweise danken.

2. Einige Vorbereitungen

In diesem Abschnitt stellen wir einige häufig verwendete Resultate aus der konstruktiven Galoistheorie sowie über die Untergruppenstruktur klassischer Gruppen zusammen.

2A. Konstruktive Galoistheorie.

Seien G eine endliche Gruppe und C = (C_{1}, C_{2}, C_{3}) ein Klassenvektor von G, bestehend aus drei Konjugiertenklassen C_{i}, i = 1, 2, 3, von G. Seien weiter

Σ̄(C) := {σ = (σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}) | σ_{i} ∈ C_{i}, σ_{1}σ_{2}σ_{3} = 1},
Σ(C) := {σ ∈ Σ̄(C) | ⟨σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}⟩ = G},
l(C) := |Σ(C)/Inn(G)|.

Ein Klassenvektor C von G mit l(C) = 1 heißt starr. Mit dem Klassenvektor C ist der abelsche Erweiterungskörper

ℚ_{C} := ℚ({χ(C_{i}) | χ ∈ Irr(G), i = 1, 2, 3})

von ℚ verbunden. Gilt ℚ_{C} = ℚ, so heißt C rational. Damit läßt sich das einfachste Starrheitskriterium der konstruktiven Galoistheorie formulieren (siehe [16, II, §4]):

Kriterium 2.1. Sei G eine endliche Gruppe mit einem starren Klassenvektor C = (C_{1}, C_{2}, C_{3}). Besitzt das Zentrum von G ein Komplement im Normalisator einer der Untergruppen ⟨σ_{i}⟩, σ_{i} ∈ C_{i}, so existiert eine reguläre Galoiserweiterung N/ℚ_{C}(t) mit

Gal(N/ℚ_{C}(t)) ≅ G.

Diese ist außerhalb einer beliebig vorgebbaren Menge von drei Primdivisoren vom Grad 1 von ℚ_{C}(t)/ℚ_{C} unverzweigt; die Trägheitsgruppen über den drei verzweigten Divisoren werden durch Elemente σ_{i} ∈ C_{i} erzeugt.

Eine Galoiserweiterung der im Starrheitskriterium genannten Art heißt eine G-Realisierung der endlichen Gruppe G über ℚ_{C}.

Die zwei wichtigsten Kriterien zur Nachprüfung der Starrheit, die auch in dieser Arbeit Anwendung finden, seien kurz wiederholt:

Kriterium 2.2 (Belyi). Sei G ≤ GL_{n}(k) eine endliche Untergruppe der linearen Gruppe über dem Körper k. Es gebe Elemente σ_{1}, σ_{2} ∈ G mit ⟨σ_{1}, σ_{2}⟩ = G, und a ∈ k^{×}, so daß σ_{1} − a1 Rang 1 hat. Gilt dann N_{GL(V)}(G) = G · C_{GL(V)}(G), so ist

l([σ_{1}], [σ_{2}], [σ_{2}^{−1}σ_{1}^{−1}]) = 1 .

Das zweite Kriterium ist charaktertheoretischer Natur:

Kriterium 2.3. Der Klassenvektor C = (C_{1}, C_{2}, C_{3}) der endlichen Gruppe G mit trivialem Zentrum ist starr, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

(a) Σ̄(C) = Σ(C),

(b)  n(C) := \frac{|G|}{|C_{G}(σ_{1})||C_{G}(σ_{2})||C_{G}(σ_{3})|} ∑_{χ∈Irr(G)} \frac{χ(σ_{1})χ(σ_{2})χ(σ_{3})}{χ(1)} = 1,

mit σ_{i} ∈ C_{i}.

Beweise für die Kriterien 2.2 und 2.3 finden sich etwa in [16, II, §§5 und 6].

Wir werden des weiteren von der Verschiebungstechnik für geometrische Galoiserweiterungen Gebrauch machen (siehe dazu [16, III, §2]). Ein Spezialfall dieser Technik liefert die folgende Aussage:

Bemerkung 2.4. Sei G̃ eine endliche Gruppe mit einem Normalteiler G vom Index 2 mit trivialem Zentrum. Sei weiter C = (C_{1}, C_{2}, C_{3}) ein starrer Klassenvektor von G mit C_{2} ≠ C_{3}. Fusionieren die beiden Klassen C_{2}, C_{3} in G̃ zu einer einzigen Konjugiertenklasse, während C_{1} bereits eine G̃-Konjugiertenklasse bildet, so existiert ein starrer Klassenvektor C̃ = (C_{4}, C_{5}, C_{6}) von G̃; genauer gilt

C_{4}^{2} = {1}, C_{5}^{2} = C_{1}, C_{6} = C_{2} ∪ C_{3}.

Sind dabei C_{1} und C_{2} ∪ C_{3} rational, so ist C̃ rational starr.

Beweis. Sei σ = (σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}) ∈ Σ(C) ein Erzeugendensystem von G zu dem Klassenvektor C. Nach Voraussetzung existiert ein τ ∈ G̃ \ G mit σ_{2}^{τ} = σ_{3}. Dann gehört σ^{τ} zu dem gleichfalls starren Klassenvektor (C_{1}, C_{3}, C_{2}) von G, also existiert ein γ ∈ G, welches σ^{τ} zu (σ_{2}^{−1}σ_{1}σ_{2}, σ_{3}, σ_{2}) ∈ Σ(C_{1}, C_{3}, C_{2}) konjugiert:

σ^{τγ} = (σ_{1}^{τ} , σ_{3}, σ_{3}^{τ})^{γ} = (σ_{2}^{−1}σ_{1}σ_{2}, σ_{3}, σ_{2}) .

Das Element τ_{1} := τγ ∈ G̃ \ G erfüllt damit

σ^{τ_{1}^{2}} = (σ_{2}^{−1}σ_{1}σ_{2}, σ_{3}, σ_{2})^{τ_{1}} = (σ_{3}^{−1}σ_{2}^{−1}σ_{1}σ_{2}σ_{3}, σ_{2}, σ_{3}) = σ,

sein Quadrat liegt also im Zentrum von G = ⟨σ_{2}, σ_{3}⟩. Nach Voraussetzung ist τ_{1} also eine Involution. Das Tripel (τ_{1}, τ_{1}σ_{2}^{−1}, σ_{2}) gehört damit zu einem Klassenvektor C̃ wie in der Behauptung. Wegen ⟨τ_{1}, σ_{2}⟩ = ⟨τ_{1}, σ_{2}, σ_{3}⟩ gilt sicher l(C̃) ≥ 1.

Sei nun (τ̃_{1}, τ̃_{2}, σ_{2}) ∈ Σ(C̃). Wegen τ̃_{1}^{2} = 1, τ̃_{2}^{2} ∈ C_{1} und l(C) = 1 sieht man, daß nach Konjugation mit einem geeigneten Element von G sogar τ̃_{2}^{2} = σ_{1} angenommen werden kann. Dann gilt aber στ̃_{1} ; 2 = σ_{3}, und τ_{1}τ̃_{1} liegt im Zentrum von G. Dies zeigt l(C̃) = 1.

Alternativ ließe sich die letzte Aussage auch durch Anwendung der Hurwitzklassifikation für in den drei Punkten ∞, 0, 1 verzweigte Galoiserweiterungen N/ℚ̄(t) mit Gruppe G̃ einsehen.

Um den Zusatz zu beweisen, müssen wir nur die Rationalität von C_{4} zeigen. Diese folgt aber wiederum aus der obigen Eindeutigkeitsaussage, da wir im Beweis nicht benutzt haben, daß τ̃_{2} zu τ_{1}σ_{2}^{−1} konjugiert ist. □

Schließlich sei der Begriff der GAR-Realisierung kurz erläutert. Seien H eine endliche nichtabelsch einfache Gruppe und G := Aut(H). Eine reguläre Galoiserweiterung N/k(t) mit Gal(N/k(t)) = G, für die der Fixkörper N^{H} der einfachen Gruppe ein rationaler Funktionenkörper über k ist, heißt eine GA-Realisierung von H über k. Ist weiterhin jeder Körper R/k(t) mit Rk̄ = N^{H} k̄ ein rationaler Funktionenkörper über k, so heißt N/k(t) eine GAR-Realisierung von H über k. Die Bedeutung dieses Begriffs liegt in der Tatsache, daß bei Vorliegen einer GAR-Realisierung von H jedes Einbettungsproblem mit Kern H^{r} über einem Hilbertkörper k eine Lösung besitzt ([16, IV, §5]). Die folgenden Aussagen finden sich in [16, IV, §4]:

Kriterium 2.5. (a) Sei N/k(t) eine GA-Realisierung von H wie im Kriterium 2.1. Ist Out(H) entweder zyklisch oder eine Diedergruppe der Ordnung 2n für ungerades n, so ist N/k(t) eine GAR-Realisierung von H über k.

(b) Über k = ℚ^{ab} ist jede GA-Realisierung bereits eine GAR-Realisierung.

2B. Struktursätze.

Wir stellen nun einige Resultate über Untergruppen der vollen linearen Gruppe über einem endlichen Körper zusammen, die beim Starrheitsbeweis mittels eines der beiden oben angeführten Kriterien 2.2 oder 2.3 benötigt werden.

Die Gruppe GL_{n}(q) enthält auf natürliche Weise eingebettet Gruppen GL_{n/s}(q^{s}) für alle s|n. Im Fall n = s nennt man die entsprechende zyklische Untergruppe GL_{1}(𝔽_{q^{n}}) ≅ 𝔽_{q^{n}}^{×} der Ordnung q^{n} − 1 einen Singerzyklus. Die Obergruppen von Singerzyklen wurden von Kantor in [10] mit elementaren Methoden bestimmt:

Satz 2.6 (Kantor). Sei H ≤ GL_{d}(q) eine Matrixgruppe über 𝔽_{q}, die einen Singerzyklus enthält. Dann gilt

GL_{d/s}(q^{s}) ≤ H ≤ N_{GL_{d}(q)}(GL_{d/s}(q^{s}))

für ein geeignetes s|d.

Des weiteren benötigen wir einen Überblick über die endlichen primitiven Spiegelungsgruppen in Charakteristik p ≥ 3. Wagner [22] gelang eine Klassifikation solcher Gruppen, von der hier aber nur der Spezialfall der linearen Gruppe über dem Primkörper 𝔽_{p} mit p ≥ 3 eine Rolle spielen wird:

Satz 2.7 (Wagner). Seien d ≥ 5, p ≥ 3, und H ≤ PGL_{d}(p) das Bild einer von Spiegelungen erzeugten irreduziblen und primitiven Untergruppe von GL_{d}(p). Dann gilt eines von:

(a) L_{d}(p) ≤ H ≤ PGL_{d}(p), oder

(b) O_{d}^{(±)}(p) ≤ H ≤ PCO_{d}^{(±)}(p), oder

(c) H = S_{d+1} und p |̸(d + 1), oder H = S_{d+2} und p|(d + 2), oder

(d) (H, d) ∈ {(O_{5}(3), 5), (O_{6}^{−}(3).2, 6), (SO_{5}(3), 6), (O_{7}(2), 7), (SO_{8}^{+}(2), 8)}.

Neben Spiegelungen werden auch Transvektionen eine Rolle spielen. Über einem Primkörper wurden die von Wurzeluntergruppen, also von Transvektionen, erzeugten Untergruppen der speziellen linearen Gruppe durch McLaughlin [18, 19] klassifiziert. Der Fall p = 2 erweist sich dabei erwartungsgemäß als schwieriger als der ungerader Charakteristik. Es ergibt sich folgendes Bild:

Satz 2.8 (McLaughlin). Seien d ≥ 2, p ≥ 3, und H eine von einer Klasse von Transvektionen erzeugte irreduzible Untergruppe von SL_{d}(p). Dann gilt H = Sp_{d}(p) oder H = SL_{d}(p).

Satz 2.9 (McLaughlin). Die durch Transvektionen erzeugten irreduziblen Untergruppen von SL_{2d}(2) sind:

SL_{2d}(2), S_{2d}(2), GO_{2d}^{+}(2), GO_{2d}^{−}(2), S_{2d+2}, S_{2d+1} .

3. GAR-Realisierungen linearer Gruppen über ℚ^{ab}

In diesem Paragraphen beweisen wir die Existenz von G-Realisierungen über ℚ^{ab} für die Erweiterung GL_{n}(q).⟨γ⟩ der vollen linearen Gruppe über 𝔽_{q}, q = p^{n} ≡ 1 (mod 2), mit dem Graphautomorphismus γ der Ordnung 2.

3A. Die Gruppen GL_{2m}(q), q ≡ 1 (mod 2).

In diesem Abschnitt seien n = 2m gerade und 2 < p ∈ ℙ ungerade. Wir untersuchen die volle lineare Gruppe GL_{n}(q) über dem endlichen Körper mit q = p^{f} Elementen. Es bezeichne A die Transvektion

A := ( \begin{matrix}1 & 1 \\ & 1 \\ & & . & . & . \\ & & & & & 1 \end{matrix} )

und B das Element

B := ( \begin{matrix}−b_{n−1} & 0 & 1 \\ 2b_{n−1} \\ b_{n−2} & & & 1 \\ ⋮ & & & & ... \\ b_{2} & & & & & 1 \\ b_{1} & c_{2} & c_{3} & c_{4} & … & c_{n} \end{matrix} )

von M^{n×n}(q), mit Elementen b_{i}, c_{i} ∈ 𝔽_{q}, die zudem den Bedingungen

b_{1} = b_{3} = … = b_{n−3} = 0, c_{4} = c_{6} = … = c_{n} = 0,

genügen. Die folgenden Aussagen sind elementar nachprüfbar:

Lemma 3.1. Die Hauptpolynome von B und A · B erfüllen:

\begin{matrix}det(X − B) = & X^{n} + b_{n−1}X^{n−1} + ∑_{i=1}^{m−1} (−b_{2i} − c_{2i+1} + ∑_{j=2i+1}^{n−2} b_{j}c_{n+2i−j+1}) X^{2i} \\ − ∑_{i=1}^{m−1} b_{n−1}c_{2i+1}X^{2i−1} − 2b_{n−1}c_{2}, \end{matrix}

det(X − AB) − det(X − B) = −2b_{n−1}X^{n−1} + 2 ∑_{i=1}^{m−1} b_{n−1}c_{2i+1}X^{2i−1}.

Insbesondere gilt det(X − AB) = det(X + B).

Für ein vorgegebenes normiertes Polynom

f(X) = X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + … + a_{0} ∈ 𝔽_{q}[X]

mit a_{n−1} ≠ 0 existieren nach dem Lemma eindeutig bestimmte Lösungen b_{2}, …, b_{2m−2}, b_{n−1} und c_{2}, c_{3}, …, c_{2m−1} mit det(X −B) = f(X). Für die zugehörige Matrix schreiben wir B_{f}.

Bemerkung 3.2. Seien f(X) = X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + … + a_{0} ∈ 𝔽_{q}[X] das Minimalpolynom eines Erzeugers der zyklischen Gruppe 𝔽_{q^{n}}^{×} mit a_{n−1} ≠ 0, und C der aus den Konjugiertenklassen der Elemente (−A, B_{f}, −(AB_{f})^{−1}) gebildete Klassenvektor von GL_{n}(q). Dann gelten ⟨−A, B_{f}⟩ = GL_{n}(q) und l(C) = 1.

Beweis. Wegen a_{n−1} ≠ 0 existiert nach der Vorüberlegung die Matrix B_{f}. Die Gruppe H := ⟨−A, B_{f}⟩ enthält nach der Wahl von f den Singerzyklus B_{f}. Gemäß dem Satz von Kantor (Satz 2.6) besitzt H demnach einen Normalteiler vom Typ GL_{n/s}(q^{s}) in der natürlichen Einbettung. In diesem kann nur für s = 1 eine Transvektion enthalten sein, woraus also H = GL_{n}(q) folgt.

Die Matrix −A hat einen n − 1-dimensionalen Eigenraum zum Eigenwert −1, so daß die zweite Behauptung aus dem Kriterium 2.2 von Belyi folgt. □

Nun bezeichne

γ : GL_{n}(q) → GL_{n}(q),  M ↦ (M^{t})^{−1},  (3.3)

den Graphautomorphismus von GL_{n}(q), welcher eine Matrix auf das Transponierte der Inversen abbildet. Für n > 2 ist das zugehörige semidirekte Produkt GL_{n}(q).⟨γ⟩ eine nichttriviale Erweiterung von GL_{n}(q). Da γ das Zentrum von GL_{n}(q) invariant läßt, induziert die Operation auch eine nichttriviale Erweiterung der Faktorgruppe PGL_{n}(q) mit γ.

Satz 3.4. Seien n = 2m gerade und p ungerade.

(a) Die Gruppen PGL_{n}(q).⟨γ⟩, q = p^{f}, besitzen G-Realisierungen über ℚ^{ab}. Dabei ist der Fixkörper der einfachen Gruppe L_{n}(q) ein rationaler Funktionenkörper.

(b) Die Gruppe L_{n}(p) besitzt eine GAR-Realisierung über ℚ^{ab}.

Beweis. Nach einem Ergebnis von Davenport [3] existiert ein Element x ∈ 𝔽_{q^{n}} der multiplikativen Ordnung q^{n} − 1, so daß {x, x^{q}, …, x^{q^{n−1}}} linear unabhängig über 𝔽_{q} sind, also eine Normalbasis von 𝔽_{q^{n}}/𝔽_{q} bilden. Damit ist die Spur ∑_{i=0}^{n−1} x^{q^{i}} von x ungleich 0, also hat das Minimalpolynom f von x über 𝔽_{q} die Form f = ∑_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} mit a_{n} = 1, a_{n−1} ≠ 0. Nach Bemerkung 3.2 gilt dann l(C) = 1 für den zu (−A, B_{f}, −(AB_{f})^{−1}) gehörigen Klassenvektor C von G := GL_{n}(q). Da das Zentrum von G ein Komplement im Normalisator in G von ⟨A⟩ besitzt (siehe etwa [16, II, §5, Bem. 2]), existiert nach Kriterium 2.1 eine G-Realisierung von G über ℚ^{ab}. Trivialerweise besitzt damit auch Ḡ := PGL_{n}(q) als Faktorgruppe eine G-Realisierung bezüglich des kanonischen Bildes C̄ des Klassenvektors C.

Nach Lemma 3.1 sind B_{f} und −AB_{f} in GL_{n}(q) konjugiert. Da weiterhin die Klasse von A invariant unter γ ist, können wir Bemerkung 2.4 auf das kanonische Bild C̄ von C in Ḡ := PGL_{n}(q) anwenden. Es folgt die Existenz eines starren Klassenvektors C̃ von Ḡ.⟨γ⟩ mit Verschiebungsbild C̄. Wegen |Z(Ḡ.⟨γ⟩)| = 1 existiert nach Kriterium 2.1 eine G-Realisierung N/ℚ^{ab}(t) von Ḡ.⟨γ⟩. Dabei ist der Fixkörper K unter der einfachen Gruppe L_{n}(q) ein rationaler Funktionenkörper, da die zugehörige Teilerweiterung K/ℚ^{ab}(t) eine an drei Punkten verzweigte Diedererweiterung mit Verzweigungsordnungen (2, 2, k) ist, mit k = ggT(q − 1, n).

Für Teil (b) genügt es wegen Kriterium 2.5 festzustellen, daß im Fall q = p schon Aut(L_{n}(q)) = PGL_{n}(q).⟨γ⟩ gilt. □

3.5. Anmerkung. Für q ≠ p erhalten wir keine GAR-Realisierungen, da die Automorphismengruppe noch nichttriviale Körperautomorphismen enthält. Das Ergebnis verallgemeinert aber auch in diesem Fall das Resultat von Belyi, da neben den Diagonalautomorphismen auch der Graphautomorphismus realisiert wird.

Selbst für q = p können auf diesem Weg keine GAR-Realisierungen über ℚ erhalten werden, da die Automorphismengruppe hier immer eine Diedergruppe mit durch 4 teilbarer Ordnung ist, und somit die Rationalitätsbedingung nicht nachgewiesen werden kann.

3B. Die Gruppen GL_{2m+1}(q), q ≡ 1 (mod 2).

Seien nun n = 2m + 1 ungerade und weiterhin p ≠ 2. In GL_{n}(q) wählen wir die Spiegelung

A := diag(−1, 1, …, 1)

und das Element

B := ( \begin{matrix}b_{n} & 1 \\ b_{n−1} & 0 & 1 \\ ⋮ & & & ... \\ b_{2} & & & & 1 \\ b_{1} & c_{2} & c_{3} & … & c_{n} \end{matrix} )

mit

b_{2} = b_{4} = … = b_{2m} = 0, c_{3} = c_{5} = … = c_{2m+1} = 0.

Wie oben sind die folgenden Aussagen elementar nachprüfbar:

Lemma 3.6. Die Hauptpolynome von B und A · B erfüllen

\begin{matrix}det(X − B) = & X^{n} − b_{n}X^{n−1} − ∑_{i=0}^{m−1} c_{2i+2}X^{2i+1} \\ + ∑_{i=0}^{m−1} (b_{n}c_{2i+2} − b_{2i+1} + ∑_{j=2i+2}^{n−1} b_{j}c_{n+2i−j+2}) X^{2i} \end{matrix}

und det(X + AB) = det(X − B).

Offensichtlich existieren nach Lemma 3.6 für ein vorgegebenes normiertes Polynom

f(X) = X^{n} + a_{n−1}X^{n−1} + … + a_{0} ∈ 𝔽_{q}[X]

wiederum eindeutig bestimmte Lösungen b_{1}, b_{3}, …, b_{2m+1} und c_{2}, …, c_{2m} mit f(X) = det(X − B). Für die zugehörige Matrix schreiben wir B_{f}.

Bemerkung 3.7. Sei f(X) ∈ 𝔽_{q}[X] das Minimalpolynom eines Erzeugers der zyklischen Gruppe 𝔽_{q^{n}}^{×}. Dann gelten ⟨−A, B_{f}⟩ = GL_{n}(q) und

l(([−A], [B_{f}], [−(AB_{f})^{−1}])) = 1 .

Beweis. Die Gruppe H := ⟨−A, B_{f}⟩ enthält gemäß der Wahl von x den Singerzyklus ⟨B_{f}⟩ und das Negative der Spiegelung A, und mit dem Satz von Kantor (Satz 2.6) folgt wiederum H = GL_{n}(q).

Die Matrix −A hat einen n − 1-dimensionalen Eigenraum zum Eigenwert −1, so daß nach dem Kriterium 2.2 von Belyi auch die zweite Behauptung folgt. □

Wie in (3.3) bezeichne γ den Graphautomorphismus von GL_{n}(q).

Satz 3.8. Seien n = 2m + 1 ungerade und 2 < p ∈ ℙ.

(a) Die Gruppen PGL_{n}(q).⟨γ⟩, q = p^{f}, besitzen G-Realisierungen über ℚ^{ab}. Dabei ist der Fixkörper der einfachen Gruppe L_{n}(q) ein rationaler Funktionenkörper.

(b) Die Gruppe L_{n}(p) besitzt eine GAR-Realisierung über ℚ^{ab}.

Beweis. Seien x ein erzeugendes Element von 𝔽_{q^{n}}^{×} und f das Minimalpolynom von x über 𝔽_{q}. Nach Bemerkung 3.7 gilt dann l(C) = 1 für den Klassenvektor C := ([−A], [B_{f}], [−(AB_{f})^{−1}]) von G := GL_{n}(q). Wegen C_{G}(A) = GL_{1}(q) × GL_{n−1}(q) besitzt das Zentrum Z(G) ein Komplement im Normalisator von ⟨A⟩ und nach dem Starrheitskriterium 2.1 existiert eine G-Realisierung von G über ℚ^{ab}. Durch Übergang zum Faktor nach Z(G) liefert dies eine G-Realisierung von PGL_{n}(q).

Der Beweis verläuft nun völlig analog zu dem von Satz 3.4, indem C̄ mittels Bemerkung 2.4 als das Bild eines verschobenen Klassenvektors von PGL_{n}(q).⟨γ⟩ aufgefaßt wird.

Da im Fall q = p schon Aut(L_{n}(q)) = PGL_{n}(q).⟨γ⟩ gilt, folgt Teil (b) wiederum direkt mit Kriterium 2.5. □

4. GAR-Realisierungen linearer Gruppen über ℚ

Die in 3A und 3B eingeführten Typen von Klassenvektoren von PGL_{n}(p) erlauben unter gewissen Einschränkungen auch den Nachweis von GA(R)-Realisierungen von L_{n}(p) über ℚ. Ähnliche Ergebnisse für ungerade Dimension n ≤ 19 wurden bereits von Folkers [8] erhalten.

4A. Die Gruppen SL_{2m+1}(p).

Die in Abschnitt 3B untersuchten Klassenvektoren für GL_{n}(q) in ungerader Dimension n = 2m + 1 und Charakteristik p ≥ 5 führen auch zu GAR-Realisierungen über ℚ.

Satz 4.1. Seien n ungerade mit 2n + 1 ∈ ℙ und 2 ≠ p ∈ ℙ eine Primitivwurzel modulo 2n + 1 mit ggT(p − 1, n) = 1. Dann besitzt L_{n}(p) eine GAR-Realisierung über ℚ.

Beweis. Unter den gemachten Voraussetzungen enthält 𝔽_{p^{n}} ein Element x der multiplikativen Ordnung 2n + 1, welches die Körpererweiterung 𝔽_{p^{n}}/𝔽_{p} erzeugt. Seien f das Minimalpolynom von x, B_{f} die zugehörige Matrix und C der aus den Konjugiertenklassen der Elemente (−A, B_{f}, −(AB_{f})^{−1}) gebildete Klassenvektor von GL_{n}(p). Die Gruppe H := ⟨A, −B_{f}⟩ operiert irreduzibel und wird durch Spiegelungen erzeugt. Für die Erzeugung benötigen wir hier den tieferen Satz von Wagner (Satz 2.7). Daraus folgt wegen ggT(p − 1, n) = 1 leicht H = GL_{n}(p). Mit dem Kriterium 2.2 von Belyi erhalten wir l(C) = 1. Mit dem Verschiebungsargument im Beweis von Satz 3.8 folgert man daraus die Existenz eines starren Klassenvektors von PGL_{n}(p).⟨γ⟩.

Auf dem Singerzyklus von GL_{n}(p) operiert eine zyklische Gruppe der Ordnung n. Damit ist die Klasse von B_{f} semirational, und der per Verschiebung konstruierte Klassenvektor von PGL_{n}(p).⟨γ⟩ ist rational. Wegen PGL_{n}(p).⟨γ⟩ = Aut(L_{n}(p)) und Out(L_{n}(p)) = Z_{2} folgt die gewünschte Behauptung. □

Eine etwas andere Wahl für die zweite und dritte Klasse von C führt zu wesentlich weitreichenderen Resultaten. Es erweist sich hierzu als sinnvoll, andere Vertreter A und B der Konjugiertenklassen von C zu wählen. Seien also

A = A(b_{1}, …, b_{n−1}) := ( \begin{matrix}b_{1} & & & & b_{1} + 1 \\ b_{2} & −1 & & & b_{2} \\ ⋮ & & ... & & ⋮ \\ b_{n−1} & & & −1 & b_{n−1} \\ 1 − b_{1} & & & & −b_{1} \end{matrix} )

und

B := ( \begin{matrix}a^{1−n} \\ & a \\ & 1 & a \\ & & ... & ... \\ & & & 1 & a \end{matrix} )

für a, b_{1}, …, b_{n−1} ∈ 𝔽_{p}, a^{1−n} ≠ ±a. Offensichtlich ist A in GL_{n}(p) zu der Diagonalmatrix diag(1, −1, …, −1) konjugiert, also das Negative einer Spiegelung. Weiter besitzt B genau die zwei Eigenwerte a^{1−n} und a mit jeweils 1-dimensionalem Eigenraum.

Lemma 4.2. Es existiert genau ein Vektor (b_{1}, …, b_{n−1})^{t} ∈ 𝔽_{p}^{n−1} mit

det(X − B) = det(X − A(b_{1}, …, b_{n−1})B) .

Dieser erfüllt zudem b_{2} ≠ 0.

Beweis. Man errechnet auf elementare Weise

\begin{matrix}det(X − AB) = & (b_{1} + 1)a^{1−n}Y^{n−1} + (Y − a + a^{1−n})(Y + b_{1}a − a)Y^{n−2} \\ − (Y − a)(Y − a + a^{1−n}) ∑_{i=0}^{n−3}(−1)^{i}b_{i+2}Y^{i}, \end{matrix}

mit Y := X + a. Die Gleichheit det(X − B) = det(X − AB) liefert demnach n lineare Gleichungen in b_{1}, …, b_{n−1}. Da aber nach Konstruktion det(B) = det(AB) gilt, ist eine dieser Gleichungen identisch erfüllt, und es bleiben n−1 Gleichungen in den n−1 Unbekannten. Durch Koeffizientenvergleich mit dem charakteristischen Polynom

det(X − B) = (Y − a − a^{1−n})(Y − 2a)^{n−1}

bei Y^{0}, …, Y^{n−3} sind nun b_{2}, …, b_{n−1} wegen ±a ≠ a^{1−n} eindeutig bestimmt. Es bleiben die Werte bei Y^{n−2} und Y^{n−1} zu vergleichen. Diese beiden Gleichungen sind nach der Vorüberlegung linear abhängig, und b_{1} kann aus einer der beiden eindeutig bestimmt werden. Dies zeigt die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung.

Der Wert von b_{2} ergibt sich durch Vergleich bei Y^{0} als ungleich Null, da Y = 0 keine Nullstelle von det(X − B) ist. □

Nach Konstruktion haben die Matrizen A und B Determinante 1, liegen also bereits in der SL_{n}(p). Sei nun C_{a} der Klassenvektor zu dem Elementtripel (A, B, (AB)^{−1}) von SL_{n}(p) für die in Lemma 4.2 konstruierte Wahl von b_{1}, …, b_{n−1}.

Bemerkung 4.3. Seien p ≥ 5, ggT(n, p−1) = 1 und a ≠ ±a^{1−n}. Dann gilt l(C_{a}) = 1 in SL_{n}(p).

Beweis. Wir zeigen zunächst, daß H := ⟨A, B⟩ eine irreduzible Untergruppe von SL_{n}(p) ist. Sei dazu V ≤ W := 𝔽_{p}^{n} ein invarianter Teilraum. Offensichtlich gilt V ≠ ⟨(1, 0, …, 0)^{t}⟩. Daher besitzt B einen Eigenwert a auf V, und der zugehörige Eigenvektor (0, …, 0, 1)^{t} liegt in V. Dann gilt

v := A · (0, …, 0, 1)^{t} = (b_{1} + 1, b_{2}, b_{3}, …, b_{n−1}, −b_{1})^{t} ∈ V .

Wegen b_{2} ≠ 0 nach Lemma 4.2 spannen die Vektoren v, Bv, …, B^{n−2}v einen n − 1-dimensionalen Teilraum von W auf. Zusammen mit dem ursprünglichen Vektor (0, …, 0, 1)^{t} erhält man daher V = W.

Damit ist die Gruppe H̃ := ⟨−A, −B⟩ eine irreduzible Untergruppe von GL_{n}(p), die von Spiegelungen erzeugt wird und mit der ord(a)-ten Potenz von B ein unipotentes Element mit einem Jordanblock der Länge n−1 enthält. Wegen a ≠ ±a^{1−n} ist a ≠ ±1 und damit das Element B nicht rational. Es kann daher auch in keiner symmetrischen Untergruppe von SL_{n}(p) liegen. Nach dem Satz 2.7 von Wagner bleiben in ungerader Dimension nur noch die Fälle H̃ ≤ GO_{n}(p) oder SL_{n}(p) ≤ H̃. Da GO_{n}(p) kein unipotentes Element mit der angegebenen Jordan-Normalform enthält, impliziert dies H = SL_{n}(p).

Wegen ggT(n, p − 1) = 1 ist GL_{n}(p) = Z(GL_{n}(p)) × SL_{n}(p), und nach dem Kriterium von Belyi gilt damit l(C_{a}) = 1. □

Es bleibt damit nur die Aufgabe, a so zu wählen, daß das Element B semirational wird.

Satz 4.4. Seien n ungerade und p ≥ 5 mit ggT(n, p − 1) = 1 und p ≢ −1 (mod 12). Dann besitzt L_{n}(p) eine GAR-Realisierung über ℚ.

Beweis. Unter den gemachten Voraussetzungen zeigt Bemerkung 4.3, daß l(C_{a}) = 1 für beliebiges a ∈ 𝔽_{p} mit a ≠ ±a^{n−1} gilt. Der Klassenvektor C_{a} hat dieselbe Gestalt wie der im Abschnitt 3B untersuchte Klassenvektor von GL_{n}(p), daher kann man mit Bemerkung 2.4 schließen, daß er durch Verschiebung von einem starren Klassenvektor von SL_{n}(p).⟨γ⟩ herrührt. Es genügt also zu zeigen, daß die Klasse [B] in der Situation des Satzes semirational gewählt werden kann.

Da der p-Anteil von B wegen ggT(n, p − 1) = 1 rational ist, wird B etwa für ord(B) ∈ {4p, 6p} semirational. Der erste Fall tritt für a ∈ 𝔽_{p} mit a^{2} = −1 ein. Ein solches Element existiert für p ≡ 1 (mod 4) und erfüllt wegen n ≡ 1 (mod 2) immer a ≠ ±a^{n−1}. Der zweite Fall ergibt sich für a^{3} = −1, a ≠ −1, und ein solches a existiert, falls p ≡ 1 (mod 6) gilt. Auch hier ist die Zusatzvoraussetzung an a wegen ggT(n, p − 1) = 1 trivialerweise erfüllt.

Schließlich ist unter den gemachten Annahmen Aut(L_{n}(p)) ≅ SL_{n}(p).⟨γ⟩. □

4.5 Anmerkung. In [8] zeigt Folkers für Dimension n ≤ 19 das obige Ergebnis für eine andere Wahl des Klassenvektors unter der etwas schwächeren Voraussetzung n ≢ −1 (mod 24) (muß aber die jeweils endlich vielen Teiler p von n − 1 ausschließen).

4B. Die Gruppen L_{n}(p), n gerade.

Sei nun n = 2m > 2 gerade. Wir setzen

A = A(b_{1}, …, b_{n−1}) := ( \begin{matrix}b_{1} − 1 & & & & b_{1} \\ b_{2} & −1 & & & b_{2} \\ ⋮ & & ... & & ⋮ \\ b_{n−1} & & & −1 & b_{n−1} \\ −b_{1} & & & & −1 − b_{1} \end{matrix} )

und

B := ( \begin{matrix}a^{2−n} \\ & a \\ & 1 & a \\ & & ... & ... \\ & & & 1 & a \end{matrix} )

für a, b_{1}, …, b_{n−1} ∈ 𝔽_{p}, a^{2−n} ≠ ±a. Offensichtlich ist −A eine Transvektion in GL_{n}(p). Weiter besitzt B genau die zwei Eigenwerte a^{2−n} und a mit jeweils 1dimensionalem Eigenraum.

Lemma 4.6. Es existiert genau ein Vektor (b_{1}, …, b_{n−1})^{t} ∈ 𝔽_{p}^{n−1} mit

det(X − B) = det(X − A(b_{1}, …, b_{n−1})B) .

Dieser erfüllt zudem b_{2} ≠ 0.

Beweis. Das charakteristische Polynom von AB ergibt sich als

\begin{matrix}det(X − AB) = & (Y − a + a^{2−n})(Y + b_{1}a)Y^{n−2} − b_{1}a^{2−n}Y^{n−1} \\ + (Y − a + a^{2−n})(Y − a) ∑_{i=0}^{n−3}(−1)^{i}b_{i+2}Y^{i} \end{matrix}

mit Y := X + a. Man argumentiert jetzt wie im Beweis zu Lemma 4.2 unter Verwendung der Bedingung a^{2−n} ≠ ±a, um die Existenz und Eindeutigkeit von b_{1}, …, b_{n−1} zu zeigen. Die Zusatzaussage folgt sofort durch Koeffizientenvergleich bei Y^{0}. □

Wir nehmen nun ggT(n, p − 1) = 2 an. Dann hat ⟨SL_{n}(p), Z(GL_{n}(p))⟩ den Index zwei in GL_{n}(p). Wegen det(B) = a liegt B nicht in SL_{n}(p). Ist zudem a ein Nichtquadrat in 𝔽_{p}^{×}, so erzeugt B zusammen mit ⟨SL_{n}(p), Z(GL_{n}(p))⟩ die Gruppe GL_{n}(p). In diesem Fall sei C_{a} der Klassenvektor C_{a} = ([A], [B], [(AB)^{−1}]) von GL_{n}(p) für die in Lemma 4.6 bestimmten Werte von b_{1}, …, b_{n−1}.

Bemerkung 4.7. Seien p ≥ 5, ggT(n, p−1) = 2 und a wie oben. Dann gilt l(C_{a}) = 1 in ⟨SL_{n}(p), B⟩.

Beweis. Mit denselben Überlegungen wie im Beweis von Bemerkung 4.3 stellt man fest, daß H := ⟨A, B⟩ eine irreduzible Untergruppe von GL_{n}(p) ist. Weiter enthält H eine Transvektion und ein unipotentes Element mit einem Jordanblock der Länge n−1. Da ein solches Element nicht in der symplektischen Gruppe Sp_{n}(p) liegt, folgt nach dem Satz 2.8 von McLaughlin schon SL_{n}(p) ≤ H. Die obige Vorbemerkung impliziert GL_{n}(p) = ⟨H, Z(GL_{n}(p))⟩. Die Voraussetzungen des Kriteriums von Belyi sind somit erfüllt, und das Ergebnis folgt. □

Soll die Klasse von B semirational sein, so muß wiederum a von der multiplikativen Ordnung 4 oder 6 gewählt werden. Damit erhalten wir:

Satz 4.8. Seien n > 2 gerade und p ≥ 5 mit ggT(n, p − 1) = 2 und p ≡ 5 (mod 8) oder p ≡ 7 (mod 12). Dann besitzt L_{n}(p) eine GA-Realisierung über ℚ.

Beweis. Wegen n > 2 und p ∈ ℙ gilt Aut(L_{n}(p)) ≅ PGL_{n}(p).⟨γ⟩. Es genügt daher, eine an drei Punkten verzweigte G-Realisierung von PGL_{n}(p) zu konstruieren, welche durch Verschiebung aus einer G-Realisierung von PGL_{n}(p).⟨γ⟩ entsteht. Ausgangspunkt ist der Klassenvektor C_{a} und Bemerkung 4.7. Wir wählen zunächst a ∈ 𝔽_{p} mit a^{2} = −1. Ein solches Element existiert für p ≡ 1 (mod 4). Weiter ist dies ein Nichtquadrat, falls p ≢ 1 (mod 8). Damit sind alle Voraussetzungen von Bemerkung 4.7 erfüllt und der erste Teil der Aussage folgt.

Den zweiten Fall erhält man durch die Wahl von a ∈ 𝔽_{p} mit a^{3} = −1, a ≠ −1. □

Wie schon in Abschnitt 3A führt dies nicht zu GAR-Realisierungen, da die Automorphismengruppe eine Diedergruppe mit durch 4 teilbarer Ordnung ist.

Anmerkung. Im Fall n = 2 bleibt der obige Satz, nicht aber alle Teile des Beweises richtig. Die Gruppe PGL_{2}(p) besitzt für p ≢ ±1 (mod 8) ein starres (2, 4, p)-System, und für p ≢ ±1 (mod 12) ein starres (2, 6, p)-System (siehe [16, III, §4]). Die Erweiterung mit dem Graphautomorphismus ist hier trivial, und das Analogon von Satz 4.8 erhält man für das Produkt des angegebenen Klassenvektors mit dem (2, 1, 2)-System des direkten Faktors Z_{2}. Entsprechend sollten die Fälle p ≡ 3 (mod 8) und p ≡ 5 (mod 12) wegen L_{2}(p) ≅ U_{2}(p) als Spezialfälle n = 2 eines analogen Resultats für die unitären Gruppen U_{n}(p) interpretiert werden können. Dies soll hier nicht weiter verfolgt werden.

5. GA-Realisierungen von O_{8}^{+}(q)

Die ungetwisteten 8-dimensionalen orthogonalen Gruppen besitzen den vom Dynkindiagramm D_{4} herrührenden Ausnahme-Graphautomorphismus der Ordnung 3, welcher nicht innerhalb der zugehörigen konformen Gruppe realisiert ist. Während die Erweiterungen mit Graphautomorphismen der Ordnung 2 schon von Belyi [1] mit seinem darstellungstheoretischen Kriterium als Galoisgruppen realisiert wurden, war der 8-dimensionale Fall bisher noch offen und erfordert eine getrennte Behandlung.

Sei G := PCO_{8}^{+}(q).⟨δ⟩, q = p^{f}, die Erweiterung der projektiven konformen 8dimensionalen zerfallenden orthogonalen Gruppe über dem endlichen Körper 𝔽_{q} mit dem Trialitätsgraphautomorphismus δ der Ordnung 3. Dann gilt

G/ O_{8}^{+}(q) ≅ \{ \begin{matrix}S_{4}, & falls p > 2, \\ S_{3}, & falls p = 2. \end{matrix}

Sei C_{2} die Klasse des Graphautomorphismus in G der Ordnung 2 mit Zentralisator vom Typ GO_{7}(q) = SO_{7}(q) × Z_{2}. Der Graphautomorphismus δ der Ordnung 3 zentralisiert eine Untergruppe vom Typ G_{2}(q); sei C_{3}^{+} die Klasse des Produkts dieses Graphautomorphismus mit einem (regulären) Element der Ordnung q^{2} + q + 1 in seinem Zentralisator, und analog C_{3}^{−} die Klasse des Produkts mit einem (regulären) Element der Ordnung q^{2} − q + 1 (ein solches existiert für alle q ≠ 2). Schließlich bezeichne T einen maximalen Torus der zusammenhängenden Gruppe PCO_{8}^{+}(q)^{∘} < G der Ordnung (q^{2} + 1)^{2}. Dieser hat die Struktur eines direkten Produkts zweier zyklischer Gruppen der Ordnung q^{2} + 1. Der Graphautomorphismus der Ordnung 2 in G vertauscht die beiden Faktoren, also existieren in G Elemente der Ordnung 2(q^{2} + 1), welche zu einem Element in T quadrieren. Sei C_{T} die Klasse eines solchen Elements. Der Zentralisator von σ ∈ C_{T} in G hat die Ordnung 2(q^{2} + 1)|A_{1}(q)|. Daraus seien die Klassenvektoren C^{±} := (C_{2}, C_{3}^{±}, C_{T}) von G gebildet.

Bemerkung 5.1. Die Klassenvektoren C^{±} von G erfüllen l(C^{±}) = 1.

Beweis. Zum Beweis werten wir die charaktertheoretische Formel in Kriterium 2.3 für die normalisierte Strukturkonstante aus. Dazu werden Ergebnisse aus der Charaktertheorie unzusammenhängender Gruppen verwendet.

Kein nichtzentrales halbeinfaches Element von G^{∘} = PCO_{8}^{+}(q)^{∘} besitzt reguläre Elemente der Ordnungen q^{2} + q + 1 und q^{2} + 1 in seinem Zentralisator. Dies bedeutet nach der Charakterformel [5, Prop. 2.6], daß die Deligne-Lusztig Charaktere R_{T} (θ) für G nur im Fall θ = 1 nicht auf mindestens einer der beiden Klassen C_{3} oder C_{T} verschwinden. Damit tragen also nur Fortsetzungen unipotenter Charaktere zu der Strukturkonstanten bei. Die Zerlegung der R_{T} (1) für unzusammenhängende Gruppen vom Typ D_{4}: 2 und D_{4}: 3 wurde in [13, Thms. 6 und 7] bestimmt. Daraus kann auch die Zerlegung der R_{T} (1) für die Erweiterung mit der vollen Gruppe S_{3} von Graphautomorphismen abgelesen werden. Aus der Charakterformel ist es damit möglich, die Werte der Fortsetzungen unipotenter Charaktere auf den Klassen von C^{±} zu bestimmen. Es ergibt sich, daß nur vier unipotente Charaktere einen Beitrag liefern, neben dem trivialen und dem Steinbergcharakter noch der Charakter zu dem Partitionenpaar (12, 1) sowie der kuspidale Charakter (hierbei schreiben wir zur Abkürzung Φ_{d} := Φ_{d}(q) für das d-te Kreisteilungspolynom):

5.2. Charakterwerte für O_{8}^{+}(q).S_{4}

1  C_{2}  C_{3}^{+}  C_{3}^{−}  C_{T}
ϕ_{4,−}  1  1  1  1  1
ϕ_{12,1}  \frac{1}{2}q^{3}Φ_{2}^{4}Φ_{6}  \frac{1}{2}q^{2}Φ_{2}^{3}Φ_{6}  1  .  Φ_{2}
ϕ_{kusp}  \frac{1}{2}q^{3}Φ_{1}^{4}Φ_{3}  −\frac{1}{2}q^{2}Φ_{1}^{3}Φ_{3}  .  −1  −Φ_{1}
ϕ_{1^{4},−}  q^{12}  q^{9}  1  1  q

Aus der Definition der Klassen von C liest man noch die Zentralisatorordnungen C_{G}(σ_{1}) = 2q^{9}(q^{2}−1)(q^{4}−1)(q^{6}−1), C_{G}(σ_{2}) = 3(q^{2}±q+1) und C_{G}(σ_{3}) = 2q(q^{4}−1) für (σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}) ∈ Σ̄(C^{±}) ab. Mit dieser Information kann die Strukturkonstante berechnet werden, und es ergibt sich n(C^{±}) = 1.

Zum Beweis der Erzeugung verwenden wir die Arbeit [11] von Kleidman, die die maximalen Untergruppen der Gruppen Aut(O_{8}^{+}(q)) bestimmt. Seien p_{1} und p_{2} primitive Primteiler von q^{2} ± q + 1 und q^{2} + 1 im Sinne von Zsigmondy. Man sieht, daß diejenigen in [11] aufgeführten Untergruppen, deren Ordnung sowohl durch p_{1} als auch durch p_{2} teilbar ist, nicht zur vollen Automorphismengruppe fortsetzen. Damit muß jedes Elementtripel σ ∈ Σ̄(C) die volle Gruppe erzeugen, und die Aussage ist mit dem Kriterium 2.3 gezeigt. □

Satz 5.3. (a) Die Gruppen PCO_{8}^{+}(q).⟨δ⟩, q = p^{f}, besitzen G-Realisierungen über ℚ^{ab}. Dabei ist der Fixkörper der einfachen Gruppe O_{8}^{+}(q) ein rationaler Funktionenkörper.

(b) Die Gruppen O_{8}^{+}(p) besitzen GAR-Realisierungen über ℚ^{ab}.

Beweis. Der nach Bemerkung 5.1 starre Klassenvektor C von G führt nach dem Starrheitskriterium 2.1 zu einer geometrischen Galoiserweiterung N/ℚ^{ab}(t) mit Gruppe G. Der Fixkörper K der einfachen Gruppe O_{8}^{+}(q) hierin hat über ℚ^{ab}(t) die Gruppe S_{4} und die Verzweigungsstruktur (2, 3, 4), falls p ungerade ist, beziehungsweise die Gruppe S_{3} und die Verzweigungsstruktur (2, 3, 2) falls p = 2 gilt. Damit hat K das Geschlecht 0 und ist als Funktionenkörper über ℚ^{ab} rational, etwa K = ℚ^{ab}(u).

Im Fall q = p ist G die volle Automorphismengruppe der einfachen Gruppe O_{8}^{+}(p). Damit folgt die Aussage (b) aus den vorhergehenden Überlegungen. □

Satz 5.4. Sei p ∈ ℙ mit p ≢ ±1 (mod 5) und p ≢ ±1 (mod 7). Dann besitzt O_{8}^{+}(p) eine GA-Realisierung über ℚ.

Beweis. Dies ist eine einfache Konsequenz aus dem Beweis von Bemerkung 5.1. Gilt p ≢ ±1 (mod 5), so gilt 5|(p^{2} + 1) und 5 ist ein primitiver Primteiler von Φ_{4}(p). Ist weiterhin p ≢ ±1 (mod 7), so teilt 7 entweder q^{2} + q + 1 oder q^{2} − q + 1 und ist ein primitiver Primteiler des entsprechenden zyklotomischen Polynoms Φ_{3}(p) oder Φ_{6}(p). Ersetzen wir also die Klasse C_{T} durch eine analog definierte Klasse C_{10} von Elementen der Ordnung 10, und C_{3}^{±} durch die entsprechende Klasse C_{21} von Elementen der Ordnung 21, so bleiben zunächst die Charakterwerte der unipotenten Charaktere auf den Klassen gleich, und damit auch die normalisierte Strukturkonstante n(C_{2}, C_{21}, C_{10}).

Im Erzeugungsbeweis hatten wir nur von der Eigenschaft primitiver Primteiler Gebrauch gemacht, und da 5 und 7 solche Primteiler sind, bleibt auch die Erzeugung erhalten. Unter den gemachten Annahmen ist also auch der abgeänderte Klassenvektor starr.

Schließlich sind die Elemente der Ordnung 5 in T und damit auch die Elemente aus C_{10} rational. Weiter ist δ rational, ebenso sind die Elemente der Ordnung 7 in G_{2}(p) rational, und diese G_{2}(p) liegt sogar im Zentralisator einer δ enthaltenden S_{3}. Dies zeigt die Rationalität von C_{21} und damit die Aussage des Satzes. □

5.5. Anmerkung. Ausser im Fall p = 2 erhält man keine GAR-Realisierung, da Out(O_{8}^{+}(p)) ≅ S_{4} gilt. Für p = 2 ist C^{+} = (2F, 21A, 10D) in Atlas-Notation, und dieser Klassenvektor führt sogar zu einer GAR-Realisierung von O_{8}^{+}(2) über ℚ.

6. GA(R)-Realisierungen orthogonaler Gruppen über ℚ

In diesem Paragraphen werden die drei Serien endlicher einfacher orthogonaler Gruppen auf GA(R)-Realisierungen über ℚ und ℚ^{ab} untersucht.

6A. Die orthogonalen Gruppen O_{2n+1}(p).

Es seien p eine ungerade Primzahl und G = SO_{2n+1} die spezielle orthogonale Gruppe der Dimension 2n + 1 über dem algebraischen Abschluß des Körpers 𝔽_{p} mit p Elementen. Seien weiter F : G → G ein Frobeniusmorphismus von G mit Fixgruppe G := G^{F} = SO_{2n+1}(p). Für n ≥ 3 oder p ≥ 5 ist die Kommutatorgruppe G′ = O_{2n+1}(p) eine einfache Untergruppe vom Index zwei in G. Die Weylgruppe von G hat den Typ B_{n}, ist also isomorph zum Kranzprodukt 2 ≀ S_{n} der zyklischen Gruppe der Ordnung 2 mit der symmetrischen Gruppe S_{n}. Die Konjugiertenklassen der Weylgruppe W (B_{n}) werden durch Paare von Partitionen (λ, μ) mit λ ⊢ n_{1}, μ ⊢ n_{2} und n_{1} + n_{2} = n parametrisiert. Nach [2, Prop. 3.3.3] liefern diese Paare damit auch eine Parametrisierung der G^{F} -Konjugiertenklassen F -stabiler maximaler Tori von G. Sei T ein gemäß dieser Parametrisierung zu der durch (−, n) beschriebenen Konjugiertenklasse von W gehörender F -stabiler maximaler Torus von G und T := T^{F}. Die Ordnung von T wird dann durch das charakteristische Polynom eines Elements von W in der Klasse (−, n) in der natürlichen Spiegelungsdarstellung, ausgewertet an p, gegeben [2, Prop. 3.3.5]. Somit gilt |T | = p^{n} + 1. Dieser Torus kann auch durch die Einbettung

GO_{2}^{−}(p^{n}) < SO_{2n+1}(p)  (6.1)

in G erhalten werden. Damit sehen wir, daß T zu der zyklischen Untergruppe von 𝔽_{p^{2n}}^{×} der Elemente von Norm 1 isomorph ist. Schließlich wird die zyklische Gruppe N_{G}(T)/T der Ordnung 2n bei dieser Identifikation durch den Frobenius-Automor-phismus von 𝔽_{p^{2n}}/𝔽_{p} erzeugt.

Die geschilderte Identifikation (6.1) von T mit GO_{2}^{−}(p^{n}) zeigt, daß T äußere Elemente enthält. Wir interessieren uns für den Fall, daß die einzige Involution des zyklischen Torus T nicht in G′ liegt. Dies tritt offensichtlich genau für |T | ≡ 2 (mod 4) ein. Aber p^{n} + 1 ≡ 2 (mod 4) impliziert n gerade oder p ≡ 1 (mod 4). In diesem Fall sei C_{2} die Konjugiertenklasse der Involution in T und C_{T} die Klasse eines regulären Elements in T ∩ G \ G′. Aus (6.1) liest man ab, daß solche Involutionen 2n Eigenwerte −1 in der natürlichen 2n + 1-dimensionalen Matrixdarstellung haben, und der Zentralisator eine orthogonale Gruppe ^{2}D_{n}(p) ist. Elemente aus C_{T} werden definitionsgemäß nur durch den sie enthaltenden Torus zentralisiert. In guter Charakteristik besitzt G genau eine Klasse regulärer unipotenter Elemente C_{p} (siehe [5, Prop. 14.25]). Schließlich sei C_{p} die Klasse dieser regulären unipotenten Elemente.

Sei C = (C_{2}, C_{p}, C_{T}) der aus den drei oben definierten Klassen gebildete Klassenvektor von G.

Bemerkung 6.2. Seien 2 ≠ p ∈ ℙ und p^{n} +1 ≡ 2 (mod 4) (also n gerade oder p ≡ 1 (mod 4)). Dann gilt n(C) = 1.

Beweis. Wir verwenden die Deligne-Lusztigsche Charaktertheorie zur Auswertung der charaktertheoretischen Formel in Kriterium 2.3 für n(C). Hierzu benötigen wir zunächst eine Übersicht über die auf allen drei Klassen von C nichtverschwindenden komplexen irreduziblen Charaktere von G.

Da p > 2 eine gute Primzahl für B_{n} ist, nehmen die irreduziblen Charaktere von G nur Werte −1, 0, 1 auf der Klasse C_{p} der regulären unipotenten Elemente an. Genauer verschwinden nur die halbeinfachen Charaktere χ von G nicht auf C_{p}, und es gilt χ(C_{p}) ≡ χ(1) (mod p) [2, Prop. 8.3.4].

Wir verwenden nun die Lusztigsche Serieneinteilung der irreduziblen Charaktere von G. Sei G^{∗} die zu G duale Gruppe, also G^{∗} ≅ Sp_{2n}, und F^{∗} der Frobeniusmorphismus zu G^{∗}. Dann fallen die irreduziblen Charaktere von G in Lusztigserien E(G, (s)) [5, 13.6], die durch Konjugiertenklassen halbeinfacher Elemente s in G^{∗} := G^{∗}^{F^{∗}} indiziert sind. Ist nun t ∈ T halbeinfach und regulär, so verschwindet χ ∈ E(G, (s)) nur dann nicht auf t, wenn C_{G^{∗}}(s) ein G^{∗}-konjugiertes des dualen Torus T^{∗} := T^{∗}^{F^{∗}} enthält [2, Prop. 7.5.3, 8.4.6]. Damit müssen wir diejenigen halbeinfachen Elemente von G^{∗} bestimmen, die T^{∗} in ihrem Zentralisator enthalten, oder, da das Zentrum einer reduktiven algebraischen Gruppe in jedem ihrer Tori enthalten ist, die halbeinfachen Konjugiertenklassen von T^{∗}.

Mit den Kreisteilungspolynomen Φ_{d} = Φ_{d}(p) können wir nun schreiben

|T | = |T^{∗}| = p^{n} + 1 = \frac{p^{2n} − 1}{p^{n} − 1} = ∏_{d|2n,d|̸n} Φ_{d}.  (6.3)

Die Multiplikation mit der einzigen Involution von T^{∗} induziert eine Bijektion zwischen den Elementen ungerader und den Elementen gerader Ordnung von T^{∗}. Die zugehörigen irreduziblen Charaktere von G sind jeweils genau die beiden Fortsetzungen auf G eines irreduziblen Charakters von G′. Es genügt daher, den von zu Elementen ungerader Ordnung gehörenden Charakteren kommenden Anteil an der Strukturkonstanten zu berechnen; da C genau zwei äußere Klassen enthält, erhält man dann n(C) durch Verdopplung des so gewonnenen Wertes.

Wir betrachten nun die Lusztigserie E(G, (s)) zu einem festen s ∈ T^{∗} mit ungerader Ordnung o(s)|P_{d}, o(s) |̸P_{d′} für d′ < d, wobei

P_{d} := ∏_{k|d, k|̸n} Φ_{2^{ν}k} für d|2n, d |̸n

gesetzt sei. Nach [2, Prop. 8.4.6] enthält E(G, (s)) genau einen halbeinfachen Charakter. Für das Einselement s = 1 von G^{∗} besteht E(G, (1)) aus den unipotenten Charakteren von G, und von diesen ist nur der Einscharakter halbeinfach, mit bekannten Werten.

Sei nun s ≠ 1, und χ ∈ E(G, (s)) der halbeinfache Charakter der Lusztigserie E(G, (s)). Der Zentralisator L^{∗} von s in G^{∗} hat die Struktur L^{∗} = C_{G^{∗}}(s)^{F^{∗}} = GU_{n/d}(p^{d}) [23, 2.6], und damit wird χ(1) = |G^{∗}|_{p′}/|L^{∗}|_{p′} [2, 8.4.8]. Zur Berechnung der Werte von χ auf den beiden halbeinfachen Klassen verwenden wir, daß der Lusztig-Funktor ϵ_{G}ϵ_{L}R_{L}^{G} eine Bijektion zwischen E(L, (s)) und E(G, (s)) induziert [5, 13.25(ii)], wobei ϵ_{G}, ϵ_{L} nur von G bzw. L abhängige Vorzeichen sind. Das Urbild des halbeinfachen Charakters χ unter dieser Bijektion ist ein linearer Charakter von L ungerader Ordnung [5, 13.24]:

χ = ϵ_{G}ϵ_{L}R_{L}^{G}(ψ), ψ ∈ Irr(L) linear.  (6.4)

Sei jetzt zuerst t ∈ C_{2}. Gemäß [5, 12.18] kann der Wert von χ nach Multiplikation mit dem Steinbergcharakter als

χ.St_{G} = ϵ_{G}ϵ_{L}R_{L}^{G}(ψ).St_{G} = ±Ind_{L}^{G}(ψ.St_{L})  (6.5)

berechnet werden, wobei bekanntlich

St_{G}(t) = ±|C_{G}(t)|_{p}

gilt [5, 9.3]. Die Klassen von Involutionen in unitären Gruppen werden etwa in [23, 2.6] beschrieben. Da t in der natürlichen Matrixdarstellung von G genau 2n Eigenwerte −1 besitzt, kann nur die zentrale Involution von L in C_{2} fusionieren. Daher ist C_{2} ∩ L eine einzige L-Konjugiertenklasse, und die Induktionsformel ergibt aus (6.5)

χ(t) = ±\frac{1}{|C_{G}(t)|_{p}} |C_{L}(t)|_{p} \frac{|C_{G}(t)|}{|C_{L}(t)|}ψ(t) = ±\frac{|C_{G}(t)|_{p′}}{|C_{L}(t)|_{p′}} = ±\frac{|C_{G}(t)|_{p′}}{|L|_{p′}} .  (6.6)

(Man beachte, daß ψ als linearer Charakter ungerader Ordnung den Wert 1 auf der Involution t annimmt.) Anhand der Ordnungsformeln für Gruppen vom Lie-Typ überzeugt man sich, daß χ(1)/χ(t) = |G^{∗}|_{p′}/|C_{G}(t)|_{p′} ein Polynom in p vom Grad n ist.

Schließlich sei t ∈ C_{T} ein reguläres Element. Wiederum können (6.4) und (6.5) zur Berechnung von χ(t) herangezogen werden. Da t regulär ist, hat jede Konjugiertenklasse von L, die G-Konjugierte von t enthält, bereits Vertreter in T. Der Normalisator von T in L ist eine Erweiterung von T mit einer zyklischen Gruppe der Ordnung n/d, so daß unter der Operation des vollen Normalisators in G jeweils 2d Klassen von L zusammenfallen. Es ergibt sich

χ(t) = ± ∑_{i=1}^{2d} \frac{|C_{G}(t)|_{p′}}{|C_{L}(t_{i})|_{p′}} ψ(t_{i}) = ± ∑_{i=1}^{2d} ψ(t_{i})  (6.7)

mit einem Vertretersystem t_{1}, …, t_{2d}.

Wir fassen nun den Beitrag der Charakterwerte zu der normalisierten Strukturkonstanten n(C) für alle s ∈ G^{∗} mit einem festen Zentralisator zusammen. Für s = 1 ergibt sich

n_{1} = \frac{|G|}{|C_{1}| |C_{2}| |C_{3}|} = \frac{p^{n^{2}}(p^{2} − 1) ⋯ (p^{2n} − 1)}{2p^{n^{2}−n}(p^{2} − 1) ⋯ (p^{2n−2} − 1)(p^{n} + 1)p^{n}(p^{n} + 1)} = \frac{p^{n} − 1}{2(p^{n} + 1)},

wobei C_{i} die Zentralisatorordnung für Elemente aus der i-ten Klasse von C bezeichnet (siehe [23] für die Werte).

Sei nun s ∈ T^{∗} von ungerader Ordnung, s ≠ 1 und s nicht regulär. Die Anzahl solcher Elemente ist durch ein Polynom in p vom Grad höchstens n − 1 gegeben. Da nach obigem χ(1)/χ(t) jeweils ein Polynom in p vom genauen Grad n ist, liefert die Summation über alle solchen s jedenfalls einen Beitrag, der für p → ∞ wie 1/p gegen 0 geht.

Schließlich betrachten wir die regulären s ∈ T^{∗} (von ungerader Ordnung). Da die Summe über alle |T |-ten Einheitswurzeln verschwindet, ergibt sich als Summe von (6.7) über die regulären Elemente genau das Negative der Summe über die bisher behandelten nichtregulären s ∈ T^{∗}, also insbesondere ein Polynom vom Grad echt kleiner als n. Damit liefern auch diese Charaktere einen Beitrag, der für p → ∞ gegen 0 geht. Also ist n(C) eine rationale Funktion in p, welche nur ganzzahlige Werte annimmt (da die Zentralisatorordnungen der drei Elemente den größten gemeinsamen Teiler 1 haben), und für p → ∞ gegen 1 geht. Dies zeigt die Behauptung. □

6.8. Anmerkung. Die vorangehende Bemerkung zeigt, daß der Klassenvektor C Tripel mit Produkt 1 enthält, und schätzt ihre Anzahl nach oben ab. Hätte man durch die Angabe von Matrizen explizit schon ein Tripel gefunden, so würde die obere Abschätzung für die Anzahl wegen der speziellen Gestalt der Involutionen in Klasse C_{2} bereits aus dem Belyischen Starrheitskriterium 2.2 folgen, und der obige Beweis wäre überflüssig. Der Nachweis der Existenz solcher Tripel ist aber ebenso aufwendig wie die Bestimmung der genauen Anzahl.

Wir nehmen nun des weiteren an, daß 2n + 1 eine Primzahl ist, die |T | teilt, so daß p eine Primitivwurzel modulo 2n+1 ist. Damit sind Elemente der Ordnung 2n+1 von T notwendig regulär, und wir wählen nun spezieller als C_{T} die Klasse eines Elements der Ordnung 2(2n + 1) in T.

Satz 6.9. Seien n ≥ 1 mit 2n+1 ∈ ℙ, 2 ≠ p |̸2n+3 eine Primzahl mit p ≡ 1 (mod 4) falls n ungerade ist, und p eine Primitivwurzel modulo 2n + 1. Dann gibt es reguläre Galoiserweiterungen mit Gruppe SO_{2n+1}(p) und O_{2n+1}(p) über ℚ(t). Insbesondere besitzt O_{2n+1}(p) dann eine GAR-Realisierung über ℚ.

Beweis. Wir zeigen, daß alle drei Klassen von C rational sind, und weiter jedes Tripel von Elementen σ ∈ Σ̄(C) die ganze Gruppe G = SO_{2n+1}(p) erzeugt. Gemäß dem Rationalitätskriterium 2.1 und Bemerkung 6.2 folgt damit die Behauptung für SO_{2n+1}(p). Der Abstieg zu der Kommutatorgruppe G′ = O_{2n+1}(p) vom Index 2 gelingt dann mit dem üblichen Argument (siehe etwa [16, II, §3.2]). Schließlich handelt es sich nach Kriterium 2.5 bei den so konstruierten Erweiterungen um GAR-Realisierungen, da G die volle Automorphismengruppe der einfachen Gruppe G′ ist.

Die Rationalität von C_{p} wurde schon am Beginn dieses Abschnitts konstatiert, die von C_{2} ist trivial. Bei der Beschreibung von T wurde festgestellt, daß der Normalisator von T in G eine Erweiterung von T mit der zyklischen Gruppe der Ordnung 2n ist. Nach der Definition regulärer Elemente operiert diese zyklische Gruppe fixpunktfrei auf den regulären Elementen in T, insbesondere ist ein Element der Ordnung 2(2n+1) zu 2n, also allen, seiner primitiven Potenzen konjugiert. Dies zeigt die Rationalität von C_{T}.

Sei nun σ = (σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}) ∈ Σ̄(C) ein Elementtripel zu dem Klassenvektor C und H := ⟨σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}⟩. Da 2n + 1 ein primitiver Primteiler von p^{n} + 1 ist, zerfällt der zugrundeliegende Vektorraum unter der Operation von σ_{3} höchstens als 2n ⊕ 1. Von den maximalen reduziblen Untergruppen von G haben nur solche des Typs O_{1}(p) × O_{2n}(p) eine durch die Zsigmondy-Primzahl 2n + 1 teilbare Ordnung. Aber anhand der natürlichen Matrixdarstellung sieht man, daß O_{2n}(p) keine regulären unipotenten Elemente von G enthalten kann. Damit operiert H also irreduzibel. Weiter ist H sogar primitiv, denn die Stabilisatoren von direkten Zerlegungen V = V_{1} ⊕ V_{2} in G haben zu 2n + 1 teilerfremde Ordnung.

Wir wollen nun den Satz von Wagner anwenden. Für σ ∈ SO_{2n+1}(p) sei −σ das Produkt von σ mit der Diagonalmatrix −Id ∈ GO_{2n+1}(p) = SO_{2n+1}(p) × ⟨±Id⟩. Dann ist −σ_{1} eine Spiegelung, und die Gruppe H_{1} := ⟨−σ_{1}, σ_{2}, −σ_{3}⟩ ist irreduzibel, primitiv und wird durch Spiegelungen erzeugt. Damit kann Satz 2.7 für d = 2n + 1 angewandt werden. (Für den dort ausgeschlossenen Fall d = 3 , G ≅ PGL_{2}(p), sind alle Untergruppen bekannt, und der Beweis ist daher leicht.) Aus Ordnungsgründen kann Fall (a) nicht zutreffen. Mit dem primitiven Primteiler 2n+1 schließt man (d) bis auf O_{7}(2) < O_{7}(5) aus, aber O_{7}(2) enthält keine Elemente der Ordnung 14. Weiter liegt in S_{2n+2} kein Element der Ordnung 2(2n + 1). Da p|(2n + 3) ausgeschlossen wurde, bleibt Fall (b), und wegen σ_{3} ∈ G \ G′ folgt zunächst (H_{1} : G′) = 2 und dann auch H = G. □

6.10. Anmerkung. Für n = 1 haben wir SO_{3}(p) ≅ PGL_{2}(p), C = (C_{2}, C_{p}, C_{6}), und die so erhaltene GAR-Realisierung von L_{2}(p), (\frac{3}{p}) = −1, p ≡ 1 (mod 4), ist die in [15] konstruierte.

Für n = 2 erhalten wir eine GAR-Realisierung der symplektischen Gruppe S_{4}(p) ≅ O_{5}(p), p ≡ 2, 3 (mod 5), p ≠ 2, 7, zum Klassenvektor C = (C_{2}, C_{p}, C_{10}) (vgl. auch [4] und [9, Satz 6.1.4] für weitere Realisierungen symplektischer Gruppen in Dimension 4, und [9, Satz 6.2.7] für GAR-Realisierungen von Gruppen O_{7}(p)).

6B. Die orthogonalen Gruppen O_{2n}^{−}(p).

Seien p eine ungerade Primzahl, G = PCO_{2n} die (unzusammenhängende) projektive konforme orthogonale Gruppe über einem algebraischen Abschluß des endlichen Körpers 𝔽_{p}, und F : G → G ein Frobeniusmorphismus mit G := G^{F} = PCO_{2n}^{−}(p). Weiter seien G^{∘} := PCO_{2n}^{∘} die Zusammenhangskomponente der 1 in G, G^{∘} := PCO_{2n}^{∘−}(p) = G^{∘}^{F} der entsprechende Normalteiler vom Index 2 in G und G′ := O_{2n}^{−}(p) die Kommutatoruntergruppe von G^{∘} vom Index 4 in G. Dann gilt G/G′ ≅ 2^{2} und G′/Z(G′) ist einfach für alle n ≥ 2. Dabei ist das Zentrum Z(G′) von G′ im Fall ggT(4, p^{n} + 1) = 2 trivial. Die Erweiterung von G^{∘} zu G wird durch den Graphautomorphismus γ von G^{∘} gegeben, wobei wir ohne Beschränkung schon γ ∈ G annehmen können. Die Erweiterung von G′ zu G^{∘} wird durch Diagonalautomorphismen geleistet.

Die Weylgruppe W von G hat den Typ D_{n}. Sei T ein F -stabiler maximaler Torus von G^{∘}, der der durch das Partitionenpaar (−, n) beschriebenen F -Konjugiertenklasse von W entspricht, also mit |T^{F} | = p^{n} + 1. Wiederum soll T := T^{F} Involutionen von G enthalten, die nicht schon in G′ liegen. Wie in Abschnitt 4A tritt dies für gerade n oder für p ≡ 1 (mod 4) ein. Sei zudem wie oben 2n + 1 eine Primzahl mit Primitivwurzel p. Damit sei C_{T} die Klasse eines (notwendig regulären) Elements der Ordnung 2(2n + 1). Man beachte, daßsolche Elemente in G^{∘} \ G′ liegen, da (p^{n} + 1)/2 nach Voraussetzung ungerade ist. Weiter sei C_{2} die Klasse des Graphautomorphismus γ ∈ G mit Zentralisatorstruktur SO_{2n−1}(p) in G^{∘}. Zur Definition der dritten Klasse benötigen wir folgende Zwischenrechnung:

Lemma 6.11. Die Gruppe PCO_{2n}^{−}(p) enthält eine rationale Klasse C_{4p} von Elementen der Ordnung 4p^{m} (für ein geeignetes m ≥ 1 falls n > 2) mit Zentralisatorordnung

|C| = 4(p + ϵ)p^{n−2} mit p ≡ ϵ (mod 4), ϵ ∈ {±1},

die nicht in G^{∘} ∪ G′.γ liegt.

Beweis. Wir setzen H_{m} := antidiag(1, …, 1), die m × m-Matrix mit Einsen auf der Nebendiagonale. Sei zunächst n = 2 und die orthogonale Gruppe definiert als Untergruppe der vollen linearen Gruppe bezüglich der durch H_{4} definierten quadratischen Form und dem durch Konjugation mit

( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

induzierten Graphautomorphismus. Dann liegt das Element

ρ := \{ \begin{matrix}( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) , & für p ≡ 1 (mod 4), \\ ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & a^{p} \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 0 \\ a & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) , & für p ≡ −1 (mod 4), \end{matrix}

mit a ∈ 𝔽_{p^{2}} von der multiplikativen Ordnung 2(p + 1), in CO_{4}^{−}(p) und hat in der PCO_{4}^{−}(p) die Ordnung 4. Genauer sieht man sogar, daß das Bild von ρ weder in G′.γ noch in G^{∘} liegt und rational ist. Der Zentralisator in G ist vom Typ 2 × 2 × (p + ϵ). Für allgemeines n sei

ρ := \{ \begin{matrix}( \begin{matrix}1 \\ & & H_{n−1} \\ & −H_{n−1} \\ & & & −1 \end{matrix} ) , & für p ≡ 1 (mod 4), \\ ( \begin{matrix}& & & a^{p} \\ Id & n−1 \\ & & −Id_{n−1} \\ a \end{matrix} ) , & für p ≡ −1 (mod 4), \end{matrix}

mit a ∈ 𝔽_{p^{2}} wie oben. Dieses Element liegt in der durch H_{2n} und den Graphautomorphismus

( \begin{matrix}& & 1 \\ Id & 2n−2 \\ 1 \end{matrix} )

definierten orthogonalen Gruppe, hat Ordnung 4 im Faktor PCO_{2n}^{−}(p) und ist rational. Der Zentralisator hat die Struktur

C_{G}(ρ) ≅ \{ \begin{matrix}GO_{1}(p) × GO_{1}(p) × GU_{n−1}(p) & für p ≡ 1 (mod 4), \\ GO_{1}(p) × GO_{1}(p) × GL_{n−1}(p) & für p ≡ −1 (mod 4). \end{matrix}

Der lineare bzw. unitäre Faktor im Zentralisator enthält genau eine Klasse regulär unipotenter Elemente. Die Klasse C_{4p} enthalte nun das Produkt von ρ mit einem solchen regulär unipotenten Element. Der Zentralisator hat dann die gewünschte Ordnung. Weiter sind Elemente aus C_{4p} rational, denn sowohl ist der halbeinfache Anteil ρ rational in G, als auch der unipotente Anteil schon im Zentralisator von ρ zu allen seinen primitiven Potenzen konjugiert. Da schließlich ρ in G \ (G^{∘} ∪ G′.γ) liegt, gilt dasselbe für C_{4p}. □

Bezeichne C = (C_{2}, C_{4p}, C_{T}) den aus den drei oben definierten Klassen gebildeten Klassenvektor von G.

Bemerkung 6.12. Seien 2 ≠ p ∈ ℙ und p^{n} + 1 ≡ 2 (mod 4) (also n gerade oder p ≡ 1 (mod 4)). Dann gilt n(C) = 1.

Beweis. Zunächst beachte man, daß die drei Klassen in C genau aus den drei nichttrivialen Nebenklassen von G′ in G gewählt wurden. Damit ist die zugehörige Strukturkonstante der Faktorgruppe 2^{2} jedenfalls ungleich Null, und wir erhalten die Strukturkonstante für G, indem wir zunächst über ein Vertretersystem der Fortsetzungen auf G der irreduziblen Charaktere von G′ summieren und dann das Ergebnis mit 4 multiplizieren. Zur Berechnung von n(C) mit Hilfe der Charakterformel müssen wir wiederum diejenigen komplexen irreduziblen Charaktere von G bestimmen, die auf allen drei Klassen nicht verschwinden. Die Charaktere unzusammenhängender Gruppen werden in [6] beschrieben.

Seien G^{∘∗} die zu G^{∘} duale Gruppe vom Typ Spin_{2n}, F^{∗} der entsprechende Frobeniusmorphismus und T^{∗} ein zu T dualer maximaler Torus von G^{∘∗}. Die auf C_{T} nichtverschwindenden irreduziblen Charaktere von G^{∘} sind die Konstituenten der durch s ∈ T^{∗} := T^{∗}^{F^{∗}} parametrisierten Deligne-Lusztig Charaktere. Ebenso wie auf T operiert γ auch auf den zu den s ∈ T^{∗} gehörenden irreduziblen Charakteren von G^{∘}. Da man G über die natürliche Einbettung CO_{2n}^{−}(p) < CO_{2n}^{+}(p^{2}) auch als Fixgruppe in CO_{2n}^{+}(p^{2}) des Graph-Körperautomorphismus auffassen kann, sieht man, daß der Graphautomorphismus auf G wie der Körperautomorphismus von 𝔽_{p^{2}}/𝔽_{p} operiert. Insbesondere setzen sich nur die zu den halbeinfachen Elementen s ∈ T^{∗} der Ordnung höchstens 2 gehörenden Charaktere auf G fort, während die übrigen in Paaren vertauscht werden. Von den auf C_{T} nichtverschwindenden Charakteren nehmen also nur die unipotenten und die daraus durch Multiplikation mit dem nichttrivialen linearen Charakter von G^{∘} erhaltenen Werte ungleich Null auf Klassen von G \ G^{∘}, also etwa auf C_{2}, an.

Die unipotenten Charaktere χ von G^{∘} werden durch sogenannte Symbole Λ vom Rang n und Defekt d ≡ 2 (mod 4) parametrisiert (siehe [2, S.471]). Damit χ_{Λ} nicht auf regulären Elementen von T verschwindet, muß Λ einen n-Kohaken besitzen. Diese Bedingung erfüllen genau die n Symbole

Λ_{a} = \binom{0 1 … a n}{1 … a} , 0 ≤ a ≤ n − 1

(siehe auch [14, 2.3]). Für die Abschätzung der Werte unipotenter Charaktere auf den regulären und uniformen Klassen C_{4p} und C_{T} benutzen wir die folgende Beobachtung. Da die Klassen regulär sind, nehmen die verallgemeinerten Deligne-Lusztig Charaktere R_{T,1} hierauf konstante, von p unabhängige Werte an (dies folgt aus der Charakterformel [6, Prop. 2.6] für unzusammenhängende Gruppen). Die Zerlegung der R_{T,1} in unipotente Charaktere hängt nach [6, Thm. 5.11] ebenfalls nicht von p ab. Da die Klassen uniform sind, bestimmen diese beiden Daten die Werte der unipotenten Charaktere, welche somit von p unabhängige Konstanten sind. Nach den Formeln in [2, 13.8] für die Grade unipotenter Charaktere kann man den Grad in p des Gradpolynoms von χ_{a} := χ_{Λ_{a}} zu

deg_{p}(χ_{a}(1)) = 2an − a^{2} − a  (6.13)

berechnen. Nach [6, 2.6 und 5.11] erhält man den Wert von χ_{a} auf der quasi-zentralen Klasse C_{2} durch Anwendung einer Fourier-Transformation auf den Scheingrad des zugehörigen unipotenten Charakters ψ_{a} der Fixgruppe SO_{2n−1}(p) des Graphautomorphismus. Dieser wird durch das Symbol

Λ′_{a} = \binom{0 … a − 1 n}{1 … a}

vom Rang n − 1 und Defekt 1 parametrisiert [2, 13.8]. Mit der Formel in loc. cit. bestimmt man den Grad in p dieses Scheingrades zu

deg_{p}(ψ_{a}(1)) = 2an − a^{2} − 2a.

Da der triviale Charakter von G durch das Symbol Λ_{0} parametrisiert wird, ist also der Wert auf der Klasse C_{2} aller auf C_{T} nichtverschwindenden nichttrivialen unipotenten Charaktere χ_{a}, 1 ≤ a ≤ n, ein Polynom in p von echt kleinerem Grad als χ_{a}(1). Damit erhalten wir

n(C) = \frac{2p^{n^{2}−n}(p^{2} − 1) ⋯ (p^{2n−2} − 1)(p^{n} + 1)}{2p^{(n−1)^{2}}(p^{2} − 1) ⋯ (p^{2n−2} − 1)4(p + ϵ)p^{n−2}(p^{n} + 1)} (4 + 4f(p)) ,

wobei f(p) eine rationale Funktion in p mit kleinerem Zähler- als Nennergrad ist. Wir werden in Satz 6.14 sehen, daß jedes Tripel von Elementen aus C notwendig G erzeugt. Insbesondere zeigt dies, daß n(C) ganzzahlig und damit für genügend großes p gleich 1 ist. Die gewünschte Aussage für alle p folgt. □

Satz 6.14. Seien n ≥ 2 mit 2n + 1 ∈ ℙ, p ≠ 2 eine Primzahl mit p ≡ 1 (mod 4) falls n ungerade ist, und p eine Primitivwurzel modulo 2n+1. Dann gibt es reguläre Galoiserweiterungen mit den Gruppen PCO_{2n}^{−}(p), PSO_{2n}^{−}(p) und O_{2n}^{−}(p) über ℚ(t). Insbesondere besitzt O_{2n}^{−}(p) dann eine GA-Realisierung über ℚ und eine GAR-Realisierung über ℚ^{ab}.

Beweis. Wir gehen wie im Beweis von Satz 6.9 vor. Die Klasse C_{2} ist notwendig rational, C_{T} enthält rationale Elemente wegen |N_{G}(T)/T | = 2n, und die Elemente von C_{4p} sind nach Lemma 6.11 rational.

Seien nun σ = (σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}) ∈ Σ̄(C) und H := ⟨σ⟩. Wie bereits bemerkt erzeugen die Bilder unserer drei Klassen in G/G′ die volle Faktorgruppe. Damit bleibt zu untersuchen, ob H ∩ G′ ≤ M für eine maximale Untergruppe M von G′ gilt. Da H jedenfalls Elemente der Ordnung p sowie mit der Ordnung eines primitiven Primteilers von Φ_{2n}(p) enthält, sehen wir wie im vorhergehenden Satz, daß H das Bild in PCO_{2n}^{−}(p) einer irreduziblen und primitiven Untergruppe von CO_{2n}^{−}(p) ist. Weiter ist σ_{1} eine Spiegelung, so daß Satz 2.7 angewandt werden kann. Wie im Beweis des vorigen Satzes führen die Bedingungen an n und p außer auf (b) allenfalls noch zu der Möglichkeit O_{6}^{−}(3).2 < O_{6}^{−}(5). Aber die erstere Gruppe besitzt keine Elemente der Ordnung 14. Damit erzeugt ein Elementtripel aus Σ̄(C) ganz G, und die Aussage für G folgt.

Sei nun N/ℚ(t) die Galoiserweiterung von ℚ(t) mit Galoisgruppe PCO_{2n}^{−}(p) zum Klassenvektor C, K der Fixkörper von G_{1} := G′.⟨γ⟩ und L der Fixkörper der einfachen Gruppe G′. Mit der Hurwitzschen Relativgeschlechtsformel bestimmt man die Geschlechter g(K) = g(L) = 0. Um zu zeigen, daß L ein rationaler Funktionenkörper ist, gehen wir wie in [17] vor: Sei ℘ der in N/ℚ(t) verzweigte Primdivisor mit Trägheitsgruppenerzeugenden in der Klasse C_{2}. Wegen C_{2} ⊆ G_{1} ist ℘ in K/ℚ(t) nicht verzweigt. Da die Ordnung des Zentralisators von γ ∈ C_{2} in G_{1} gleich der in G ist, liegt der volle Normalisator der Trägheitsgruppe von ℘ schon in G_{1}, und ℘ ist in K/ℚ(t) zerlegt. Da die beiden Primteiler von ℘ in K in der Erweiterung L/K verzweigen, hat L Primdivisoren vom Grad 1 und ist damit ein rationaler Funktionenkörper. □

6.15. Anmerkung. Für n = 2 haben wir PCO_{4}^{−}(p) ≅ PΓL_{2}(p^{2}). Das Element ρ der Ordnung 4 hat nun den Zentralisator 2 × 2 × (p + ϵ), und das regulär unipotente Element im dritten Faktor ist das Einselement. Damit wird C = (C_{2}, C_{4}, C_{10}), und die so erhaltene GA-Realisierung von L_{2}(p^{2}), p ≠ 2, p ≡ ±2 (mod 5), ist die von Feit [7] konstruierte. (Die Definition der Klasse C_{4p} in Lemma 6.11 ist Feits Konstruktion nachempfunden.)

Für n = 3 erhalten wir eine Galoisrealisierung der unitären Gruppe U_{4}(p) ≅ O_{6}^{−}(p), p ≡ 3, 5 (mod 7), p ≡ 1 (mod 4), zum Klassenvektor C = (C_{2}, C_{4p}, C_{14}).

6C. Die orthogonalen Gruppen O_{2n}^{+}(p).

Seien nun n ungerade, p ≥ 3, und G = PCO_{2n} die projektive konforme orthogonale Gruppe, F : G → G ein Frobeniusmorphismus mit G := G^{F} = PCO_{2n}^{+}(p), G^{∘} := PCO_{2n}^{∘} die Zusammenhangskomponente der 1 in G, G^{∘} := PCO_{2n}^{+∘}(p) = G^{∘}^{F} der entsprechende Normalteiler vom Index 2 in G und G′ := O_{2n}^{+}(p) die Kommutatoruntergruppe von G^{∘}. Da n ungerade ist, gilt G/G′ ≅ 2^{2}, und G′/Z(G′) ist einfach für alle n ≥ 3. Dabei ist das Zentrum Z(G′) für p ≡ 3 (mod 4) trivial. Sei wiederum γ ∈ G der Graphautomorphismus von G^{∘} mit Zentralisator SO_{2n−1}(p) in G^{∘}, also G = G^{∘}.⟨γ⟩.

Wir wählen diesmal für T einen maximalen F -stabilen Torus von G^{∘} zum Partitionenpaar (n, −), also mit |T^{F} | = p^{n} − 1. Für p ≡ 3 (mod 4) enthält T = T^{F} Involutionen von G, die nicht schon in G′ liegen. Sei wiederum 2n + 1 eine Primzahl, für die p das Quadrat einer Primitivwurzel ist. Dann teilt 2n + 1 die Ordnung von T, und wir können für C_{T} die Klasse eines (regulären) Elements der Ordnung 2(2n + 1) in T wählen. Man beachte, daß solche Elemente in G^{∘} \G′ liegen, da (p^{n} −1)/2 wegen n ≡ 1 (mod 2) und p ≡ 3 (mod 4) ungerade ist. Weiter sei C_{2} die Klasse von γ.

Wir gehen nun wie in Lemma 1 vor. Sei ρ ein halbeinfaches Element von G der Ordnung 4 mit Zentralisator vom Typ

C_{G}(ρ) = GO_{1}(p) × GO_{1}(p) × GL_{n−1}(p) .

Ein solches Element kann in G \ (G^{∘} ∪ G′.γ) gewählt werden. Der lineare Faktor des Zentralisators enthält genau eine Klasse regulärer unipotenter Elemente. Die Klasse C_{4p} enthalte das Produkt von ρ mit einem solchen regulären unipotenten Element. Damit hat der Zentralisator eines Elements in C_{4p} die Ordnung 4(p − 1)p^{n−2}. Bezeichne C = (C_{2}, C_{4p}, C_{T}) den aus den drei oben definierten Klassen gebildeten Klassenvektor von G.

Bemerkung 6.16. Seien n ≥ 3 ungerade und p ∈ ℙ mit p ≡ 3 (mod 4). Dann gilt n(C) = 1.

Beweis. Wie im Fall der PCO_{2n}^{−}(p) sind die drei Klassen in C aus den drei nichttrivialen Nebenklassen von G′ in G gewählt, und wir erhalten die Strukturkonstante wie dort aus der Charaktertheorie der unzusammenhängenden Gruppen [6].

Von den auf C_{T} nichtverschwindenden irreduziblen Charaktere nehmen nach gleicher Argumentation wie im Beweis von Bemerkung 6.12 nur die unipotenten und die daraus durch Multiplikation mit dem nichttrivialen linearen Charakter von G^{∘} erhaltenen Werte ungleich Null auf C_{2} an.

Die unipotenten Charaktere χ von G^{∘} werden durch Symbole Λ vom Rang n und Defekt d ≡ 0 (mod 4) parametrisiert (siehe [2, S.471]). Damit χ_{Λ} nicht auf regulären Elementen von T verschwindet, muß Λ einen n-Haken besitzen. Diese Bedingung erfüllen genau die n Symbole

Λ_{a} = ( \begin{matrix}1 & … & a & n \\ 0 & 1 & … & a \end{matrix} ) , 0 ≤ a ≤ n − 1.

Die Klassen C_{4p} und C_{T} enthalten reguläre, uniforme Elemente von G. Mit der Argumentation im Beweis von Bemerkung 6.12 folgt daher, daß die Werte unipotenter Charaktere hierauf jeweils von p unabhängige Konstanten sind. Nach Lusztigs Parametrisierung der unipotenten Charaktere gibt es für ungerades n eine Bijektion zwischen den unipotenten Charakteren von PCO_{2n}^{+}(p) und denen von PCO_{2n}^{−}(p), so daß die Grade der Bilder durch Ersetzen von p durch −p in denen von PCO_{2n}^{+}(p) erhalten werden. Die im Beweis von Bemerkung 6.12 auftauchenden Charaktere χ_{a} sind genau die Bilder unter dieser Bijektion der oben bestimmten Charaktere χ_{a} = χ_{Λ_{a}}, 0 ≤ a ≤ n − 1. Damit gelten also für die hier vorkommenden Charaktergrade χ_{a}(1) dieselben Aussagen über die Grade in p wie in (6.13). Insbesondere ist wiederum der Wert eines χ_{a} mit a ≠ 0 auf C_{2} ein Polynom in p von echt kleinerem Grad als χ_{a}(1). Dies ergibt

n(C) = \frac{2p^{n^{2}−n}(p^{2} − 1) ⋯ (p^{2n−2} − 1)(p^{n} − 1)}{2p^{(n−1)^{2}}(p^{2} − 1) ⋯ (p^{2n−2} − 1)4(p − 1)p^{n−2}(p^{n} − 1)} (4 + 4f(p)) ,

wobei wiederum f(p) eine rationale Funktion in p mit kleinerem Zähler- als Nennergrad bezeichnet. In Satz 6.17 wird gezeigt, daß n(C) nur ganzzahlige Werte annehmen kann. Damit folgt wie oben die gewünschte Behauptung. □

Satz 6.17. Seien n ≥ 3 ungerade mit 2n + 1 ∈ ℙ, und p ≡ 3 (mod 4) eine Primzahl, die das Quadrat einer Primitivwurzel modulo 2n+1 ist. Dann gibt es reguläre Galoiserweiterungen mit den Gruppen PCO_{2n}^{+}(p), PSO_{2n}^{+}(p) und O_{2n}^{+}(p) über ℚ(t). Insbesondere besitzt O_{2n}^{+}(p) dann eine GA-Realisierung über ℚ und eine GAR-Realisierung über ℚ^{ab}.

Beweis. Wir gehen wie im Beweis von Satz 6.14 vor. Die Klasse C_{2} ist notwendig rational, C_{T} enthält rationale Elemente wegen |N_{G}(T)/T | = 2n, und die Elemente von C_{4p} erkennt man wie in Lemma 6.11 als rational.

Seien nun σ = (σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}) ∈ Σ̄(C) und H := ⟨σ⟩. Wie bereits bemerkt erzeugen die Bilder unserer drei Klassen in G/G′ die volle Faktorgruppe. Damit müssen noch die maximalen Untergruppen M von G′ untersucht werden. Da die erzeugte Untergruppe jedenfalls Elemente der Ordnung p sowie mit der Ordnung eines primitiven Primteilers von Φ_{n}(p) enthält, sehen wir wie im vorhergehenden Satz, daß H das Bild in PCO_{2n}^{+}(p) einer irreduziblen und primitiven Untergruppe von CO_{2n}^{+}(p) ist. Weiter handelt es sich bei σ_{1} um eine Spiegelung, so daß Satz 2.7 angewandt werden kann. Wie im Beweis des vorigen Satzes schließen die Primteiler 2n + 1 und p der Ordnung von H sowie die Bedingungen an n und p alle Fälle außer (b) aus. Damit erzeugt ein Elementtripel aus Σ̄(C) ganz G, und die Aussage für G folgt.

Der Abstieg zur einfachen Gruppe G′ vom Index 4 erfolgt wortwörtlich wie im Beweis des vorigen Satzes. □

6.18. Anmerkung. Für n = 3 besteht der Ausnahmeisomorphismus O_{6}^{+}(p) ≅ L_{4}(p) und wir erhalten eine GA-Realisierung der linearen Gruppen L_{4}(p) für p ≡ 2, 4 (mod 7), p ≡ 3 (mod 4), zum Klassenvektor C = (C_{2}, C_{4p}, C_{14}).

6D. Orthogonale Gruppen in Charakteristik 2.

Zum Abschluß beweisen wir noch ein Analogon der obigen Ergebnisse für orthogonale Gruppen über dem Körper mit zwei Elementen. Sei G = PCO_{2n}^{+}(2) ≅ GO_{2n}^{+}(2) die ungetwistete (projektive konforme) orthogonale Gruppe über 𝔽_{2} in Dimension 2n. Dann gilt (G : G′) = 2 und G′ ist einfach für alle n ≥ 4. Bezeichne C_{2} die Klasse des Graphautomorphismus γ mit Zentralisator vom Typ SO_{2n−1}(2) in G′, und C_{u} eine unipotente Klasse mit einem einzigen Jordan-Kästchen in der natürlichen 2n-dimensionalen Matrixdarstellung von CO_{2n}^{+}(2). Solche Elemente sind rational. Ist 2n + 1 eine Primzahl, für die 2 das Quadrat einer Primitivwurzel ist, so enthält der maximale Torus T von G der Ordnung 2^{n} − 1 eine rationale Klasse C_{T} regulär halbeinfacher Elemente der Ordnung 2n + 1. Das Element γ ist eine Transvektion in der natürlichen Darstellung.

Satz 6.19. Seien n ≥ 3 ungerade und 2n + 1 eine Primzahl, für die 2 das Quadrat einer Primitivwurzel ist. Dann existieren reguläre Galoiserweiterungen mit Gruppen PCO_{2n}^{+}(2) und O_{2n}^{+}(2) über ℚ(t). Insbesondere besitzt O_{2n}^{+}(2) dann eine GAR-Realisierung über ℚ.

Beweis. Wir zeigen, daß der Klassenvektor C = (C_{2}, C_{u}, C_{T}) von G = GO_{2n}^{−}(2) rational starr ist. Nach Konstruktion sind jedenfalls alle drei Klassen rational. Die beiden unipotenten Klassen C_{2} und C_{u} liegen in G \ G′, während C_{T} schon in der Kommutatoruntergruppen G′ enthalten ist. Für die Berechnung der normalisierten Strukturkonstanten bemerken wir zunächst, daß allenfalls die irreduziblen Konstituenten der Deligne-Lusztig Charaktere R_{T,θ} zu dem oben definierten Torus T nicht auf C_{T} verschwinden. Unter diesen besitzen nur die unipotenten Charaktere Fortsetzungen auf G. Nach [6] ist der triviale Charakter der einzige unipotente Charakter, dessen Erweiterung auf G nicht auf der Klasse der regulären unipotenten Elemente von G verschwindet. Also reduziert sich die Summe für n(C) auf einen einzigen Term

n(C) = \frac{2|G|}{|C_{1}| |C_{2}| |C_{3}|} = 1,

mit den Zentralisatorordnungen

|C_{1}| = 2^{(n−1)^{2}+1}(2^{2} − 1)(2^{4} − 1) ⋯ (2^{2n−2} − 1), |C_{2}| = 2^{n}, |C_{3}| = 2^{n} − 1,

für Elemente der drei Klassen in C.

Für den Erzeugungsbeweis können wir das Resultat von McLaughlin anwenden. Sei H von einem Tripel σ = (σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}) ∈ Σ̄(C) erzeugt. Da 2 das Quadrat einer Primitivwurzel modulo 2n + 1 ist, zerfällt der natürliche 2n-dimensionale Modul für CO_{2n}^{−}(2) unter der Operation von σ_{3} höchstens in eine direkte Summe von zwei n-dimensionalen Untermoduln. Angenommen H operiert reduzibel. Dann ist die Transvektion σ_{1} entweder auf einem n-dimensionalen Untermodul oder dem zugehörigen n-dimensionalen Faktormodul trivial. Dies steht aber Widerspruch zu der Produktformel für die drei Elemente σ_{i}. Also ist H irreduzibel und wird von Transvektionen erzeugt. Nach dem Satz von McLaughlin (Satz 2.9) bleiben somit nur noch die Möglichkeiten H ∈ {GO_{2n}^{+}(2), S_{2n+2}, S_{2n+1}}. Wir nehmen nun an, daß H eine symmetrische Gruppe ist. Das Element σ_{2} hat ein einziges Jordankästchen auf dem natürlichen Modul. Daher ist die Ordnung die kleinste 2-Potenz größer oder gleich 2n:

o(σ_{2}) = 2^{h} ≥ 2n.

Ist σ_{2} ∈ S_{2n+ϵ}, ϵ ∈ {1, 2}, dann gilt entweder 2^{h} = 2n oder 2^{h} = 2n + 2. Aber 2 ist das Quadrat einer Primitivwurzel modulo 2n + 1, woraus n|2h folgt. Die einzigen Lösungen hierfür haben n ≤ 3. Aber für n = 3, G = GO_{6}^{+}(2) ≅ S_{8}, ist die Behauptung klar. Damit können auch die symmetrischen Gruppen ausgeschlossen werden.

Die einfache Gruppe G′ hat den Index 2 in G, und wir erhalten eine Galoisrealisierung für G′ mit dem üblichen Abstiegsargument. Schließlich ist G für ungerade n die volle Automorphismengruppe von G′, so daß wir eine GAR-Realisierung erhalten. □

Weitere GAR-Realisierungen von O_{2n}^{+}(2), n gerade, 2 eine Primitivwurzel modulo 2n − 1, und für Gruppen O_{2n}^{±}(2) mit n ≤ 5 finden sich bei Häfner [9, Satz 4.5 und 4.6].

Für die projektive konforme getwistete orthogonale Gruppe G = PCO_{2n}^{−}(2) ≅ GO_{2n}^{−}(2) über 𝔽_{2} in Dimension 2n wählen wir als C_{2} die Klasse des Graphautomorphismus γ mit Zentralisator vom Typ SO_{2n−1}(2) in G′, und als C_{u} eine unipotente Klasse mit einem einzigen Jordan-Kästchen in der natürlichen 2n-dimensionalen Matrixdarstellung von CO_{2n}^{+}(2). Ist 2n+1 eine Primzahl mit Primitivwurzel 2, so enthält der maximale Torus T von G der Ordnung 2^{n} + 1 eine rationale Klasse C_{T} regulär halbeinfacher Elemente der Ordnung 2n + 1. Auf dieselbe Weise wie für die ungetwistete Version erhalten wir dann einen charaktertheoretischen Beweis des ursprünglich durch explizite Rechnung mit Matrizen bewiesenen Ergebnisses von Thompson [20]:

Satz 6.20 (Thompson). Seien n ≥ 2 und 2n+1 eine Primzahl mit Primitivwurzel 2. Dann existieren reguläre Galoiserweiterungen mit Gruppen GO_{2n}^{−}(2) und O_{2n}^{−}(2) über ℚ(t). Insbesondere besitzt O_{2n}^{−}(2) dann eine GAR-Realisierung über ℚ.

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