DEGRÉS RELATIFS DES ALGÈBRES

CYCLOTOMIQUES ASSOCIÉES AUX GROUPES DE

RÉFLEXIONS COMPLEXES DE DIMENSION DEUX

Gunter Malle

1. Introduction

Selon le Fundamental Theorem de [3] il existe un lien étroit entre la décomposition du foncteur de Lusztig R_{L}^{G}(λ) pour un groupe réductif fini G, avec λ caractère unipotent d’un sous-groupe de Levi L de G, et le groupe W = W_{G}(L, λ), un groupe de réflexions complexes, appelé groupe de Weyl cyclotomique. M. Broué et l’auteur ont conjecturé dans [2] que ce lien devrait être expliqué par les algèbres cyclotomiques H(W) pour les groupes de réflexions W, introduites dans loc. cit. Plus précisément, l’algèbre commutante d’un certain complexe définissant le caractère de Lusztig R_{L}^{G}(λ) devrait être une spécialisation de H(W). Dans ce cas, en vertu de [2, §1], les degrés relatifs de H(W), multipliés par le degré de R_{L}^{G}(λ), donneraient les degrés des composantes irréductibles de R_{L}^{G}(λ). Les degrés relatifs sont connus, au moins modulo certaines conjectures, pour presque toutes les algèbres cyclotomiques associées à des groupes de réflexions finis, et la conséquence indiquée ci-dessus a été vérifiée dans [10] pour les cas imprimitifs, et dans [2] pour quelques cas primitifs.

Nous déterminons ici les degrés relatifs des séries infinies de groupes de réflexions imprimitifs de dimension 2, confirmant ainsi une conjecture énoncée dans [10, 2.20]. Puis nous indiquons comment trouver les degrés relatifs des 19 groupes de réflexions primitifs de dimension 2. À l’aide des formules explicites, nous vérifions les conséquences des conjectures de [2] concernant les degrés. En outre, nous déterminons dans quels cas les groupes primitifs ont des degrés unipotents associés, qui possèdent les propriétés étudiées dans [10] dans le cas des groupes imprimitifs.

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Je tiens à remercier Anne-Marie Aubert et Jean Michel pour une lecture attentive d’une version antérieure, et la Fondation Alexander von Humboldt pour son soutien financier.

Pour quatre groupes primitifs, les degrés relatifs avaient déjà été déterminés dans [2, §5]. D’autre part, le cas de G_{6} (avec les notations de [11]) est traité dans [7]. On trouve là aussi des matrices pour les représentations irréductibles de H(W), pour W = G_{i} où 4 ≤ i ≤ 15.

2. Notations et rappels

2A. Diagrammes et algèbres cyclotomiques

Soit W un groupe de réflexions fini, c’est à dire admettant un plongement W ↪ GL_{n}(ℂ) tel que l’image de W est engendrée par des éléments qui tous centralisent un sous-espace de dimension n − 1 (ces éléments sont appelés réflexions complexes). Nous disons que W est irréductible (resp. primitif) si l’image de W agit de manière irréductible (resp. primitive). Si W est irréductible, il est clair qu’il faut au moins n réflexions pour engendrer W. D’autre part on sait que n + 1 réflexions suffisent toujours. Pour les groupes de réflexions réels, on a une présentation canonique de W comme groupe de Coxeter sur n réflexions. De telles présentations existent aussi dans le cas général. Si W est encore engendré par n réflexions, alors la présentation peut être décrite par un diagramme ressemblant à un diagramme de Coxeter (et trouvé par Coxeter); en général, la présentation comprend n + 1 réflexions et on doit ajouter une relation circulaire, voir [2] et [5]. Les diagrammes correspondants sont appelés diagrammes cyclotomiques. Ces diagrammes ont des propriétés favorables; par exemple dans presque tous les cas on retrouve les sous-groupes paraboliques de W en enlevant des nœuds du diagramme cyclotomique.

Dans le cas des groupes de réflexions réels, la présentation de Coxeter conduit à une définition possible de l’algèbre d’Iwahori-Hecke H(W) associée à W. Les relations sont soit des relations d’ordre pour un générateur, soit des relations de tresses entre deux générateurs avec même nombre d’éléments des deux côtés. Pour obtenir une présentation de H(W), on garde les relations de tresses et déforme les relations d’ordre. Un procédé similaire fonctionne pour les groupes de réflexions complexes, en partant des présentations dérivées des diagrammes cyclotomiques (voir [2, §3]). Plus précisément, soit W un groupe de réflexions irréductible, et

W = ⟨s ∈ S | s^{d_{s}} ≡ 1 pour s ∈ S, r ≡ 1 pour r ∈ R}  (2.1)

la présentation de W définie dans [2] ou [5], où S désigne l’ensemble des générateurs et R l’ensemble des relations de tresses entre les s ∈ S.

2.2. Définition. Soient {u_{s,i} | s ∈ S, 1 ≤ i ≤ d_{s}} algébriquement indépendants sur ℚ tels que u_{s,i} = u_{t,i} si s ∼ t dans W, et u = (u_{s,i}), u^{−1} = (u_{s,i}^{−1}). L’algèbre cyclotomique H(W, u) générique sur ℤ[u, u^{−1}], attachée à la présentation (2.1) de W, est engendrée par des éléments T_{s}, s ∈ S, satisfaisant aux mêmes relations de tresses r ∈ R que les s ∈ S et avec

(T_{s} − u_{s,1}) ⋯ (T_{s} − u_{s,d_{s}}) = 0 pour s ∈ S .

L’importance de ces algèbres vient du fait qu’il existe un lien conjectural avec la décomposition des caractères de Lusztig R_{L}^{G}(λ) pour les groupes réductifs finis, voir [2, §1]. Cette conjecture a été démontrée dans certains cas simples où W est cyclique, voir [8] et [6]. Le cas général est ouvert. Quelques conséquences de la conjecture peuvent quand même être vérifiées. Par exemple, la conjecture suivante a été démontrée dans presque tous les cas (voir [2, Satz 4.7] et [1]).

2.3. Conjecture. Soit W un groupe de réflexions complexes. Alors l’algèbre cyclotomique H(W, u) est libre de rang |W | sur ℤ[u, u^{−1}]. En particulier pour tout corps K algébriquement clos contenant ℤ[u], l’algèbre H_{K}(W) = K ⊗_{ℤ[u]} H(W, u) est isomorphe à l’algèbre de groupe KW.

En [2, Folg. 6.7] on a aussi montré que les propriétés de rationalité des caractères irréductibles des H(W, u) coïncident avec celles des caractères unipotents des groupes réductifs finis qui leur sont associés par la conjecture énoncée dans loc. cit. 2B. Degrés relatifs

Soient R un anneau intègre commutatif de corps de fractions K, et H une R-algèbre R-libre de dimension finie telle que H_{K} := K ⊗_{R} H est semi-simple scindée. Les formes symétrisantes sur H_{K} sont données par les combinaisons K-linéaires ∑_{χ∈Irr(H_{K})} δ_{χ}χ de caractères irréductibles de H_{K} avec δ_{χ} ≠ 0 pour tout χ ∈ Irr(H_{K}). Soit t: H → R une forme linéaire avec t(hh′) = t(h′h) pour toutes h, h′ ∈ H. On a alors

t = ∑_{χ∈Irr(H_{K})} δ_{χ}(t) χ

et δ_{χ}(t) est appelé le degré relatif de χ par rapport à t.

Une R-base (T_{i})_{1≤i≤k} de H est dite quasi-symétrique si T_{1} = 1 et si les formes t: H → R avec t(T_{i}) = 0 pour i ≠ 1 sont centrales. Pour une base (T_{i})_{1≤i≤k} quasi-symétrique les degrés relatifs de la forme t définie par t(T_{1}) = 1 et t(T_{i}) = 0 si i ≠ 1, sont appelés degrés relatifs de (T_{i})_{1≤i≤k}. On a alors :

2.4. Lemme. Soit (T_{i})_{1≤i≤k} une base quasi-symétrique. Le vecteur (δ_{χ}(t))_{χ} des degrés relatifs est l’unique solution sur K du système linéaire d’équations

∑_{χ∈Irr(H_{K})} δ_{χ}(t) χ(T_{i}) = \{ \begin{matrix}1 & si i = 1, \\ 0 & si i ≠ 1. \end{matrix}  (2.5)

La conjecture 2.3 peut être étendue comme suit : Pour W un groupe de réflexions et H l’algèbre cyclotomique associée, il existe une base quasisymétrique de H formée d’éléments de type T_{w} = T_{s_{1}} ⋯ T_{s_{r}} pour w = s_{1} ⋯ s_{r} ∈ W des mots de longueur assez petite telle que la forme symétrique correspondante se spécialise en la forme symétrique standard de ℤ̄W. Pour le moment il n’est pas clair quelles bases sont quasi-symétriques et donnent naissance à une forme du type décrit. À cause de cela, nous allons faire un choix expérimental de base dans les calculs suivants.

Les degrés relatifs pour cette base quasi-symétrique devraient alors avoir des spécialisations en les degrés de certains caractères unipotents contenus dans des Φ_{d}-blocs des groupes réductifs finis associés. En particulier la connaissance des degrés relatifs permet de vérifier les théories d-Howlett-Lehrer-Lusztig (voir [2]) pour les degrés des caractères unipotents dans ces Φ_{d}-blocs. Cela a été fait pour les groupes classiques dans [10]. Ici, nous allons considérer le cas des groupes exceptionnels. Là encore, d’après les résultats de [2, §5] il reste seulement un petit nombre de cas à étudier. En effet, il suffit de déterminer les degrés relatifs des algèbres cyclotomiques H(W, u) pour les groupes de réflexions de dimension 2, ce qui est fait ci-dessous, et pour G_{26} et G_{32} (notations de [11]).

3. Les groupes de réflexions imprimitifs de dimension deux

Nous étudions d’abord les groupes de réflexions imprimitifs. Dans la paramétrage de Shephard et Todd [11], il s’agit des groupes G(e, p, 2) avec e ≥ 2 et p|e.

3A. Degrés relatifs de B_{2}^{(e)}

Le groupe de réflexions G(e, 1, 2) est isomorphe au produit en couronne du groupe cyclique C_{e} avec le groupe symétrique S_{2}. Les groupes G(e, p, 2) avec p > 1 peuvent être vus comme sous-groupes distingués d’indice p de G(e, 1, 2). Le diagramme cyclotomique correspondant à G(e, 1, 2) est

B_{2}^{(e)} :  ◯  ◯^{e}  (3.1)

Le résultat suivant montre que pour connaître les degrés relatifs de G(e, p, 2), p impair, il suffit de les déterminer dans le cas p = 1 (voir aussi [10, (5.12)] pour des formules explicites) :

3.2. Proposition (Ariki [1, Prop. 1.6]). Soit p impair. Alors il existe une spécialisation des paramètres u ↦ ū de l’algèbre H(B_{2}^{(e)}, u) telle que H(G(e, p, 2), v) est une sous-algèbre de H(B_{2}^{(e)}, ū) de façon naturelle.

Cette réduction ne marche pas dans le cas où p est pair, car alors l’algèbre cyclotomique générique comme nous la définissons a un paramètre de plus. Par exemple, si e est pair, le groupe de réflexions réel I_{2}(e) ≅ G(e, e, 2) est un sousgroupe de G(e, 1, 2), mais on retrouve seulement l’algèbre de Iwahori-Hecke de I_{2}(e) avec paramètres égaux comme sous-algèbre de H(B_{2}^{(e)}). Les cas où p est pair seront traités dans la section 3B.

Les représentations irréductibles de l’algèbre cyclotomique H(B_{2}^{(e)}) construite selon la définition 2.2 à partir du diagramme (3.1) sont données par

R_{ij} : H(B_{2}^{(e)}, (x_{1}, x_{2}; z_{1}, …, z_{e})) → K, T_{s_{1}} ↦ x_{i}, T_{s_{2}} ↦ z_{j},

pour i = 1, 2, 1 ≤ j ≤ e, et

R′_{jk} : H → K^{2×2}, T_{s_{1}} ↦ ( \begin{matrix}x_{1} & x_{1}z_{j} + x_{2}z_{k} \\ 0 & x_{2} \end{matrix} ) , T_{s_{2}} ↦ ( \begin{matrix}z_{j} & 0 \\ −1 & z_{k} \end{matrix} ) ,

pour 1 ≤ j < k ≤ e, où K := ℚ(x_{1}, x_{2}, z_{1}, …, z_{e}). On vérifie facilement que l’ensemble

\{(s_{1}s_{2})^{2m+1}, s_{1}(s_{1}s_{2})^{2m} | 0 ≤ m ≤ \frac{e − 1}{2}\} ∪ \{s_{2}^{p}(s_{1}s_{2})^{2m} | p + m < e\} (3.3)

forme un système de représentants des classes de conjugaison de G(e, 1, 2). En évaluant les caractères χ_{ij} (resp. χ′_{jk}) des représentations R_{ij} (resp. R′_{jk}) sur les éléments ci-dessus on obtient la table des caractères suivante :

3.4. Table des caractères pour H(B_{2}^{(e)})

(T_{s_{1}}T_{s_{2}})^{2m+1}  T_{s_{1}}(T_{s_{1}}T_{s_{2}})^{2m}  T_{s_{2}}^{p}(T_{s_{1}}T_{s_{2}})^{2m}
χ_{ij} (x_{i}z_{j})^{2m+1}  x_{i}^{2m+1}z_{j}^{2m}  x_{i}^{2m}z_{j}^{2m+p}
χ′_{jk}  0  (x_{1} + x_{2})(−x_{1}x_{2}z_{j}z_{k})^{m} (z_{j}^{p} + z_{k}^{p})(−x_{1}x_{2}z_{j}z_{k})^{m}

3.5. Théorème. Les degrés relatifs de H(B_{2}^{(e)}, (x_{1}, x_{2}; z_{1}, …, z_{e})) par rapport à chaque base contenant les éléments figurant dans la table 3.4 sont donnés par :

\frac{x_{3−i}^{e} ∏e_{{k=1 \atop k≠j}} z_{k}^{2}}{(x_{3−i} − x_{i}) ∏e_{{k=1 \atop k≠j}} (z_{k} − z_{j}) ∏e_{{k=1 \atop k≠j}} (x_{i}z_{j} + x_{3−i}z_{k})}

pour les 2e caractères linéaires χ_{ij}, et

\frac{−x_{1}x_{2}z_{j}z_{k} ∏e_{{l=1 \atop l≠j,k}} z_{l}^{2}}{(x_{1}z_{j} + x_{2}z_{k}) (x_{1}z_{k} + x_{2}z_{j}) ∏e_{{l=1 \atop l≠j,k}} ((z_{l} − z_{j})(z_{l} − z_{k}))}

pour les e(e − 1)/2 caractères χ′_{jk} de degré 2.

Notons que, après changement de variables, les formules coïncident avec celles de [10, (2.19)]. Alors le théorème démontre la conjecture 2.20(2) de loc. cit. dans le cas de dimension n = 2 pour les bases quasi-symétriques qui contiennent les représentants indiqués ci-dessus.

Démonstration. Nous vérifions que les fonctions rationnelles figurant dans le théorème satisfont au système linéaire (2.5). Soit B une base quasi-symétrique de H(B_{2}^{(e)}) telle que l’image de B sous la spécialisation sur l’algèbre de groupe de W = G(e, 1, 2) est formée des éléments de W. Alors il est clair qu’un ensemble d’équations linéaires de rang maximal pour les degrés relatifs peut s’obtenir en évaluant (2.5) sur un sous-ensemble C de B, tel que, après spécialisation, l’image de C contienne des représentants de toutes les classes de conjugaison de W. Par exemple, cette observation s’applique à l’ensemble défini dans (3.3).

Dans la preuve, l’identité

∑_{j=1}^{n} \frac{y_{j}^{m−1}}{∏n_{{l=1 \atop l≠j}} (y_{j} − y_{l})} = \frac{(−1)^{n−1}δ_{0,m}}{∏_{l=1}^{n} y_{l}} pour 0 ≤ m ≤ n − 1,  (3.6)

avec des indéterminées y_{1}, …, y_{n}, nous sera utile. Elle se démontre aisément en calculant la première colonne de l’inverse de la matrice de Vandermonde en y_{1}, …, y_{n}. Posons

F_{i,m} := ∑_{j=1}^{e} \frac{x_{3−i}^{e}(x_{i}z_{j})^{m} ∏_{l≠j} z_{l}^{2}}{(x_{3−i} − x_{i}) ∏_{l≠j}(z_{l} − z_{j}) ∏_{l≠j}(x_{i}z_{j} + x_{3−i}z_{l})}

pour i = 1, 2. Cette somme peut être interprétée comme sous-somme de (3.6) avec n = 2e, y_{j} := z_{j}, y_{e+j} := −x_{i}z_{j}/x_{3−i} pour 1 ≤ j ≤ e. Puis, un calcul simple montre que

F_{1,m} = (−1)^{m}F_{2,m}  pour 1 ≤ m ≤ 2e.  (3.7)

Regardons d’abord les valeurs sur les éléments de la forme (T_{s_{1}}T_{s_{2}})^{2m+1}. Comme les caractères de degré 2 prennent la valeur 0 sur ces éléments, il faut alors démontrer que F_{1,2m+1} + F_{2,2m+1} = 0 pour 0 ≤ m ≤ e − 1. Cela résulte immédiatement de (3.7).

Pour les éléments de la forme T_{s_{2}}^{p}(T_{s_{1}}T_{s_{2}})^{2m} la contribution par les caractères de degré 2 est égale à

\begin{matrix}− ∑_{j=1}^{e} ∑_{{k=1 \atop k≠j}}^{e} \frac{x_{1}x_{2}z_{j}z_{k}(z_{j}^{p} + z_{k}^{p})(−x_{1}x_{2}z_{j}z_{k})^{m} ∏_{l≠j,k} z_{l}^{2}}{2(x_{1}z_{j} + x_{2}z_{k})(x_{1}z_{k} + x_{2}z_{j}) ∏_{l≠j,k}(z_{j} − z_{l}) ∏_{l≠j,k}(z_{k} − z_{l})} \\ = − ∑_{j=1}^{e} \frac{(−x_{1}x_{2}z_{j})^{m}z_{j} ∏_{l≠j} z_{l}^{2}}{2 ∏_{l≠j}(z_{j} − z_{l})} ∑_{{k=1 \atop k≠j}}^{e} \frac{z_{k}^{m−1}(z_{j} − z_{k})(z_{j}^{p} + z_{k}^{p})}{(z_{k} + \frac{x_{1}z_{j}}{x_{2}} )(z_{k} + \frac{x_{2}z_{j}}{x_{1}} ) ∏_{l≠j,k}(z_{k} − z_{l})} . \end{matrix}

La somme intérieure s’interprète alors comme sous-somme de (3.6), avec n = e + 1, y_{i} := z_{i} pour i ≠ l, y_{l} := −x_{1}z_{j}/x_{2} et y_{e+1} := −x_{2}z_{j}/x_{1}. (Notons que l’on a toujours m+p+1 ≤ e.) Après avoir fait le remplacement correspondant, on obtient

\begin{aligned}\frac{1}{2}(δ_{0,m}δ_{0,p} + δ_{0,m+p}) & − \frac{1}{2}(\frac{1}{x_{1}^{p}} + \frac{1}{(−x_{2})^{p}})F_{1,2m+p} − \frac{1}{2}(\frac{1}{x_{2}^{p}} + \frac{1}{(−x_{1})^{p}})F_{2,2m+p} \\ & = δ_{0,m}δ_{0,p} − \frac{1}{x_{1}^{p}} F_{1,2m+p} − \frac{1}{x_{2}^{p}} F_{2,2m+p} \end{aligned}

en utilisant (3.7), ce qui est égal à la contribution des caractères linéaires à δ_{0,m}δ_{0,p} près, démontrant la formule désirée dans ce cas.

Enfin, pour les éléments T_{s_{1}}(T_{s_{1}}T_{s_{2}})^{2m} un calcul similaire donne le résultat. □

3B. Degrés relatifs de D_{2}^{(e)}

Pour obtenir les degrés relatifs des algèbres cyclotomiques correspondant à des groupes G(e, p, 2), p pair, nous devons aussi traiter le cas des groupes G(2e, 2, 2), de diagramme

D_{2}^{(e)} : ◯  ◯ ◯ e  (3.8)

L’intérêt de l’algèbre cyclotomique H(D_{2}^{(e)}, (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}; z_{1}, …, z_{e})) vient du résultat suivant, qui se démontre facilement à partir de [1, Prop. 1.6] :

3.9. Proposition. Pour tout p|e il existe une spécialisation des paramètres u ↦ ū de l’algèbre H(D_{2}^{(e)}, u) telle que H(G(2e, 2p, 2), v) est une sous-algèbre de H(D_{2}^{(e)}, ū).

Les représentations irréductibles de H(D_{2}^{(e)}) sont données par

R_{ijk} : H(D_{2}^{(e)}) → K, T_{s_{1}} ↦ x_{i}, T_{s_{2}} ↦ y_{j}, T_{s_{3}} ↦ z_{k},

pour i, j ∈ {1, 2}, 1 ≤ k ≤ e, et

\begin{aligned}R_{kl}^{1,2} : H(D_{2}^{(e)}) → K^{2×2}, & T_{s_{1}} ↦ ( \begin{matrix}x_{1} & −\frac{x_{1}y_{1}}{w} \\ 0 & x_{2} \end{matrix} ) , T_{s_{2}} ↦ ( \begin{matrix}y_{1} & 0 \\ v + w & y_{2} \end{matrix} ) , \\ & T_{s_{3}} ↦ \frac{1}{x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}} ( \begin{matrix}wx_{2}y_{2} & x_{1}y_{1}y_{2} \\ −(v + w)wx_{2} & −vx_{1}y_{1} \end{matrix} ) , \end{aligned}

pour 1 ≤ k < l ≤ e, où v = v_{kl} := w \frac{x_{2}y_{2}}{x_{1}y_{1}} −x_{2}y_{2}z_{k} −x_{2}y_{2}z_{l}, w^{2} = x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}z_{k}z_{l},

et K = ℚ(u, w). L’élément z := s_{1}s_{2}s_{3} est central dans H(D_{2}^{(e)}). L’ensemble

{s_{1}z^{m}, s_{2}z^{m} | 0 ≤ m ≤ e − 1} ∪ {s_{3}^{p}z^{m} | m + 2p ≤ 2e − 1}

forme un système de représentants des classes de conjugaison de G(2e, 2, 2). Ainsi nous obtenons la table des caractères suivant :

3.10. Table des caractères pour H(D_{2}^{(e)})
T_{s_{1}}Z^{m}  T_{s_{2}}Z^{m}  T_{s_{3}}^{p}Z^{m}
χ_{ijk} x_{i}^{m+1}y_{j}^{m}z_{k}^{m}  x_{i}^{m}y_{j}^{m+1}z_{k}^{m}  x_{i}^{m}y_{j}^{m}z_{k}^{m+p}
χ_{kl}^{1} (x_{1} + x_{2})w^{m}  (y_{1} + y_{2})w^{m}  (z_{k}^{p} + z_{l}^{p})w^{m}
χ_{kl}^{2} (x_{1} + x_{2})(−w)^{m} (y_{1} + y_{2})(−w)^{m} (z_{k}^{p} + z_{l}^{p})(−w)^{m}

3.11. Théorème. Les degrés relatifs de H(D_{2}^{(e)}, (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}; z_{1}, …, z_{e})) par rapport à chaque base contenant les éléments figurant dans la table 3.10 sont donnés par :

\frac{x_{3−i}^{e} y_{3−j}^{e} ∏e_{{l=1 \atop l≠k}} z_{l}^{2}}{(x_{3−i} − x_{i}) (y_{3−j} − y_{j}) ∏e_{{l=1 \atop l≠k}} (z_{l} − z_{k}) ∏e_{{l=1 \atop l≠k}} (x_{3−i}y_{3−j}z_{l} − x_{i}y_{j}z_{k})}

pour les 4e caractères linéaires χ_{ijk}, et

\frac{−x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}z_{k}z_{l} ∏e_{{n=1 \atop n≠k,l}} z_{n}^{2}}{2 ∏_{i,j=1}^{2}(X_{3−i}Y_{3−j}Z_{l} − X_{i}Y_{j}Z_{k}) ∏e_{{n=1 \atop n≠k,l}} ((z_{n} − z_{k})(z_{n} − z_{l}))}

avec X_{i}^{2} = x_{i}, Y_{j}^{2} = y_{j}, Z_{n}^{2} = z_{n}, pour les e^{2} − e caractères χ_{kl}^{1,2} de degré 2.

Démonstration. Nous utilisons la même méthode que dans la démonstration du théorème 3.5. Soit d’abord

F_{i,j,m} := ∑_{k=1}^{e} \frac{x_{3−i}^{e}y_{3−j}^{e}(x_{i}y_{j}z_{k})^{m} ∏_{l≠k} z_{l}^{2}}{(x_{3−i} − x_{i})(y_{3−j} − y_{j}) ∏_{l≠k}(z_{k} − z_{l}) ∏_{l≠k}(x_{i}y_{j}z_{k} − x_{3−i}y_{3−j}z_{l})}

pour i, j ∈ {1, 2}. En utilisant (3.6) on montre que

F_{i,j,m} = F_{3−i,3−j,m} − \frac{x_{i}y_{j} − x_{3−i}y_{3−j}}{(x_{3−i} − x_{i})(y_{3−j} − y_{j})}δ_{0,m} pour 0 ≤ m ≤ 2e − 1.

(3.12)

La contribution des caractères χ_{kl}^{1} de degré 2 sur les éléments de la forme T_{s_{3}}^{p}Z^{m} à la somme de (2.5) est

\begin{matrix}− & ∑_{k=1}^{e} ∑_{{l=1 \atop l≠k}}^{e} \frac{(z_{k}^{p} + z_{l}^{p})w^{m+2} ∏_{n≠k,l} z_{n}^{2}}{4 ∏_{i,j=1}^{2}(X_{3−i}Y_{3−j}Z_{l} − X_{i}Y_{j}Z_{k}) ∏_{n≠k,l}((z_{k} − z_{n})(z_{l} − z_{n}))} = \\ − ∑_{k=1}^{e} & \frac{(X_{1}X_{2}Y_{1}Y_{2})^{m}Z_{k}^{m+2} ∏_{n≠k} z_{n}^{2}}{2 ∏_{n≠k}(z_{k} − z_{n})} ∑_{{l=1 \atop l≠k}}^{e} \frac{(z_{k}^{p} + z_{l}^{p})(z_{k} − z_{l})Z_{l}^{m−1}}{∏_{i,j=1}^{2}(Z_{l} − \frac{X_{i}Y_{j}Z_{k}}{X_{3−i}Y_{3−j}})2Z_{l} ∏_{n≠k,l}(Z_{l}^{2} − Z_{n}^{2})} \end{matrix}

où X_{i}, Y_{j}, Z_{n} désignent des racines carrées de x_{i}, y_{j}, z_{n} telles que w = X_{1}X_{2}Y_{1}Y_{2}Z_{j}Z_{k}. Les caractères χ_{kl}^{2}, conjugués des χ_{kl}^{1}, contribuent pour une somme similaire, et on voit qu’encore une fois l’identité (3.6) s’applique. Alors, un calcul simple donne

δ_{0,m}δ_{0,p} − \frac{1}{2} ∑_{i,j=1}^{2} (\frac{1}{(x_{i}y_{j})^{p}} + \frac{1}{(x_{3−i}y_{3−j})^{p}} ) F_{i,j,m+p}

comme contribution des caractères de degré 2. Pour les caractères linéaires il s’ajoute

∑_{i,j=1}^{2} \frac{1}{(x_{i}y_{j})^{p}} F_{i,j,m+p},

et (3.12) permet de conclure.

Pour les éléments de type T_{s_{1}}Z^{m} et T_{s_{2}}Z^{m} le calcul est similaire. □

4. Les groupes de réflexions primitifs de dimension deux

4A. Structure des groupes primitifs de dimension deux

Soit W ↪ GL_{2}(ℂ) un groupe de réflexions irréductible de dimension 2, et W̄ son image canonique dans PGL_{2}(ℂ). Si W est primitif, on voit aisément que W̄ est isomorphe à l’un des groupes A_{4}, S_{4} ou A_{5}. Plus précisément, avec la notation de Shephard et Todd [11], l’image des groupes G_{4}, …, G_{8} est A_{4}, l’image de G_{9}, …, G_{15} est S_{4}, et l’image de G_{16}, …, G_{22} est A_{5}. De plus, dans chacun de ces trois cas il existe un groupe de réflexions W̃ maximal, tel que tous les W qui ont la même image dans PGL_{2}(ℂ) peuvent être réalisés comme sous-groupes (distingués) de W̃. Il s’agit des groupes G_{7}, G_{11}, G_{19} ; les diagrammes cyclotomiques associés sont les suivants :

D_{2}^{3,n} : ◯  ◯ 3 ◯ n  (4.1)

avec n = 3, 4, 5 selon les cas (voir [2, 3D]), où le cercle symbolise la relation rst = str = trs entre les trois générateurs r, s, t qui correspondent aux trois nœuds. On a le résultat suivant pour les algèbres cyclotomiques correspondantes :

4.2. Proposition. Soit W un groupe de réflexions de dimension 2 primitif. Supposons que les algèbres cyclotomiques H(W′, v) pour tous les W′ tels que W̃ = W̃′ satisfont à la conjecture 2.3. Alors il existe une spécialisation des paramètres u ↦ ū de l’algèbre H(W̃, u) telle que H(W, v) est une sous-algèbre de H(W̃, ū).

Démonstration. Cela se démontre cas par cas. Nous donnons les détails seulement pour le groupe W = G_{13}, de présentation

s_{1}^{2} = s_{2}^{2} = s_{3}^{2} = 1, s_{2}s_{3}s_{1}s_{2} = s_{3}s_{1}s_{2}s_{3}, s_{3}s_{1}s_{2}s_{3}s_{1} = s_{1}s_{2}s_{3}s_{1}s_{2},

avec trois générateurs s_{1}, s_{2}, s_{3} (voir [5]). Alors W̃ = G_{11} et selon la définition 2.2 et (4.1) l’algèbre H(W̃, u) est engendrée par T_{1}, T_{2}, T_{3} soumis aux relations T_{1}T_{2}T_{3} = T_{2}T_{3}T_{1} = T_{3}T_{1}T_{2} et

∏_{j=1}^{2}(T_{1} − u_{1,j}) = ∏_{j=1}^{3}(T_{2} − u_{2,j}) = ∏_{j=1}^{4}(T_{3} − u_{3,j}) = 0.

Après la spécialisation

(u_{3,1}, u_{3,2}, u_{3,3}, u_{3,4}) ↦ (\sqrt{v_{1}}, −\sqrt{v_{1}}, \sqrt{v_{2}}, −\sqrt{v_{2}})

les éléments U_{1} := T_{3}^{2}, U_{2} := T_{1} et U_{3} := T_{2} vérifient les relations

U_{2}U_{3}U_{1} = U_{1}U_{2}U_{3}, U_{1}U_{2}U_{3}U_{2}U_{3} = U_{3}U_{1}U_{2}U_{3}U_{2}, ∏_{i=1}^{2}(U_{1} − v_{i}) = 0,

dans l’algèbre obtenue par spécialisation. De plus, la sous-algèbre engendrée par U_{1}, U_{2} et U_{3} est d’indice 3 dans H(W̃), et comme nous supposons la validité de la conjecture 2.3, cela montre que ⟨U_{1}, U_{2}, U_{3}⟩ est isomorphe à H(G_{15}) (voir [5] pour le diagramme cyclotomique de G_{15}). Spécialisant encore u_{2,j} ↦ ζ_{3}^{j} avec ζ_{3} = exp(2πi/3) les éléments V_{1} := U_{1}, V_{2} := U_{2} et V_{3} := U_{3}^{2}U_{2}U_{3} vérifient

V_{2}V_{3}V_{1}V_{2} = V_{3}V_{1}V_{2}V_{3}, V_{1}V_{2}V_{3}V_{1}V_{2} = V_{3}V_{1}V_{2}V_{3}V_{1},

(notons que maintenant U_{3}^{3} = T_{2}^{3} = 1), et comme précédemment on en déduit que V_{1}, V_{2}, V_{3} engendrent une sous-algèbre d’indice 2 de la spécialisation de H(G_{15}) isomorphe à H(G_{13}). Cela démontre que H(G_{13}, (v_{1}, v_{2}; u_{1,1}, u_{1,2})) est isomorphe à

⟨V_{1}, V_{2}, V_{3}⟩ ≤ H(G_{11}, ū)

avec ū = (u_{1,1}, u_{1,2}; ζ_{3}, ζ_{3}^{2}, 1; \sqrt{v_{1}}, −\sqrt{v_{1}}, \sqrt{v_{2}}, −\sqrt{v_{2}}).

Les spécialisations dans les autres cas se trouvent dans les tables 4.6, 4.9 et 4.12. □

Remarquons que la proposition précédente permet de ramener la détermination des degrés relatifs pour les groupes W considérés à la détermination de ceux des trois groupes W̃. En effet, W̃ étant une extension centrale du sousgroupe distingué W, les restrictions de tous les caractères irréductibles de W̃ à W sont irréductibles. Alors, le lien entre les degrés relatifs est expliqué par l’observation évidente suivante :

4.3. Lemme. Soient W ≤ W̃ comme ci-dessus et H′ ≤ H l’inclusion de leurs algèbres cyclotomiques (obtenues par spécialisation) d’après la proposition 4.2. Soient t′ la restriction à H′ d’une forme symétrisante t sur H et χ′ := χ|_{H′} la restriction (irréductible) d’un caractère irréductible χ ∈ Irr(H). Alors les degrés relatifs vérifient

δ_{χ′}(t′) = (W̃ : W) δ_{χ}(t) .

Dans les sections suivantes, nous allons traiter les trois possibilités pour W̃, en supposant que la conjecture 2.3 est satisfaite pour les groupes W concernés.

4B. Degrés relatifs de D_{2}^{3,3}

Le groupe de réflexions G_{7} est un produit central G_{7} = C_{12} ∘_{C_{2}} SL_{2}(3) de SL_{2}(3) avec le groupe cyclique d’ordre 12. Le diagramme D = D(G_{7}) est donné par (4.1) avec n = 3. Soit

H(D_{2}^{3,3}, (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}, y_{3}; z_{1}, z_{2}, z_{3}))

l’algèbre cyclotomique associée par la définition 2.2. Notons s_{1}, s_{2}, s_{3} les trois générateurs de W = G_{7} = W (D_{2}^{3,3}) dans la présentation décrite par le diagramme cyclotomique (4.1) avec

s_{1}^{2} = s_{2}^{3} = s_{3}^{3} = 1, s_{1}s_{2}s_{3} = s_{2}s_{3}s_{1} = s_{3}s_{1}s_{2},

et T_{1}, T_{2}, T_{3} les générateurs de H := H(D_{2}^{3,3}, (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}, y_{3}; z_{1}, z_{2}, z_{3})) correspondants. Alors l’élément z := s_{1}s_{2}s_{3} est central dans W, et de même Z := T_{1}T_{2}T_{3} est central dans H. On remarque que l’ensemble

{z^{i}, s_{1}z^{j}, s_{2}z^{i}, s_{3}z^{i} | 0 ≤ i ≤ 11, 0 ≤ j ≤ 5}

est un système de représentants des classes de conjugaison de W. Nous choisissons alors

C := {Z^{i}, T_{1}Z^{j}, T_{2}Z^{i}, T_{3}Z^{i} | 0 ≤ i ≤ 11, 0 ≤ j ≤ 5}

comme sous-ensemble de la base quasi-symétrique cherchée.

4.4. Théorème. Les degrés relatifs de H(D_{2}^{3,3}, (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}, y_{3}; z_{1}, z_{2}, z_{3})) par rapport à chaque base quasi-symétrique contenant C comme sous-ensemble sont donnés par :

\frac{x_{2}^{6} y_{2}^{4} y_{3}^{4} z_{2}^{4} z_{3}^{4}}{(x_{2} − x_{1}) (x_{2}y_{2}y_{3}z_{2}z_{3} − x_{1}y_{1}^{2}z_{1}^{2}) ∏_{i=2}^{3} ((y_{i} − y_{1})(z_{i} − z_{1})) ∏_{i,j=2}^{3}(x_{2}y_{i}z_{j} − x_{1}y_{1}z_{1})}

pour les 18 caractères linéaires,

\frac{−x_{1}^{2} x_{2}^{2} y_{1} y_{4} y_{3}^{4} z_{1}^{2} z_{2}^{2} z_{3}^{4}}{2 ∏_{i=2}^{3} ((y_{3} − y_{i})(z_{3} − z_{i})) ∏_{i=1}^{2} ((x_{i}y_{3}z_{3} − u)(x_{i}y_{2}z_{2} − u)(x_{i}y_{2}z_{1} − u))}

avec u^{2} = x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}z_{1}z_{2} pour les 18 caractères de degré 2, et

\frac{−x_{1}^{7} x_{2}^{3} y_{1}^{3} y_{2}^{3} y_{3}^{3} z_{1}^{3} z_{2}^{3} z_{3}^{3}}{3 (x_{1} − x_{2}) ∏_{i,j=1}^{3}(x_{1}y_{i}z_{j} − v)}

avec v^{3} = x_{1}^{2}x_{2}y_{1}y_{2}y_{3}z_{1}z_{2}z_{3} pour les 6 caractères de degré 3.

Démonstration. Nous allons calculer les degrés relatifs à l’aide du lemme 2.4. La validité de 2.3 implique en particulier qu’il existe une bijection

κ : Irr(H) ⟶^{∼} Irr(W), χ ↦ κ(χ),

qui préserve les degrés, et telle que κ(χ) est le caractère obtenu à partir de χ par la spécialisation x_{i} ↦ (−1)^{i}, y_{i}, z_{i} ↦ ζ_{3}^{i}. Il s’ensuit que l’on peut déterminer les valeurs χ(T_{i}) pour χ ∈ Irr(H) si on connaît les valeurs κ(χ)(s_{i}). Comme Z ∈ H est central, il agit par un scalaire dans toutes les représentations R (absolument) irréductibles de H. Pour une telle représentation R de caractère χ on a

(χ(Z)/χ(1))^{χ(1)} = det(R(Z)) = det(R(T_{1})) det(R(T_{2})) det(R(T_{3})).

Comme la valeur du membre de droite est connue, cela donne χ(Z)^{χ(1)}. En comparant avec la spécialisation sur W on obtient χ(Z). Comme Z agit par une matrice scalaire, les valeurs χ(T_{i}Z) vérifient

χ(T_{i}Z) = \frac{1}{χ(1)}χ(Z)χ(T_{i}) .

Le raisonnement précédent montre qu’on peut évaluer tout caractère irréductible de H sur tout élément de C en connaissant seulement la table des caractères de W. Celle-ci peut être calculée par exemple avec le logiciel Cayley. Explicitons alors les valeurs des caractères irréductibles de H sur les éléments de C :

4.5. Table des caractères pour H(D_{2}^{3,3})

\begin{matrix}degré & Z^{i} & T_{1}Z^{j} & T_{2}Z^{i} & T_{3}Z^{i} \\ 1 & x_{1}^{i}y_{1}^{i}z_{1}^{i} & x_{1}^{j+1}y_{1}^{j}z_{1}^{j} & x_{1}^{i}y_{1}^{i+1}z_{1}^{i} & x_{1}^{i}y_{1}^{i}z_{1}^{i+1} \\ 2 & 2u^{i} & (x_{1} + x_{2})u^{j} & (y_{1} + y_{2})u^{i} & (z_{1} + z_{2})u^{i} \\ 3 & 3v^{i} & (2x_{1} + x_{2})v^{j} & (y_{1} + y_{2} + y_{3})v^{i} & (z_{1} + z_{2} + z_{3})v^{i} \end{matrix}

(où u^{2} = x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}z_{1}z_{2}, v^{3} = x_{1}^{2}x_{2}y_{1}y_{2}y_{3}z_{1}z_{2}z_{3}.)

Cela permet de vérifier l’assertion du théorème (au moins en principe, avec un ordinateur assez puissant). □

Donnons maintenant quelques indications sur la manière de résoudre le système d’équations linéaires obtenu ci-dessus. Même avec les logiciels modernes il ne semble pas possible d’appliquer l’algorithme de Gauss et d’obtenir une solution dans un temps acceptable. Dans le cas de D_{2}^{3,3} la méthode suivante mène au succès. On spécialise sept des huit indéterminées x_{i}, y_{i}, z_{i} en des petits nombres premiers distincts. On peut alors résoudre le système (2.5) avec le logiciel Maple par exemple. Ensuite on devine les vrais degrés à partir de leurs spécialisations (vu les résultats, il n’est pas trop difficile de deviner ...), et enfin on vérifie par une multiplication simple.

4.6. Spécialisations des paramètres pour H(D_{2}^{3,3})

\begin{matrix}[11] & D & indice & T_{1} & T_{2} & T_{3} \\ G_{7} & D_{2}^{3,3} & 1 & x_{1}, x_{2} & y_{1}, y_{2}, y_{3} & z_{1}, z_{2}, z_{3} \\ G_{5} & B_{2}^{3,3} & 2 & 1, −1 & y_{1}, y_{2}, y_{3} & z_{1}, z_{2}, z_{3} \\ G_{6} & G_{2}^{(3)} & 3 & x_{1}, x_{2} & 1, ζ_{3}, ζ_{3}^{2} & z_{1}, z_{2}, z_{3} \\ G_{4} & A_{2}^{(3)} & 6 & 1, −1 & 1, ζ_{3}, ζ_{3}^{2} & z_{1}, z_{2}, z_{3} \end{matrix}

Comme on l’a déjà remarqué, les degrés relatifs des autres groupes de réflexions W avec W̄ = A_{4} peuvent être obtenus à partir des résultats ci-dessus par spécialisation en utilisant le lemme 4.3. Dans la table 4.6 nous donnons les spécialisations des paramètres (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}; z_{1}, z_{2}, z_{3}) de H(D_{2}^{3,3}) nécessaires pour obtenir les sous-algèbres cyclotomiques avec les diagrammes indiqués. Ici, comme dans les tables 4.9 et 4.12, ζ_{n}, pour n ∈ ℕ, désigne la racine primitive n-ième de l’unité ζ_{n} = exp(2πi/n).

Pour les cas de G_{4} et G_{5} on retrouve ainsi les résultats de [2, Bem. 5.5 et 5.7] à ceci près que dans le premier degré pour G_{5} donné dans loc. cit. il est intervenu une faute de frappe : le premier facteur du dénominateur doit être changé en (uvxy + w^{2}z^{2}).

4C. Degrés relatifs de D_{2}^{3,4}

Soient maintenant W = G_{11}, un produit central C_{24} ∘_{C_{2}} GL_{2}(3), de diagramme D_{2}^{3,4} dans (4.1) où n = 4, et H(D_{2}^{3,4}) l’algèbre cyclotomique correspondante. Soient encore s_{1}, s_{2}, s_{3} les trois générateurs de W = G_{11} avec s_{i} d’ordre i + 1, 1 ≤ i ≤ 3, et T_{i} les générateurs de H = H(D_{2}^{3,4}) correspondants. L’élément z = s_{1}s_{2}s_{3} est central dans W, et on vérifie que

{z^{i}, s_{1}z^{j}, s_{2}z^{i}, s_{3}z^{i}, s_{3}^{2}z^{j} | 0 ≤ i ≤ 23, 0 ≤ j ≤ 11}

donne un système de représentants des 96 classes de conjugaison de W. Notons C l’ensemble d’éléments de H correspondants.

4.7. Théorème. Les degrés relatifs de H(D_{2}^{3,4}, (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}, y_{3}; z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4})) par rapport à chaque base quasi-symétrique contenant C sont donnés par :

x_{2}^{12} y_{2}^{8} y_{3}^{8} z_{2}^{6} z_{3}^{6} z_{4}^{6}

\begin{matrix}(x_{2}−x_{1}) ∏_{i=2}^{3}(y_{i}−y_{1}) ∏_{i=2}^{4}(z_{i}−z_{1}) ∏_{i=2}^{3} ∏_{j=2}^{4}(x_{2}y_{i}z_{j} −x_{1}y_{1}z_{1}) (x_{2}y_{2}y_{3}z_{2}z_{3}−x_{1}y_{1}^{2}z_{1}^{2}) \\ ×(x_{2}y_{2}y_{3}z_{2}z_{4} − x_{1}y_{1}^{2}z_{1}^{2})(x_{2}y_{2}y_{3}z_{3}z_{4} − x_{1}y_{1}^{2}z_{1}^{2})(x_{2}^{2}y_{2}y_{3}z_{2}z_{3}z_{4} − x_{1}^{2}y_{1}^{2}z_{1}^{3}) \end{matrix}

pour les 24 caractères linéaires,

\frac{−x_{1}^{4} x_{2}^{4} y_{1}^{2} y_{2}^{2} y_{3}^{8} z_{1} z_{2}^{3} z_{3}^{6} z_{4}^{6}}{2 ∏_{i=1}^{2}(((y_{3} − y_{i})(y_{i}z_{1}z_{2} − y_{3}z_{3}z_{4})) ∏_{j=3}^{4}((z_{j} − z_{i})(x_{i}y_{3}z_{j} − r)) ∏_{j=1}^{2}(x_{i}y_{j}z_{2} − r))}

avec r^{2} = x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}z_{1}z_{2} pour les 36 caractères de degré 2,

\frac{x_{1}^{7} x_{2}^{6} y_{1}^{4} y_{2}^{4} y_{3}^{4} z_{1}^{3} z_{2}^{3} z_{3}^{3} z_{4}^{6}}{3 (x_{2} − x_{1}) ∏_{i=1}^{3}(z_{4} − z_{i}) ∏_{i=1}^{3}(x_{2}y_{i}z_{4} − s) ∏_{i=1}^{3} ∏_{j=1}^{3}(x_{1}y_{i}z_{j} − s)}

avec s^{3} = x_{1}^{2}x_{2}y_{1}y_{2}y_{3}z_{1}z_{2}z_{3} pour les 24 caractères de degré 3, et

\frac{−x_{1}^{9} x_{2}^{9} y_{1}^{10} y_{2}^{5} y_{3}^{5} z_{1}^{3} z_{2}^{3} z_{3}^{3} z_{4}^{3} t^{2}}{4 (y_{2} − y_{1}) (y_{3} − y_{1}) ∏_{i=1}^{2} ∏_{j=1}^{4}(x_{i}y_{1}z_{j} − t) ∏_{i=1}^{2} ∏_{j=2}^{4}(x_{1}x_{2}y_{1}y_{i}z_{1}z_{j} − t^{2})}

avec t^{4} = x_{1}^{2}x_{2}^{2}y_{1}^{2}y_{2}y_{3}z_{1}z_{2}z_{3}z_{4} pour les 12 caractères de degré 4.

Démonstration. Les valeurs des caractères irréductibles sur les éléments de C sont obtenues comme dans la démonstration du théorème 4.4 (voir la table 4.8). □

4.8. Table des caractères pour H(D_{2}^{3,4})

\begin{matrix}Z^{i} & T_{1}Z^{j} & T_{2}Z^{i} & T_{3}Z^{i} & T_{3}^{2}Z^{j} \\ x_{1}^{i}y_{1}^{i}z_{1}^{i} & x_{1}^{j+1}y_{1}^{j}z_{1}^{j} & x_{1}^{i}y_{1}^{i+1}z_{1}^{i} & x_{1}^{i}y_{1}^{i}z_{1}^{i+1} & x_{1}^{j}y_{1}^{j}z_{1}^{j+2} \\ 2r^{i} & (x_{1} + x_{2})r^{j} & (y_{1} + y_{2})r^{i} & (z_{1} + z_{2})r^{i} & (z_{1}^{2} + z_{2}^{2})r^{j} \\ 3s^{i} & (2x_{1} + x_{2})s^{j} & (y_{1} + y_{2} + y_{3})s^{i} & (z_{1} + z_{2} + z_{3})s^{i} & (z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2})s^{j} \\ 4t^{i} & (2x_{1} + 2x_{2})t^{j} & (2y_{1} + y_{2} + y_{3})t^{i} & (z_{1} + z_{2} + z_{3} + z_{4})t^{i} & (z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} + z_{4}^{2})t^{j} \end{matrix}

(Ici, 0 ≤ i ≤ 23, 0 ≤ j ≤ 11, et r^{2} = x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}z_{1}z_{2}, s^{3} = x_{1}^{2}x_{2}y_{1}y_{2}y_{3}z_{1}z_{2}z_{3}, t^{4} = x_{1}^{2}x_{2}^{2}y_{1}^{2}y_{2}y_{3}z_{1}z_{2}z_{3}z_{4}.)

Dans ce cas, comme pour le cas de D_{2}^{3,5} (voir plus loin), la simplification pour la solution du système d’équations décrit pour le cas de D_{2}^{3,3} n’est pas suffisante. Ici, nous spécialisons les 9 (resp. 10 dans le cas de D_{2}^{3,5}) indéterminées en des nombres premiers, puis réduisons le système de 96 (resp. 270) équations obtenu modulo un autre nombre premier (par exemple le nombre 1009 convient). Avec Maple il est alors possible de vérifier que le rang du système est encore maximal et de calculer les solutions mod 1009. Un processus de relèvement de Hensel permet d’obtenir des approximations des solutions dans l’anneau 1009-adique ℤ_{1009}. (Il se trouve qu’une approximation à 130 chiffres près suffit.) Comme les coefficients des équations linéaires sont contenus dans ℚ̄, les solutions sont algébriques sur ℚ. Par l’algorithme LLL, on trouve les équations minimales sur ℚ satisfaites par ces solutions. On peut alors deviner les fonctions en 9 (resp. 10) variables ayant comme spécialisations les nombres rationnels qui interviennent comme coefficients des polynômes minimaux. Il reste à vérifier les solutions.

4.9. Spécialisations des paramètres pour H(D_{2}^{3,4})

[11]  D  indice  T_{1}  T_{2}  T_{3}
G_{11} D_{2}^{3,4}  1  x_{1}, x_{2}  y_{1}, y_{2}, y_{3}  z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}
G_{10} B_{2}^{4,3}  2  1, −1  y_{1}, y_{2}, y_{3}  z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}
G_{15}  2  x_{1}, x_{2}  y_{1}, y_{2}, y_{3}  \sqrt{u_{1}}, \sqrt{u_{2}}, −\sqrt{u_{1}}, −\sqrt{u_{2}}
G_{9}  G_{2}^{(4)}  3  x_{1}, x_{2}  1, ζ_{3}, ζ_{3}^{2}  z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}
G_{14} I_{2}^{(3)}(8)  4  x_{1}, x_{2}  y_{1}, y_{2}, y_{3}  1, ζ_{4}, −1, −ζ_{4}
G_{8}  A_{2}^{(4)}  6  1, −1  1, ζ_{3}, ζ_{3}^{2}  z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}
G_{13}  6  x_{1}, x_{2}  1, ζ_{3}, ζ_{3}^{2}  \sqrt{u_{1}}, \sqrt{u_{2}}, −\sqrt{u_{1}}, −\sqrt{u_{2}}
G_{12}  K_{2}  12  x_{1}, x_{2}  1, ζ_{3}, ζ_{3}^{2}  1, ζ_{4}, −1, −ζ_{4}

Dans la table 4.9 nous donnons les spécialisations des paramètres nécessaires pour obtenir les degrés relatifs des autres algèbres cyclotomiques H(W) avec W̄ = S_{4}. Ainsi on retrouve les degrés relatifs des algèbres cyclotomiques correspondantes aux groupes G_{8} et G_{12} déjà traitées dans [2, Bem. 5.10 et 5.13].

4D. Degrés relatifs de D_{2}^{3,5}

Enfin, soient W = G_{19}, un produit central C_{60} ∘_{C_{2}} SL_{2}(5), avec diagramme D = D_{2}^{3,5} dans (4.1) où n = 5, et H l’algèbre correspondante. Soient s_{1}, s_{2}, s_{3} les trois générateurs de W = G_{19} avec s_{1} d’ordre 2, s_{2} d’ordre 3 et s_{3} d’ordre 5, et T_{i} les générateurs de H = H(D_{2}^{3,5}) correspondants. Notons encore z = s_{1}s_{2}s_{3} et Z := T_{1}T_{2}T_{3} les éléments centraux. Alors

{z^{i}, s_{1}z^{j}, s_{2}z^{i}, s_{3}z^{i}, s_{3}^{2}z^{i} | 0 ≤ i ≤ 59, 0 ≤ j ≤ 29}

constitue un système de représentants des classes de conjugaison de W. Notons C l’ensemble des éléments de H correspondants figurant dans la table 4.11.

Afin de rendre les formules dans le prochain énoncé pas trop monstrueuses, nous avons adopté la convention suivante. Les facteurs qui interviennent dans les degrés ont beaucoup de symétries; dans chaque cas, nous donnons seulement une partie des facteurs, les autres peuvent s’en déduire par application d’un groupe de symétries sur des sous-ensembles des indéterminées. Plus précisément, pour chaque facteur dans le numérateur ou le dénominateur, on doit ajouter toutes les images différentes qui peuvent s’obtenir par l’action du groupe symétrique sur les ensembles de variables donnés dans la ligne suivante, en négligeant les changements de signe. Par exemple,

\frac{x_{1}y_{1}^{2}y_{2}^{3}}{(x_{1} − x_{2})(x_{1}y_{1} − x_{2}y_{2})}

symétrisé selon ({x_{1}, x_{2}}|{y_{2}, y_{3}}) est l’abréviation de

±\frac{x_{1}x_{2}y_{1}^{2}y_{2}^{3}y_{3}^{3}}{(x_{1} − x_{2})(x_{1}y_{1} − x_{2}y_{2})(x_{1}y_{1} − x_{2}y_{3})(x_{2}y_{1} − x_{1}y_{2})(x_{2}y_{1} − x_{1}y_{3})}.

Évidemment, cela donne le résultat seulement au signe près. Le signe correct se déduit du fait que les degrés deviennent des nombres rationnels positifs par spécialisation sur le groupe de réflexions W .

4.10. Théorème. Les degrés relatifs de H(D_{2}^{3,5}, (x_{1}, x_{2}; y_{1}, y_{2}, y_{3}; z_{1}, …, z_{5})) par rapport à chaque base quasi-symétrique contenant C sont donnés par :

x_{2}^{30} y_{2}^{20} z_{2}^{12}

\begin{matrix}(x_{2} − x_{1})(y_{2} − y_{1})(z_{2} − z_{1})(x_{2}y_{2}z_{2} − x_{1}y_{1}z_{1})(x_{2}y_{2}y_{3}z_{2}z_{3} − x_{1}y_{1}^{2}z_{1}^{2})× \\ (x_{2}^{2}y_{2}y_{3}z_{2}z_{3}z_{4} − x_{1}^{2}y_{1}^{2}z_{1}^{3})(x_{2}^{2}y_{2}^{2}y_{3}z_{2}z_{3}z_{4}z_{5} − x_{1}^{2}y_{1}^{3}z_{1}^{4})(x_{2}^{3}y_{2}^{2}y_{3}^{2}z_{2}z_{3}z_{4}z_{5} − x_{1}^{3}y_{1}^{4}z_{1}^{4}) \end{matrix}

(symétrisé selon ({y_{2}, y_{3}}|{z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5}})) pour les 30 caractères linéaires,

−x_{1}^{6} y_{1}^{3} y_{2} y_{3}^{20} z_{1}^{2} z_{3}^{12}

\begin{matrix}2(y_{3} − y_{1})(y_{3} − y_{2})(z_{3} − z_{1})(y_{1}z_{1}z_{2} − y_{3}z_{3}z_{4})(y_{2}z_{1}z_{2} − y_{3}z_{3}z_{4})× \\ (y_{1}y_{2}z_{1}z_{2}^{2} − y_{3}^{2}z_{3}z_{4}z_{5})(x_{1}y_{1}z_{1} − r)(x_{2}y_{3}z_{3} − r)(x_{1}y_{3}z_{3}z_{4}z_{5} − rz_{1}z_{2}) \end{matrix}

(symétrisé selon ({x_{1}, x_{2}}|{z_{1}, z_{2}}|{z_{3}, z_{4}, z_{5}})) avec r^{2} = x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}z_{1}z_{2} pour les 60 caractères de degré 2,

\frac{x_{1}^{7} x_{2}^{15} y_{1}^{8} z_{1}^{3} z_{4}^{12}}{3(x_{2} − x_{1})(z_{4} − z_{1})(x_{2}z_{4}z_{5} − x_{1}z_{1}z_{2})(x_{2}y_{1}z_{4} − s)(x_{1}y_{1}z_{1} − s)(x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}z_{4}z_{5} − s^{2})}

(symétrisé selon ({y_{1}, y_{2}, y_{3}}|{z_{1}, z_{2}, z_{3}}|{z_{4}, z_{5}})) avec s^{3} = x_{1}^{2}x_{2}y_{1}y_{2}y_{3}z_{1}z_{2}z_{3} pour les 60 caractères de degré 3,

x_{1}^{16} y_{1}^{11} y_{2}^{13} y_{3}^{10} z_{1}^{6} z_{5}^{12}

\begin{matrix}4(y_{2} − y_{1})(y_{3} − y_{1})(z_{5} − z_{1})(x_{1}y_{1}z_{1} − t)(x_{1}y_{2}z_{5} − t)(x_{1}y_{3}z_{5} − t)× \\ (x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}z_{1}z_{2} − t^{2})(x_{1}x_{2}y_{2}y_{3}z_{1}z_{5} − t^{2}) \end{matrix}

(symétrisé selon ({x_{1}, x_{2}}|{z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}})) avec t^{4} = x_{1}^{2}x_{2}^{2}y_{1}^{2}y_{2}y_{3}z_{1}z_{2}z_{3}z_{4} pour les 60 caractères de degré 4,

\frac{x_{1}^{18} x_{2}^{18} y_{1}^{13} y_{3}^{11} z_{1}^{7}}{5(x_{2} − x_{1})(y_{3} − y_{1})(x_{1}y_{1}z_{1} − u)(x_{2}y_{3}z_{1} − u)(x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}z_{1}z_{2} − u^{2})}

(symétrisé selon ({y_{1}, y_{2}}|{z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5}})) avec u^{5} = x_{1}^{3}x_{2}^{2}y_{1}^{2}y_{2}^{2}y_{3}z_{1}z_{2}z_{3}z_{4}z_{5} pour les 30 caractères de degré 5,

x_{1}^{24} x_{2}^{21} y_{1}^{15} z_{1}^{17} z_{2}^{8} v^{3}

6(z_{2} − z_{1})(x_{1}y_{1}z_{1} − v)(x_{2}y_{1}z_{1} − v)(x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}z_{1}z_{2} − v^{2})(x_{1}^{2}x_{2}y_{1}y_{2}y_{3}z_{1}z_{2}z_{3} − v^{3})

(symétrisé selon ({y_{1}, y_{2}, y_{3}}|{z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5}})) avec v^{6} = x_{1}^{3}x_{2}^{3}y_{1}^{2}y_{2}^{2}y_{3}^{2}z_{1}^{2}z_{2}z_{3}z_{4}z_{5} pour les 30 caractères de degré 6.

Démonstration. Comme précédemment nous pouvons évaluer les caractères irréductibles de H sur les éléments de C. Les méthodes décrites après la démonstration du théorème 4.7 fournissent alors la solution cherchée. □

4.11. Table des caractères pour H(D_{2}^{3,5})

\begin{matrix}Z^{i} & T_{1}Z^{j} & T_{2}Z^{i} & T_{3}^{k}Z^{i} \\ x_{1}^{i}y_{1}^{i}z_{1}^{i} & x_{1}^{j+1}y_{1}^{j}z_{1}^{j} & x_{1}^{i}y_{1}^{i+1}z_{1}^{i} & x_{1}^{i}y_{1}^{i}z_{1}^{i+k} \\ 2r^{i} & (x_{1} + x_{2})r^{j} & (y_{1} + y_{2})r^{i} & (z_{1}^{k} + z_{2}^{k})r^{i} \\ 3s^{i} & (2x_{1} + x_{2})s^{j} & (y_{1} + y_{2} + y_{3})s^{i} & (z_{1}^{k} + z_{2}^{k} + z_{3}^{k})s^{i} \\ 4t^{i} & (2x_{1} + 2x_{2})t^{j} & (2y_{1} + y_{2} + y_{3})t^{i} & (z_{1}^{k} + z_{2}^{k} + z_{3}^{k} + z_{4}^{k})t^{i} \\ 5u^{i} & (3x_{1} + 2x_{2})u^{j} & (2y_{1} + 2y_{2} + y_{3})u^{i} & (z_{1}^{k} + z_{2}^{k} + z_{3}^{k} + z_{4}^{k} + z_{5}^{k})u^{i} \\ 6v^{i} & (3x_{1} + 3x_{2})v^{j} & (2y_{1} + 2y_{2} + 2y_{3})v^{i} & (2z_{1}^{k} + z_{2}^{k} + z_{3}^{k} + z_{4}^{k} + z_{5}^{k})v^{i} \end{matrix}

(Ici, 0 ≤ i ≤ 59, 0 ≤ j ≤ 29, 1 ≤ k ≤ 2, et r^{2} = x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}z_{1}z_{2}, s^{3} = x_{1}^{2}x_{2}y_{1}y_{2}y_{3}z_{1}z_{2}z_{3}, t^{4} = x_{1}^{2}x_{2}^{2}y_{1}^{2}y_{2}y_{3}z_{1}z_{2}z_{3}z_{4}, u^{5} = x_{1}^{3}x_{2}^{2}y_{1}^{2}y_{2}^{2}y_{3}z_{1}z_{2}z_{3}z_{4}z_{5}, v^{6} = x_{1}^{3}x_{2}^{3}y_{1}^{2}y_{2}^{2}y_{3}^{2}z_{1}^{2}z_{2}z_{3}z_{4}z_{5}.)

La table 4.12 contient les spécialisations donnant les autres algèbres cyclotomiques H(W) avec W̄ = A_{5}.

4.12. Spécialisations des paramètres pour H(D_{2}^{3,5})

\begin{matrix}[11] & D & indice & T_{1} & T_{2} & T_{3} \\ G_{19} & D_{2}^{3,5} & 1 & x_{1}, x_{2} & y_{1}, y_{2}, y_{3} & z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5} \\ G_{18} & B_{2}^{5,3} & 2 & 1, −1 & y_{1}, y_{2}, y_{3} & z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5} \\ G_{17} & G_{2}^{(5)} & 3 & x_{1}, x_{2} & 1, ζ_{3}, ζ_{3}^{2} & z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5} \\ G_{21} & I_{2}^{(3)}(10) & 5 & x_{1}, x_{2} & y_{1}, y_{2}, y_{3} & 1, ζ_{5}, ζ_{5}^{2}, ζ_{5}^{3}, ζ_{5}^{4} \\ G_{16} & A_{2}^{(5)} & 6 & 1, −1 & 1, ζ_{3}, ζ_{3}^{2} & z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5} \\ G_{20} & I_{2}^{3,3}(5) & 10 & 1, −1 & y_{1}, y_{2}, y_{3} & 1, ζ_{5}, ζ_{5}^{2}, ζ_{5}^{3}, ζ_{5}^{4} \\ G_{22} & M_{2} & 15 & x_{1}, x_{2} & 1, ζ_{3}, ζ_{3}^{2} & 1, ζ_{5}, ζ_{5}^{2}, ζ_{5}^{3}, ζ_{5}^{4} \end{matrix}

5. Théories d-Howlett-Lehrer-Lusztig pour des blocs unipotents

D’après les résultats de [3], en particulier le Fundamental Theorem 3.2, on sait que pour chaque polynôme cyclotomique Φ_{d} et chaque Φ_{d}-bloc E(G, (L, λ)) de caractères unipotents d’un groupe réductif fini G, correspondant à la série de d-Harish-Chandra associée à (L, λ), il existe une bijection γ ↦ χ_{γ} entre les caractères unipotents γ ∈ E(G, (L, λ)) et les caractères irréductibles de l’algèbre cyclotomique H(W_{G}(L, λ)) associée au groupe de Weyl cyclotomique W_{G}(L, λ). Si cette coïncidence numérique s’explique par les conjectures énoncées dans [2, §1], il devrait alors exister une spécialisation de l’algèbre H(W_{G}(L, λ)) telle que les degrés des caractères unipotents γ ∈ E(G, (L, λ)) soient donnés par la formule suivante :

γ(1) = R_{L}^{G}(λ) · δ_{χ_{γ}} ,  (5.1)

où δ_{χ_{γ}} désigne la spécialisation du degré relatif de χ_{γ}. Nous dirons qu’un Φ_{d}- bloc vérifie la théorie d-Howlett-Lehrer-Lusztig pour les degrés, si (5.1) est satisfait pour les caractères unipotents γ de ce bloc. La formule (5.1) avait été vérifiée dans [2, §2] dans tous les cas où W_{G}(L, λ) est cyclique, dans [2, §5] pour quelques cas exceptionnels et dans [10] pour les groupes classiques. Avec les formules obtenues ici il est possible de la vérifier dans tous les cas où le groupe de Weyl cyclotomique W_{G}(L, λ) est isomorphe à un groupe de réflexions de dimension 2 :

5.2. Proposition. Soient G un groupe réductif fini simple de type exceptionnel, et E(G, (L, λ)) un Φ_{d}-bloc de caractères unipotents de G tel que W_{G}(L, λ) est un groupe de réflexions de dimension 2. Alors les degrés des caractères unipotents γ ∈ E(G, (L, λ)) vérifient (5.1) avec les spécialisations indiquées dans [2, §5] ou dans la table 5.3.

La table contient aussi des Φ_{d}-blocs de degrés unipotents de H_{4}, voir [2, §7] et [9]. Ceux-ci ne correspondent pas à de vrais groupes réductifs, mais l’assertion du théorème reste néanmoins correcte. Ceci complète [2, Bem. 7.4].

Démonstration. Grâce à [2, Folg. 5.6, 5.8, 5.11 et 5.14] il reste seulement les cas de la table 5.3 à considérer. Les spécialisations des paramètres se déduisent des cas de dimension 1, c’est à dire des cas où W_{G}(L, λ) est cyclique, qui figurent dans [2, 2B]. On fait alors les calculs avec les formules données par les théorèmes précédents pour vérifier (5.1). □

5.3. Φ_{d}-blocs de groupes exceptionnels

G d  L λ  W_{G}(L, λ)  paramètres
E_{8} 5  Φ_{5}^{2} 1  A_{2}^{(5)}  1, q, q^{2}, q^{3}, q^{4}
8  Φ_{8}^{2} 1  G_{2}^{(4)}  1, q^{2}, q^{4}, q^{6}; 1, q^{4}
12  Φ_{12}^{2} 1  B_{2}^{4,3}  1, q^{3}, −q^{3}, q^{6}; 1, −q^{2}, q^{4}
H_{4} 3  Φ_{3}^{2} 1  I_{2}^{3,3}(5)  1, q, q^{2}
4  Φ_{4}^{2} 1  M_{2}  1, q^{2}

6. Degrés unipotents

Soient W le groupe de Weyl d’un groupe réductif fini G, et H(W) l’algèbre de Iwahori-Hecke correspondante. L’interprétation de H(W) comme algèbre d’endomorphismes du caractère de permutation de G sur le sous-groupe de Borel B montre que les degrés relatifs, multipliés par l’indice de B dans G, donnent les degrés des caractères unipotents de G qui interviennent dans 1_{B}^{G}. Il a été remarqué dans [9] que dans le cas plus général où W est un groupe de Coxeter fini, les degrés relatifs de H(W) (vus comme fonctions rationnelles du paramètre q) multipliés par le polynôme de Poincaré de W donnent des polynômes en q. De plus, l’ensemble de ces polynômes peut être complété en un ensemble E(W) de polynômes réels en q, appelé degrés unipotents de W, ayant beaucoup de propriétés combinatoires en commun avec l’ensemble des degrés des caractères unipotents d’un groupe réductif. Dans [10] nous avons construit de tels ensembles E(W) pour deux familles infinies de groupes de réflexions complexes imprimitifs W. Ayant calculé les degrés relatifs des groupes de réflexions W primitifs de dimensions 2, il est alors naturel de se demander dans quels cas existent aussi des ensembles E(W) de degrés unipotents, satisfaisant aux propriétés énumérées dans [10, Satz 1.1].

6.1. Proposition. Soit W un groupe de réflexions primitif. Alors W possède un ensemble E(W) de degrés unipotents satisfaisant aux conditions de [10, Satz 1.1] si et seulement si soit

W ∈ { A_{2}^{(3)}, G_{2}^{(3)}, A_{2}^{(4)}, I_{2}^{(3)}(8) }

soit W est de dimension au moins égale à 3 et est différent de L_{4}.

Démonstration. Pour les cas de dimension au moins égale à 3, les ensembles E(W) sont donnés dans [4]. Si W est de dimension 2, on spécialise les paramètres de l’algèbre cyclotomique H(W) par

u_{s,j} ↦ ζ_{d_{s}}^{j} si j < d_{s}, u_{s,d_{s}} ↦ q.

Puis, on vérifie à l’aide des résultats ci-dessus que les degrés relatifs multipliés par le polynôme de Poincaré donnent des polynômes seulement dans les cas énumérés dans la proposition. Il reste alors à construire les ensembles E(W); les résultats seront publiés dans [4]. □

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[4] M. Broué, G. Malle et J. Michel, “Reflection data” and their unipotent degrees, en préparation

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[11] G. C. Shephard et J. A. Todd, Finite unitary reflection groups, Canad. J. Math. 6 (1954), 274–304

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