Darstellungstheoretische Methoden bei der Realisierung

einfacher Gruppen vom Lie Typ als Galoisgruppen

GUNTER MALLE*

Einleitung

In dieser Arbeit wird über weitere Fortschritte bei der Realisierung endlicher einfacher Gruppen als Galoisgruppen über abelschen Zahlkörpern berichtet. Der Nachweis der Existenz von solchen Galoisrealisierungen endlicher Gruppen kann durch das Rationalitätskriterium von Belyi, Matzat und Thompson auf eine rein gruppentheoretische Frage verlagert werden (siehe [15] für eine ausführliche Darstellung). Genauer läßt sich dieses Kriterium in seiner einfachsten Form wie folgt formulieren:

Rationalitätskriterium (Matzat, Thompson). Es seien G eine endliche Gruppe mit trivialem Zentrum und χ_{1}, …, χ_{h} die irreduziblen komplexen Charaktere von G. Sind C_{1}, C_{2}, C_{3} drei Konjugiertenklassen von G mit

n(C_{1}, C_{2}, C_{3}) := \frac{|G|}{|C_{G}(σ_{1})||C_{G}(σ_{2})||C_{G}(σ_{3})|} · ∑_{j=1}^{h} \frac{χ_{j}(σ_{1})χ_{j}(σ_{2})χ_{j}(σ_{3})}{χ_{j}(ι)} = 1

(σ_{i} ∈ C_{i}), und erzeugen die Tripel (σ_{1}, σ_{2}, σ_{3}) mit σ_{i} ∈ C_{i}, σ_{1}σ_{2}σ_{3} = ι, die ganze Gruppe, so kommt G als Galoisgruppe über dem abelschen Zahlkörper ℚ(⋃_{j=1}^{h} χ_{j}(σ_{i})) vor.

Die Berechnung der normalisierten Strukturkonstanten n(C_{1}, C_{2}, C_{3}) erfordert dabei offensichtlich die Kenntnis der irreduziblen Charaktere der Gruppe G. Im Falle exzeptioneller Gruppen vom Lie Typ wurde in [14] gezeigt, daß bei geeigneter Wahl einer der drei Klassen fast alle Summanden im Ausdruck für n(C_{1}, C_{2}, C_{3}) verschwinden. Nimmt man genauer als σ_{3} ein reguläres Element eines zyklischen t.i. Hall Torus T, und ist σ_{2} halbeinfach und zu keinem Element von T konjugiert, so ergeben nur die unipotenten Charaktere von G Beiträge zur Strukturkonstanten. In guter Charakteristik sind, im wesentlichen durch Arbeiten von Lusztig, die Werte dieser Charaktere im Prinzip bekannt, das heißt es gibt Algorithmen zur Berechnung jedes einzelnen Wertes. Damit wurde in [14] ein grosser Teil der exzeptionellen Gruppen vom Lie Typ als Galoisgruppen nachgewiesen.

Nicht behandelt werden konnten die Fälle schlechter Charakteristik, da dort die Greenfunktionen, die zur Bestimmung der Werte unipotenter Charaktere auf unipotenten Klassen notwendig sind, bisher nicht bekannt sind. Ebenso fand sich im Fall G = E_{6}(q) (bzw. ^{2}E_{6}(q)) ein geeignetes Konjugiertenklassentripel nur für q ≡ −1 (mod 3) (bzw. q ≡ 1 (mod 3)).

* Der Autor dankt der Deutschen Forschungsgemeinschaft für die Förderung im Rahmen des Schwerpunktprogramms

Hier wird gezeigt, daß zumindest in einigen Fällen genügend viele Werte der Greenfunktionen auch in schlechter Charakteristik berechnet werden können, um das Rationalitätskriterium als erfüllt nachzuweisen. Ebenso kann man die fehlende Kongruenzklasse bei E_{6}(q) durch Galoisrealisierung der Erweiterung mit dem Graphautomorphismus Ĝ := E_{6}(q): 2 und anschließenden Abstieg zur einfachen Gruppe erhalten. Dazu muß eine Strukturkonstante für die unzusammenhängende Gruppe Ĝ berechnet werden. Die Charaktertheorie unzusammenhängender Gruppen ist bisher auch in guter Charakteristik kaum entwickelt worden. Daher wird hier allgemein für BN-Paare mit einem äußeren Automorphismus, der B und N invariant läßt, die Struktur der Heckealgebra H(Ĝ, B, 1) des Permutationscharakters der Boreluntergruppe untersucht, die im zusammenhängenden Fall bekanntlich isomorph zur Gruppenalgebra ℂW der Weylgruppe ist. Es stellt sich heraus, daß eine Erweiterung Ŵ der Weylgruppe definiert werden kann, so daß die Heckealgebra H wiederum isomorph zu ℂŴ wird. Auch die Verallgemeinerung des Howlett-Lehrerschen Vergleichssatzes [12] für Vielfachheiten in von parabolischen Untergruppen induzierten unipotenten Charakteren gilt in der allgemeineren Situation. Daraus lassen sich schließlich genügend viele Werte der Fortsetzungen der unipotenten Charaktere von G auf Ĝ berechnen, um die gesuchte Strukturkonstante zu bestimmen. Bisher läßt sich damit beweisen:

Hauptsatz. Die folgenden Gruppen kommen als Galoisgruppen regulärer Körpererweiterungen über geeigneten abelschen Definitionskörpern vor:

(1) F_{4}(2^{n}),

(2) E_{6}(q), q ≠ 2^{2n},

(3) ^{2}E_{6}(q), q = p^{n} ≢ −1 (mod 3),

(4) E_{6}(q)_{sc}: 2, q = p^{n}, p > 2.

Zusammen mit den Ergebnissen aus [14] bedeutet dies, daß außer ^{2}B_{2}(2^{2n+1}), 2F_{4}(2^{2n+1}), E_{6}(2^{2n}), ^{2}E_{6}(q) für q ≡ −1 (mod 3) und E_{7}(q), E_{8}(q) jeweils in schlechter Charakteristik, alle exzeptionellen Gruppen vom Lie Typ als Galoisgruppen über ℚ^{ab} vorkommen. Gleichzeitig folgt aus der Klassifikation, daß die genannten Ausnahmen die einzigen endlichen einfachen Gruppen sind, die nicht bereits als Galoisgruppen über ℚ^{ab} nachgewiesen werden konnten (siehe [15] für eine Übersicht der Ergebnisse zu den anderen einfachen Gruppen).

Im ersten Paragraphen wird der Beweis des Vergleichssatzes für zyklische Erweiterungen von BN-Paaren skizziert. Im zweiten Paragraphen wird der gewöhnliche Howlett-Lehrersche Vergleichssatz zur Berechnung einiger Charakterwerte für E_{6}(q), q ≢ 1 (mod 3), angewandt und damit die Hälfte der Aussage (2) des Hauptsatzes gezeigt. Der dritte Teil demonstriert schließlich die Anwendung der Ergebnisse des ersten Paragraphen auf die unzusammenhängenden Gruppen E_{6}(q)_{sc}: 2 und deutet den Beweis sowohl von (4) als auch des Rests von (2) des Hauptsatzes an. Die vollständigen Beweise aller vier Aussagen des Satzes würden den hier gegebenen Rahmen sprengen und erscheinen daher in einer gesonderten Arbeit. Der Satz 1.7 dürfte von unabhängigem Interesse in der Darstellungstheorie von BN-Paaren sein.

Zu den in dieser Arbeit verwendeten Notationen: Die Bezeichnung für einfache Gruppen und für Gruppenerweiterungen folgt dem Atlas [4]. Insbesondere bedeuten A.B eine Erweiterung von (Kern) A mit (Faktorgruppe) B und A: B eine zerfallende Erweiterung. Für Elemente g ∈ G ist o(g) die Ordnung von g, C_{G}(g) der Zentralisator von g in G, und Z(G) bezeichnet das Zentrum von G. Für eine Untergruppe T ≤ G bedeutet N_{G}(T) den Normalisator von T in G. Weiter ist T eine t.i.-Untergruppe (für trivial intersection), falls für alle g ∈ G entweder T ∩ T^{g} = T oder T ∩ T^{g} = {ι} gilt. Mit T^{#} bezeichnet man in diesem Fall die Menge T \{ι}. Für die Definition und Eigenschaften von Gruppen mit einem BN-Paar wird auf [2] oder [6] verwiesen. Schließlich findet man die Definition einer Klassenstruktur C und einen Beweis des Rationalitätskriteriums in [15].

1. Heckealgebren zu Automorphismengruppen von BN-Paaren

In diesem Paragraphen wird folgende Situation betrachtet: Sei G eine endliche Gruppe mit einem BN-Paar mit einer zyklischen Erweiterung Ĝ = G.⟨ρ⟩ vom Grad o(ρ) = r. Dabei normalisiere ρ sowohl B als auch N, lasse also das BN-Paar fest. In dem uns später interessierenden Fall einer endlichen Gruppe vom Lie Typ G ist letztere Forderung durch Abändern von ρ immer erfüllbar, da dort alle Boreluntergruppen B und darin alle maximalen Tori T = B ∩ N jeweils konjugiert sind.

Aus der ρ-Invarianz von B und N folgert man sofort, daß ρ auch auf der Weylgruppe W = N/(B ∩ N) operiert. Seien S = {s_{1}, …, s_{n}} die involutorischen Erzeugenden von W nach Definition eines BN-Paares. Nach [6], 65.16, ist die Menge S in W eindeutig bestimmt und (W, S) bildet eine Coxetergruppe. Daher operiert ρ auch auf S und damit als (eventuell trivialer) Graphautomorphismus auf dem zu (W, S) gehörenden Diagramm. Das Bild ρ(s_{i}) ist also eine andere Involution aus S, und wir schreiben ρ(s_{i}) =: sī. Da ρ im Gegensatz zu allen nichttrivialen Elementen aus W die Boreluntergruppe B festläßt, zerfällt die Erweiterung von W mit ρ; wir bezeichnen das semidirekte Produkt als Ŵ = W: ⟨ρ̄⟩.

Für die so definierten Gruppen Ĝ wird nun die Zerlegung des von der Boreluntergruppe B induzierten Einscharakters 1_{B} in irreduzible Charaktere untersucht. Das Ziel ist, in Erweiterung der Theorie für die Gruppen G selbst, eine Beschreibung der Heckealgebra H(Ĝ, B) von 1_{G} ; B. Es zeigt sich, daß H(Ĝ, B) isomorph zur Gruppenalgebra ℂŴ der erweiterten Weylgruppe über ℂ ist. Die Beweise hierzu verlaufen in genauer Analogie und unter teilweiser Ausnutzung der entsprechenden im Fall von BN-Paaren.

Die Menge Ŝ = {s_{0} = ρ̄, s_{1}, …, s_{n}} bildet ein Erzeugendensystem von Ŵ, wobei die definierenden Relationen aus denen von W unter Hinzunahme der Vertauschungsregeln s_{i}^{s_{0}} = sī und der Relation s_{0}^{r} = ι erhalten werden:

Ŵ = ⟨s_{0}, …, s_{n} | (s_{i}s_{j})^{m_{ij}} = ι, 1 ≤ i, j ≤ n; s_{i}^{s_{0}} = sī, s_{0}^{r} = ι⟩.

Eine Längenfunktion auf Ŵ werde wie folgt definiert: ein w ∈ Ŵ hat eine eindeutige Darstellung w = w′s_{0}^{ν} mit w′ ∈ W, 0 ≤ ν < r. Dann sei l(w) := l(w′) (Länge in der Coxetergruppe W); es gilt also l(w^{s_{0}}) = l(w).

Wie im Fall der Gruppen G selbst definieren wir nun ein Erzeugendensystem für die Heckealgebra H(Ĝ, B) (siehe [5], 11.34):

Definition 1.1. Für w ∈ Ŵ seien ind w := (B : B ∩^{w}B) und

a_{w} := |B|^{−1} · ∑_{x∈BwB} x ∈ H(Ĝ, B).

Speziell heißen q_{i} := ind s_{i}, 0 ≤ i ≤ n, die Indexparameter.

Insbesondere gilt also ind s_{0} = 1. Da Ŵ offensichtlich ein Vertretersystem doppelter Nebenklassen von B in Ĝ ist, bilden die eben definierten Elemente a_{w} eine Basis der Endomorphismenalgebra H = H(Ĝ, B).

Bemerkung 1.2. H = ⟨a_{ι} = 1, a_{s_{0}}, …, a_{s_{n}}⟩ mit
a_{s_{i}}^{2} = q_{i}1 + (q_{i} − 1)a_{s_{i}},
(a_{s_{i}}a_{s_{j}})^{k_{ij}} = (a_{s_{j}}a_{s_{i}})^{k_{ij}}  falls  m_{ij} = 2k_{ij},
(a_{s_{i}}a_{s_{j}})^{k_{ij}}a_{s_{i}} = (a_{s_{j}}a_{s_{i}})^{k_{ij}}a_{s_{j}}  falls  m_{ij} = 2k_{ij} + 1,

für 1 ≤ i, j ≤ n, sowie a_{w}a_{s_{0}} = a_{ws_{0}} und a_{s_{0}}a_{w} = a_{s_{0}w} für alle w ∈ Ŵ, ist eine Präsentation von H.

Beweis. Sei A eine assoziative ℂ-Algebra mit Erzeugenden a_{0}, …, a_{n}, die obige Relationen erfüllen. Nach [6], 67.6, gibt es einen Algebrenepimorphismus f von H′ = ⟨1, a_{s_{1}}, …, a_{s_{n}}⟩ auf A′ = ⟨a_{1}, …, a_{n}⟩ mit f(a_{s_{i}}) = a_{i}, denn H′ ist gerade die Heckealgebra H(G, B). Man erweitert nun f auf H durch die Festsetzung f(a_{s_{0}}) = a_{0} und setzt durch f(a_{ws_{0}^{ν}}) = f(a_{w})a_{0}^{ν} auf die Vektorraumbasis {a_{w} | w ∈ Ŵ} fort. Die Linearität ist damit gesichert. Aufgrund der letzten beiden Relationen in der Bemerkung verhält sich die Multiplikation mit a_{0} in A wie die mit a_{s_{0}} in H, und die Abbildung f erhält auch die multiplikative Struktur. Die in der Bemerkung aufgeführten Erzeugenden und Relationen bilden also eine Präsentation von H.

Q.E.D.

Um die beiden Algebren H(G, B) und ℂW in Beziehung zu setzen, führte Tits die generische Algebra ein. Durch Spezialisierung der darin vorkommenden Unbestimmten zu q_{i} erhält man daraus die Heckealgebra, durch Spezialisierung zu 1 die Gruppenalgebra der Weylgruppe. Damit läßt sich die Isomorphie der beiden Algebren zeigen und so ein enger Zusammenhang zwischen den Charakteren herstellen. Es erweist sich, daß auch in unserem allgemeineren Fall eine generische Algebra exisitiert, die wahlweise zu H(Ĝ, B) oder ℂŴ spezialisiert werden kann.

Bemerkung 1.3. Sei R eine kommutative ℚ-Algebra mit Elementen {u_{1}, …, u_{n}}, so daß u_{i} = u_{j} gilt, falls s_{i} in Ŵ zu s_{j} konjugiert ist. Sei A ein freier R-Modul mit Basis {e_{w} | w ∈ Ŵ}. Dann gibt es eine R-Algebrastruktur auf A, die durch

e_{s_{i}}e_{w} = e_{s_{i}w}  falls  l(s_{i}w) ≥ l(w),

e_{s_{i}}e_{w} = u_{i}e_{s_{i}w} + (u_{i} − 1)e_{w}  falls  l(s_{i}w) < l(w)

eindeutig bestimmt ist.

Beweis. Nach [6], 68.1, existiert jedenfalls eine Teilalgebra A′ = ⟨e_{w} | w ∈ W ⟩, die die vorgeschriebenen Relationen erfüllt. Zum Beweis der Existenz der Algebrastruktur auf A geht man genau wie im Beweis zu 68.1 in [6] vor. Die Details werden daher nicht ausgeführt. Q.E.D.

Definition 1.4. Die in Bemerkung 1.3 definierte Algebra A heißt die generische Algebra zu (Ŵ, Ŝ).

Dies führt uns zum ersten Ergebnis dieses Abschnitts (siehe auch [9], II, Theorem 1.6, wo dieses Resultat bereits erwähnt wird):

Satz 1.5. Seien G eine endliche Gruppe mit einem BN-Paar, Ĝ = G.⟨ρ⟩ eine endliche zyklische Erweiterung mit B^{ρ} = B und N^{ρ} = N, weiter Ŵ = ⟨s_{0} = ρ̄, s_{1}, …, s_{n}⟩, wobei S = {s_{1}, …, s_{n}} die kanonischen Erzeugenden der Weylgruppe W = B/(B ∩ N) von G sind. Dann existiert ein Isomorphismus von ℂ-Algebren

H ≅ ℂŴ

zwischen der Heckealgebra H = H(Ĝ, B, 1_{B}) und der Gruppenalgebra ℂŴ der erweiterten Weylgruppe von Ĝ.

Beweis. Sei A gemäß Bemerkung 1.3 die generische Algebra zu (Ŵ, Ŝ) über R = ℂ[u_{1}, …, u_{n}] mit u_{i} = u_{j} falls s_{i} und s_{j} in Ŵ konjugiert sind. Man prüft leicht nach, daß die Erzeugenden e_{w} von A auch die in Bemerkung 1.2 für H angegebenen Relationen (mit q_{i} ersetzt durch u_{i}) erfüllen, und genau wie dort beweist man, daß dies bereits ein Präsentation von A liefert. Daher ist H die Spezialisierung A_{f} von A unter der Abbildung f : R → ℂ, u_{i} ↦ ind s_{i}. Andererseits erhält man als Spezialisierung A_{f′} zu f′ : R → ℂ, u_{i} ↦ 1 die Gruppenalgebra ℂŴ der erweiterten Weylgruppe. Sowohl H als Endomorphismenalgebra eines halbeinfachen Moduls als auch ℂŴ als Gruppenalgebra über ℂ sind halbeinfach. Mit K = ℂ(u_{1}, …, u_{n}) wird schließlich auch A^{K} = A ⊗_{R} K eine halbeinfache K-Algebra, da eine ihrer Spezialisierungen halbeinfach ist. Damit ist der Deformationssatz von Tits (siehe etwa [6], 68.17, oder [2], 10.11.2) anwendbar, der unter diesen Voraussetzungen aussagt, daß die beiden Spezialisierungen A_{f} und A_{f′} isomorph sind. Q.E.D.

Der nach Satz 1.5 existierende Isomorphismus zwischen ℂŴ und H liefert auch eine (nicht kanonische) Bijektion φ ↦ μ_{φ} zwischen den irreduziblen Charakteren φ von ℂŴ, also den φ ∈ Irr(Ŵ), und den μ_{φ} ∈ Irr(H). Im klassischen Fall G = Ĝ heißen die irreduziblen Konstituenten von 1_{G} ; B die unipotenten Hauptseriencharaktere (HSC). Dabei liefert der Isomorphismus H(G, B, 1_{B}) ≅ ℂW eine Bijektion zwischen den irreduziblen Charakteren von W und den unipotenten HSC von G. Da die beiden Algebren als Teilalgebren von H bzw. ℂŴ aufgefaßt werden können, ist es klar, daß die Bijektion auf der Stufe Ŵ so gewählt werden kann, daß sie mit der Bijektion auf der Stufe W kompatibel ist; das heißt, die Bijektion ist verträglich mit Einschränkung auf G bzw. auf W.

Wir erhalten einige unmittelbare Folgerungen über die Fortsetzbarkeit der unipotenten Hauptseriencharaktere von G zu Ĝ:

Anwendungen. Sei G eine endliche Gruppe vom Lie-Typ. Dann hat G ein natürliches BN-Paar, und jede zyklische Erweiterung von G mit einem äußeren Automorphismus erfüllt die im Satz 1.5 vorausgesetzten Bedingungen.

1) Sei ρ ein Körperautomorphismus von G der Ordnung r. Dieser operiert trivial auf der Weylgruppe W = W (G), also besitzen alle unipotenten Hauptseriencharaktere von G jeweils r verschiedene Fortsetzungen auf Ĝ.

2) Sei G = A_{n}(q), ρ der Graphautomorphismus der Ordnung zwei. Hier operiert ρ zwar nichttrivial auf der Weylgruppe W ≅ S_{n+1}, läßt aber die Klasse der erzeugenden Reflektionen, also der Transpositionen, fest. Jeder solche Automorphismus von S_{n+1} ist bekanntlich ein innerer, also gilt Ŵ ≅ S_{n+1} × 2, und wieder besitzt jeder unipotente HSC von G zwei Fortsetzungen auf Ĝ.

3) Sei G = B_{2}(2^{m}) und ρ operiere wie der Graphautomorphismus auf G. (Falls m ungerade ist, kann ρ von Ordnung zwei gewählt werden, sonst quadriert er zu einem Körperautomorphismus.) Da ρ zwei Klassen der Weylgruppe W ≅ D_{8} vertauscht, operiert er als echter äußerer Automorphismus auf W, und man stellt fest, daß genau zwei unipotente HSC zusammenfallen, während die drei anderen Fortsetzungen auf Ĝ besitzen.

4) Sei G = D_{n}(q) und ρ operiere wie der Graphautomorphismus der Ordnung zwei. Die erzeugenden Reflektionen von W seien so numeriert, daß s_{n−1} und s_{n} zu den beiden durch ρ vertauschten Punkten des Diagramms gehören. Das Bild von ρ in Ŵ werde wieder mit s_{0} bezeichnet. Man rechnet sofort nach, daß {s_{1}, …, s_{n−1}, s_{0}} die Relationen einer Coxetergruppe vom Typ B_{n} erfüllen. Also gilt Ŵ = W (D_{n}): 2 ≅ W (B_{n}). In [1], G-11, wird diskutiert, welche Klassen von W (D_{n}) bei der Fusion in W (B_{n}) zusammenfallen. Insbesondere folgt, daß für ungerades n jede Klasse von W (B_{n}) höchstens eine W (D_{n})-Klasse enthält. In diesem Fall besitzen demnach alle unipotenten HSC Fortsetzungen auf Ĝ. Bei geradem n hingegen fallen Klassen bei der Fusion in W (B_{n}) zusammen, und zwar in wachsender Anzahl bei steigendem n. Dasselbe gilt daher für die unipotenten HSC.

5) Sei G = D_{4}(q) und ρ operiere wie der Graphautomorphismus der Ordnung drei. In der Weylgruppe 2^{3}.S_{4} werden durch ρ jeweils zweimal drei Klassen zusammengeworfen. Damit besitzen nur 7 der 13 unipotenten HSC Fortsetzungen auf Ĝ. Der einzige verbleibende (kuspidale) unipotente Charakter besitzt aus Gradgründen ebenfalls eine Fortsetzung.

6) Sei G = E_{6}(q) und ρ operiere wie der Graphautomorphismus auf G. Die nichtriviale Operation auf der Weylgruppe muß von einem inneren Automorphismus herrühren, denn W (E_{6}) ≅ Aut(S_{4}(3)) besitzt keine äußeren Automorphismen. Daher lassen sich auch hier alle unipotenten HSC auf Ĝ fortsetzen. Im dritten Paragraphen wird gezeigt, daß auch die beiden kuspidalen unipotenten Charaktere auf Ĝ fortsetzbar sind.

7) Sei G = F_{4}(2^{m}) und ρ operiere wie der Graphautomorphismus. Die Situation ist wie im Fall 3); es zeigt sich, daß unter der Operation von ρ siebenmal je zwei verschiedene Klassen von W (F_{4}) fusionieren. Deshalb lassen sich nur elf der 25 unipotenten HSC von G auf Ĝ fortsetzen. (Für den Fall q = 2 vergleiche man mit den Tafeln in [4]).

8) Schließlich sei G = G_{2}(3^{m}) und ρ operiere wieder als Graphautomorphismus. Die Operation auf der Weylgruppe W (G_{2}) ≅ D_{12} ist nichttrivial, und genau zwei Charaktere fallen zusammen. Also besitzen nur vier der sechs unipotenten HSC von G eine Fortsetzung zu Ĝ.

Die vorigen Aussagen kann man in den meisten Fällen, insbesondere wenn alle Charaktere fortsetzbar sind, bereits an den bekannten Graden der unipotenten Charaktere ablesen. (Sie sind meist alle verschieden.) Der Satz 1.5 gibt allerdings ein allgemeingültiges und strukturelles Kriterium zur Entscheidung der Fortsetzbarkeit.

Die Bijektion zwischen den irreduziblen Charakteren von Ŵ und den Charakteren der Heckealgebra zu 1_{G} ; B wird nun noch genauer untersucht. Wie im Fall von BN-Paaren erhält man Aussagen über die Zerlegung der von parabolischen Untergruppen induzierten Hauptseriencharaktere in irreduzible Charaktere von Ĝ. Dazu muß zuerst der Begriff einer parabolischen Untergruppe zweckmäßig verallgemeinert werden.

Definition 1.6. Eine Teilmenge J von Ŝ heiße zulässig, falls entweder s_{0} ∉ J oder andernfalls J^{s_{0}} = J gilt. Die parabolischen Untergruppen Ŵ_{J} von Ŵ und P_{J} von Ĝ zu einem zulässigem J ⊆ Ŝ sind definiert als Ŵ_{J} = ⟨s_{i} | s_{i} ∈ J⟩ und P_{J} := BŴ_{J}B.

Offensichtlich sind die P_{J} für s_{0} ∉ J bereits parabolische Untergruppen in G, andernfalls zyklische Erweiterungen von P_{J\{s_{0}}}.

Um die irreduziblen Darstellungen der generischen Algebra A zu untersuchen, arbeiten wir über dem algebraischen Abschluß K̄ von K = ℂ(u_{1}, …, u_{n}), und wählen dazu feste Fortsetzungen der Spezialisierungen f : A → H(Ĝ, B, 1), f′ : A → ℂŴ auf AK̄ := A ⊗_{R} K̄.

Wir setzen zusätzlich noch voraus, daß G ein zerfallendes BN-Paar der Charakteristik p besitzt. Dann existiert für jede parabolische Untergruppe P_{J} zu einer zulässigen Teilmenge J ⊆ Ŝ eine Levizerlegung P_{J} = U_{J}: L_{J}, und die Leviuntergruppe ist wieder eine zyklische Erweiterung eines zerfallenden BN-Paares der Charakteristik p. Die Hauptseriencharaktere von L_{J} sind dann nach Satz 1.5 durch die irreduziblen Charaktere von Ŵ_{J} indiziert. Mittels der kanonischen Bijektion von H(L_{J}, B_{J}, 1) zu H(P_{J}, B, 1) entsprechen diese κ eindeutig gelifteten irreduziblen Charakteren κ̃ von P_{J}, die den p-Normalteiler U_{J} im Kern haben. Gesucht ist nun eine Formel, die angibt, wie die verallgemeinerten Induzierten κ̃_{G} sich in Hauptseriencharaktere von Ĝ zerlegen. Die späteren Rechnungen werden nämlich zeigen, daß diese Zerlegungen mehr Informationen liefern, als nur die Zerlegung der Permutationscharaktere 1_{G} ; P_{J}, zumindest falls s_{0} nicht W zentralisiert oder G nicht den Typ A_{l} hat.

Satz 1.7. Seien G eine endliche Gruppe mit zerfallendem BN-Paar der Charakteristik p und vom Typ (W, S), Ĝ := G.⟨ρ⟩ eine zyklische Erweiterung vom Typ (Ŵ, Ŝ), ζ ein irreduzibler Charakter von Ĝ mit (1_{G} ; B, ζ) ≠ 0, φ der zu ζ gehörige Charakter von Ŵ. Seien weiter J ⊂ Ŝ eine zulässige Teilmenge der Indexmenge, κ ein irreduzibler Charakter der Leviuntergruppe L_{J} mit entsprechendem Charakter ψ von Ŵ_{J}, κ̃ der Lift zu P_{J}. Dann gilt

(ζ_{φ}, κ̃_{G} ; ψ)_{G} = (φ, ψ_{W} )_{W} .

Dieser Satz läßt sich auch so formulieren: Die Isometrie φ ↦ ζ_{φ} von Char(Ŵ) nach Char(Ĝ) ist verträglich mit der Induktion von parabolischen Untergruppen.

Der Beweis ist eine direkte Verallgemeinerung eines eleganten Beweises von Kilmoyer (siehe [16], Theorem 3.4) auf die uns interessierende Situation.

Beweis. Sei A_{J} die von {e_{w} | w ∈ Ŵ_{J}} erzeugte Teilalgebra der generischen Algebra A. Dann gilt offensichtlich f(AK̄ ; J) = H(P_{J}, B, 1) ≅ H(L_{J}, B_{J}, 1), wobei der letzte Isomorphismus wie oben erwähnt kanonisch ist, und f′(AK̄ ; J) = ℂŴ_{J}. Weiter sei χ der eindeutig bestimmte Charakter von A, der zu ζ bzw. φ spezialisiert. Die Einschränkung von χ auf die Teilalgebra A_{J} zerlegt sich dann als

χ|_{A_{J}} = ∑ a_{i}χ_{i},

in eine positive Linearkombination irreduzibler Charaktere χ_{i} von A_{J}. Unter den Spezialisierungen f und f′ wird dies zu

ζ|_{H(P_{J} ,B,1)} = ∑ a_{i}χ_{i,f}, φ|_{W_{J}} = ∑ a_{i}χ_{i,f′}.

Dabei sind die χ_{i,f} irreduzible Charaktere von H(P_{J}, B, 1) und die χ_{i,f′} solche von Ŵ_{J}. Falls ψ in der zweiten Zerlegung auftaucht, so auch κ̃ in der ersten mit derselben Vielfachheit, da sie nach Konstruktion Spezialisierungen desselben irreduziblen Charakters von A_{J} sind. Das bedeutet aber

(ζ|_{H(P_{J} ,B,1)}, κ̃)_{P_{J}} = (φ|_{W_{J}} , ψ)_{W_{J}} ,

und daraus folgt das Ergebnis mit der Frobeniusreziprozität. Q.E.D.

In der späteren Berechnung von Charakterwerten wird es wichtig sein, daß gewisse Charaktere der generischen Algebra A nicht rational sind. Wir betrachten die Erweiterung von W (E_{6}) mit dem Graphautomorphismus. Hier seien φ_{64,4} und φ_{64,13} die Charaktere vom Grad 64 der Weylgruppe W (E_{6}), weiter μ_{64,4} und μ_{64,13} die entsprechenden Charaktere der zugehörigen generischen Algebra.

Bemerkung 1.8 [9]. Die Fortsetzungen von μ_{64,4} und μ_{64,13} auf die generische Algebra zu W (E_{6}): 2 sind nicht rational, sondern erst über ℚ(\sqrt{u}) definiert.

Für den Beweis verwendet man eine Idee von Springer, mit der für gewisse Charaktere der gewöhnlichen Heckealgebren zu E_{7} und E_{8} gezeigt wurde, daß sie nicht rational sind (siehe [9], II, Corollaire 3.4, wo eine vollständige Untersuchung aller Fälle durchgeführt wurde).

2. Gruppen vom Typ E_{6} und ^{2}E_{6} als Galoisgruppen

Die einfachen Gruppen E_{6}(q) konnten bisher nur in guter Charakteristik und für Primzahlpotenzen q ≡ −1 (mod 3) als Galoisgruppen über geeigneten abelschen Erweiterungskörpern von ℚ nachgewiesen werden [14]. Die erste dieser beiden Voraussetzungen wird in diesem Paragraphen als überflüssig erkannt. Mit Hilfe der Howlett-Lehrer Induktion kann das Ergebnis aus [14] auch auf schlechte Charakteristik ausgedehnt werden, ohne daß dazu die Kenntnis der Greenfunktionen nötig wäre.

Dies ist allerdings nur unter der einschränkenden Kongruenzbedingung q ≢ 1 (mod 3) möglich, da andernfalls die Gruppe E_{6}(q)_{sc} ein nichttriviales Zentrum der Ordnung drei besitzt; das führt, wie Rechnungen zeigen, dazu, daß die Strukturkonstanten im allgemeinen Vielfache von drei sind, so daß das Rationalitätskriterium nicht anwendbar ist. Die Idee zur Umgehung dieses zweiten Problems liegt in der Erweiterung von G = E_{6}(q)_{sc} durch den Graphautomorphismus der Ordung zwei zu einer Gruppe Ĝ mit trivialem Zentrum, wie im nächsten Paragraphen gezeigt werden wird.

Sei also vorerst q = p^{n} ≢ 1 (mod 3). Dann ist G = E_{6}(q)_{sc} eine einfache Gruppe, für die wir kurz E_{6}(q) schreiben. In [14] wurde im Fall guter Charakteristik p eine Klassenstruktur C gefunden, für die G als Galoisgruppe realisiert werden kann. Die Ausdehnung des Ergebnisses auf schlechte Charakteristik scheiterte, da für den dortigen Beweis eine explizite Kenntnis der Greenfunktionen von E_{6}(q) nötig war; diese sind aber für p ≤ 3 zur Zeit nicht berechnet. Es zeigt sich jedoch, daß die fehlenden Werte auf einer der unipotenten Klassen auch mit der Howlett-Lehrer Induktion berechnet werden können. Zudem liefert dies auch im Fall guter Charakteristik einen Beweis der Existenz von Galoisrealisierungen ohne Benutzung der tiefliegenden und zudem nur mit Hilfe eines Computers erhaltenen Ergebnisse von Beynon und Spaltenstein über die Greenfunktionen.

Die Klassenstruktur wird wie in [14] gewählt: Sei C_{p} die Klasse von G der in einer p-Sylowgruppe zentral liegenden Elemente ρ mit Zentralisatorordnung

|C_{G}(ρ)| = q^{36}Φ_{1}^{5}Φ_{2}^{3}Φ_{3}^{2}Φ_{4}Φ_{5}Φ_{6},

C_{q^{2}−1} die Klasse eines (halbeinfachen) Elements σ mit Zentralisatortyp^{2}A_{2}(q).A_{1}(q^{2}). (q^{2} − 1) und Zentralisatorordnung

|C_{G}(σ)| = q^{5}Φ_{1}^{3}Φ_{2}^{4}Φ_{4}Φ_{6},

und schließlich C_{T} die Klasse eines erzeugenden Elements τ des t.i.-Torus T der Ordnung |T | = |C_{G}(τ)| = Φ_{9}(q). Nach [17] existieren solche Klassen für alle q ≠ 2 (für q = 2 gibt es C_{q^{2}−1} nicht).

Bemerkung 2.1. Für die Klassenstruktur C = (C_{p}, C_{q^{2}−1}, C_{T}) von G = E_{6}(q) mit q ≢ 1 (mod 3) und q ≠ 2 gilt n(C) = 1.

Tabelle 2.2. Auf C_{T} nicht verschwindende Charaktere von E_{6}(q).

[ι]  C_{p}  C_{q^{2}−1}
|E_{6}(q)|  q^{36}Φ_{1}^{5}Φ_{2}^{3}Φ_{3}^{2}Φ_{4}Φ_{5}Φ_{6} q^{5}Φ_{1}^{3}Φ_{2}^{4}Φ_{4}Φ_{6}
ϕ_{1,0}  1  1  1
ϕ_{20,2}  q^{2}Φ_{4}Φ_{5}Φ_{8}Φ_{12}  q^{2}Φ_{5}(q^{6} + q^{4} + 1)  2q^{2} − q + 1
ϕ_{64,4}  q^{4}Φ_{2}^{3}Φ_{4}^{2}Φ_{6}^{2}Φ_{8}Φ_{12} q^{4}Φ_{2}^{2}Φ_{4}Φ_{5}Φ_{6}(q^{3} − q + 1)  .
ϕ_{64,13}  q^{13}Φ_{2}^{3}Φ_{4}^{2}Φ_{6}^{2}Φ_{8}Φ_{12} q^{13}Φ_{2}^{2}Φ_{4}Φ_{6}(q^{4} + q^{3} + 1)  .
ϕ_{20,20}  q^{20}Φ_{4}Φ_{5}Φ_{8}Φ_{12}  q^{20}Φ_{5}  −q^{3}(q^{2} − q + 2)
ϕ_{1,36}  q^{36}  .  −q^{5}
ϕ_{90,8}  \frac{1}{3}q^{7}Φ_{3}^{3}Φ_{5}Φ_{6}^{2}Φ_{8}Φ_{12}  \frac{1}{3}q^{7}Φ_{3}^{2}Φ_{5}Φ_{6}(2q^{4} + 1)  −qΦ_{1}Φ_{6}
E_{6}[θ]  \frac{1}{3}q^{7}Φ_{1}^{6}Φ_{2}^{4}Φ_{4}^{2}Φ_{5}Φ_{8}  ?  .
E_{6}[θ^{2}]  \frac{1}{3}q^{7}Φ_{1}^{6}Φ_{2}^{4}Φ_{4}^{2}Φ_{5}Φ_{8}  ?  .
R_{T,θ}  Φ_{1}^{6}Φ_{2}^{4}Φ_{3}^{3}Φ_{4}^{2}Φ_{5}Φ_{6}^{2}Φ_{8}Φ_{12}  ?  .

Bevor wir den Beweis beginnen, sei noch an zwei Eigenschaften von Werten irreduzibler Charaktere endlicher Gruppen erinnert.

Lemma 2.3. Sei G eine endliche Gruppe, χ ein irreduzibler Charakter, C eine Konjugiertenklasse mit Vertreter σ. Dann gelten

(i) |χ(σ)| ≤ χ(ι),

(ii) |C| · χ(σ)/χ(ι) ist eine ganze algebraische Zahl.

Beweis von Bemerkung 2.1. Die einzigen auf allen drei Klassen von C nicht verschwindenden irreduziblen Charaktere von G sind unter den in Tabelle 2.2 angegebenen unipotenten Charakteren, wie bereits in [14] bemerkt wurde (dies folgt leicht aus der Lusztigschen Jordanzerlegung der Charaktere von G). Damit ergibt sich die Behauptung also aus den in der Tabelle aufgeführten Werten und der Tatsache, daß χ(τ) ≡ χ(ι) (mod Φ_{9}(q)) und |χ(τ)| ≤ 1 für τ ∈ T^{#} gelten. Zum Beweis muß daher nur die Korrektheit der Tabelle gezeigt werden. Die Werte auf den halbeinfachen Klassen C_{T} und C_{q^{2}−1} können nach [7] und [13] berechnet werden, falls die Fusion der maximalen Tori der jeweiligen Zentralisatoren in die von G bekannt ist. Dies wurde bereits in [14] durchgeführt. Somit bleiben nur die Werte auf C_{p} zu bestimmen. Hier sind natürlich der Einscharakter und der Steinbergcharakter schon bekannt. Für die weitere Rechnung wird die Induktion von maximalen parabolischen Untergruppen benutzt. Diese enthalten nur Gruppen der Typen A_{n}, D_{4} und D_{5}. Die Greenfunktionen hierfür sind entweder nach der Arbeit [11] bekannt oder können leicht bestimmt werden und daher erhält man durch Induktion ein lineares Gleichungssystem für die unbekannten Werte χ(ρ), ρ ∈ C_{p}. So findet man etwa

ϕ_{20,20}(ρ) − ϕ_{20,2}(ρ) = q^{20}Φ_{5} − q^{2}Φ_{5}(q^{6} + q^{4} + 1).

Nach Lemma 2.3 gelten |ϕ_{20,2}(ρ)| < q^{20} und q^{20}|ϕ_{20,20}(ρ), woraus die Werte der Tabelle für diese beiden unipotenten Charaktere folgen. Weiter ergibt sich aus dem Gleichungssystem noch die Bedingung

ϕ_{64,13}(ρ) − ϕ_{64,4}(ρ) = q^{4}Φ_{2}^{2}Φ_{4}Φ_{6}(q^{13} + q^{12} + q^{9} − Φ_{5}(q^{3} − q + 1)).  (∗)

Um die fehlenden Werte zu bestimmen, wird nun die Strukturkonstante einer weiteren Klassenstruktur berechnet. Sei dazu C_{κ} die Klasse eines halbeinfachen Elements κ mit Zentralisatortyp A_{5}(q).(q +1) (solche Elemente gibt es nach [17] für alle Primzahlpotenzen q). Dann sind die Werte der in der Tabelle enthaltenen Charaktere auf C_{κ} wieder nach [7] und [13] berechenbar. (Sie werden hier nicht abgedruckt.) Schreibt man ϕ_{64,4}(ρ) = q^{4}Φ_{2}^{2}Φ_{4}Φ_{6}a, ϕ_{64,13}(ρ) = q^{13}Φ_{2}^{2}Φ_{4}Φ_{6}b, ϕ_{90,8}(ρ) = \frac{1}{3}q^{7}Φ_{3}^{2}Φ_{5}Φ_{6}c mit ganzen Zahlen a, b und c (ganz, da die genannten Vorfaktoren nach Lemma 2.3 auf jeden Fall χ(ρ) teilen), so erhält man unter Beachtung der obigen Gleichung (∗) zwischen a und b

n(C_{p}, C_{κ}, C_{T}) = \frac{q^{2}Φ_{2}^{2}Φ_{9}(b − q^{4} − q^{3} − 1) − Φ_{5}(c − 2q^{4} − 1)}{q^{13}Φ_{1}^{3}Φ_{2}^{3}Φ_{5}}.  (∗∗)

Aus der Gleichung (∗) und der Abschätzung |ϕ_{64,4}(ρ)| ≤ |ϕ_{64,4}(ι)| < q^{24} weiß man weiter |b| < q^{5} und wegen |ϕ_{90,8}(ρ)| < q^{30} folgt |c| < q^{13}. Da kein nichttriviales Element von G sowohl ein Element aus C_{T} als auch aus C_{p} zentralisieren kann, muß n(C_{p}, C_{κ}, C_{T}) eine ganze Zahl sein, und nach den erfolgten Abschätzungen für b und c kann dann nur n(C_{p}, C_{κ}, C_{T}) = 0 gelten. Schreibt man noch b − q^{4} − q^{3} − 1 =: b_{0}, c − 2q^{4} − 1 =: c_{0}, so wird (∗∗) also zu q^{2}Φ_{2}^{2}Φ_{9}b_{0} = Φ_{5}c_{0}.

Schließlich berechnen wir noch die gewünschte Zahl n(C) in Abhängigkeit von c_{0} zu

n(C) = 1 + \frac{c_{0}}{q^{4}Φ_{1}Φ_{2}^{3}} .

(Da ϕ_{64,4} und ϕ_{64,13} auf C_{q^{2}−1} verschwinden, taucht b_{0} nicht in diesem Ausdruck auf.) Wie eben muß n(C) eine ganze Zahl sein, also c_{0} von q^{4}Φ_{1}Φ_{2}^{3} geteilt werden. Für b_{0} bedeutet das q^{2}Φ_{1}Φ_{2}Φ_{5}|b_{0}, und da wir noch |b_{0}| < 2q^{5} wissen, können wir auf b_{0} = c_{0} = 0 und somit die Korrektheit der Tabelle schließen. Q.E.D.

Nach dieser Vorarbeit ist der Beweis des nächsten Ergebnisses relativ einfach, da im Wesentlichen die Überlegungen aus [14], §6, verwendet werden können.

Satz 2.4. Die Gruppen E_{6}(q), q = p^{n} ≢ 1 (mod 3), q ≠ 2, kommen zur Verzweigungsstruktur C^{∗} = (C_{p}, C_{q^{2}−1}, C_{T})^{∗} als Galoisgruppen über ℚ^{ab} vor. Dabei enthalten die jeweiligen Klassen Elemente der Ordnungen (p, q^{2} − 1, q^{6} + q^{3} + 1). Genauer ist das Kompositum von ℚ(ζ_{q^{2}−1}) mit einem Körper vom Index neun in ℚ(ζ_{q^{6}+q^{3}+1}) ein eigentlicher Definitionskörper.

Beweis. Für die angegebene Klassenstruktur C gilt nach Bemerkung 2.1 bereits n(C) = 1. Nach dem in der Einleitung zitierten Rationalitätskriterium ([15], II, §4.2, Folgerung 3) muß daher nur gezeigt werden, daß ein Tripel (ρ, σ, τ) ∈ \overline{Σ}(C) ganz G erzeugt. In [14], Beweis zu Theorem 6.1, wurde das für diese Klassenstruktur im Falle guter Primzahlen schon bewiesen. Das dortige Vorgehen kann im Wesentlichen übernommen werden. Zuerst sieht man, daß H := ⟨ρ, σ, τ⟩ nicht in N_{G}(T) liegt, da letztere Untergruppe für q ≠ 2 keine durch q^{2} − 1 = o(σ) teilbare Ordnung besitzt. Statt der in [14] bewiesenen Abschätzungen für den 2- und 3-Rang von G verwendet man die Schranken 2-Rang(E_{6}(q)) ≤ 6 für p ≠ 2 und 3-Rang(E_{6}(q)) ≤ 6 für p ≠ 3 aus [3]. Wegen q ≥ 3 ist nun |T | = o(τ) ≥ 757, also kann das Erzeugnis H des Tripels aus \overline{Σ}(C) wie in [14] keine lokale Untergruppe sein. Die Möglichkeit R ≤ H ≤ Aut(R) für eine nichtabelsch einfache Untergruppe R von G schließt man wie in [14] aus. Nach [14], Lemma 1.3, sind damit sämtliche Möglichkeiten für H außer H = G untersucht und als unmöglich erkannt worden, so daß die Behauptung folgt. Q.E.D.

Wir schließen nun noch eine Lücke aus Satz 2.4, nämlich den Fall E_{6}(2), unter Benutzung der Charaktertafel dieser Gruppe, die freundlicherweise von B. Fischer zur Verfügung gestellt wurde. Die Klassenbezeichnungen beziehen sich auf die Benennung in der CAS-Version dieser Tafel.

Satz 2.5. Die Gruppe E_{6}(2) kommt zur Verzweigungsstruktur C^{∗} = (2a, 8b, 73a)^{∗} als Galoisgruppe über dem Körper vom Index neun in ℚ(ζ_{73}) vor.

Beweis. Aus der Charaktertafel errechnet man n(2a, 8b, 73a) = 1. Wie oben prüft man sofort, daß ein Tripel zu der vorgegebenen Klassenstruktur keine lokale Untergruppe erzeugen kann. Die einzige echte einfache Untergruppe R von G mit durch 73 teilbarer Ordnung ist L_{3}(8). Von den Gruppen zwischen L_{3}(8) und Aut(L_{3}(8)) enthalten nur L_{3}(8): 2 und L_{3}(8): 6 Elemente der Ordnung acht. Aber in diesen beiden ist ein Element der Ordnung 73 zu sechs bzw. achtzehn seiner primitiven Potenzen konjugiert, während es in G nur zu neun Potenzen konjugiert ist. Daher kann keine der beiden Gruppen in G liegen, und auch die Erzeugung ist bewiesen. Der Satz folgt damit aus dem Rationalitätskriterium. Q.E.D.

Wir wenden uns nun Galoisrealisierungen der getwisteten Gruppen ^{2}E_{6}(q) zu. Diese waren bisher nur unter der recht vagen Einschränkung ‘p und q groß genug’ als Galoisgruppen nachgewiesen worden [14], wobei diese Einschränkung wieder von der ungenügenden Kenntnis der Greenfunktionen herrührte. Die Methoden des letzten Abschnitts lassen sich aber fast wortwörtlich von E_{6}(q) auf ^{2}E_{6}(q) übertragen, und damit können hier diejenigen mit q ≢ −1 (mod 3) als Galoisgruppen realisiert werden. Nach der verallgemeinerten Ennola-Dualität sollten die Charakterwerte von ^{2}E_{6}(q) aus denen von E_{6}(q) einfach durch Ersetzen von q durch −q erhalten werden. Es stellt sich heraus, daß diese (bisher unbewiesene Vermutung) für alle beim Beweis vorkommenden Charakterwerte zutrifft. Aufgrund der großen Ähnlichkeit der Beweise wird der Fall ^{2}E_{6}(q) nicht weiter ausgeführt, sondern nur das Ergebnis angegeben: C_{p} sei die Klasse der in einer p-Sylowgruppe von G zentral liegenden Elemente ρ mit Zentralisatorordnung

|C_{G}(ρ)| = q^{36}Φ_{1}^{3}Φ_{2}^{5}Φ_{3}Φ_{4}Φ_{6}^{2}Φ_{10},

C_{q^{2}−1} die Klasse eines (halbeinfachen) Elements σ mit Zentralisatortyp A_{2}(q).A_{1}(q^{2}). (q^{2} − 1) und Zentralisatorordnung

|C_{G}(σ)| = q^{5}Φ_{1}^{4}Φ_{2}^{3}Φ_{3}Φ_{4},

(vergleiche Table 1 in [8]) und schließlich C_{T} die Klasse eines erzeugenden Elements τ des t.i-Torus T der Ordnung |T | = |C_{G}(τ)| = Φ_{18}(q). Sowohl die Klasse C_{p} als auch Klassen vom Typ C_{T} exisitieren offensichtlich für alle q. In C_{G}(σ) liegt ein maximaler Torus der Ordnung Φ_{1}Φ_{2}Φ_{3}Φ_{4} mit Weylgruppe der Ordnung 12, und daraus rechnet man leicht nach, daß es Klassen C_{q^{2}−1} für alle q > 2 gibt. Man beachte, daß dies nicht genau dieselbe Klassenstruktur für G wie in [14], §7, ist.

Satz 2.6. Die Gruppen ^{2}E_{6}(q), q = p^{n} ≢ −1 (mod 3), kommen zur Verzweigungsstruktur C^{∗} = (C_{p}, C_{q^{2}−1}, C_{T})^{∗} als Galoisgruppen über ℚ^{ab} vor. Dabei enthalten die jeweiligen Klassen Elemente der Ordnungen (p, q^{2} − 1, q^{6} − q^{3} + 1). Genauer ist das Kompositum von ℚ(ζ_{q^{2}−1}) mit einem Körper vom Index neun in ℚ(ζ_{q^{6}−q^{3}+1}) ein eigentlicher Definitionskörper.

3. Gruppen E_{6}(q)_{sc}: 2 als Galoisgruppen

Um auch für die fehlenden Kongruenzen Galoisrealisierungen zu erhalten, wird die Erweiterung von E_{6}(q) mit dem Graphautomorphismus der Ordnung zwei untersucht. Da diese Erweiterung unabhängig von der Kongruenzklasse von q (mod 3) existiert, wird hierdurch ein einheitlicher Zugang zu der gesamten Familie erhalten. Allerdings erzeugen die Elemente der zu wählenden Klassenstruktur für p = 2 nicht die gesamte Gruppe. Daher kann mit dieser Methode in Charakteristik zwei keine Galoisrealisierung erhalten werden. Es sei also im weiteren q = p^{n}, p > 2 und G = E_{6}(q)_{sc}, die einfach zusammenhängende Gruppe vom Typ E_{6} über dem Körper 𝔽_{q}. Dann erfüllt die Erweiterung Ĝ von G mit dem Graphautomorphismus die Voraussetzungen zu den Sätzen des ersten Paragraphen.

Der Zentralisator des Graphautomorphismus ρ in Ĝ hat die Struktur F_{4}(q) × 2, wie man aus der Operation von ρ auf Steinbergerzeugenden von G leicht nachrechnet. Also zerfällt die Erweiterung G.⟨ρ⟩ und ρ operiert nichttrivial auf dem (für q ≡ 1 (mod 3) vorhandenen) Zentrum von G, so daß die üblichen Rationalitätskriterien [15] auf Ĝ anwendbar sind. (Zum ersten Mal wurde dieser ‘Trick’ zur Umgehung des Zentrums bei dreifachen Überlagerungen sporadischer Gruppen von Feit [10] vorgestellt.)

Sei u ein Element aus C_{G}(ρ) = F_{4}(q) mit |C_{F_{4}}(u)| = q^{24}Φ_{1}^{3}Φ_{2}^{3}Φ_{3}Φ_{4}Φ_{6}, liege also zentral in einer p-Sylowgruppe von F_{4}(q) (diese Klasse ist für p ≠ 2 eindeutig). Dann hat das Element uρ von Ĝ die Ordnung 2p und die Zentralisatorordnung 2q^{24}Φ_{1}^{3}Φ_{2}^{3}Φ_{3}Φ_{4}Φ_{6} in Ĝ. Anhand der Liste von Konjugiertenklassen von G in [17] rechnet man nach, daß u in G die Zentralisatorordnung q^{36}Φ_{1}^{5}Φ_{2}^{3}Φ_{4}Φ_{5}Φ_{6} besitzt (denn einzig dafür enthält der Zentralisator eine symplektische Gruppe C_{3}(q), siehe auch [2], S.402). Die Klasse von uρ sei mit C_{2p} bezeichnet.

Sei weiter C_{T} die Klasse eines regulären Elements τ des maximalen Torus T von G der Ordnung q^{6} + q^{3} + 1. Dann ist |C_{G}(τ)| = q^{6} + q^{3} + 1, denn der äußere Automorphismus operiert nichttrivial auf T. Auf dem regulären Element τ ∈ C_{T} des Coxetertorus verschwinden fast alle irreduziblen Charaktere von G. Nach der Lusztig’schen Jordanzerlegung der Charaktere können nur unipotente Charaktere und die Deligne-Lusztig Charaktere R_{T,θ} zum Torus T von Null verschiedene Werte auf C_{T} annehmen (siehe dazu auch den vorigen Abschnitt, wo diese Klasse bereits benutzt wurde). Da der äußere Automorphismus fixpunktfrei auf T \Z(G) operiert, fallen je zwei der R_{T,θ}, θ ≠ 1, unter der Operation von ρ zusammen, so daß ihre Werte auf äußeren Klassen gleich Null sind. Es bleiben somit die unipotenten Charaktere von G zu untersuchen. Zumindest die in der Hauptserie liegenden können nach den Ergebnissen im ersten Paragraphen alle auf Ĝ fortgesetzt werden. Aus der Multiplizitätenformel in Satz 1.7 kann nun Information über die Werte der Fortsetzungen der unipotenten Charaktere erhalten werden. Dazu ist aber die Kenntnis der unipotenten Charaktere aller (maximaler) Leviuntergruppen nötig. Diese enthalten wieder jeweils ein BN-Paar vom Index höchstens zwei, so daß Satz 1.7 auch hier angewandt werden kann. So können die Werte aller nichtkuspidalen unipotenten Charaktere in den Levifaktoren D_{4}(q): 2 und A_{5}(q): 2 auf der Klasse der äußeren Involution berechnet werden.

Nach dem Ausflug zu Levifaktoren maximaler ρ-invarianter parabolischer Untergruppen kehren wir zur Bestimmung der uns eigentlich interessierenden Werte unipotenter Charaktere in Ĝ = E_{6}(q)_{sc}: 2 zurück. Die Bezeichnung der unipotenten Charaktere von G folgt wie schon bei Tabelle 2.2 der in [2], 13.9.

Bemerkung 3.1. Die Werte der Fortsetzungen derjenigen unipotenten Charaktere von Ĝ = E_{6}(q)_{sc}: 2, die auf T^{#} nicht verschwinden, auf C_{T} und den äußeren Klassen [ρ] und C_{2p}, sind wie in Tabelle 3.2 angegeben.

Tabelle 3.2. Einige unipotente Charaktere von E_{6}(q)_{sc}: 2.

[ι]  C_{T}  [ρ]  C_{2p}
|E_{6}(q)_{sc}|  Φ_{9}  |F_{4}(q)|  q^{24}Φ_{1}^{3}Φ_{2}^{3}Φ_{3}Φ_{4}Φ_{6}
ϕ_{1,0}  1  1  1  1
ϕ_{20,2}  q^{2}Φ_{4}Φ_{5}Φ_{8}Φ_{12} −1  qΦ_{4}Φ_{8}Φ_{12}  q(q^{6} + q^{4} + 1)
ϕ_{64,4}  q^{4}Φ_{2}^{3}Φ_{4}^{2}Φ_{6}^{2}Φ_{8}Φ_{12} 1  .  .
ϕ_{64,13}  q^{13}Φ_{2}^{3}Φ_{4}^{2}Φ_{6}^{2}Φ_{8}Φ_{12} 1  .  .
ϕ_{20,20}  q^{20}Φ_{4}Φ_{5}Φ_{8}Φ_{12} −1 q^{13}Φ_{4}Φ_{8}Φ_{12}  q^{13}
ϕ_{1,36}  q^{36}  1  q^{24}  .
ϕ_{90,8}  \frac{1}{3}q^{7}Φ_{3}^{3}Φ_{5}Φ_{6}^{2}Φ_{8}Φ_{12} −1 \frac{1}{3}q^{4}Φ_{3}^{2}Φ_{6}^{2}Φ_{8}Φ_{12} \frac{1}{3}q^{4}Φ_{3}Φ_{6}(2q^{4} + 1)
E_{6}[θ]  \frac{1}{3}q^{7}Φ_{1}^{6}Φ_{2}^{4}Φ_{4}^{2}Φ_{5}Φ_{8} −1 \frac{1}{3}q^{4}Φ_{1}^{4}Φ_{2}^{4}Φ_{4}^{2}Φ_{8}  −\frac{1}{3}q^{4}Φ_{1}^{3}Φ_{2}^{3}Φ_{4}
E_{6}[θ^{2}]  \frac{1}{3}q^{7}Φ_{1}^{6}Φ_{2}^{4}Φ_{4}^{2}Φ_{5}Φ_{8} −1 \frac{1}{3}q^{4}Φ_{1}^{4}Φ_{2}^{4}Φ_{4}^{2}Φ_{8}  −\frac{1}{3}q^{4}Φ_{1}^{3}Φ_{2}^{3}Φ_{4}

Die Ausdrücke in der zweiten Zeile der Tabelle geben die Zentralisatorordnungen in G, nicht in Ĝ, an (Atlas-Notation).

Beweis. Man überlegt sich leicht, daß genau die in der Tabelle aufgeführten unipotenten Charaktere nicht auf T^{#} verschwinden (es sind gerade diejenigen, deren Grad nicht von Φ_{9} geteilt wird), und mit [7] lassen sich auch die Werte auf τ bestimmen (siehe dazu auch [14], §6). Nun wird Satz 1.7 angewendet. Aus dem linearen Gleichungssystem für die Werte auf [ρ] und C_{2p} erhält man auch die Gleichung

ϕ_{20,20}(ρ) − ϕ_{20,2}(ρ) = qΦ_{4}Φ_{8}Φ_{12}(q^{12} − 1).

Nach dem bereits wiederholt verwendeten Lemma 2.3 müssen q^{8}Φ_{4}Φ_{8}Φ_{12}|ϕ_{20,20}(ρ) und |ϕ_{20,2}(ρ)| ≤ q^{2}Φ_{4}Φ_{5}Φ_{8}Φ_{12} und gelten. Dies hat als einzige Lösung die in der Tabelle angegebenen Werte.

Die Fortsetzungen der beiden Charaktere ϕ_{64,4} und ϕ_{64,13} auf Ĝ gehören nach Bemerkung 1.8 zu nichtrationalen Charakteren der generischen Algebra A zum Permutationscharakter von Ĝ nach B. Unter Benutzung der Ree’schen Formel [5], 11.34, zeigt man, daß die Fortsetzungen von beiden Charakteren auf ρ und uρ den Wert Null annehmen müssen.

Weitere Informationen über die fehlenden Werte können wiederum durch die Berechnung einiger Strukturkonstanten erhalten werden. Die Argumentation verläuft ähnlich wie im Beweis zu Bemerkung 2.1 und wird hier nicht ausgeführt. Man erhält damit die noch fehlenden Einträge von Tabelle 3.2. Q.E.D.

Satz 3.3. Die Gruppen E_{6}(q)_{sc}: 2, q = p^{n}, p > 2, kommen zur Verzweigungsstruktur C^{∗} = (C_{2p}, C_{2p}, C_{T})^{∗} als Galoisgruppen über ℚ^{ab} vor. Dabei enthalten die jeweiligen Klassen Elemente der Ordnungen (2p, 2p, q^{6} + q^{3} + 1). Genauer ist ein Teilkörper vom Index 18 in ℚ(ζ_{q^{6}+q^{3}+1}) ein eigentlicher Definitionskörper.

Beweis. Aus Tabelle 3.2 erhält man sofort n(C) = 1. Zur Anwendung des Rationalitätskriteriums auf die Gruppe Ĝ = E_{6}(q)_{sc}: 2 mit trivialem Zentrum muß also nur noch gezeigt werden, daß ein Tripel (σ_{1}, σ_{2}, τ) ∈ \overline{Σ}(C) ganz Ĝ erzeugt. Dazu betrachten wir die Gruppe \overline{G} := Ĝ/Z(E_{6}(q)_{sc}) (die im Fall q ≢ 1 (mod 3) mit Ĝ übereinstimmt). Offensichtlich erzeugen die Bilder σ̄_{1}, σ̄_{2}, τ̄ unter der kanonischen Abbildung Ĝ → \overline{G} genau dann \overline{G}, wenn die Urbilder Ĝ erzeugen. In \overline{G} erzeugt aber τ̄ eine selbstzentralisierende zyklische t.i.-Halluntergruppe \overline{T}. Damit ist Lemma 1.3 aus [14] anwendbar, welches die Möglichkeiten für das Erzeugnis \overline{H} := ⟨σ̄_{1}, σ̄_{2}, τ̄⟩ stark einschränkt. In der Tat ist man wieder in der in [14], Theorem 6.1, untersuchten Situation. Die einzige Schwierigkeit ensteht beim Fall L_{3}(q^{3}) ≤ \overline{H} ≤ Aut(L_{3}(q^{3})). Offensichtlich kann nicht \overline{H} = L_{3}(q^{3}) sein, denn dann wäre \overline{H} ∩ E_{6}(q) eine Untergruppe von L_{3}(q^{3}) vom Index 2. Daher muß L_{3}(q^{3}) < \overline{H} gelten, und A := ⟨L_{3}(q^{3}), σ̄_{1}^{p}⟩ ist die Erweiterung von L_{3}(q^{3}) vom Grad 2 mit dem Graphautomorphismus. Für diese kann mittels Satz 1.7 genügend Information über die Werte der Fortsetzungen der unipotenten Charaktere erhalten werden, um durch Vergleich von Strukturkonstanten in G und in A zu einem Widerspruch zu gelangen. Die Annahme R = L_{3}(q^{3}) ist damit falsch, und es folgt H = Ĝ. Q.E.D.

Als unmittelbare Folgerung haben wir

Satz 3.4. Bezeichne E_{6}(q) die einfache Gruppe vom Typ E_{6} und sei q = p^{n} für p > 2. Dann sind E_{6}(q), E_{6}(q): 2, sowie für q ≡ 1 (mod 3) auch die Darstellungsgruppen 3^{.}E_{6}(q) Galoisgruppen über ℚ^{ab}.

Beweis. Dies folgt durch Abstieg von E_{6}(q)_{sc}: 2 zu E_{6}(q)_{sc}. Die Galoiserweiterung für E_{6}(q)_{sc}: 2 ist nach Konstruktion an genau drei Punkten verzweigt. Da E_{6}(q)_{sc} in E_{6}(q)_{sc}: 2 den Index zwei hat, ist der Fixkörper von E_{6}(q)_{sc} in dieser Erweiterung ein rationaler Funktionenkörper mit dem Definitionskörper der ursprünglichen Galoiserweiterung als Konstantenkörper. Die Gruppe E_{6}(q)_{sc} ist bekanntlich genau die Darstellungsgruppe von E_{6}(q). Die einfache Gruppe E_{6}(q) besitzt als Faktorgruppe von E_{6}(q)_{sc} natürlich ebenfalls eine Galoisrealisierung über demselben Definitionskörper. Dasselbe Argument gilt für E_{6}(q): 2 als Faktorgruppe von E_{6}(q)_{sc}: 2. Q.E.D.

Wir erhalten sogar einige Galoisrealisierungen über ℚ:

Satz 3.5. Die Gruppen E_{6}(p)_{sc}: 2, E_{6}(p): 2, E_{6}(p)_{sc} und E_{6}(p) kommen für Primzahlen p ≡ 4, 5, 6, 9, 16, 17 (mod 19) zur Verzweigungsstruktur (C_{2p}, C_{2p}, C_{19})^{∗} als Galoisgruppen über ℚ vor.

Beweis. Für die im Satz angegebenen Kongruenzen hat p die multiplikative Ordnung 9 modulo 19. Daher teilt in diesem Fall 19 nur Φ_{9}(p), nicht aber Φ_{i}(p) mit i < 9, die Primzahl 19 ist also ein primitiver Teiler von Φ_{9}(p) im Sinne von Zsigmondy. In dem maximalen Torus T von G := E_{6}(q)_{sc} existieren daher Elemente der Ordnung 19, die in Ĝ = G.2 wegen |N_{G}(T)/T | = 9, und da ρ fixpunktfrei auf T operiert, rational sind. Die Werte der unipotenten Charaktere auf der zugehörigen Klasse C_{19} sind wie auf C_{T} in Tabelle 3.2, da unipotente Charaktere auf T^{#} konstante Werte annehmen. Also gilt n(C_{2p}, C_{2p}, C_{19}) = 1, und es bleibt nur noch die Erzeugung zu beweisen. Wegen p ≥ 5 kann das Erzeugnis H eines Tripels aus der zugehörigen Klassenstruktur nicht in N_{G}(T) liegen. Die Abschätzungen des 2und 3-Rangs aus [14], Theorem 6.1, genügen, um auch 2- und 3-lokale Untergruppen als Kandidaten auszuschließen, denn sowohl 2 als auch 3 sind Primitivwurzeln modulo 19. Als primitiver Teiler von Φ_{9}(p) teilt 19 auch nicht die Ordnungen der parabolischen Untergruppen von G, und wegen 19 | |̸W (E_{6})| kann H schließlich nach Lemma 1.7(2) in [14] nicht r-lokal für eine Primzahl r ∉ {2, 3, p} sein. Mit [14], Lemma 1.3, angewandt auf \overline{G} := Ĝ/Z(Ĝ) gilt somit R ≤ \overline{H} ≤ Aut(R) mit \overline{H} := H/(H ∩ Z(Ĝ)) für eine einfache nichtabelsche Untergruppe R von \overline{G}.

Für ein solches R kommen nur die Gruppen in Lemma 6.1 in [14] in Frage. Von diesen haben nur L_{2}(19), L_{2}(37), HN, T h, B, M, J_{1}, ON, J_{3} und eventuell die Gruppen vom Lie-Typ in Charakteristik p eine durch 19 teilbare Ordnung. Die neun Einzelfälle lassen sich leicht durch die vorgegebene Klassenstruktur und die geforderten Kongruenzen ausschließen. So kann etwa R = J_{3} wegen |J_{3}| = 2^{7}.3^{5}.5.17.19 nur für p ∈ {5, 17} vorkommen. Aber J_{3}: 2 hat keine äußeren Elemente der Ordnung 10 [4], so daß p = 5 unmöglich ist. Schließlich sind die (34, 34, 19)- Strukturkonstanten von J_{3}: 2 nach [4] viel zu groß, als daß sie von (C_{34}, C_{34}, C_{19}) in Ĝ stammen könnten.

Von den Gruppen vom Lie-Typ in Charakteristik p bleibt wie in [14], Theorem 6.1, neben E_{6}(p) nur noch die Möglichkeit L_{3}(p^{3}). Wie oben kann auch dieser Fall ausgeschlossen werden. Damit folgt die Aussage des Satzes aus dem Rationalitätskriterium, da alle drei Klassen rational sind. Q.E.D.

LITERATUR

[1] A.Borel et al., Seminar on algebraic groups and related finite groups, Lecture Notes in Mathematics 131, Springer Verlag 1970, Berlin Heidelberg New York.

[2] R. W. Carter, Finite groups of Lie type: Conjugacy classes and complex characters, John Wiley and Sons 1985, Chichester.

[3] A. M. Cohen, G. M. Seitz, The r-rank of the groups of exceptional Lie type, Indag. Math. 49 (1987), S.251–259.

[4] J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker, R. A. Wilson, Atlas of finite groups, Clarendon Press 1985, Oxford.

[5] C. W. Curtis, I. Reiner, Methods in representation theory I, John Wiley 1981, New York.

[6] C. W. Curtis, I. Reiner, Methods in representation theory II, John Wiley 1987, New York.

[7] P. Deligne, G. Lusztig, Representations of reductive groups over finite fields, Ann. of Math. 103 (1976), S.103–161.

[8] D. I. Deriziotis, M. W. Liebeck, Centralizers of semisimple elements in finite twisted groups of Lie type, J. Lond. Math. Soc. (2) 31 (1985), S.48–54.

[9] F. Digne, J. Michel, Fonctions L des variétés de Deligne-Lusztig et descente de Shintani, Mémoires Soc. Math. France 20 (1985).

[10] W. Feit, Some finite groups with centers which are Galois groups, in:Group Theory, Proceedings of the 1987 Singapore Conference, W. de Gruyter 1989, Berlin - New York.

[11] J. A. Green, Characters of the finite general linear groups, Trans. Am. Math. Soc. 80 (1955), S.402–447.

[12] R. B. Howlett, G. I. Lehrer, Representations of generic algebras and finite groups of Lie type, Trans. Am. Math. Soc. 280 (1983), S.753–779.

[13] G. Lusztig, On the unipotent characters of the exceptional groups over finite fields, Invent. Math. 60 (1980), S.173–192.

[14] G. Malle, Exceptional groups of Lie type as Galois groups, J. reine angew. Math. 392 (1988), S.70–109.

[15] B. H. Matzat, Konstruktive Galoistheorie, Springer Lecture Notes 1284, Berlin - Heidelberg - New York 1987.

[16] K. McGovern, Multiplicities of principal series representations of finite groups with split BN-pairs, J. Algebra 77 (1982), S.419–442.

[17] K. Mizuno, The conjugate classes of Chevalley groups of type E_{6}, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 24 (1977), S.525–563.